专题05 期中真题百练通关（三角形&全等三角形&轴对称中七大易错考点）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材人教版

专题05 期中真题百练通关（七大易错考点） 题型一 三角形高线画法 题型二 三边关系应用 题型三 三角形（等腰三角形）角的分类讨论 题型四 等腰三角形边的分类讨论 题型五 辅助线构造全等 题型六 全等模型的应用 题型七 最短路径问题 题型一 三角形高线画法（共11小题） 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）下列各图中，是边上的高的是（   ） A．B．C． D． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·北京丰台·期末）利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·北京·期中）下面四个图形中，线段是的高的图是 ．（填序号） 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 10．（22-23八年级上·山西运城·期中）已知，，． (1)在坐标系中描出各点，画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)仅用无刻度的直尺作出边上的高，并直接写出的长．（保留作图痕迹） 11．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称做格点． (1)画出的高； (2)求的面积； (3)在边上找到一点E，满足． 题型二 三边关系应用（共13小题） 12.（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个三角形的第三边长是（   ） A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不对 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）一个三角形的三边长分别为，，，则，，的值不可能是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14.（24-25八年级上·安徽合肥·期末）一个等腰三角形腰长为6，则这个等腰三角形的周长不可能是（　　） A．13 B．18 C．23 D．26 15．（24-25八年级上·云南昆明·期中）若三角形两边长分别是3、5，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．3 C．10 D．11 16.（24-25八年级上·广西钦州·期中）一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个奇数，则第三边的长是（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 17．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别，，那么甲、乙两人的距离d的范围是 ． 18.（24-25八年级上·福建莆田·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则的取值范围是 ． 19.（24-25八年级上·河南安阳·期中）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 20.（24-25八年级上·重庆长寿·期中）已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解；如果的周长是奇数，则的第三条边的长度的最小值为 ． 21.（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知的边长a、b、c满足，且c是最长边，c是偶数，求的周长． 22.（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 23.（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 24.（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 题型三 三角形（等腰三角形）角的分类讨论（共13小题） 25.（23-24八年级上·河南安阳·期中）在中，点在的边上，连接，，，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 26．（23-24八年级上·广西贵港·期中）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A．或 B． C． D．或 27．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 28．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是 ． 29．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为29°，那么等腰三角形的顶角为 度． 30．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角为 ． 31．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 32．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，若以为一边画等腰三角形，且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为 ． 33．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，求各角的度数． 34.（23-24八年级上·安徽六安·期中）在中，，垂足为，平分．已知，；求的度数． 35．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得． (1)求的度数； (2)当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明； (3)连接，，当是等腰三角形时，求的度数． 36．（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，，射线、上分别有点和点，点在线段上，连接，．若线段将分割为两个等腰三角形，则称线段为的“角等分线”． (1)如图1，当时，画出的“90角等分线”，此时_______． (2)当时，若存在线段为的“角等分线”，则_______． 37．（23-24八年级上·福建厦门·期中）规定：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形的三个角分别相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．    示例：如图1，在中，，，， 把分割成和两个小三角形， 其中，，，． ∵， ∴，即为等腰三角形； 又∵，，， ∴与三个角分别相等； ∴为的“等角分割线” (1)如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线； (2)在中，，是的等角分割线，求的度数． 题型四 等腰三角形边的分类讨论（共6小题） 38．（24-25八年级上·湖南永州·期中）等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．18 B．21 C．16或20 D．18或21 39．（24-25八年级上·天津·期中）若一个等腰三角形两边长分别为和，则它的周长为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 40．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 41．（24-25八年级上·河南三门峡·期中）若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为 ． 42．（24-25八年级上·山东临沂·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 43．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4cm，腰AC上的中线BD把△ABC的周长分成差为3cm的两部分，求AB的长． 题型五 辅助线构造全等（共12小题） 44.（24-25八年级上·河北石家庄·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 45.（24-25八年级上·河北保定·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 46.（24-25八年级上·广东汕头·期中）【方法呈现】 如图：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为_________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 在中，，垂足为M，，点D是线段上一动点． （1）如图1，点C是延长线上一点，，连接，若，求的长； 【构建联系】 （2）如图2，在（1）的条件下，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 47.（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 48.（23-24八年级上·浙江湖州·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程． 【问题解决】 （2）如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A．；B．；C．；D．． 直接写出所有正确选项的序号是 ． 【问题拓展】 （3）如图③，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 49.（24-25八年级上·河北保定·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 50.（24-25八年级上·重庆·期中）（1）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】 如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，中，，，点在线段上，且，于，交于，请直接写出和之间的数量关系为　　． 51.（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________． VSDX   【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    52.（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【问题情景】数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图1，在四边形中，点C是边的中点，平分，，证明：． 【讨论思考】当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出各自的见解．大家集思广议，提出了一个截长法，如图2，在上截取，连接，先证明≌．再证明≌，既有，即． 【解决问题】小明同学根据大家的思路进行了如下的证明． 理由如下：如图2，在上取一点F，使，连接． ∵平分，∴， 在和中，， ∴， ∴，． （1）小明已经完成了大家讨论第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 【拓展探究】已知，如图3，在中，D、E分别为、上的点，且，相交于点F．若，为的角平分线． （2）如果，写出等于__________； （3）如图3，，为的角平分线，如果角，证明； （4）如图4．在中，延长的边到点G，平分交延长线于点D，若，，则__________． 53.（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 54.（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 55.（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 题型六 全等模型的应用（共6小题） 56.（24-25八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 57.（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想 （1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究 （2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决 （3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 58.（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长． 59.（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 60.（23-24八年级下·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 神奇的“半角模型” 初中数学中存在一些常见的模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问题的一种常用方法． 例题：如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且． 求证：． 证明：如图，延长至点G，使得． 四边形是正方形， （依据1），． ， ， ， （依据2），． ，， ， ，即， ． ，，， ． 拓展：如图，在四边形中，，， ，E，F分别是边上的点，且，． 求五边形的周长． 任务： (1)材料中的依据1是指________________，依据2是指________________． (2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线． (3)在材料“拓展”中，五边形的周长为________． 61.（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 题型七 最短路径问题（共11小题） 62.（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   63.（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 64.（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 65.（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 66.（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 67．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 68．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为 ． 69．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，等边中，于，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 70.（24-25八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 71．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于x轴对称的图形； (2)在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是_____，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为_____； (3)在y轴上确定一点P，使的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） 72．（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）已知：平面直角坐标系中，如图1，点，轴于点B，并且满足． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若点C为线段的中点，连并作，且，连交x轴于点E，求证: ． (3)如图3，点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以为一边作交y轴负半轴于点N，连，将沿直线翻折，点M的对应点为，点P是x轴上的一动点，当且的周长最小时，请直接写出的值. 一、单选题 1．下列四个图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 二、填空题 3．一个三角形的两边长分别为2厘米和5厘米，若三角形周长为偶数，则第三边的长为 厘米． 4．在中，，边，则中线的取值范围是 ． 三、解答题 5．如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． (1)当是等腰三角形时， ； (2)求证：； (3)求的最小值； (4)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 6．如图，在四边形中，且交于点． (1)证明：； (2)如图2，过点的直线分别交于点，若，求； (3)如图3，若，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向匀速移动，点从点出发，以每秒10个单位的速度沿，作匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为秒．在移动过程中，若与全等，请直接写出点的移动距离． 7．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（七大易错考点） 题型一 三角形高线画法 题型二 三边关系应用 题型三 三角形（等腰三角形）角的分类讨论 题型四 等腰三角形边的分类讨论 题型五 辅助线构造全等 题型六 全等模型的应用 题型七 最短路径问题 题型一 三角形高线画法（共11小题） 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）下列各图中，是边上的高的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是边上的高，符合题意； B、不是边上的高，不符合题意； C、不是边上的高，不符合题意； D、不是边上的高，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【详解】解：由三角形高的定义可知，在中，边上的高是线段， 故选：D． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点C作，交的延长线于点H，则即为所求作的高线． 故选：B． 4．（23-24八年级上·北京丰台·期末）利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由三角形的高线的定义可知： A、作法错误，不符合题意； B、作法错误，不符合题意； C、作法错误，不符合题意； D、作法正确，符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：是的高的是． 故选：D． 6．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项符合题意． 故选：D． 7．（24-25八年级上·北京·期中）下面四个图形中，线段是的高的图是 ．（填序号） 【答案】③ 【详解】解：图形①中，与不垂直，线段不是的高； 图形②中，与不垂直，线段不是的高； 图形③中，与垂直，线段是的高； 图形④中，与不垂直，线段不是的高； 故答案为：③． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 【详解】（1）解：依题意，即为所求作的高，如图所示： ； （2）解：∵，是的高， ∴． （3）解：∵是的高，且 ∴， ∴， ∴． 10．（22-23八年级上·山西运城·期中）已知，，． (1)在坐标系中描出各点，画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)仅用无刻度的直尺作出边上的高，并直接写出的长．（保留作图痕迹） 【详解】（1）如图所示： （2） （3）如图所示的线段即所求作的高： 由图可得：， ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ 11．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称做格点． (1)画出的高； (2)求的面积； (3)在边上找到一点E，满足． 【详解】（1）即为所求； （2）的面积为：； （3）作的垂直平分线与的交于，点即为所求． 题型二 三边关系应用（共13小题） 12.（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个三角形的第三边长是（   ） A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不对 【答案】B 【详解】当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，8， ∵，∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为8时，则该等腰三角形的三边长为3，8，8， ∵，∴此时能构成三角形，符合题意， 故选：B． 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）一个三角形的三边长分别为，，，则，，的值不可能是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题解题的关键是掌握三角形的三边关系，三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意； B、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意； C、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意； D、，不满足三角形三边关系，故此项符合题意； 故选D． 14.（24-25八年级上·安徽合肥·期末）一个等腰三角形腰长为6，则这个等腰三角形的周长不可能是（　　） A．13 B．18 C．23 D．26 【答案】D 【详解】解：∵一个等腰三角形腰长为6，设底边长为， ∴， ∴这个等腰三角形的周长的范围为：； ∴这个等腰三角形的周长不可能为， 故选：D 15．（24-25八年级上·云南昆明·期中）若三角形两边长分别是3、5，则第三边的长可能是（   ） A．2 B．3 C．10 D．11 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此进行作答即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别是3、5， ∴第三边的长， 即第三边的长， ∴观察4个选项，第三边的长可能是3， 故选：B 16.（24-25八年级上·广西钦州·期中）一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个奇数，则第三边的长是（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：∵三角形的两边长分别为3和8， 设第三边长c为奇数 ∴，即， ∴． 故选：C． 17．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别，，那么甲、乙两人的距离d的范围是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，把实际问题转化为三角形三边关系分析是解决问题的关键．需要注意可以取等号．根据三角形三边关系即可得出甲、乙两人的距离的范围． 【详解】运动员甲、乙两人与足球的距离分别是，， 甲、乙两人的距离的范围是：， 即． 故答案为：． 18.（24-25八年级上·福建莆田·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由三角形的三边关系得： ， 即． 故答案为：． 19.（24-25八年级上·河南安阳·期中）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【答案】17 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为：17． 故答案为17． 20.（24-25八年级上·重庆长寿·期中）已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解；如果的周长是奇数，则的第三条边的长度的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：由， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组最大的整数解为8，最小整数解为6． ∵的周长是奇数，是偶数， 且， 则的第三条边的长度的最小值3， 故答案为：3． 21.（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知的边长a、b、c满足，且c是最长边，c是偶数，求的周长． 【答案】15或17 【详解】解：∵， ， 即， ∴，， ， 又∵是的三边， ， 又∵c是偶数，且c是最长边， ∴或8， 当时，周长为15， 当时，周长为17． 22.（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知的三边长为，，，且，，均为整数． (1)若，，求边长的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长． 【详解】（1）的三边长为，，， ，， ， 即，且，，均为整数， 故的取值范围为：、、、、； 故答案为：、、、、 （2）解：为偶数，， 故可取，； 当时，的周长为； 当时，的周长为 23.（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 【详解】（1）解：由题意可得， 即 则的取值范围为； （2）由（1）得 为偶数 为6，8，10 要组成三角形的周长最小， 只能为6， 三角形的周长最小为， 则三角形的周长最小为17 24.（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 【答案】(1)或10 (2)13 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）根据三角形的三边关系求出的取值范围，再由为偶数即可得出结论； （2）根据，的周长为偶数，可得为正整数，且为奇数，再根据，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：∵由三角形的三边关系知，，即：， ∴， 又∵的周长为偶数，而、为奇数， ∴为偶数，且为正整数，故或10； （2）解：∵，的周长为偶数， ∴为正整数，且为奇数， ∵ ∴的最大值为13． 题型三 三角形（等腰三角形）角的分类讨论（共13小题） 25.（23-24八年级上·河南安阳·期中）在中，点在的边上，连接，，，若为直角三角形，则的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：分两种情况： （1）如图1，于点， 则， 在中，， ∴； （2）如图2，于点， 由（1）知， ∴， 综上，或． 故选：C． 26．（23-24八年级上·广西贵港·期中）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题意可知， ∴； ②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时， 由题意可知， ∴． 综上可知这个等腰三角形的顶角度数为或， 故选：D． 27．（23-24八年级上·湖北恩施·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，    由题意得：，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 28．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是 ． 【答案】或 【详解】解：当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是； 当是等腰三角形的底角时，则顶角是． 故答案为：或． 29．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为29°，那么等腰三角形的顶角为 度． 【答案】或 【详解】解：已知，且，是边上的高； ①当等腰三角形是锐角三角形时，如图， ∵， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时，如图， ∵， ∴； 综上，等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 30．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角为 ． 【答案】或 【详解】解：分两种情况： ①当为锐角三角形时，如图， ∵是垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当为钝角三角形时，如图， ∵是垂直平分线， ∴.， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，底角为或， 故答案为：或． 31．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】或 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴，， 过点作于，于， ∴， ∵点P是等腰三角形的腰上的一点，且是以为腰的等腰三角形， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得：， ∴， ∴； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 32．（24-25八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，若以为一边画等腰三角形，且使它的第三个顶点在边或上，则画出的等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或或 【详解】解：①如图，当时，就是等腰三角形； ∴顶角； ②如图，当时，为等腰三角形； ∵， ∴， ∴顶角； ③如图，当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴顶角； ④如图，在上，当时，为等腰三角形， ∵， ∴顶角； 故答案为：或或． 33．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，求各角的度数． 【详解】解：如图：      如图1，当为锐角时， 的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，即， ， ， ， ，，； 如图2，当为钝角时， 的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为，即， ， ， ． ，，． 34.（23-24八年级上·安徽六安·期中）在中，，垂足为，平分．已知，；求的度数． 【详解】解：当在左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当在右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 35．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得． (1)求的度数； (2)当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明； (3)连接，，当是等腰三角形时，求的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，点即为所求； ∵， ∴， 连接， ∵将沿翻折得， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当，如图，点与点重合， ∴； 当时，如图， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，点A与P重合， ∴， 综上所述，的度数为或或或． 36．（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，，射线、上分别有点和点，点在线段上，连接，．若线段将分割为两个等腰三角形，则称线段为的“角等分线”． (1)如图1，当时，画出的“90角等分线”，此时_______． (2)当时，若存在线段为的“角等分线”，则_______． 【详解】（1）解：如图，作出线段的中点，连接，线段为的“90角等分线”， 中，是斜边上的中线， ， 线段将分割为两个等腰三角形， 线段为的“90角等分线”， ， 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， 若线段将分割为等腰和等腰， ①如图，当在等腰中，时， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴或或， ∴或或， 解得（符合题意）或（不符合题意，舍去）或（符合题意）； ②如图，当在等腰中，时， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴ ， ∴， 解得，符合题意； ③如图，当在等腰中，时， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， 解得，符合题意； 综上，或或， 故答案为：72或108或126． 37．（23-24八年级上·福建厦门·期中）规定：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形的三个角分别相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．    示例：如图1，在中，，，， 把分割成和两个小三角形， 其中，，，． ∵， ∴，即为等腰三角形； 又∵，，， ∴与三个角分别相等； ∴为的“等角分割线” (1)如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线； (2)在中，，是的等角分割线，求的度数． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴与三个角分别相等， ∴为的等角分割线； （2）解：∵，是的等角分割线， ∴为等腰三角形或者为等腰三角形， 当是等腰三角形时， ①当，时，如图，    则， ∴， ； ②当，时，如图，    则， ∴， ； ③当，时， 则， ∴，故此情况不存在； 当是等腰三角形时， ④当，时，如图，    则， 由得，， ∴， ∴； ⑤当，时，如图，    则， 设， 则， 由得， ， ∴， ∴； ⑥当，时， 则， ∴，故此情况不存在； 综上所述：或或或． 题型四 等腰三角形边的分类讨论（共6小题） 38．（24-25八年级上·湖南永州·期中）等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．18 B．21 C．16或20 D．18或21 【答案】D 【详解】解：当8为为腰长时，三角形的三边长为：8、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为， 当5为腰长时，三角形的三边长为：5、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为， 故选：D． 39．（24-25八年级上·天津·期中）若一个等腰三角形两边长分别为和，则它的周长为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：当等腰三角形的腰是时， ， ∴根据三角形的三边关系，不能组成三角形，故舍去， 当等腰三角形的腰是时， 周长为， 综上所述，它的周长为， 故选：． 40．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（      ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【详解】设等腰三角形的腰长、底边长分别为，， 由题意得或， 解得或， ∵， ∴不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为， 故选：． 41．（24-25八年级上·河南三门峡·期中）若一个等腰三角形两边长分别为和2，则它的周长为 ． 【答案】10 【详解】解∶当腰长是2时，则三角形的三边是2，2，4，不满足三角形的三边关系； 当腰长是4时，三角形的三边是4，4，2，，能构成三角形，此时三角形的周长， 故答案为∶． 42．（24-25八年级上·山东临沂·期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 【答案】或 【详解】解：设腰，底边， ∵一腰上的中线将它的周长分成和两部分， ∴或 ∴或， ∴等腰三角形的三边长分别为，，或，， ∵， ∴两种情况下，三角形都存在， ∴等腰三角形的腰长为或， 故答案为：或．    43．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4cm，腰AC上的中线BD把△ABC的周长分成差为3cm的两部分，求AB的长． 【答案】AB为7cm 【详解】解：当底比较长时，依题意得AB+AD=CD+BC-3， ∵AD=CD， ∴AB=4-3=1(cm)， 三边为4cm，1cm，1cm，1+1＜4，不能构成三角形，这种情况不成立； 当腰比较长时；依题意得AB+AD=CD+BC+3， ∵AD=CD， ∴AB=4+3=7(cm)， 三边为4cm，7cm，7cm，4+7＞7，能构成三角形． 故腰长AB为7cm． 题型五 辅助线构造全等（共12小题） 44.（24-25八年级上·河北石家庄·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 【详解】（1）解：延长到M，使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即 ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，证明如下： 由（1）得：， ∴，， ∴； （3）解：， ，证明如下： 延长到M，使得，延长交于G，连接，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴（周角的定义）， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴，； （4）解：如图所示，过点E、F分别作直线的垂线，垂足分别为M、N， ∵是的高，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ， ∴； 同理可证明， ∴， ∴． 45.（24-25八年级上·河北保定·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 【详解】（1）证明：是的中线 ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至，使， 连接， 是的中线， ， ∵ ，， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， ， ， ， ． 46.（24-25八年级上·广东汕头·期中）【方法呈现】 如图：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为_________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 在中，，垂足为M，，点D是线段上一动点． （1）如图1，点C是延长线上一点，，连接，若，求的长； 【构建联系】 （2）如图2，在（1）的条件下，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 【详解】解：方法呈现：如图，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； 问题背景：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 构造联系：（2）延长，截取，连接，如图所示： ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据解析（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 47.（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， 即， ， ， ， ， 中线的取值范围是：， 故答案为：． （2）解：延长交的延长线于，如图2所示： 根据题意得：，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， 为线段的垂直平分线， ； （3）解：，，理由如下： 延长到，使，连接，如图3所示： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即． 48.（23-24八年级上·浙江湖州·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程． 【问题解决】 （2）如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A．；B．；C．；D．． 直接写出所有正确选项的序号是 ． 【问题拓展】 （3）如图③，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 【详解】（1）解：如图①中，延长至点，使． 在和中，， ， ， ， ， ， ； （2）答案为：A、B、C； 解：如图②中，延长至，使， 由，故A正确 由（1）得，， ， ，， 点为的中点， ， ， ， ， ， 又， ， ，，故B、C正确． ，故D错误． （3）证明：如图（3）中，延长到，使得，连接． 同法可证， ，， ， ， 与互补， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，即． 49.（24-25八年级上·河北保定·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【详解】解：（1）∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （2）同（1）可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，延长交于点E 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的面积为30 ∴ ∴ ∵ ∴的面积； （4），理由如下： 如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 50.（24-25八年级上·重庆·期中）（1）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】 如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，中，，，点在线段上，且，于，交于，请直接写出和之间的数量关系为　　． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质； （1）利用已知条件，证明，即可得出结论； （2）延长交延长线于F，求出，证明，推出，再证明，进而可得结论； （3）过点D作，交的延长线于点G，与交于H，证明是等腰直角三角形，可得，然后同（2）证明， ，即可得出答案． 【详解】解：（1）在和中，， ∴， ∴； （2）如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）． 证明：如图，过点D作，交的延长线于点G，与交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即 ∴， 故答案为：． 51.（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________． VSDX   【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    【详解】解：（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； （2）①∵ ∴大于； 故答案为； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点 即 即点到的距离是 故答案为； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ．    52.（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【问题情景】数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图1，在四边形中，点C是边的中点，平分，，证明：． 【讨论思考】当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出各自的见解．大家集思广议，提出了一个截长法，如图2，在上截取，连接，先证明≌．再证明≌，既有，即． 【解决问题】小明同学根据大家的思路进行了如下的证明． 理由如下：如图2，在上取一点F，使，连接． ∵平分，∴， 在和中，， ∴， ∴，． （1）小明已经完成了大家讨论第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 【拓展探究】已知，如图3，在中，D、E分别为、上的点，且，相交于点F．若，为的角平分线． （2）如果，写出等于__________； （3）如图3，，为的角平分线，如果角，证明； （4）如图4．在中，延长的边到点G，平分交延长线于点D，若，，则__________． 【详解】解：（1）补充证明如下：∵， ∴， 又∵ ∴ ∵点是边的中点， ∴， 又∵ ∴， 在和中， ∴ ∴， 又， ∴， 即； （2）∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴ ∴ ． （3）证明：如图所示，在上截取， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∴； （4）解：如图所示，在上截取， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 53.（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 54.（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 55.（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【详解】解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 题型六 全等模型的应用（共6小题） 56.（24-25八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【详解】解：（1），，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由“K字”模型可知，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 梯形的面积 ； 故答案为：． （3）作于点，于点， 由“K字”模型可知，， ， 同理，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是的中点． 57.（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想 （1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究 （2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决 （3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）解：结论成立；理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）．理由如下， 如图，过D作于点D，交直线于点F， ∵，， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 58.（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 59.（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 60.（23-24八年级下·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 神奇的“半角模型” 初中数学中存在一些常见的模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问题的一种常用方法． 例题：如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且． 求证：． 证明：如图，延长至点G，使得． 四边形是正方形， （依据1），． ， ， ， （依据2），． ，， ， ，即， ． ，，， ． 拓展：如图，在四边形中，，， ，E，F分别是边上的点，且，． 求五边形的周长． 任务： (1)材料中的依据1是指________________，依据2是指________________． (2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线． (3)在材料“拓展”中，五边形的周长为________． 【详解】（1）材料中的依据1是指正方形的四条边相等（或正方形的性质）；依据2是指全等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质） 故答案为：正方形的四条边相等（或正方形的性质）；全等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质）； （2）补全辅助线如图所示：将绕点顺时针旋转得到， （3）将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， ， ， 五边形的周长， 故答案为：． 61.（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）证明：由（1）得， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴五边形的周长为 故答案为：． 题型七 最短路径问题（共11小题） 62.（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】解：如图， 画出点关于的对称点，则： 连接，交直线于点， ， 此时，最小， 故选：． 63.（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 64.（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【详解】解：如图，作点P关于直线的对称点，连接，则，    在和中， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值， ∴当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 在中，∵，，， ∴， ∴的最小值是7， 故选：A． 65.（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 66.（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．10 D．14 【答案】A 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 67．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是等边三角形性质与判定、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线性质，连接，证明得出，作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，的周长最小，再证明是等边三角形，得出垂直平分，进而求出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，即的周长最小， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 68．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形三边关系的应用，垂线段的性质．作E关于的对称点M，连接，，过B作于N，由轴对称得，由三角形三边关系可得，由垂线段最短可得，进而可得的最小值为的长度，因此利用等面积法求出即可． 【详解】解：作E关于的对称点M，连接，，过B作于N， 由轴对称得， ， 由垂线段最短可得， 的最小值为的长度． ， ， 的最小值为， 故答案为：． 69．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，等边中，于，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了轴对称性质、等边三角形的判定和性质. 先由等边三角形的性质求出，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，求得，再证是等边三角形，得到即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 70.（24-25八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； （2）解： ； （3）解：如图，点P即为所求． 71．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于x轴对称的图形； (2)在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是_____，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为_____； (3)在y轴上确定一点P，使的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） 【答案】(1)见详解 (2)，； (3)见详解 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，，，再连接即可． （2）利用轴对称的性质求解问题即可． （3）连接交轴于点，连接，点即为所求， 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即为轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为． 故答案为：轴，； （3）解：如图，点即为所求． 72．（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）已知：平面直角坐标系中，如图1，点，轴于点B，并且满足． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若点C为线段的中点，连并作，且，连交x轴于点E，求证: ． (3)如图3，点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以为一边作交y轴负半轴于点N，连，将沿直线翻折，点M的对应点为，点P是x轴上的一动点，当且的周长最小时，请直接写出的值. 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、面积问题(轴对称综合题) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性可求出a，b的值，得到点A的坐标，从而可判断的形状； （2）由点C是的中点，可得，过点D作轴于点F，根据同角的余角相等可得，又有，，从而证得，因此，，，又，，证得，从而得到，得证； （3）由可得点点的坐标为，作点关于x轴的对称点，则的坐标为，，连接，交x轴于点，此时的周长最小．过点作轴于点Q，则，，，又，因此有，从而求得，．由翻折可得，因此，又，根据同角的余角相等得到，又， ，证得，因此，．所以求得． 【详解】（1）∵，，且， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标， ∵轴于点B， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2） ∵，点C是的中点， ∴， 过点D作轴于点F， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴在和中 ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． （3） ∵， ∴点的坐标为， 作点关于x轴的对称点，则的坐标为，， 连接，交x轴于点，则，由于为定值，此时的周长最小． 过点作轴于点Q， ∴，， ∵， 又， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴由翻折可得， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵，由翻折有， ∴在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴． ∴． 一、单选题 1．下列四个图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、线段不是从顶点向对边所在直线作的垂线，不能表示的高，不符合题意； B、线段不是从顶点向对边所在直线作的垂线，不能表示的高，不符合题意； C、线段不是从顶点向对边所在直线作的垂线，不能表示的高，不符合题意； D、线段是从顶点向对边所在直线作的垂线，即是的高，符合题意． 故选：D． 2．如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【详解】解：过作于，如图， ，平分， ，， 在和中， ， ， ，，； 而点是的中点， ，所以③错误，不符合题意； ， ，，所以②正确，符合题意； ，所以④正确，符合题意； ，所以①正确，符合题意； 故选：A． 二、填空题 3．一个三角形的两边长分别为2厘米和5厘米，若三角形周长为偶数，则第三边的长为 厘米． 【答案】5 【详解】解：设第三边的长为x厘米， 根据三角形的三边关系可得， 即：， ∵三角形的周长是偶数， ∴第三边的长为5厘米， 故答案为：5． 4．在中，，边，则中线的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图，延长到E，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， 又， 由三角形三边关系可得， 又， ． 故答案为：． 三、解答题 5．如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． (1)当是等腰三角形时， ； (2)求证：； (3)求的最小值； (4)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【详解】（1）解：由题意可知，， 为等边三角形， 又是等边三角形， ． 是边上的高， ， ． 是等腰三角形， ． ． ． 故答案为：； （2）证明：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ，，，， ． 在和中， ； （3）解：是等边三角形， ，． ， ，． 由（2）知， ． 当时，最小， 最小值为； （4）解：的大小为或或； 理由如下： 当是等腰三角形时， 分三种情况讨论： 时， ， ， ， 时， 则， ， 时， 则． ． 综上，的大小为或或． 6．如图，在四边形中，且交于点． (1)证明：； (2)如图2，过点的直线分别交于点，若，求； (3)如图3，若，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向匀速移动，点从点出发，以每秒10个单位的速度沿，作匀速移动，点从点出发沿向点匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为秒．在移动过程中，若与全等，请直接写出点的移动距离． 【详解】（1）证明：∵， .∴， 又∵， ∴； （2）解：由 (1) 得：， ∴的面积的面积，， ∴的面积的面积的面积的面积=， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∴； （3）解：设点移动的距离为， 由（2）知， ∴，， ∴当与全等时， 有或， ①，， ∴当点F由点C到点B，即， 则或 解得：或（舍）， ②当点F由点B到点C，即， 则或， 解得：或 综上所述：与全等的情况会出现3次，此时的移动时间分别是秒、秒、秒，G点的移动距离y分别是14、14、， ∴点的移动距离为14或． 7．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 【详解】（1）解：延长至点E，使，连接，如图1所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∴， ∴， ∴， 故选：C； （3）证明：延长到K，使，连接，如图3所示： ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中，， ∴，. ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $