专题04 期中真题百练通关（三角形中15大常考几何模型全归纳）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材人教版

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04期中真题百练通关（十五大模型） 真题实战，百练通关 题型二ˉA字模型 「题型三 飞镖模型（或燕尾模型） 题型三8字模型 题型四双内角平分线模型 题型五ˉ内外角平分线模型 题型六双外角平分线模型 题型七高分线模型 题型八ˉ二线三等角模型 题型九“手拉手模型 !题型十ˉ角含半角模型 「题型千二“倍长中线法”模型 题型十三利用角平分线构造全等三角形模型 题型十三角平分线垂线构造等腰三角形模型 题型十四利用“截长补短法”构造全等三角形 题型十五将军饮马模型 题型一A字模型（共5小题） 1.(24-25八年级上湖北孝感期中)如图，在△ABC中，∠A=72°，按图中虚线剪去∠A,则I+∠2 () A.147° B.198 C.245° D.252 【答案】D 【详解】解：∠A=72°， ∠C+∠B=180°-∠A=180°-72°=108°， :∠A+∠B+∠1+∠2=360°， ∠1+∠2=360°-（∠C+∠B)=360°-108°=252°， 故选D 2.(24-25八年级上·全国·期中)如图，将△ABC纸片沿DE进行折叠，使点A落在四边形BCED的外部 点A'的位置，若∠A=35°，则∠1-∠2的度数为() 1/140 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.35° B.60° C.75° D.70° 【答案】D 【详解】解：如图， B 4, 3.-A △ABC纸片沿DE进行折叠，点A落在四边形BCED的外部点A的位置， 2 E ∴.∠4=∠5，∠3=∠2+∠DEC,∠A=∠A, :∠1+∠4+∠5=180°， .∠1+2∠4=180°， ∴.∠1=180°-2∠4， :∠3+∠DEC=180°， ∴.∠2=∠3-∠DEC=2∠3-180°， .1-∠2=180°-2∠4-2∠3+180°=360°-2∠4-2∠3=2∠A, .∠1-∠2=2×35°=70°， 故选：D, 3.(24-25八年级上云南文山期中)如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2=260°，则∠A的度数 为一· B 【答案】80 【详解】解：∠1+∠2+∠B+∠C=360°，∠1+∠2=260°， 2/140 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ÷∠B+∠C=100°， ÷∠A=180°-（∠B+∠C)=80°； 故答案为：80°. 4.(24-25八年级上广东江门期中)已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线 DE翻折，使点B落在点B处，DB,EB'分别交边AC于点F,G,若∠ADF=8O°，则∠EGC的度数 为 B 【答案】80° 【详解】解：~△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， 由折叠可知，∠BDE=∠B'DE,∠B'ED=∠BED, ∠ADF=80°， 2BDE=∠BDEI80°-80)=50 ÷∠B'ED=∠BED=180°-∠B-∠BDE=180°-60°-50°=70°， ∴∠CEG=180°-∠BED-∠B'ED=180°-70°-70°=40°， ∠EGC=180°-∠CEG-∠C=180°-40°-60°=80°. 故答案为：80°， 5.(24-25八年级上·天津期中)如图，把△ABC纸片沿MN折叠，使点C落在△ABC内部点C'处，若 ∠C=36°，则∠1+∠2等于 A M N 【答案】72 【详解】解：∠C=36°， ∠CMN+∠CNM=180°-∠C=144°， 3/140 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ~△CMN折叠得到△CMN, ÷∠CMN=∠CMN,∠CNM=∠CNMM, ÷∠CMN+∠C"M=∠CMN+∠CM=144°， ·∠1+∠2=(180°-∠CMN-∠C'MN)+(180°-∠CNM-∠C'NM)） =360°-（∠CMN+∠CNM)-(∠C'MN+∠CM) =360°-144°-144° =72°. 故答案为：72 题型二飞镖模型（或燕尾模型）（共3小题） 6.(24-25八年级上·湖北武汉·期中)如图，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点P,∠A=60°，∠D=10°， 则∠P为() B A.30° B.25 C.20° D.15° 【答案】B 【详解】解：如图，延长DC,交AB于点E. E B ∠ACD是△ACE的外角，∠A=60°， ·∠ACD=∠A+∠AEC=60°+∠AEC. ∠AEC是△BDE的外角，∠D=10°， ∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°， ∴.∠ACD=60°+∠ABD+10°=70°+∠ABD, ∴.∠ACD-∠ABD=70°， 4/140 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ~∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P, ∠ABP= 2∠ABD,∠ACP= ∠ACD, 2 '∠P+∠ACP+PFC=180°=∠A+∠ABP+∠AFB,∠AFB=∠PFC, ∴.∠P=∠A+∠ABP-∠ACP >60°+2∠ABD11 ∠ACD 2 60°∠ACD-∠ABD) =60-分0 =25°， 故选：B. 7.(24-25八年级上，安微六安期中)如图，AD交BC于点O,∠BAD的平分线与△OCD的外角∠OCE的 平分线交于点P,B=D,则下列结论：①PA0+∠PCE=90,②∠PAB=∠BcD:国 P=90+<D:国P=心号，共正疏的个数为() B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：：∠B+∠BAO+∠AOB=180°，D+∠BCD+∠COD=180°，∠AOB=∠COD,∠B=∠D, ∴.∠BAO=∠BCD, .'∠BCD+∠BCE=180°， ∴.∠BAO+∠BCE=180°， :AP平分∠BAO,CP平分∠BCE, ∠PAB=∠PA0=∠BA0,∠PCE=∠BCE, 2 2 PA0PcE-R10BcE-(B0+∠BcE)=90,故0正： ∠BAO=∠BCD, 5/140 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠PAB=∠BCD,故②正确： 2 延长AP交BC于点M, '∠APC=∠AMC+∠BCP,∠AMC=∠B+∠BAM, ∴.∠APC=∠BAM+∠B+∠BCP, :∠B=∠D,∠BAP+∠BCP=∠PAO+∠PCE=90°， ∴.∠APC=90°+∠D,故③正确； ·∠APC≠90+∠B,故④不正确： 综上，正确的结论有3个， 故选：C, B M D E 8.(24-25八年级上福建南平.期中)如图是某零件的平面图，其中∠B=∠C=30°，∠ADC=100°，则LA 的度数为 【答案】40 【详解】解：延长AD交BC于E, ∠ADC=100°，∠C=30° ∴DEC=∠ADC-∠C=70°， :∠B=30°， ∴.∠A=∠DEC-∠B=70°-30°=40°， 故答案为：40° 6/140 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 题型三8字模型（共4小题） 9.(23-24八年级上·安微六安期中)如图，AB∥CD,AD与BC相交于点O,∠A=60°，∠AOB=84°，求 ∠C的度数， B 【详解】解：∠A+∠B+∠AOB=180°，∠A=60°，∠AOB=84°， ·∠B=180°-∠AOB-∠A=36° AB∥CD, ∴∠C=∠B=36°. 10.(24-25八年级上安微安庆期中)如图，AB和CD相交于点O,∠C=∠COA,∠BDC=∠BOD,AP, DP分别平分∠CAO和∠BDC,若∠C+∠P+∠B=144°，则∠C=°. 【答案】84 【详解】解：如图， 0 :∠C=∠COA,∠BDC=∠BOD, B 又：∠COA=∠BOD, 7/140 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠C=∠COA=∠BDC=∠BOD, 设∠C=x,则∠COA=∠BDC=∠BOD=x, ∴.∠OAC=180°-2∠C =180°-2x, ∠B=180°-2x, :AP,DP分别平分∠CAO和∠BDC, ∠PAE=∠0AC=90°-x, 1 ODE∠BODy 2 .∠OED=180°-∠BOD-∠ODE 1 =180°-x-2 3 =180°- 2 ∴.∠P=∠OED-∠PAE 3 =180°-二x-(90°-x) 2 =90°-2 1 :∠C+☑P+∠B=144°， x+90°- 2x+180°-2x=144, 解得：x=84°， ∴.∠C=84°， 故答案为：84. 11.(24-25八年级上·安微安庆期中)(1)生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们 称之为“和谐8字形”，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系， (2)在图2中∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若 ∠D=42°，∠B=38°，那么∠P的度数是. D D B 54 图1 图2 8/140 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 ∠A+D=∠C+∠B 40°/40度 【详解】解：(1)：∠A+∠D+∠AOD=180°，∠C+∠B+∠B0C=180°， 又∠AOD=∠BOC, ∠A+∠D=∠B+∠C; (2)∠D=42°，∠B=38°， .∠O4D+42°=∠OCB+38°， ∴.∠OCB-∠OAD=4°， :AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线， A=∠04D,3=∠0CB, 2 2 又：A+∠D=∠3+P, 2P=A+∠D-320AD∠0cD+∠D()+42=40, 故答案为：(1)∠A+☑D=∠B+∠C,(2)40° 12.(22-23八年级上新疆鸟鲁木齐期中)(1)模型：如图1，AD,BC交于O点，求证： D+∠C=∠A+∠B. (2)模型应用：如图2，∠BAD和∠BCD的平分线交于点E. ①若∠D=20°，∠B=60°，则∠E的度数是？ ②直接写出∠E与∠D,∠B之间的数量关系是： (3)类比应用：如图3，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E.若∠D=m°，∠B=n°， (m<n),求∠E的度数.（用含有m,n的式子表示） x这 图1 图2 图3 【详解】解：(1)~∠A+∠B+∠AOB=180°=∠C+∠D+∠COD,∠AOB=∠COD, ∠D+∠C=∠A+∠B; (2)①由(1)得∠BAD+∠B=∠D+∠BCD,∠E+∠EAD=∠D+∠ECD, ∴∠BAD+60°=∠BCD+20°， ∠BCD-∠BAD=40°， 9/140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ~∠BAD和∠BCD的平分线交于点E, ∠ECD=∠BCD,∠EAD=I∠BAD, 2 2 ∠E+ ∠BAD=∠D+ ∠BCD, 2 DBCD-AD- ②∠E=B+∠D),理由如下： 同理得∠BAD+∠B=∠D+∠BCD,∠E+∠EAD=∠D+∠ECD,, ·∠BCD-∠BAD=∠B-∠D, ~∠BAD和∠BCD的平分线交于点E, A∠ECD=∠BCD,∠EAD=∠BAD, ∠E+∠BAD=∠D+∠BCD, 1 2 ∠E=D+∠BCD-BAD=∠D+∠B-∠D=(∠B+∠D): 2 2 (3)如图所示，延长BC交AD于F, ∠BFD=∠B+∠BAD, ∴.∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠D+∠BAD, ∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E, ☑BcD=∠B0B-BD,∠ED-∠EB-BD, '∠E+∠ECB=∠B+∠BAE, ·∠E=∠B+∠BAE-∠ECB =∠B+∠BAD-∠BCD 2 2 2<81 Bt,2B4D- 之之 ∠D=m°，∠B=n°， ∠E=nm 22 10/140 专题04 期中真题百练通关（十五大模型） 题型一 A字模型 题型二 飞镖模型（或燕尾模型） 题型三 8字模型 题型四 双内角平分线模型 题型五 内外角平分线模型 题型六 双外角平分线模型 题型七 高分线模型 题型八 一线三等角模型 题型九 手拉手模型 题型十 角含半角模型 题型十一 “倍长中线法”模型 题型十二 利用角平分线构造全等三角形模型 题型十三 角平分线+垂线构造等腰三角形模型 题型十四 利用“截长补短法”构造全等三角形 题型十五 将军饮马模型 题型一 A字模型 （共5小题） 1.（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，按图中虚线剪去，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将△纸片沿进行折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，将一个三角形剪去一个角后，，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为 ． 5 .（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 题型二 飞镖模型（或燕尾模型）（共3小题） 6.（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 7.（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，交于点，的平分线与的外角的平分线交于点，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 8.（24-25八年级上·福建南平·期中）如图是某零件的平面图，其中，则∠A的度数为 题型三 8字模型 （共4小题） 9.（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，，与相交于点O，，．求的度数． 10.（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 11.（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 12．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）模型：如图1，，交于点．求证：． （2）模型应用：如图2，和的平分线交于点． ①若，，则的度数是？ ②直接写出与，之间的数量关系是： （3）类比应用：如图3，的平分线与的平分线交于点．若，，（）．求的度数．（用含有，的式子表示） 题型四 双内角平分线模型（共7小题） 13.（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，平分平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，与的平分线交于点，则度数为（    ）    A． B． C． D． 15.（24-25八年级上·江西赣州·期中）已知：，分别平分，则 ． 16．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，与的平分线交于点I，则的度数是 °．    17．（24-25八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，，，，求的度数． 18．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作，交于点，交于点 (1)若，，则 ； (2)若，，请用和表示的度数； (3)若的周长为，，求的周长． 19．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）和相交于点，和相交于点，探究与、、的关系． 小明是这样做的： 解：如图（2）以点为端点作射线， 是的外角，， 同理， ， 即， 小英的思路是：如图延长交于点． (1)按小英的思路完成这一结论． (2)如图（4），中，、分别是与的角平分线，且、相交于点猜想与有怎样的关系，并加以证明． 题型五 内外角平分线模型 （共3小题） 20.（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 21.（24-25八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是多少？ 22.（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． 【探究发现】 （1）观察“规形图”，试探究规角与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，在中，的平分线交于点P，若，则 度，若，则 度（用含的式子表示）； （ii）如图③，平分平分，若的度数 ． 【延伸探究】 （3）如图④，在中，的平分线与的外角的平分线交于点P，过点C作于点H，若，求的度数； 【拓展应用】 （4）如图⑤，在中，，点I为三条内角平分线交点，连接．延长，与的外角的角平分线交于点P，与交于点Q．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数为 ． 题型六 双外角平分线模型（共6小题） 23.（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24.（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，分别是的外角平分线， (1)若，求的度数为 ． (2)若时，求的度数？ 25.（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为 ． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为 ． 26.（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 27．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图②，作的外角，的平分线交于点，试探索，，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点，若中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数． 28．（23-24八年级上·福建莆田·期中）阅读下面的材料，并解决问题．    (1)已知在中，，图的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 题型七 高分线模型（共7小题） 29．（23-24八年级上·甘肃定西·期中）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数．    30．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，、、分别为的高、角平分线和中线． (1)图中相等的角有 、 ，相等的线段有 ． (2)当，时，求的度数． 31．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，为钝角，是边上的高，是的平分线．    (1)画出边上的高； (2)若，，求的度数； (3)若，，，求高的长． 32．（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，是的平分线，E是上的一点，作交直线于点P（点P与B，C，D不重合）． (1)当E是的中点时，求证：； (2)当点E在上移动时，补全图形，直接写出与的数量关系：______． 33.（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图所示，为的高，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点M为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数． 34.（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 35．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，图2，已知在中，，，，为的平分线，且，是边上一动点（点不与点重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时（如图1所示），求证：； (2)若，，求的长； (3)当点的位置如图2所示时，过点分别作，，且，点在的延长线上，连接，与交于点，写出，与之间的数量关系． 题型八 一线三等角模型（共4小题） 36.（24-25八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 37.（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想 （1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究 （2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决 （3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 38．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）综合与实践： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知：在中．，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘对图2（，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．）进行了探究，他发现线段、、之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现． 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： （3）如图3，已知，是边上的高，．过的边、向外作正方形和正方形，延长交于点I，若，请直接写出的面积． （4）如图4，在中，是钝角，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 39．（24-25八年级上·广西玉林·期中）建立模型：（）如图，过线段上一点作，过分别作于，于，且，求证：； 类比迁移：（）如图，直线交两坐标轴于点、，满足． ①求的值； ②点在第二象限内，连接，若在直角中，是斜边，且，求点的坐标； ③如图，在②的条件下，在边上取一点，作，且，连接，求的大小． 题型九 手拉手模型（共5小题） 40.（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点在线段上，分别以线段，为边作和，，，． (1)如图①，若，写出一个未知角的度数：_____________； (2)如图②，连接，交于点，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，求证：线段为的平分线． 41．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）已知：如图1，中，，D、E分别是上的点，，不难发现的关系． (1)将绕A点旋转到图2位置时，写出的数量关系； (2)当时，将绕A点旋转到图3位置． ①猜想与有什么数量关系和位置关系？请就图3的情形进行证明； ②当点C、D、E在同一直线上时，直接写出__________． 42．（23-24八年级上·广东珠海·期中）【模型定义】 “手拉手模型”是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．如果把小等腰三角形的腰看作是小手，大等腰三角形的腰看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为　　；线段与之间的数量关系是　　． 【模型应用】 （2）如图2，，，求证：． 【拓展提高】 （3）如图3，两个等腰直角和中，，，，连接，，两线交于点P，则和的数量关系和位置关系是：　　． 【深化模型】 （4）如图4，C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分；⑦平分．恒成立的结论有　　．（选填序号） 43.（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长． 44.（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 题型十 角含半角模型（共4小题） 45.（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，正方形中，是上的点，是上的点，且．求证：． 46.（23-24八年级下·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 神奇的“半角模型” 初中数学中存在一些常见的模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问题的一种常用方法． 例题：如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且． 求证：． 证明：如图，延长至点G，使得． 四边形是正方形， （依据1），． ， ， ， （依据2），． ，， ， ，即， ． ，，， ． 拓展：如图，在四边形中，，， ，E，F分别是边上的点，且，． 求五边形的周长． 任务： (1)材料中的依据1是指________________，依据2是指________________． (2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线． (3)在材料“拓展”中，五边形的周长为________． 47.（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造 （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 48 .（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 题型十一 “倍长中线法”模型（共10小题） 49．（24-25八年级上·山西大同·期中）综合与实践 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在四边形中，，点E是的中点，且是的平分线，探究，，之间的数量关系． 张华同学解决此问题的方法如下：如图1，延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把，，转化在同一个三角形中． 问题解决： （1）请根据张华同学的思路完成解题过程； 实践应用： （2）如图2，在中，，B，D，C三点在一条直线上，且于点B，于点C．若，；点D是的中点，请直接写出的长． 50.（24-25八年级上·河北保定·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 51.（24-25八年级上·广东汕头·期中）【方法呈现】 如图：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为_________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 在中，，垂足为M，，点D是线段上一动点． （1）如图1，点C是延长线上一点，，连接，若，求的长； 【构建联系】 （2）如图2，在（1）的条件下，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 52.（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 53．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在探索问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图1在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至，使，连接．利用边角边证全等即可以将边转化到，在中利用三角形三边关系先可以求出的范围是______，就可以得到的取值范围是______． 我们定义：如图2，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【探索一】如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．请仿照上面材料中的方法，猜想图2中与的数理关系，并给予证明． 【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． 54.（23-24八年级上·浙江湖州·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程． 【问题解决】 （2）如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A．；B．；C．；D．． 直接写出所有正确选项的序号是 ． 【问题拓展】 （3）如图③，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 55.（24-25八年级上·河北石家庄·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 (1)直接写出图1中的取值范围：______． (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和的数量关系和位置关系，并加以证明． (4)如图4，第三问的其他条件不变，当是的高线，延长交于点，若，，直接写出三角形的面积． 56．（24-25八年级上·江西赣州·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____． 【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线． ①求证：；②若，，则五边形的面积为_____． 57．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）问题探究： 小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小圣证明的判定定理是______； (2)的取值范围是______； 方法运用： (3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：． 58．（24-25八年级上·青海西宁·期中）【阅读理解】八年级某同学遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决． （1）①小红证明的判定方法是_______； ②的取值范围是_______； 【问题解决】（2）如图2，是的中线，在上取一点F，连接并延长交于点E，使，求证：． 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是_______． ①；        ②； ③；        ④． 题型十二 利用角平分线构造全等三角形模型 （共5小题） 59.（22-23八年级上·福建泉州·期中）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点B，易证≌，则．其分析过程如下： 在和中， 平分 ≌（___________） 在括号内填写全等判定方法字母简称 （___________） 在括号内填写理由依据 【问题探究】 如图2，中，平分，垂足在的延长线上．证明：； 【拓展延伸】 如图3，在中，在线段上，向左侧作于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 60.（24-25八年级上·河北保定·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 61.（24-25八年级上·重庆·期中）（1）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】 如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，中，，，点在线段上，且，于，交于，请直接写出和之间的数量关系为　　． 62.（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________． VSDX   【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    63.（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【问题情景】数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图1，在四边形中，点C是边的中点，平分，，证明：． 【讨论思考】当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出各自的见解．大家集思广议，提出了一个截长法，如图2，在上截取，连接，先证明≌．再证明≌，既有，即． 【解决问题】小明同学根据大家的思路进行了如下的证明． 理由如下：如图2，在上取一点F，使，连接． ∵平分，∴， 在和中，， ∴， ∴，． （1）小明已经完成了大家讨论第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 【拓展探究】已知，如图3，在中，D、E分别为、上的点，且，相交于点F．若，为的角平分线． （2）如果，写出等于__________； （3）如图3，，为的角平分线，如果角，证明； （4）如图4．在中，延长的边到点G，平分交延长线于点D，若，，则__________． 题型十三 角平分线+垂线构造等腰三角形模型（共3小题） 64．（22-23八年级上·山东德州·期中）如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 65．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，D为内一点，平分，于点D．，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 66．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 题型十四 利用“截长补短法”构造全等三角形 （共4小题） 67.（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 68.（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 69.（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 70．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，若，，平分，求证：． ①如图2，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，小强同学从平分这个条件出发给出另一种解题思路：延长至点E，使，连接，将线段之间的数量关系转化为与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】 （2）李老师发现两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将问题进行变式，请你解答：如图4，在四边形中，E是的中点，若平分，，请你探究的数量关系并证明； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，和的平分线交于点P，M，N为上的点，且P为中点，若，，，求的值． 题型十五 将军饮马模型 （共4小题） 71．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 72．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为 ． 73．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，等边中，于，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 74．（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）已知：平面直角坐标系中，如图1，点，轴于点B，并且满足． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若点C为线段的中点，连并作，且，连交x轴于点E，求证: ． (3)如图3，点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以为一边作交y轴负半轴于点N，连，将沿直线翻折，点M的对应点为，点P是x轴上的一动点，当且的周长最小时，请直接写出的值. 一、填空题 1．如图，在中，，、分别平分外角、内角，以下结论：；；平分；；，其中正确的结论是 (填序号)． 2．为中边上的中线，若，则的取值范围是 ． 二、解答题 3．如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数． 4.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于x轴对称的图形； (2)在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是_____，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为_____； (3)在y轴上确定一点P，使的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） 5．（1）如图1，在中，点D，E在边上，平分，，，，求的度数； （2）如图2，若把（1）中的条件“”变成“点F为的延长线上一点，”，其他条件不变，求的度数； （3） 若把（1）中的条件“”变成“点F为AD的延长线上一点，”，其他条件不变，请画出相应的图形，并求出的度数． 6．如图，已知和都是等边三角形． (1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ． (2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． (3)深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (4)连接，求证：平分． 7．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 8．已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $