练习29 与圆有关的综合题(2)&练习30 与圆有关的综合题(3)-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

60=30(cm),∴.OB=√Of-BM=√602-30=30√3(cm), ∴.BC=2OB=60√3cm,∴.方案一所需的矩形铁皮的面积为 60X60√3=3600√3(cm).如题图2，EF=OM=ON= 60cm,∠MON=120°，在Rt△FOM中，，∠FOM=60°， ∴∠0M=30,∴.0F=2OM=号X60=30(cm,.FG= OF+OG=30+60=90(cm),∴.方案二所需的矩形铁皮的面 积为90×60=5400(cm2).,3600√3>5400，∴.方案二所用 的矩形铁皮面积较少. 2.(1)相等120解析：由题意可知，圆锥底面周长与其侧 面展开图的孤长相等.：您侧-2，=3,1=9，∴n=子× 360-号×360=120.(2)由圆锥的底面周长等于扇形B0B 的孤长，得2w-n=2rX180-360 πl (3)l=6, ,=3,n=360X3=180,圆锥的侧面展开后得到的扇形圆 6 心角为180，∠A'PC=号×180=90由题意可知，PA= PB=6m∴PC=合PB=3m在R△APC中，由勾股定理得 A'C=√PA+PC=√62+3=3√5(cm),∴.彩带长度的最 小值为2A'C=6√5cm B 练习28与圆有关的综合题(1) (1)BD1(或CE2)解析：由题意知AB=BC=CD= DE=1,AC=BD=CE=2,.线段AC的“平移关联图形” 可以是BD,也可以是CE,当线段AC的“平移关联图形”是 BD时，d=1;当线段AC的“平移关联图形”是CE时，d=2. (2)如图所示，△A'BC'即为所求. 作法：①在AB的延长线上截取BA'=BA;②再分别以点B 和点A'为圆心、BA'长为半径画弧交于点C';③连接BC和 A'C,则△BA'C即为所求.理由如下：，AB=A'B=BC= A'C,△ABC是等边三角形，.△BA'C'为等边三角形， .△ABC≌△BA'C'(SAS).平移距离为2，△BA'C'是 △ABC的一个“平移关联图形”，且满足d=2.(3),点D、 E、G的坐标分别是(-1,0)、(1,0)、(0,4)，∴.OD=OE=1, OG=4,∴.DE=2.对⊙G上的任意点F,连接DE、EF、FD所 形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d>3,已知DE= 2<3,∴.DF≥3或EF≥3.如图1，当DE在⊙G外，DF最小 时，OF最小，此时T最大，DF最小值为3，此时OF= √DF2-OD=2√2，GF≤OG-OF,即0<r≤4-2√2；如图 2,当DE在⊙G内，DF最小时，OF最小，此时r最小，即 GF≥OG+OF,∴.r≥4十2√2.综上所述，0<r≤4-2W2或r≥ 4+22. 52》 V G DO E F 图1 图2 练习29与圆有关的综合题(2) (1)2解析：设大正方形的边长为2，则S大正方形=(2m)2= 1 4m,S小E方影=豆×mX4=2m,∴大正方形面积是小正方形 面积的2倍.(2)PA?+PC=PB+PD解析：如图，设四 边形的4个顶点分别为E、F、G、H,对角线交点为O.,EGL FH,..a2=OF2+OE2,c2=0G2+OH2,d2=OE2+OH2,62= OF2+OG,∴.a2十c2=b+d严，结合图形变换可得，PA2十PC -PB2+PD2 (3)如图.，将△PDC绕点P逆时针旋转，.点D在以点P 为圆心、PD为半径的圆上运动.A为圆外一个定点，当 AD与⊙P相切时，∠DAP最大，此时，PD⊥AD,∴AD= AP2-PD,由(2)得，AE=DF.PE=8,PF=5,.AD= AP2-PD2=PE2+AE2-PF2-DF2=82-52=39,..AD= /39. R (4)如图1，将△BDC沿BC翻折，点D的对应点为点D1,将 △AEC沿AC翻折，E的对应点为E1,连接DE,∴.CD= CD1,CE=CE.如图2，再将△ABE沿AC方向平移，使点A 与点D1重合，得△B1D1E2.由(2)得，AE十BD=D1E2+BD1, .当E2、D、B三点共线时，AE十BD=DE2十BD最短.连 BE2..'AC+CD=5,BC++CE=8,..EE2=5,BE=8, .BE2=√BE+EE=√82+5=√89，∴AE+BD的最 小值为√89， B D DIA E 图1 图2 练习30与圆有关的综合题(3) (I)A,B2(或A,D多)解析：满足2一n=k一五 的k为正数，∴|2一y1|≠0，x2一≠0，…2≠M,x2≠ 1.点A(1,0)、B(3,1)、C(3,0)、D(3,-3),∴.只能是A与 B或A与D形成“斜关点”.当A与B形成“斜关点”时，1一0= 13一1，k=之；当A与D形成“斜关点”时，-3-0= 13-1,k=是.(2)设点E红，，由定义可知，小一01= 2|x-1|且|y-0|=2|x-3|,.|x-1|=|x-3|,∴.x-1= x-3(无解，舍去)或x-1=3-x,x=2,∴.|y-0|=2, y=士2，.点E的坐标是(2,2)或(2，一2).（3)如图，⊙O 的半径是4，作直线a满足与两轴夹45°角，则点D在直线 a上.在直线a右侧作直线b∥a且与a相距一个单位长度，设 直线b交⊙O于点P,连接OP,作PH⊥x轴于点H,交直线 a于点G,作PF⊥直线a于点F,设直线x=2交⊙O于点Q, 以点P、Q为圆心、1为半径作圆，∴.⊙P和⊙Q分别与直线 a和x=3相切.，MT=1,.点T在以M为圆心、1为半径的 圆上.k(T,D)≥l,点T需在直线a的右侧（可以在直线 a上).，lx2一x≠0，∴.点T需在x=3的左侧，则满足题意 的点M的横坐标应在点P和点Q之间（不与点Q重合）. ,PF=1=FG,OP=4,.OF=√/42-1=√15，设OH= GH=x,∴.OG=√x+x=√2x.OF=FG+OG,∴1+√2x= 5,x=3,一区，点P的横坐标为区-，3@.：点 2 Q的横坐标为2,2-，√3①≤m<2. H 4321O12345x 练习31与圆有关的综合题(4) (1)5解析：解方程x2一7x十12=0得x1=3,x2=4.,边长 AB=a,AD=b,其中a、b(a<b)分别是方程x2-7x+12=0 的两个根，.AB=3,AD=4.,四边形ABCD是矩形， ∠BAD=90°.在Rt△BAD中，AB=3,AD=4,∴.BD √AB+AD-√3+平=5。(2)解析：如图1，过点0 作OE⊥BD,垂足为E.,OD是∠BDC的平分线，在矩形 ABCD中，∠C=90°，AB=CD=3,AD=BC=4,∴.OC⊥CD, ∴.OE=OC,∴BD是⊙O的切线，即BD与⊙O相切.SAc Sam+Sao,2BD·0E+2CD·OC=号BC.CD, 50E+30C=4X3,解得0C号，=是÷1=号( 图1 (3)号巫解析：如图2，由折叠的性质得，△DOP2 5 △DOC,.DP=CD=AB,∠DPO=∠DCB=90°.在点O的 运动过程中，DP的长度和BD的长度是固定不变的.，BD DP≤BP,当B、P、D三点共线时，BP的长最短，即有最小 值，最小值为BD一DP,此时∠BPO=90°，过点P作PF⊥ AB,垂足为F,PT⊥BC,垂足为T,如图3，.四边形PFBT 是矩形，∴.BF=PT,PF=BT,由(1)知，BD=5,AB=CD=3, AD=BC=4,由(2)知，P0=0C=是=号÷1=号，B0 BC-0C-4-号-号，BP=BD-DP=BD-CD=5-3= 2:70:m-号mP0.3Pm-B20_2x2 BO 5 2 号BF=PT=号，AF=AB-BF=3-号-号.在 RAPT0中，T0=vP0-PT-V√（受）-（号）-0， BT=B0-T0=号-是=号.在R△AFP中，AP= +-√(g)+(了- 图2 图3 (4)当半圆O与BD相切时，此时半圆O与△ABD的边有 1个交点，即为切点，由(2)知，4=号；如图4，当点Q与点B重 合时，此时半圆O与△ABD的边有2个交点，此时BC为半圆 0的直径，0C=合BC=2,4=2÷1=2,当号<≤2时，半 圆O与BD有2个交点，即半圆O与△ABD的边有2个交 点；如图5，此时半圆O与BD有1个交点，与AB有1个交 点；如图6，当半圆O与AD相切时，此时半圆O与△ABD的 边有3个交点，设AD与半圆O的切点为M,连接OM,,OM= OC=AB=3,t=3÷1=3,∴.当2<t<3时，半圆O与BD 有1个交点，与AB有1个交点，即半圆O与△ABD的边有2 个交点；如图7，当半圆O经过点A时，此时半圆O与△ABD 的边有3个交点，连接OA,设OA=OC=x,由勾股定理得 3+(4-=,解得x-背0C-得4=葛÷1-号 如图8，当点O与点B重合时，此时点O停止运动，∴.OC= 《53九年级上册 练习29与圆有关的综合题(2) 【方法提示】这是一道通过图形变换解决问题的策略的探究，需再理解给出的操作情境的基础 上，运用其中蕴含的方法解决后续问题 (2024·连云港)【问题情境】 (1)如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小 正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方 形面积是小正方形面积的 倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略， 图1 图2 【操作实践】 (2)如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四条边α、b、c、d之间存在某种数量关系.小 昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图 4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系， 图3 图4 【探究应用】 (3)如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中 ∠DAP存在最大值.若PE=8,PF=5,当∠DAP最大时，求AD的长. 图5 图6 (4)如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD.若 AC+CD=5,BC+CE=8,求AE+BD的最小值 《29 提分练习 练习30与圆有关的综合题(3) 【方法提示】新定义型问题的本质是“旧瓶装新酒”，解答的关键是理解新定义的本质，将问题转 化为具体的数学问题，再依据相关数学知识解答 给出如下定义：点P(x1,y1)、点Q(x2,y2)是平面直角坐标系xOy中不同的两点，且x1≠x2, 若存在一个正数，使点PQ的坐标满足|y2一y=|x2一x|,则称P,Q为一对“斜关点”， 叫点P、Q的“斜关比”，记作k(P,Q).由定义可知，k(P,Q)=(Q,P).例如：若P(1,0), Q3,2,有2-0=}13-1，则点P.Q为一对“斜关点”，且“斜关比”为子 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)、B(3,1)、C(3,0)、D(3,一3). (1)在点A、B、C、D中，是一对“斜关点”的是 ,此两点的“斜关比”是 .（写出 一对即可) (2)若存在点E,使得点A、E是一对“斜关点”，点C、E也是一对“斜关点”，且k(A,E)=k(C, E)=2,求点E的坐标 (3)若⊙O的半径是4，M是⊙O上一点，所有满足MT=1的点T都与点D是一对“斜关点”， 且k(T,D)≥1.请直接写出点M的横坐标m的取值范围. OA 3C4 ----刀 30》