2.5直线与圆的位置关系(2) 导学案 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2.5直线与圆的位置关系(2) 【学习目标】 切线的判定方法 【学习过程】 活 动1过⊙O上一点P,画⊙O的切线.简述你的画法，并说明理由. 活动2如图，直线1是⊙O的切线，切点为D,那么直线1有哪些性质呢? 数学认识： 例1如图，P 是∠BAC平分线上一点，以P 为圆心的圆与AC 相切，切点为D. 求证：直线AB 与⊙P 相切. 例2如图1,△ABC 是⊙O的内接三角形，AB 是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC. (1)求证：直线AD是⊙O的切线； ( 2 ) 若AB不是⊙O的直径(如图2),求证：直线AD 是⊙O 的切线. 图 1 图2 课时练习 1. 如图，AB 是⊙0的直径，∠ABC=45°,AB=AC. 求证：AC 与⊙0相切. 2如图，△ABC中 ，AB=AC,0是BC 边的中点，⊙0与AB 相切于点D. 求证：AC 与⊙0相切. 课后作业 1.填空题： (1)以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，此三角形是 三角形； (2)如图，PA切⊙O于点A,PA=cm,PO=4cm,⊙O的半径为 cm; (3)如图， AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，图中相等的角有 2.选择题： (1)下列说法中，正确的是( ). A. 垂直于半径的直线是圆的切线 B. 圆的切线垂直于圆的半径 C. 切线垂直于半径 D. 经过切点的半径垂直于切线 (2)如图，AB为⊙O的直径，BC 为⊙O的切线，AC交⊙O于点D. 图中互余的角有( ). A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 (3)如图，AE 切⊙D于点E,AC=CD=DB=10,线段AE的长( ). A. B.15 C. D.20 3. 如图，OA=OB=13cm,AB=24cm,⊙O的直径为10 cm. 求证：AB 是⊙O 的切线. 4.如图，⊙O 的半径是3cm,B是⊙O外一点，OB交⊙O于点A,AB=OA, 动点P从点A出发， 以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止.当点P运 动多少时间时，BP 与⊙O 相切? 5.已知：如图，在△ABC中 ，CD是边AB上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA 、CB于点E 、F, G是AD的中点. 求证：GE 是⊙O 的切线. *6.如图，∠APB=60°, 半径为1的⊙O 切PB 于点P. 若将○O 沿射线PB滚动，当⊙O 滚动到与PA 相切时，圆心O移动的距离是多少? 课时练习答案 1. 证明：AC与⊙O相切 已知：AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AB=AC。 证明： ∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠BAC=180°-45°×2=90°，即BA⊥AC。 ∵AB是⊙O的直径，A为直径端点， ∴AC经过半径OA的外端A，且OA⊥AC， ∴AC与⊙O相切（切线的判定定理）。 2. 证明：AC与⊙O相切 已知：△ABC中，AB=AC，O是BC中点，⊙O与AB相切于D。 证明： 连接OD，过O作OE⊥AC于E。 ∵AB=AC，O是BC中点，∴AO平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。 ∵⊙O与AB相切于D，∴OD⊥AB，OD是⊙O半径。 ∵AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE=OD（角平分线性质）。 ∵OE=OD=半径，且OE⊥AC， ∴AC与⊙O相切（切线的判定定理）。 课后作业答案 一、填空题 1.直角 解析：以一边为直径的圆与另一边相切，则直径所对的圆周角为90°（切线性质），故三角形为直角三角形。 2. cm 解析：∵PA切⊙O于A，∴OA⊥PA（切线性质）。 在Rt△POA中，PO=4cm，PA=. cm， 由勾股定理得：OA==2 cm。 3.∠ADF=∠ABC，∠BDF=∠BAC（答案不唯一，合理即可） 解析：EF是切线，D为切点，AB是直径，∴∠ADB=90°，∠FDB=∠DAB（弦切角定理），∠FDA=∠DBA等。 二、选择题 1.D 解析：切线的性质：经过切点的半径垂直于切线（选项D正确）；A项缺少“经过半径外端”，B、C项未明确“经过切点”。 2.C 解析：AB是直径，BC是切线，∴∠ABC=90°，∠ADB=90°， 互余角对：∠BAC+∠ACB=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，共3对。 3.C 解析：连接DE，AE切⊙D于E，∴DE⊥AE，DE=10（半径），AD=AC+CD=20， 在Rt△ADE中，AE=.===。 3.证明：AB是⊙O的切线 已知：OA=OB=13cm，AB=24cm，⊙O直径为10cm（半径r=5cm）。 证明： 过O作OC⊥AB于C，∵OA=OB，∴AC=BC=12cm（等腰三角形三线合一）。 在Rt△OAC中，OC===5cm=r， ∴OC是⊙O半径，且OC⊥AB， ∴AB是⊙O的切线（切线判定定理）。 4.当点P运动2s或4s时，BP与⊙O相切 5.证明：GE是⊙O的切线 已知：CD是△ABC的高，以CD为直径的⊙O交CA于E，G是AD中点。 证明： 连接OE、OG，∵CD是直径，∴∠CED=90°（直径所对圆周角）。 ∵G是AD中点，O是CD中点，∴OG是△ACD的中位线，OG∥AC， ∴∠GOE=∠OEC（内错角），∠GOD=∠C（同位角）。 ∵OE=OC（半径），∴∠OEC=∠C，∴∠GOE=∠GOD。 在△GOE和△GOD中，OE=OD，∠GOE=∠GOD，OG=OG， ∴△GOE≌△GOD（SAS），∴∠GEO=∠GDO=90°（CD是高，∠GDO=90°）， ∴OE⊥GE，GE是⊙O的切线。 6.圆心O移动的距离是 学科网（北京）股份有限公司 $