1.1正数和负数讲义2025-2026学年沪科版（2024）数学七年级上册

1.1 正数和负数 学习目标 1. 理解正数、负数的意义，能正确识别正数和负数。 2. 能用正数和负数表示生活中具有相反意义的量。 3. 理解0的特殊性，知道0既不是正数也不是负数。 4. 掌握有理数的概念，并能对有理数进行正确分类。 5. 理解“非正数”“非负数”“非正整数”“非负整数”等术语的含义。 知识点讲解 1. 正负数的定义 · 正数：大于0的数叫做正数。正数前面可以加“+”号（通常省略不写）。 例如：1，2.5，，+10等都是正数。 · 负数：在正数前面加上“-”号的数叫做负数。负数前面的“-”号不能省略。 例如：-1，，，-20等都是负数。 2. 相反意义的量 · 定义：在现实生活中，存在许多具有相反意义的量，如“上升”与“下降”、“收入”与“支出”、“向东”与“向西”等。 · 表示方法：用正数和负数表示具有相反意义的量时，通常规定其中一个量为正，则另一个量为负。 例如：若规定收入为正，则支出为负；若规定上升为正，则下降为负。 3. 0的意义 · 0既不是正数，也不是负数。 · 0是正数和负数的分界点。 · 0在实际问题中可以表示“没有”“基准”“起点”等含义（如温度0℃，海拔0米）。 4. 有理数的定义 · 整数和分数统称为有理数。 · 整数：包括正整数、0、负整数。例如：1，2，0，-1，-3等。 · 分数：包括正分数和负分数。例如：，，0.2，等。 （注意：有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此它们都是有理数。） 5. 有理数的分类 · 按定义分类： 按定义分类：有理数 按性质（正负）分类：有理数 6. 带“非”字的有理数 · 非正数：指不是正数的数，包括负数和0。即：非正数 = 负数 +0。 · 非负数：指不是负数的数，包括正数和0。即：非负数 = 正数 +0。 · 非正整数：指不是正整数的整数，包括负整数和0。即：非正整数 = 负整数 +0。 · 非负整数：指不是负整数的整数，包括正整数和0（也称为自然数）。即：非负整数 = 正整数 +0。 例题解析 例1：用正负数表示相反意义的量 如果向东走5米记作+5米，那么： （1）向西走8米记作什么？ （2）-3米表示什么意义？ （3）原地不动记作什么？ 解析： （1）规定向东为正，则向西为负。向西走8米记作-8米。 （2）-3米中的“-”表示与规定的正方向（向东）相反，因此-3米表示向西走3米。 （3）原地不动既没有向东也没有向西，用0表示，记作0米。 例2：判断正负数与有理数 下列各数：-5，+3，0，，，，100，。 （1）哪些是正数？哪些是负数？ （2）哪些是有理数？ 解析： （1）正数是大于0的数，有：+3，，100。 负数是小于0的数，有-5，，。 （2）有理数包括整数和分数。 整数有：-5，+3，0，100； 分数有：，，； 因此有理数为：-5，+3，0，，，100，。 例3：有理数的分类 将下列各数填入相应的集合内： -2，0，，，5，，102，-1。 （1）正整数集合：{ ... } （2）负分数集合：{ ... } （3）非负数集合：{ ... } 解析： （1）正整数是大于0的整数，有：5，102。 正整数集合： （2）负分数是小于0的分数，有：，。 负分数集合： （3）非负数包括正数和0，有：0，，5，102。 非负数集合： 例4：“非”字类有理数的识别 下列说法正确的是（ ） A. 非负数就是正数 B. 非正整数就是负整数 C. 0是最小的非负整数 D. 有理数包括正有理数和负有理数 解析： A. 非负数包括正数和0，故A错误。 B. 非正整数包括负整数和0，故B错误。 C. 非负整数包括正整数和0，其中0是最小的，故C正确。 D. 有理数包括正有理数、0和负有理数，故D错误。 答案：C 巩固练习 练习1：用正负数表示下列各量 （1）若盈利100元记作+100元，则亏损50元记作______元。 （2）若海平面以上300米记作+300米，则海平面以下50米记作______米。 （3）若气温上升5℃记作+5℃，则气温下降3℃记作______℃。 答案与解析： （1）-50。盈利和亏损是相反意义的量，盈利记为正，则亏损记为负。 （2）-50。海平面以上和以下是相反意义的量，以上记为正，则以下记为负。 （3）-3。气温上升和下降是相反意义的量，上升记为正，则下降记为负。 练习2：判断对错（对的打“√”，错的打“×”） （1）0是正数。（ ） （2）是负数，也是分数。（ ） （3）所有的整数都是有理数。（ ） （4）非负整数不包括0。（ ） 答案与解析： （1）×。0既不是正数也不是负数。 （2）√。带有负号，是负数；同时它是分数形式，是分数。 （3）√。有理数包括整数和分数，所以所有整数都是有理数。 （4）×。非负整数包括正整数和0。 练习3：将下列各数填入相应的集合圈中 -3，4.2，，0，7，，，-10。 正有理数集合：{ ... } 负整数集合：{ ... } 分数集合：{ ... } 答案与解析： 正有理数集合： （解析：正有理数包括正整数和正分数。4.2是正分数，7是正整数，是正分数。） 负整数集合： （解析：负整数是小于0的整数。-3和-10符合。） 分数集合： （解析：分数包括正分数和负分数。，，，都是分数。） 练习4：下列各数中，哪些是有理数？ ，，3.14，-5，，0，。 答案与解析： 有理数有：，3.14，-5，0，。 解析： · 是无限循环小数，可化为分数，是有理数。 · 是无限不循环小数，不是有理数。 · 3.14是有限小数，可化为分数，是有理数。 · -5是整数，是有理数。 · 中是无限不循环小数，所以不是有理数。 · 0是整数，是有理数。 · 是分数，是有理数。） 练习5：选择：下列说法正确的是（ ） A. 最小的正整数是0 B. 最大的负整数是-1 C. 有理数就是正数和负数 D. 非负数就是指正数 答案与解析： B A. 错误。最小的正整数是1，0不是正整数。 B. 正确。最大的负整数是-1。 C. 错误。有理数包括正数、0和负数。 D. 错误。非负数包括正数和0。 练习6：某仓库一周内进出货物的记录如下（运进为正，运出为负，单位：吨）： +50，-30，+40，-25，-45，+35，-10。 （1）本周内仓库的货物比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ （2）若每吨货物的运费为10元，那么本周的总运费是多少元？ 答案与解析： （1）计算一周内进出货物的总和： 结果为正数，说明本周内仓库的货物比原来增加了，增加了15吨。 （2）计算总运费，需要先求总运输量（即所有进出货物的绝对值之和）： 总运费 = 总运输量 × 每吨运费（元）。 答案：（1）增加了，增加了15吨；（2）2350元。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 正数和负数 学习目标 1. 理解正数、负数的意义，能正确识别正数和负数。 2. 能用正数和负数表示生活中具有相反意义的量。 3. 理解0的特殊性，知道0既不是正数也不是负数。 4. 掌握有理数的概念，并能对有理数进行正确分类。 5. 理解“非正数”“非负数”“非正整数”“非负整数”等术语的含义。 知识点讲解 1. 正负数的定义 · 正数：大于0的数叫做正数。正数前面可以加“+”号（通常省略不写）。 例如：1，2.5，，+10等都是正数。 · 负数：在正数前面加上“-”号的数叫做负数。负数前面的“-”号不能省略。 例如：-1，，，-20等都是负数。 2. 相反意义的量 · 定义：在现实生活中，存在许多具有相反意义的量，如“上升”与“下降”、“收入”与“支出”、“向东”与“向西”等。 · 表示方法：用正数和负数表示具有相反意义的量时，通常规定其中一个量为正，则另一个量为负。 例如：若规定收入为正，则支出为负；若规定上升为正，则下降为负。 3. 0的意义 · 0既不是正数，也不是负数。 · 0是正数和负数的分界点。 · 0在实际问题中可以表示“没有”“基准”“起点”等含义（如温度0℃，海拔0米）。 4. 有理数的定义 · 整数和分数统称为有理数。 · 整数：包括正整数、0、负整数。例如：1，2，0，-1，-3等。 · 分数：包括正分数和负分数。例如：，，0.2，等。 （注意：有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此它们都是有理数。） 5. 有理数的分类 · 按定义分类： 按定义分类：有理数 按性质（正负）分类：有理数 6. 带“非”字的有理数 · 非正数：指不是正数的数，包括负数和0。即：非正数 = 负数 +0。 · 非负数：指不是负数的数，包括正数和0。即：非负数 = 正数 +0。 · 非正整数：指不是正整数的整数，包括负整数和0。即：非正整数 = 负整数 +0。 · 非负整数：指不是负整数的整数，包括正整数和0（也称为自然数）。即：非负整数 = 正整数 +0。 例题解析 例1：用正负数表示相反意义的量 如果向东走5米记作+5米，那么： （1）向西走8米记作什么？ （2）-3米表示什么意义？ （3）原地不动记作什么？ 例2：判断正负数与有理数 下列各数：-5，+3，0，，，，100，。 （1）哪些是正数？哪些是负数？ （2）哪些是有理数？ 例3：有理数的分类 将下列各数填入相应的集合内： -2，0，，，5，，102，-1。 （1）正整数集合：{ ... } （2）负分数集合：{ ... } （3）非负数集合：{ ... } 例4：“非”字类有理数的识别 下列说法正确的是（ ） A. 非负数就是正数 B. 非正整数就是负整数 C. 0是最小的非负整数 D. 有理数包括正有理数和负有理数 巩固练习 练习1：用正负数表示下列各量 （1）若盈利100元记作+100元，则亏损50元记作______元。 （2）若海平面以上300米记作+300米，则海平面以下50米记作______米。 （3）若气温上升5℃记作+5℃，则气温下降3℃记作______℃。 练习2：判断对错（对的打“√”，错的打“×”） （1）0是正数。（ ） （2）是负数，也是分数。（ ） （3）所有的整数都是有理数。（ ） （4）非负整数不包括0。（ ） （3）√。有理数包括整数和分数，所以所有整数都是有理数。 （4）×。非负整数包括正整数和0。 练习3：将下列各数填入相应的集合圈中 -3，4.2，，0，7，，，-10。 正有理数集合：{ ... } 负整数集合：{ ... } 分数集合：{ ... } 练习4：下列各数中，哪些是有理数？ ，，3.14，-5，，0，。 练习5：选择：下列说法正确的是（ ） A. 最小的正整数是0 B. 最大的负整数是-1 C. 有理数就是正数和负数 D. 非负数就是指正数 练习6：某仓库一周内进出货物的记录如下（运进为正，运出为负，单位：吨）： +50，-30，+40，-25，-45，+35，-10。 （1）本周内仓库的货物比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ （2）若每吨货物的运费为10元，那么本周的总运费是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $