第四单元 平行与相交（知识清单）数学青岛版四年级上册

第四单元 平行与相交 单元知识清单讲义 知识点一：同一平面内两条直线的位置关系 1.核心分类：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种——平行和相交（垂直是相交的特殊情况），不存在“既不平行也不相交”的情况（异面直线不属于小学阶段研究范畴）。 2.概念定义： 平行：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。例如：黑板相对的两条边、铁轨的两条轨道，它们无论延长多长都不会相交，属于平行关系。 相交：在同一平面内，两条直线有且只有一个公共点（交点），则这两条直线相交。例如：黑板相邻的两条边、十字路口的两条道路，它们会交于一个点，属于相交关系。 3.教材实例：通过观察交通道路图、门窗边框等生活场景，直观区分平行与相交现象，明确“同一平面”是判断的前提（如教室墙面与地面的交线，分别在两个平面，不讨论平行或相交）。 知识点二：垂直的定义与特征 1.垂直的概念：当两条直线相交成直角（90°） 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 2.关键特征： 垂直是“相交”的特殊情况，必须满足“相交”且“夹角为直角”两个条件，缺一不可。 可通过三角尺上的直角或量角器验证两条相交直线是否垂直：将三角尺的直角顶点与交点重合，一条直角边与其中一条直线重合，若另一条直线与另一条直角边完全重合，则两条直线垂直。 3.生活实例：课本的邻边、课桌的邻边、墙角的两条棱，它们相交且夹角为直角，属于垂直关系；而斜拉桥的斜拉索与桥面，若夹角不是直角，则只是相交而非垂直。 知识点三：画平行线的方法（借助工具） 1.常用工具：直尺和三角尺（或两把三角尺）。 2.步骤详解： a.固定直尺：将直尺的一条边与已知直线重合，确保直尺位置不动。 b.贴合三角尺：把三角尺的一条直角边紧贴在直尺的另一条边上，使三角尺与直尺完全重合。 c.平移三角尺：按住直尺不动，沿直尺边缘平移三角尺到指定位置（如过直线外一点画平行线）。 d.画出平行线：沿着三角尺与直尺贴合的直角边，画出一条直线，这条直线就是已知直线的平行线。 3.注意事项：平移过程中三角尺不能倾斜，否则画出的直线与已知直线不平行；过直线外一点只能画一条已知直线的平行线。 知识点四：画垂线的方法（借助工具） 1.过直线上一点画垂线： a.重合工具：将三角尺的一条直角边与已知直线重合，使直角顶点与直线上的已知点完全重合。 b.画出垂线：沿着三角尺的另一条直角边，从已知点出发画出一条直线，这条直线就是已知直线的垂线，最后可标出直角符号。 2.过直线外一点画垂线： a.贴合直线：将三角尺的一条直角边与已知直线重合，确保直角边与直线完全贴合。 b.对准点：移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点。 c.画出垂线：沿着经过已知点的直角边画出直线，即为已知直线的垂线，同样可标出直角符号。 3.验证方法：画完后用三角尺的直角再次验证，确保两条直线夹角为90°；过一点（无论在直线上还是直线外）只能画一条已知直线的垂线。 知识点五：两点间线段最短与两点间距离 1.核心结论：连接两点的所有线中（包括线段、曲线、折线等），线段最短，这条线段的长度叫作这两点间的距离。 2.教材验证：通过在两点间画不同的线（如曲线、折线、线段），用直尺测量长度并比较，发现线段长度最短；例如：从教室门口到讲台，走直线（线段）比走曲线或绕路（折线）更近。 3.实际应用：修路时尽量修直道、架设电线时拉直线段，都是利用“两点间线段最短”的原理，以节省材料和距离。 知识点六：点到直线的距离 1.概念定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到这条直线的距离。 2.关键性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，但垂直线段最短（即点到直线的距离是所有线段中最短的）。 3.测量方法： a.先过直线外一点画出这条直线的垂线，确定垂线段。 b.用直尺测量垂线段的长度，即为该点到直线的距离。 4.生活实例：从教室窗户（直线外一点）到黑板边缘（直线），垂直距离最短；工人师傅用铅锤检测墙面是否垂直地面，铅锤线（垂线段）的长度就是墙面某点到地面的距离。 知识点七：平行与垂直的实际应用 1.平行的应用： 建筑领域：楼梯的扶手与台阶边缘平行、地砖的对边平行，确保结构整齐稳定。 交通领域：双向车道的两条边线平行，避免车辆行驶中偏离路线。 2.垂直的应用： 建筑领域：墙与地面垂直、柱子与地面垂直，保证建筑稳固不倾斜。 工具设计：三角尺的两条直角边垂直、方桌的邻边垂直，方便测量和绘图。 3.综合应用：长方形（如课本）的对边互相平行，邻边互相垂直；正方形（如地砖）的对边平行、邻边垂直，体现了平行与垂直的结合，可通过这些图形巩固两种位置关系的判断。 题型一：平行概念的判断 【例1】如图，两个不同大小的正方形叠放在一起。你能找到( )组互相平行的线。 【练1】在下图中，互相平行的两条直线是( )和( )；互相垂直的两条直线是( )和( )，还有( )和( )。 题型二：平行性质的应用 【例2】如图所示，a∥b且a⊥d，则b与d的位置关系为( )；若∠1＝35°，则∠2＝( )，∠3＝( )。 【练2】在下图中（填序号），从A点到①号线最短的线是( )号线，( )号线和( )号线互相平行，( )号线和( )号线互相垂直。∠1＝( )°。 题型三：画平行线 【例3】过点A画已知直线的平行线。 【练3】（1）量一量：（    ）°。 （2）长江路经过光明新村，且与崇海路平行，请画出长江路并标上名称。 （3）如果亮亮想尽快走到崇海路，应该怎么走？在图中画一画，并写出这样画的理由。 （4）如果亮亮想直接去喷泉广场，怎样走才能尽快到达？在图上画一画。 题型四：垂直概念的判断 【例4】如图中有( )组平行线，( )组垂线。 【练4】如图中，最短的线段是( )，( )互相平行，( )互相垂直。（都填序号） 题型五：垂直特征的应用 【例5】如图，点A到BC边的距离是( )厘米，A、B两点间的距离是( )厘米。 【练5】两条直线相交组成4个角，如果其中一个角是90°，那么其他三个角都是( )°，这两条直线( )。如图，∠1＝30°算一算：∠2＝( )°，∠3＝( )°。 题型六：画垂线 【例6】量一量∠1＝（    ）。再在射线b上画两条垂线，画出的两条垂线之间的位置关系是（    ）。 【练6】一位探险家得到了一张藏宝图，可是上面只标了A、B、C三个点（如下图）。在藏宝图的夹层里有一张羊皮，上面写着：“有一条笔直的河流过A、B点，宝藏在C点的右上方，藏宝地与C点的距离等于C点到河流的最短距离，而且藏宝地与C点的连线与河流平行。”根据上面的描述，请画出并标出“C点到河流的最短距离”、“过点C与河流平行的直线”、“藏宝地的具体位置D”。 题型七：两点间线段最短与两点间距离的计算 【例7】（1）“村村通工程”施工队计划从王家庄修一条柏油路通向李家庄，请你画出最近的路。 （2）如果从李家庄修一条柏油路通向国道。怎样修最近？请你画出这条路，这样修的原因是（    ）。 【练7】小猫要从家到菜园、公路各修一条路，请你帮小猫设计一下，怎么修最近？分别画在图上并说明理由。 小猫家到菜园这样画路线的理由：（    ）。 小猫家到公路这样画路线的理由：（    ）。 题型八：点到直线的距离 【例8】某公园中由广场到秀园路修了A、B两条路，但人们总喜欢在草坪中走出C这样一条路。你能利用所学知识解释产生这一现象的原因吗？如果你是草坪管理员，你会给公园设计师提什么建议？ 【练8】在离豆豆5米处，放了一排苹果，他可以最快拿到哪一个？圈起来，并说一说为什么。 一、填空题 1．如果两条直线之间的距离处处相等，则这两条直线( )。 2．下面的图中，线段( )与线段( )互相平行，线段( )与线段( )互相垂直。 3．过一点可以画( )条直线，在两条平行线之间可以画( )条垂直线段。 4．下图中有( )组平行线，( )组垂线。 5．在学习平行与相交时，四年级的王红在纸上画了3条直线，第二条直线和第三条直线都与第一条直线相交成直角，那么第二条直线和第三条直线的位置关系是( )。 6．一张白纸上有三条直线，已知直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，且直线a与直线b之间的距离为3cm，直线b与直线c之间的距离为5cm，那么直线a与直线c之间的距离可能为( )cm，也可能为( )cm。 7．数一数，填一填。 (1)图中有( )个锐角，( )个直角，( )个钝角。 (2)图中有( )组线段互相平行，有( )组线段互相垂直。 8．图中，点A到直线BC的距离是( )cm，点C到直线AD的距离是( )cm，A、B两点的距离是( )cm。 二、判断题 9．两条直线相交，有一夹角为90°，这两条直线一定垂直。( ) 10．如果两条直线相交，那么这两条直线一定互相垂直。( ) 11．把一张长方形的纸连续对折两次，折痕间的关系一定是互相垂直。( ) 12．一张正方形的纸对折两次后，两条折痕可能互相垂直。( ) 13．如图，直线a是直线b的垂线。( )    三、选择题 14．下面说法中正确的是（    ）。 A．同一平面内，两条直线的位置关系是：平行、相交、垂直。 B．把一张长方形纸朝一个方向对折三次展开后，所有的折痕都互相平行。 C．把线段的一个端点向一方延长100米，得到一条射线。 15．如图，能表示在同一平面内两条直线位置关系的是（    ）。 A． B． C． 16．有a、b、c三条直线，直线a与直线b都和直线c相交成直角，则直线a与直线b（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．不平行也不垂直 D．无法确定 17．数学家韦恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法。他作出一系列简单闭曲线，将平面分为许多间隔，利用这种图表表达概念间的关系。今天我们把这种逻辑图称作“韦恩图”。同学们，你觉得下列哪一种韦恩图最能表示本学期学习的平面内两条直线相交、平行、垂直三者的关系（    ）。 A． B． C． 18．在一条公路上有四条小路通往李老师家，它们的长度分别是320米、208米、140米、410米，其中有一条小路是与公路互相垂直的，那么这条小路的长度是（    ）米。 A．320 B．208 C．140 D．410 四、作图题 19．如图，有一块三角形地，如果从点A出发，到对边BC修一条小路，怎样修路最短？请在下图中画出来。 20．请过A点，画出已知直线的平行线。 五、解答题 21．老旧小区改造工程正在进行中。 （1）A、B两个小区需要从水管管道分别接一条水管到各自的小区，怎样接最省材料？请你画一画并说明理由。 （2）画出的这两条管道在同一平面内的位置关系是（    ）。 22．兰兰在泳池B处游泳，突然感觉身体不舒服，急忙向妈妈呼救。 （1）画出妈妈从A点出发帮助兰兰的最短路线。 这样画的理由是__________________________________________________________________。 （2）画出妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线。 这样画的理由是__________________________________________________________________。 23．明明家想修一条从家到菜地的路，再修一条从小河边到菜地的水渠，要使修的路和水渠都最短，应该如何修？请你在图中分别画出来，并说明理由。 这样修路的理由是：__________________________________________________________________ 这样修水渠的理由是：__________________________________________________________________ 24．画一画。 （1）①画直线a和直线b互相垂直；②画射线c和直线b互相平行；③过射线c的端点M画直线a的平行线d；④画直线l与a、b、c、d都相交。 （2）在括号里填上它们的位置关系： 直线a和射线c（    ），直线b和直线d（    ）。 25．运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，小刚在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相（    ）。（填“垂直”或“平行”） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 平行与相交 单元知识清单讲义 知识点一：同一平面内两条直线的位置关系 1.核心分类：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种——平行和相交（垂直是相交的特殊情况），不存在“既不平行也不相交”的情况（异面直线不属于小学阶段研究范畴）。 2.概念定义： 平行：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。例如：黑板相对的两条边、铁轨的两条轨道，它们无论延长多长都不会相交，属于平行关系。 相交：在同一平面内，两条直线有且只有一个公共点（交点），则这两条直线相交。例如：黑板相邻的两条边、十字路口的两条道路，它们会交于一个点，属于相交关系。 3.教材实例：通过观察交通道路图、门窗边框等生活场景，直观区分平行与相交现象，明确“同一平面”是判断的前提（如教室墙面与地面的交线，分别在两个平面，不讨论平行或相交）。 知识点二：垂直的定义与特征 1.垂直的概念：当两条直线相交成直角（90°） 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 2.关键特征： 垂直是“相交”的特殊情况，必须满足“相交”且“夹角为直角”两个条件，缺一不可。 可通过三角尺上的直角或量角器验证两条相交直线是否垂直：将三角尺的直角顶点与交点重合，一条直角边与其中一条直线重合，若另一条直线与另一条直角边完全重合，则两条直线垂直。 3.生活实例：课本的邻边、课桌的邻边、墙角的两条棱，它们相交且夹角为直角，属于垂直关系；而斜拉桥的斜拉索与桥面，若夹角不是直角，则只是相交而非垂直。 知识点三：画平行线的方法（借助工具） 1.常用工具：直尺和三角尺（或两把三角尺）。 2.步骤详解： a.固定直尺：将直尺的一条边与已知直线重合，确保直尺位置不动。 b.贴合三角尺：把三角尺的一条直角边紧贴在直尺的另一条边上，使三角尺与直尺完全重合。 c.平移三角尺：按住直尺不动，沿直尺边缘平移三角尺到指定位置（如过直线外一点画平行线）。 d.画出平行线：沿着三角尺与直尺贴合的直角边，画出一条直线，这条直线就是已知直线的平行线。 3.注意事项：平移过程中三角尺不能倾斜，否则画出的直线与已知直线不平行；过直线外一点只能画一条已知直线的平行线。 知识点四：画垂线的方法（借助工具） 1.过直线上一点画垂线： a.重合工具：将三角尺的一条直角边与已知直线重合，使直角顶点与直线上的已知点完全重合。 b.画出垂线：沿着三角尺的另一条直角边，从已知点出发画出一条直线，这条直线就是已知直线的垂线，最后可标出直角符号。 2.过直线外一点画垂线： a.贴合直线：将三角尺的一条直角边与已知直线重合，确保直角边与直线完全贴合。 b.对准点：移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点。 c.画出垂线：沿着经过已知点的直角边画出直线，即为已知直线的垂线，同样可标出直角符号。 3.验证方法：画完后用三角尺的直角再次验证，确保两条直线夹角为90°；过一点（无论在直线上还是直线外）只能画一条已知直线的垂线。 知识点五：两点间线段最短与两点间距离 1.核心结论：连接两点的所有线中（包括线段、曲线、折线等），线段最短，这条线段的长度叫作这两点间的距离。 2.教材验证：通过在两点间画不同的线（如曲线、折线、线段），用直尺测量长度并比较，发现线段长度最短；例如：从教室门口到讲台，走直线（线段）比走曲线或绕路（折线）更近。 3.实际应用：修路时尽量修直道、架设电线时拉直线段，都是利用“两点间线段最短”的原理，以节省材料和距离。 知识点六：点到直线的距离 1.概念定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到这条直线的距离。 2.关键性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，但垂直线段最短（即点到直线的距离是所有线段中最短的）。 3.测量方法： a.先过直线外一点画出这条直线的垂线，确定垂线段。 b.用直尺测量垂线段的长度，即为该点到直线的距离。 4.生活实例：从教室窗户（直线外一点）到黑板边缘（直线），垂直距离最短；工人师傅用铅锤检测墙面是否垂直地面，铅锤线（垂线段）的长度就是墙面某点到地面的距离。 知识点七：平行与垂直的实际应用 1.平行的应用： 建筑领域：楼梯的扶手与台阶边缘平行、地砖的对边平行，确保结构整齐稳定。 交通领域：双向车道的两条边线平行，避免车辆行驶中偏离路线。 2.垂直的应用： 建筑领域：墙与地面垂直、柱子与地面垂直，保证建筑稳固不倾斜。 工具设计：三角尺的两条直角边垂直、方桌的邻边垂直，方便测量和绘图。 3.综合应用：长方形（如课本）的对边互相平行，邻边互相垂直；正方形（如地砖）的对边平行、邻边垂直，体现了平行与垂直的结合，可通过这些图形巩固两种位置关系的判断。 题型一：平行概念的判断 【例1】如图，两个不同大小的正方形叠放在一起。你能找到( )组互相平行的线。 答案：4 分析：根据平行的含义：同一平面内，不相交的两条直线，叫作平行线；我们可以在图中将各个顶点标上字母，然后找出互相平行的线，据此解答即可。 详解：根据分析可得：如下示意图 如上图，两个不同大小的正方形叠放在一起，能找到平行线AB与DC、AD与BC、EF与GH、EH与FG，共计4组互相平行的线。 所以能找到4组互相平行的线。 【练1】在下图中，互相平行的两条直线是( )和( )；互相垂直的两条直线是( )和( )，还有( )和( )。 答案： c d a c a d 分析：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；从图中可见，c与d都是水平线，所以它们互相平行；a分别与水平的c、d垂直，因此 a和c、a和d互相垂直。据此解题。 详解：在下图中，互相平行的两条直线是c和d；互相垂直的两条直线是a和c，还有a和d。 题型二：平行性质的应用 【例2】如图所示，a∥b且a⊥d，则b与d的位置关系为( )；若∠1＝35°，则∠2＝( )，∠3＝( )。 答案： 互相垂直 145°/145度 35°/35度 分析：根据平行和垂直的性质，如果一条直线与另一条直线平行，且第一条直线又与第三条直线垂直，则第二条直线也与第三条直线垂直；再根据平角是180°，据图示可知∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，则∠2＝180°－∠1，∠3＝180°－∠2，据此解答。 详解：根据分析可知，a∥b且a⊥d，则b与d的位置关系为互相垂直； ∠2＝180°－∠1 ＝180°－35° ＝145° ∠3＝180°－∠2 ＝180°－145° ＝35° 则∠2＝145°，∠3＝35°。 【练2】在下图中（填序号），从A点到①号线最短的线是( )号线，( )号线和( )号线互相平行，( )号线和( )号线互相垂直。∠1＝( )°。 答案： ④ ① ② ④ ①/② 35 分析：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。在同一平面内，两条永不相交的直线叫做平行线，如果同一平面内的这样的两条直线不平行，说明它们一定相交。两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。∠1与55°的角之间是直角，所以∠1与55°的角的度数和是90°，用90°减去55°即可求出∠1的度数。 详解：∠1＝90°－55°＝35° 从A点到①号线最短的线是④号线，①号线和②号线互相平行，④号线和①（或②）号线互相垂直。∠1＝35°。 题型三：画平行线 【例3】过点A画已知直线的平行线。 答案：图见详解 分析：画平行线：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可。 详解：如图： 【练3】（1）量一量：（    ）°。 （2）长江路经过光明新村，且与崇海路平行，请画出长江路并标上名称。 （3）如果亮亮想尽快走到崇海路，应该怎么走？在图中画一画，并写出这样画的理由。 （4）如果亮亮想直接去喷泉广场，怎样走才能尽快到达？在图上画一画。 答案：（1）48 （2）见详解 （3）图见详解；理由是点到直线的距离，垂线段最短 （4）见详解 分析：（1）用量角器量角的方法：将量角器的中心点对准角的顶点，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对应的刻度就是这个角的度数，据此量出∠1的度数即可。 （2）长江路经过光明新村，且与崇海路平行，那么过光明新村作与崇海路的平行线就是长江路。 （3）点到直线的距离，垂线段最短，如果亮亮想尽快走到崇海路，那么就过亮亮所在的点作崇海路的垂线段，这条垂线段就是亮亮到崇海路的最近的路。 （4）两点间的所有连线中，线段最短，过亮亮和喷泉广场两点之间画一条线段，亮亮走这条路就能尽快到达喷泉广场。 详解：（1）∠1＝48°。 （2）过光明新村，且与崇海路平行的长江路如下图所示。 （3）如果亮亮想尽快走到崇海路，那么这条路就是过亮亮所在点到崇海路的垂线段，因为点到直线的距离，垂线短最短，图如下所示。 （4）亮亮去喷泉广场的最近的路如下图所示。 题型四：垂直概念的判断 【例4】如图中有( )组平行线，( )组垂线。 答案： 4 6 分析：观察上图可知，梯形的上底与下底是1组平行线，梯形的三条高互相平行，又有3组平行线，所以共有1＋3＝4（组）平行线，梯形的每条高与两个底有2组垂线，3条高就有2×3＝6（组）垂线，据此即可解答。 详解：根据分析可知，如图中有4组平行线，6组垂线。 【练4】如图中，最短的线段是( )，( )互相平行，( )互相垂直。（都填序号） 答案： ④ ①② ②④ 分析：两点之间的连线中，线段最短。 在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 详解：如图中，最短的线段是④，①②互相平行，②④或①④互相垂直。 题型五：垂直特征的应用 【例5】如图，点A到BC边的距离是( )厘米，A、B两点间的距离是( )厘米。 答案： 4 5 分析：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫这点到这条直线的距离。图中AC垂直于BC，可以判断点A到BC边的距离4厘米；又根据两点之间线段最短，AB两点间的距离就是5厘米；以此答题即可。 详解：根据分析可知： 如图，点A到BC边的距离是4厘米，A、B两点间的距离是5厘米。 【练5】两条直线相交组成4个角，如果其中一个角是90°，那么其他三个角都是( )°，这两条直线( )。如图，∠1＝30°算一算：∠2＝( )°，∠3＝( )°。 答案： 90 互相垂直 60 120 分析：两条直线相交，有两种情况，垂直或不垂直，如果其中一个角是90°，那么其它各个角都是90°，这两条直线就相互垂直。 通过观察上图可知，∠1＋∠2＝90°，所以∠2＝90°－∠1，∠2＋∠3＝180°，∠3＝180°－∠2，据此即可解答。 详解：∠2＝90°－∠1＝90°－30°＝60° ∠3＝180°－∠2＝180°－60°＝120° 两条直线相交组成4个角，如果其中一个角是90°，那么其他三个角都是90°，这两条直线互相垂直。如图，∠1＝30°，则∠2＝60°，∠3＝120°。 题型六：画垂线 【例6】量一量∠1＝（    ）。再在射线b上画两条垂线，画出的两条垂线之间的位置关系是（    ）。 答案：∠1＝120°；互相平行；图见详解 分析：用量角器量角的度数：首先把量角器放在所画角的上面，然后找到角的顶点，使量角器的中心位置和角的顶点重合，然后使角的一边和零刻度线重合（两个重合很重要）。然后找到角的另外一边，看角的另外一边落在量角器的哪个刻度上，此时这个角的度数就是多少； 把三角尺的一条直角边与直线b重合，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是直线b的垂线，据此在射线b上画两条垂线即可，根据垂直和平行的性质：给一条直线作两条垂线，这两条垂线互相平行；据此解答即可。 详解：∠1＝120°，在射线b上画两条垂线，画出的两条垂线之间的位置关系是互相平行。 【练6】一位探险家得到了一张藏宝图，可是上面只标了A、B、C三个点（如下图）。在藏宝图的夹层里有一张羊皮，上面写着：“有一条笔直的河流过A、B点，宝藏在C点的右上方，藏宝地与C点的距离等于C点到河流的最短距离，而且藏宝地与C点的连线与河流平行。”根据上面的描述，请画出并标出“C点到河流的最短距离”、“过点C与河流平行的直线”、“藏宝地的具体位置D”。 答案：见详解 分析：先从C点向河流AB作一条垂线，垂足记为E，CE就是C点到河流的最短距离。再从C点往右上方画一条与河流AB平行的直线，在这条线上截取与CE相等的线段CD。这样得到的点D就是藏宝地点。 详解： 题型七：两点间线段最短与两点间距离的计算 【例7】（1）“村村通工程”施工队计划从王家庄修一条柏油路通向李家庄，请你画出最近的路。 （2）如果从李家庄修一条柏油路通向国道。怎样修最近？请你画出这条路，这样修的原因是（    ）。 答案：（1）（2）见详解 （2）理由见详解 分析：（1）根据两点之间线段最短，修一条从王家庄到李家村的最近路，只沿着王家庄到李家村的线段修即可。 （2）直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，从李家村作国道的垂线段，沿垂线段修最短，据此画图即可。 详解： （1）（2）如图： （2）答：从李家村作国道的垂线段，沿垂线段修最短，这样修的原因是因为直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短。 【练7】小猫要从家到菜园、公路各修一条路，请你帮小猫设计一下，怎么修最近？分别画在图上并说明理由。 小猫家到菜园这样画路线的理由：（    ）。 小猫家到公路这样画路线的理由：（    ）。 答案：图见详解图 两点之间线段最短 从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短 分析：直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。据此要从小猫家到菜园修一条公路，那么直接连接小猫家和菜园，就是最近的路线；小猫要从家到菜园修一条公路，依据两点之间线段最短来画图。 从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知要使从小猫家到公路修一条公路最近，则从小猫家向公路作垂线，这条垂线即为所求。 详解： 小猫家到菜园这样画路线的理由：（从小猫家到菜园，两点之间线段最短）。 小猫家到公路这样画路线的理由：（从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短）。 题型八：点到直线的距离 【例8】某公园中由广场到秀园路修了A、B两条路，但人们总喜欢在草坪中走出C这样一条路。你能利用所学知识解释产生这一现象的原因吗？如果你是草坪管理员，你会给公园设计师提什么建议？ 答案：见详解 分析：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此解答。 详解：从广场到秀园路时，C路垂直于秀园路，因为从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 修路时，建议设计师按照垂线段修建最短距离路程。（答案不唯一） 【练8】在离豆豆5米处，放了一排苹果，他可以最快拿到哪一个？圈起来，并说一说为什么。 答案：见详解 分析：从直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短，据此解答即可。 详解： 是因为直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 一、填空题 1．如果两条直线之间的距离处处相等，则这两条直线( )。 答案：互相平行 分析： 两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离。平行线之间的距离处处相等，据此解答。 详解：如果两条直线之间的距离处处相等，则这两条直线互相平行。 2．下面的图中，线段( )与线段( )互相平行，线段( )与线段( )互相垂直。 答案： a c b c 分析：根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，它们的交点叫做垂足，据此作答。 详解：根据上述分析可得：在梯形中，线段a与线段c互相平行，线段b与线段c互相垂直，或线段b与线段a互相垂直。 3．过一点可以画( )条直线，在两条平行线之间可以画( )条垂直线段。 答案： 无数 无数 分析：直线没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度。直线的性质：过两点可以画一条直线，过一点可以画无数条直线； 根据平行和垂直的性质和特征可知：两条平行线中可以画无数条垂线段，这些线段的长度都相等；据此解答即可。 详解：据分析可知： 过一点可以画无数条直线，在两条平行线之间可以画无数垂直线段。 4．下图中有( )组平行线，( )组垂线。 答案： 3 2 分析：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，据此解答即可。 详解：图中有3组平行线，2组垂线。 5．在学习平行与相交时，四年级的王红在纸上画了3条直线，第二条直线和第三条直线都与第一条直线相交成直角，那么第二条直线和第三条直线的位置关系是( )。 答案：平行 分析：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，据此即可解答。 详解：在学习平行与相交时，四年级的王红在纸上画了3条直线，第二条直线和第三条直线都与第一条直线相交成直角，那么第二条直线和第三条直线的位置关系是平行。 如图： 点睛：本题主要考查平行与垂直，解答本题的关键在于知道平行与垂直的特征以及性质。 6．一张白纸上有三条直线，已知直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，且直线a与直线b之间的距离为3cm，直线b与直线c之间的距离为5cm，那么直线a与直线c之间的距离可能为( )cm，也可能为( )cm。 答案： 8 2 分析：由于题目没有给出图形，而直线b的位置不定，需要分直线b在直线a的下方和上方两种情况进行讨论，由此解答即可。 详解：根据题意可知，直线a，直线c的位置关系有两种。如图： 根据平行和平行线的定义可知，直线a、直线b和直线c两两平行； 当直线b在直线a和直线c的中间时，直线a和直线c之间的距离为：3＋5＝8（cm）； 当直线a在直线b和直线c的中间时，直线a和直线c之间的距离为：5－3＝2（cm）； 综上：直线a与直线c之间的距离可能为8cm，也可能为2cm。 点睛：此题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解答此题的关键。 7．数一数，填一填。 (1)图中有( )个锐角，( )个直角，( )个钝角。 (2)图中有( )组线段互相平行，有( )组线段互相垂直。 答案：(1) 2 2 1 (2) 1 3 分析：（1）锐角小于90°，图中右上角的角及右下角的角都小于90°，这两个角是锐角；根据直角的特点，图中左上角的角与左下角的角是直角；而钝角大于90°，小于180°，图中右边的边内折部分，外面的角小于180°而大于90°，这是一个钝角，与它相邻的那个角大于180°，据此来解答。 （2）图中左右两条边延长后都不会有交点，这两条边是互相平行的；左边的边与图形下边水平的边所成的角是直角，这两条边互相垂直，右边的边与图形下边水平的边所成较小的角是直角，这两条边互相垂直，图中上方的折线部分所成的角是直角，这两条线段互相垂直，据此来解答。 详解：（1）图中有2个锐角，2个直角，1个钝角。 （2）图中有1组线段互相平行，有3组线段互相垂直。 点睛：熟记直角、锐角、钝角的定义是解答的关键。 8．图中，点A到直线BC的距离是( )cm，点C到直线AD的距离是( )cm，A、B两点的距离是( )cm。 答案： 6 8 7 分析：点到直线之间垂线段距离最短，求点到直线的距离也就是求垂线段的长度；据此解答。 详解：根据分析：点A到直线BC的距离是6cm，点C到直线AD的距离是8cm，A、B两点的距离是7cm。 点睛：掌握垂线段的概念是解答本题的关键。 二、判断题 9．两条直线相交，有一夹角为90°，这两条直线一定垂直。( ) 答案：√ 分析：垂直，是指一条线与另一条线相交并成直角，则这两条直线相互垂直。 详解：根据垂线的定义：如果两条直线相交成直角，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。 故答案为：√ 点睛：本题考查了垂线的定义，要知道在同一平面内两条直线不是平行就是相交。 10．如果两条直线相交，那么这两条直线一定互相垂直。( ) 答案：× 分析：在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况。 详解：根据分析可知：如果两条直线相交，这两条直线可能互相垂直，也可能不互相垂直，原题说法错误。 故答案为：× 点睛：熟悉同一平面内两条直线的位置关系是解答此题的关键。 11．把一张长方形的纸连续对折两次，折痕间的关系一定是互相垂直。( ) 答案：× 分析：把一张长方形的纸对折两次，两次折痕的位置关系，取决于对折的方向，一种情况是沿一条边的同一个方向对折两次，三条折痕是互相平行的；另一种情况是沿两条边的两个方向对折，两条折痕是互相垂直的；由此得出结论。 详解：把一张长方形的纸连续对折两次，折痕间的关系是互相平行或互相垂直。原题表述错误。 故答案为：× 点睛：解答此题的关键在于要从不同的折叠方向考虑，具体操作一下会更简捷。 12．一张正方形的纸对折两次后，两条折痕可能互相垂直。( ) 答案：√ 分析：把一张正方形的纸对折两次后，两次折痕的位置关系，取决于对折的方向，一种情况是沿一条边的同一个方向对折两次，三条折痕是互相平行的；另一种情况是沿两条边的两个方向对折，两条折痕是互相垂直的，由此得出结论。 详解：一张正方形的纸对折两次后，两条折痕可能互相垂直。说法正确。 故答案为：√ 13．如图，直线a是直线b的垂线。( )    答案：√ 分析：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。根据垂线的意义判断即可。 详解：因为a⊥b，所以直线a是直线b的垂线。即原题说法正确。 故答案为：√ 点睛：两条直线垂直是互相的，所以不能独立地说哪条直线是垂线。 三、选择题 14．下面说法中正确的是（    ）。 A．同一平面内，两条直线的位置关系是：平行、相交、垂直。 B．把一张长方形纸朝一个方向对折三次展开后，所有的折痕都互相平行。 C．把线段的一个端点向一方延长100米，得到一条射线。 答案：B 分析：根据同一平面内两条直线不是相交就是平行进行判定。 根据平行的定义：同一平面内，永不相交的两条直线互相平行，再看看折出的折痕是否符合平行的定义。 根据线段的特征：有两个端点，有限长。射线的特征：一个端点，无限长进行判定。 详解：A．在同一平面内，两条直线不是平行就是相交，垂直是属于相交里的一种，原说法错误。 B．把一张长方形纸沿同一方向连续对折三次，展开后，所有的折痕如下图，可以发现所有折痕互相平行。 C．把线段的一个端点向一方延长100米后，还是会有两个端点，即还是线段，原说法错误。 故答案为：B 15．如图，能表示在同一平面内两条直线位置关系的是（    ）。 A． B． C． 答案：C 分析：相交是指在同一平面内，两条直线有且只有一个交点的情况。在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。平行和相交是两种不同的位置关系，在同一平面内，两条直线要么平行，要么相交。垂直是相交的一种特殊情况，当两条相交直线的夹角为90度时，这两条直线就是垂直关系。 详解：A．这种分类是不正确的。因为在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交（包括垂直，垂直是相交的一种特殊情况）。只列出平行和垂直，遗漏了一般相交的情况。 B．这种分类表明相交是平行的特殊情况，显然是错误的； C．将平面内两条直线的关系分为平行和相交，垂直是相交的特殊情况，这种分类是正确的。 故答案为：C 16．有a、b、c三条直线，直线a与直线b都和直线c相交成直角，则直线a与直线b（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．不平行也不垂直 D．无法确定 答案：A 分析：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行（如图）；据此解答。 详解：根据分析可知： 有a、b、c三条直线，直线a与直线b都和直线c相交成直角，则直线a与直线b互相平行。 故答案为：A 17．数学家韦恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法。他作出一系列简单闭曲线，将平面分为许多间隔，利用这种图表表达概念间的关系。今天我们把这种逻辑图称作“韦恩图”。同学们，你觉得下列哪一种韦恩图最能表示本学期学习的平面内两条直线相交、平行、垂直三者的关系（    ）。 A． B． C． 答案：B 分析：在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条线互相平行；在同一平面内，两条直线不平行，那么它们一定会相交（如下图）。两条直线相交成直角，我们就说这两条直线互相垂直，所以垂直属于相交的特殊情况。 详解：由分析得，在同一个平面内的两条直线要么平行，要么相交。而垂直是相交的特殊情况，即相交包含了垂直的情况。三者的关系用韦恩图表示如下： 故答案为：B 18．在一条公路上有四条小路通往李老师家，它们的长度分别是320米、208米、140米、410米，其中有一条小路是与公路互相垂直的，那么这条小路的长度是（    ）米。 A．320 B．208 C．140 D．410 答案：C 分析：根据点到直线的距离的含义：从直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；比较题干中的长度，看哪个数最小，则这一条小路最短，据此解答。 详解：因为这条小路是与公路是互相垂直的，垂线段最短，410＞320＞208＞140，所以这条小路的长度是140米。 故答案为：C 四、作图题 19．如图，有一块三角形地，如果从点A出发，到对边BC修一条小路，怎样修路最短？请在下图中画出来。 答案：见详解 分析：过直线外一点到已知直线的所有连线中，垂线段最短，它的长度叫做点到直线的距离，据此画出点A到对边BC最短路线即可。 详解： 20．请过A点，画出已知直线的平行线。 答案：见详解 分析：平行线的画法：固定三角尺，使其一条直角边和直线重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使点A位于该直角边上，沿着这条直角边再画出另一条直线，这条直线就是已知直线的平行线。 详解： 五、解答题 21．老旧小区改造工程正在进行中。 （1）A、B两个小区需要从水管管道分别接一条水管到各自的小区，怎样接最省材料？请你画一画并说明理由。 （2）画出的这两条管道在同一平面内的位置关系是（    ）。 答案：（1）见详解；点到直线的垂直线段最短。 （2）互相平行 分析：（1）从小区 A、B 到水管的最短连接方式是分别作 A、B 到管道的垂线，这样用料最省。理由是：在同一平面内，点到直线的最短距离是垂直线段。 （2）画出的这两条水管在平面内的位置关系是平行，因为它们都与同一条直线（原水管管道）垂直。 详解：根据分析可知 （1）画图如下： 理由是：在同一平面内，点到直线的最短距离是垂直线段。 （2）画出的这两条管道在同一平面内的位置关系是互相平行。 22．兰兰在泳池B处游泳，突然感觉身体不舒服，急忙向妈妈呼救。 （1）画出妈妈从A点出发帮助兰兰的最短路线。 这样画的理由是______。 （2）画出妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线。 这样画的理由是______。 答案：（1）见详解；两点之间线段最短。   （2）见详解；从一个点到一条直线的最短路径是这点到直线的垂线。 分析：（1）妈妈从A点到B点的最短路线就是直接画线段AB。理由：因为在平面上两点之间，线段最短。   （2）妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线是从B点向泳池边界作垂线，直接到达池边。理由：因为从一个点到一条直线的最短路径是这点到直线的垂线。 详解：（1）妈妈从A点出发帮助兰兰的最短路线如下： 理由：因为在平面上两点之间，线段最短。   （2）妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线如下： 理由：因为从一个点到一条直线的最短路径是这点到直线的垂线。 23．明明家想修一条从家到菜地的路，再修一条从小河边到菜地的水渠，要使修的路和水渠都最短，应该如何修？请你在图中分别画出来，并说明理由。 这样修路的理由是：__________________________________________________________________ 这样修水渠的理由是：__________________________________________________________________ 答案：图见详解；两点之间线段最短；从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 分析：根据两点之间，线段最短，因此用直尺将明明家和菜地连接起来，沿着线段修路即可； 根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画的所有线段中，垂线段最短。把小河看作一条直线，由菜地向小河画垂直线段，沿着菜地和垂足之间的线段修水渠即可。 详解：据分析作图如下： 这样修路的理由是：两点之间线段最短。 这样修水渠的理由是：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 24．画一画。 （1）①画直线a和直线b互相垂直；②画射线c和直线b互相平行；③过射线c的端点M画直线a的平行线d；④画直线l与a、b、c、d都相交。 （2）在括号里填上它们的位置关系： 直线a和射线c（    ），直线b和直线d（    ）。 答案：（1）见详解 （2）互相垂直；互相垂直 分析：（1）①先画一条直线a，将三角尺的直角边其中一条与直线a重合，画出另一条边即为直线b，a和b互相垂直；将尺的一边与直线b重合，向左平移画出射线c，射线有一个端点；③将尺的一边与直线a重合，向上平移直至看到端点M，过M点画出直线即为直线a的平行线d；④同时经过a、b、c、d四条直线画出直线1即可。 （2）直线a和直线b互相垂直，射线c与直线b平行，则直线a垂直与射线c；直线a与直线d互相平行，直线b和直线a互相垂直，则直线b垂直与直线d。 详解： （1）如图：（画法不唯一） （2）直线a和射线c互相垂直，直线b和直线d互相垂直。 25．运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，小刚在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相（    ）。（填“垂直”或“平行”） 答案：（1）见详解 （2）平行 分析：（1）把起跳线看作一条直线，跳到的位置看作一个点，画出点到直线的距离，就是两次跳远的距离； （2）根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知所画的两条线段互相平行。 详解： （1）如图： （2）所画的两条线段互相平行。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $