第10讲 函数讲义（知识点+题型+分层强化）-2025-2026学年北师大版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第10讲 函数（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.函数的定义 2.函数的三种表示方法 3.函数的自变量与函数值 题型巩固 一、函数的概念 二、求自变量的取值范围 三、求自变量的值或函数值 四、函数的三种表示方法 五、函数解析式 六、函数图象识别 七、从函数的图象获取信息 八、动点问题的函数图象 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1.函数的定义 函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.例如y=2 x， y= 等， y 是 x 的函数 . 说明：(1)在函数中定义的两个变量x，y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)； (2)函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系. 知识点2.函数的三种表示方法 1. 函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与它对应的函数值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 关系式法 用数学式子表示函数关系的方法叫做关系式法. 其中的等式叫做函数关系式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数值的对应关系 从函数关系式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用关系式法表示出来 图象法 用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 2. 列函数关系式 根据实际问题列函数关系式的方法类似于列方程解应用题，只要找出自变量与函数值之间存在的等量关系，列出等式即可. 但要整理成用含自变量的代数式表示函数值的形式. 知识点3.函数的自变量与函数值 1. 函数自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做函数的自变量的取值范围 . 2. 确定自变量的取值范围需要从两个方面考虑 (1)使函数表达式本身有意义； (2)实际问题中还需要使实际问题有意义 . 3. 常见函数自变量取值范围的确定 类型 特点 举例 自变量的取值范围 自变量在整式中 等号右边是整式 y=2x2－1 全体实数 自变量在分母中 等号右边的自变量在分母的位置上 使分母不为 0 的实数 自变量在二次根号下 等号右边是开平方的式子 使被开方数大于或等于 0 的实数 4. 函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值 . 题型巩固 题型一、函数的概念 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列变化过程中，两变量存在函数关系的是（   ） A．人的身高与年龄 B．光照时间与果树产量 C．三角形的底边长与面积 D．速度一定的汽车的行驶路程与行驶时间 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查的是函数的定义，掌握“函数的定义判断变量之间是不是函数关系”是解题的关键． 在一个变化过程中，存在两个变量 对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与之对应，我们就说：是的函数，根据函数的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：人的身高与年龄，不符合函数定义，故A不符合题意； 光照时间与果树产量，不符合函数定义，故B不符合题意； 三角形的底边长与面积，不符合函数定义，故C不符合题意； 速度一定的汽车的行驶路程与行驶时间，符合函数定义，故D符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）已知跳伞运动员从飞机跳下至落地过程中，运动员离地面的高度随着时间的变化而变化，在此过程中，自变量为 ． 【答案】时间 【知识点】函数的概念 【分析】此题主要考查了函数的定义，正确把握函数的定义是解题关键．根据函数的定义解答即可． 【详解】解：由题意得：在这一变化过程中，自变量是时间， 故答案为：时间． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）根据经验，跳远的距离（v是助跑的速度，米/秒），其中变量s随着哪一个量的变化而变化？ 【答案】变量s随着v的变化而变化． 【知识点】函数的概念 【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案． 【详解】解：中，常量是，变量是s、v， 其中变量s随着v的变化而变化． 【点睛】此题主要考查了常量和变量，关键是掌握定义． 题型二、求自变量的取值范围 4．（24-25八年级·河北唐山·期中）函数中，自变量的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，根据被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得，， 故选：D． 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题考查了求函数自变量取值范围即函数的定义域；根据二次根式中被开方数非负即可求解． 【详解】解：由题意知：， 解得：； 故答案为：． 6．求下列函数中自变量的取值范围． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）全体实数；（2）；（3）；（4）；（5） 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定,函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负进行解答． 【详解】解：（1）的取值范围为全体实数； （2）解不等式，得，故x的取值范围为； （3）解不等式，得，故x的取值范围为； （4）解不等式，得，故x的取值范围为； （5）解不等式组得，故x的取值范围为． 题型三、求自变量的值或函数值 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当函数值时，自变量的取值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查了求自变量的取值．把代入，即可求解． 【详解】解：当函数值时，， 解得：或． 故选：D 8．（25-26八年级上·全国·课前预习）在函数中，当时，函数值为 ；当函数值为4时，自变量x的值为 ． 【答案】 9 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，分别将和代入函数解析式求解即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，函数的值为9； 当时，即， 解得， ∴当函数值为4时，自变量x的值为． 故答案为：9；． 9．（24-25八年级上·山东威海·期末）规定：对于关于的函数，当，若，则称：当时，是的增函数；反之，若，则称：当时，是的减函数． 例如，证明关于的函数在范围内为减函数． 令， 则 ， ，，． ．即． 所以，在范围内为减函数． 请完成下面问题： (1)当时，为________函数（增、减或者不确定）； (2)判断关于的函数在范围内的增减性，并说明理由． 【答案】(1)减 (2)函数在范围内是增函数，理由见解析 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了函数的增减性，解题的关键是理解题意． （1）令，则，由可得，，，推出，即，即可判断； （2）令，则，由，可得，，推出．即，即可判断． 【详解】（1）解：令， 则 ， ，，， ， ．即， 当时，为减函数， 故答案为：减； （2）函数在范围内是增函数，理由如下： 令， 则 ， ，， ， ．即， 函数在范围内是增函数． 题型四、函数的三种表示方法 10．（23-24八年级上·河南郑州·期中）某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 【答案】B 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．从而可得答案． 【详解】解：某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况， 故选B 11．（23-24八年级上·上海·单元测试）用 来表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法；图像法的优点是 ；图像法的缺点是 ． 【答案】 图像 非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况 在图像中找对应值时往往不够准确，而且有的函数画不出它的图像，还有许多函数不可能得到它的完整图像 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】本题考查了函数的表示方法，根据图像法表示函数的优缺点得出答案即可，熟练掌握图像法表示函数的定义和优缺点是解题的关键． 【详解】解：用图像来表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法； 图像法的优点是非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况； 图像法的缺点是在图像中找对应值时往往不够准确，而且有的函数画不出它的图像，还有许多函数不可能得到它的完整图像． 故答案为：图像；非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况；在图像中找对应值时往往不够准确，而且有的函数画不出它的图像，还有许多函数不可能得到它的完整图像． 12．心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 对概念的接受能力 （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当提出概念所用时间是分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ （4）从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 【答案】（1）提出概念所用的时间和对概念的接受能力两个变量之间的关系，提出概念所用时间是自变量，对概念的接受能力是因变量；（2）；（3）提出概念所用时间为分钟时，学生的接受能力最强；（3）当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】（1）根据自变量与因变量的定义即可求解； （2）根据表格中数据即可求解； （3）根据表格中时，的值最大是，即可求解； （4）根据表格中的数据即可求解． 【详解】解：提出概念所用的时间和对概念的接受能力两个变量； 提出概念所用时间是自变量，对概念的接受能力是因变量. 当时，， 所以当提出概念所用时间是分钟时，学生的接受能力是． 当时，的值最大是，所以提出概念所用时间为分钟时，学生的接受能力最强． 由表中数据可知：当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低． 【点睛】准确理解函数的概念：在运动变化过程中有两个变量和，对于的每一个值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，是自变量． 题型五、函数解析式 13．（24-25八年级上·福建宁德·期末）4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数解析式 【分析】根据“4名教师”及“成人票每张15元，学生票每张10元”列式，即可求解． 本题考查了实际问题中列函数关系式，解题的关键是：理解题意列出正确的函数关系式． 【详解】解：根据题意列式：， 故选：D． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某水果批发市场规定，批发水果不少于时，批发价是每千克元，小王携带现金元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【知识点】函数解析式 【分析】此题考查了列函数解析式．利用已知批发价为每千克元，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果，求得解析式，根据批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克元，至多可以买，求出自变量的取值范围． 【详解】解：由已知批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果得y与x的函数关系式：， ∵批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克元， ∴， ∴至多可以买． 故自变量x的取值范围：． 故答案为： 15．（23-24八年级·河南周口·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数表达式． (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】函数解析式 【分析】（）设，然后把，代入求解即可； （）把点代入表达式即可求出的值； 本题主要考查了待定系数法的应用，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键． 【详解】（1）设， 将，代入， 得，解得， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （2）将点代入， 得， 解得． 题型六、函数图象识别 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）李华一家从动物园的游客中心出发，路过象馆游玩一段时间后，再前往熊猫馆，下面四个选项中，能描述李华一家与游客中心的距离s随时间t变化的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图象识别 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，整个过程分为三个阶段，第一阶段是去往象馆，距离随时间增加，第二阶段是象馆游玩，距离随着时间的增加不变，第三阶段是前往熊猫馆，距离随时间增加，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：分三个阶段：第一阶段是去往象馆，此时李华一家与游客中心的距离随着时间的增加而增加， 第二阶段是象馆游玩，此时李华一家与游客中心的距离随着时间的增加保持不变， 第三阶段是前往熊猫馆，此时李华一家与游客中心的距离随着时间的增加而增加， ∴四个选项中，只有A选项中的函数图象符合题意， 故选：A． 17．（22-23八年级上·广东深圳·期中）小刚从家出发步行去学校， 几分钟后发现忘带作业，于是掉头原速返回并立即打电话给爸爸，挂断电话后爸爸立即跑步去追小刚， 同时小刚以原速的两倍跑步回家， 爸爸追上小刚后以原速的倍原路步行回家， 而小刚则以原跑步速度赶往学校，并在从家出发23分钟后到校(小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计)．两人之间相距的路程 (米)与小刚从家出发到学校的时间 (分钟)之间的函数关系如图所示，则小刚的步行速度为 ． 【答案】 【知识点】函数图象识别 【分析】根据图像求出相遇后爸爸回家所用的时间，进而得出小刚打完电话与爸爸相遇所用的时间，结合题意得出相遇后爸爸2分钟走的路程，得到小刚后来的速度，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，小刚和爸爸相遇后，到小刚爸爸回到家用时（分钟）， ∵爸爸追上小刚后以原速的倍原路步行回家， ∴小刚打完电话到与爸爸相遇用的时间为1分钟， ∵由于时间关系小明拿到作业后同样以之前跑步的速度赶往学校， ∴小刚和爸爸相遇之后跑步的1分和爸爸2分钟走的路程是720米， ∴小刚后来的速度为：（米/分钟） 则步行的速度是（米/分钟）. 故答案为：160． 【点睛】本题主要考查了函数的图像问题，解题关键是理解每一段图像所表示的意思． 18．下列各曲线中哪些表示y是x的函数？ 【答案】图（1）（2）（3）中y是x的函数 【知识点】函数图象识别 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论． 【详解】解：图（1）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（2）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（3）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（4）对于一部分自变量x的值，y有两个值与之相对应， y不是x的函数； 故图（1）（2）（3）中y是x的函数 【点睛】本题主要考查了函数概念，关键是掌握注意对函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 题型七、从函数的图象获取信息 19．（2025八年级上·全国·专题练习）端午假期，小林约琪琪开车出去游玩．小林从家出发后，加速行驶了一段时间后匀速行驶，到达琪琪家减速停车，琪琪上车后，小林又加速行驶了一段时间，再转为匀速行驶．下列图象能近似刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象，找到速度变化的规律是解题的关键．根据加速、匀速、减速时、速度随时间的变化情况即可求解． 【详解】解：由题意得：刚开始加速行驶一段时间，则速度从0开始增加，然后再匀速行驶，则此段时间速度不再增加，过了一段时间到达琪琪家减速停车，则速度减少到0，琪琪上车后，小林开车加速行驶，速度从0开始增加，一段时间后又开始匀速行驶，此段时间速度不再增加， 能近似的刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是D选项． 故选：D． 20．一辆货车从甲地匀速驶往乙地用了2.7小时，到达后用了0.5小时卸货，随即匀速返回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍，货车离甲地的距离（千米）关于时间（小时）的函数图像如图所示，则 （小时）． 【答案】5 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确理解题意和函数图象是解题的关键． 设货车从甲地驶往乙地的速度为，则返回速度为，通过函数图象可得甲乙两地的距离为，那么即可求出返回用时，即可求解． 【详解】解：设货车从甲地驶往乙地的速度为，则返回速度为， 由题意得甲乙两地的距离为， ∴返回用时（小时）， ∴， 故答案为：． 21．（22-23八年级上·全国·阶段练习）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为（），两车之间的距离为（）．图中的折线表示与之间的函数关系．根据图象进行以下探究： (1)甲、乙两地之间的距离为_________； (2)求慢车和快车的速度； (3)请解释图中点C的实际意义； 【答案】(1) (2)慢车的速度为，快车的速度为 (3)点表示快车到达终点站 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了函数的图象．熟练掌握函数图象关键数据表示的意义，路程与速度和时间的关系，相遇问题特点，是解题的关键． （1）由图可知，y代表两车之间的距离，当两车出发时间为时，两车之间的距离即为两地之间的距离，因此，甲乙两地之间的距离为； （2）由图可知，慢车行驶的路程为，慢车的速度为：，快车与慢车的总速度为：，快车的速度为：． （3）根据函数图象可知点表示快车到达终点站． 【详解】（1）解：∵当出发时间为时，两车之间的距离为， ∴两地之间的距离为； 故答案为：900； （2）∵慢车行驶的路程为， ∴慢车的速度为：， ∵快车与慢车的速度和为：， ∴快车的速度为：． 故快车的速度为，慢车的速度为． （3）点表示快车到达终点站 题型八、动点问题的函数图象 22．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，，点 P 从点 A 出发，沿折线运动，当点P与点B重合时停止运动．设点P运动的路程为 x，的面积为y，当点P在上运动时，则y 与x 之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了分段函数．先求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴的面积为， 故选：D． 23．（24-25八年级·四川乐山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于两点，设面积为与函数关系的图象如图2所示． （1）点的坐标为 ； （2）当时，函数与函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，求出相应的各段的函数解析式，明确各自对应的函数图象． （1）根据图象可知，当点在上运动时，面积对应的函数图象为这 段图象，故由时可求出点的坐标； （2）由图象可知，当时，点在上运动，此时点N到的距离不变为4，再根据三角形面积得结论． 【详解】解：（1）当点N从点O移动到点A时，如图所示， ∵与矩形两边分别交于M、N两点， ∴点M的坐标是，点N的坐标是，面积为S， ∴S与b函数关系式是：； ∴当时，直线经过点， ∴； 当点时，如图所示， 此时点N到的距离不变为4， ∴； 故答案为：；． 24．如图，中，是边的中点，是边上的一个动点，连接．设的面积是变量，的长是变量，小明对变量和之间的关系进行了探究，得到了以下的数据： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)自变量和因变量分别是什么？ (2)和的值分别是多少？ (3)请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说的面积是怎样变化的？ 【答案】(1)自变量是的长，因变量是的面积 (2)， (3)见解析 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图像，三角形的面积，解题的关键是数形结合． （1）根据题意即可求解； （2）根据表格数据可得，，的高是，然后根据三角形的面积公式即可求解； （3）当时，，当时，，再根据三角形的面积公式可求解析式，根据函数的性质可得的面积变化情况． 【详解】（1）解：自变量是的长，因变量是的面积； （2）解：时，；时，， ，，的高是， 时，， ， 当时，， ， ，； （3）解：当时，， ，即； 当时，， ，即； 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 分层强化 一、单选题 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的概念，对于两个变量x、y，若对于x的一个值，y都有唯一的值与之对应，则y是x的函数，据此结合函数图象逐一判断即可． 【详解】解：A、对于x的一个值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； B、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； C、对于x的一个值，y都有唯一的值与之对应，故y是x的函数，符合题意； D、对于部分x的值，y都有两个值或三个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； 故选：C． 2．弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度（最长为），与所挂物体质量之间有下面的关系： 0 1 2 3 4 … 8 8.5 9 9.5 10 … 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，是自变量，是的函数 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．与的函数表达式为 D．挂物体时，弹簧长度一定比原长增加 【答案】D 【分析】由表格数据可知: 弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，物体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm，可以计算当所挂物体为6kg或30kg时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为20cm． 【详解】解：A．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以x是自变量，y是因变量．故A项正确，不符合题意； B．因为弹簧原长为8cm，每增加1kg物体，弹簧长度就增加0.5cm，当所挂物体为6kg时，弹簧的长度为8+0．5×6=11（cm）．故B选项正确，不符合题意； C．从表格数据中分析可知，弹簧原长为8cm，每增加1kg物体，弹簧长度就增加0.5cm，所以函数表达式为，故C选项正确，不符合题意； D．当所挂物体为30kg时，弹簧长度为8+0.5×30=23cm>20cm，超过弹簧最长限度，弹簧长度不能比原长增加，故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了变量、自变量、因变量的概念，认真审题能从题目中抽取出有效信息是解题的关键． 3．已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则y与x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数表达式的求法，根据题意列出等式即可解决问题； 【详解】解：由题可知：， ∴， 故选：C． 4．下列变量之间的关系中，不属于函数关系的是（   ） A．人的身高与体重 B．某地一天的气温与时间 C．存款在银行中产生的利息与时间 D．正方形的周长与面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：A、人的身高与体重，因为身高相同的人体重可能不同，给定一个身高，可能有多个体重与之对应，因此人的身高与体重不属于函数关系，故选项符合题意； B、某地一天中，每一时刻对应的气温是唯一确定的值，故一天的气温和时间是函数关系，故选项不合题意； C、在银行中利息与时间是函数关系，每一天对应的利息是唯一的，故选项不合题意； D、正方形的面积等于，是函数关系，故选项不合题意； 故选：A． 5．甲、乙两个工程队同时修建两条长为1000米的马路，所修建的马路的长度y（米）与天数x（天）之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．甲工程队每天修建100米 B．甲、乙两队在前6天修建的马路长度相同 C．乙工程队休息前修建的速度比休息后修建的速度慢40米/天 D．乙工程队比甲工程队早2天完成任务 【答案】C 【分析】本题考查了利用一次函数图象性质解决工程问题 【详解】解：由图象可得，甲工程队每天修建（米），故A正确，不符合题意； 甲工程队前6天修建的马路长度是（米）， 乙工程队前6天修建的马路长度是米， 甲、乙两队在前6天修建的马路长度相同，故B正确，不符合题意； 乙工程队休息前修建的速度是（米天）， 休息后修建的速度为（米天）， 乙工程队休息前修建的速度比休息后修建的速度每天慢100米，故C错误，符合题意； 由图象可得乙8天修完，甲10天修完， 乙工程比甲工程队早2天完成任务，故D正确，不符合题意； 故选：C． 6．如图①，在中，，D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积公式，勾股定理，由题图②可知，当时，的面积最大，此时点运动到点，此时，利用三角形面积求出的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题图②可知，当时，的面积最大，此时点运动到点， ． 为的中点， ，即， 解得． 在中，， 故选：A． 7．如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为，小正方形与大正方形重叠部分的面积为，若，则S随t变化的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答案． 【详解】解：根据题意，设小正方形运动的速度为v，由于v分三个阶段； ①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-vt×1=4-vt（vt≤1）； ②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3； ③小正方形穿出大正方形，S=2×2-（1×1-vt）=3+vt（vt≤1）． 分析选项可得，A符合，C中面积减少太多，不符合． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况． 8．甲、乙两人一起沿着同一路线匀速从A地出发到B地，途中甲发现忘记带钱包，立即以原速原路返回，乙则以原速的倍速度继续匀速前行，甲返回A地后取钱包花了2分钟，取到钱包后以之前速度的1.5倍速度追乙．甲乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲返回前的速度为 B．甲取到钱包开始追乙时，两人相距595米 C．甲追乙的时间为8.5分钟 D．甲追上乙时，甲走的总路程为1592米 【答案】D 【分析】由题意及图知，两人从出发到甲追上乙，有四个过程：两人开始同时同速度行走，用时5分钟；甲返回取钱包，用时5分钟；取钱包，用时2分钟；甲取回钱包后追上乙．设两人出发时的速度为xm/min，根据这四个过程计算即可． 【详解】由题意及图知，两人从出发到甲追上乙，有四个过程：两人开始同时同速度行走5分钟；甲返回取钱包用时5分钟；取钱包用时2分钟；甲取回钱包后追上乙． 设两人出发时的速度为xm/min，则在第一个过程中，两人行驶的路程为5xm，在第二个过程中乙行驶了，此时两人相距，由图知，可得方程为：，解得：x=70，故选项A正确； 第三个过程，乙行驶了，故甲取到钱包开始追乙时，两人相距525+70=595（米），故选项B正确； 第四个过程，甲追上乙所花时间=，故选项C正确； 甲追上乙时，甲走的总路程为：，故选项D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，读懂题意，清楚每个过程，从函数图象中获取信息是解题的关键． 二、填空题 9．变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值为 ． 【答案】17 【分析】把x= 6代入y= 2x + 5进行计算即可． 【详解】解：把x=6代入y=2x+5得，y=2×6＋5= 17， 故答案为：17． 【点睛】本题考查函数值，理解函数值的意义，把x= 6代入y= 2x + 5进行计算是解决问题的关键． 10．一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x、y，并且对于变量x的每一个值，y都有 的值与它对应，那么我们称y是x的 ，其中x是 ． 【答案】 唯一 函数 自变量 【解析】略 11．下列关于变量x，y的关系式中：①；②；③．其中，y是x的函数的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐项分析即可得解；熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数①和②，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数； ③不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； 综上所述，y是x的函数的是①②， 故答案为：①②． 12．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据被开方数为非负数，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故答案为： 13．已知线段长50厘米，一只机器甲虫从A点出发，沿线段爬向B点，设甲虫爬完全程的时间为t（秒），速度是v（厘米/秒）且最大速度是10厘米/秒，给出结论①甲虫不可能在4秒之内爬完全程，②甲虫用10秒爬完全程时，平均速度是5厘米/秒，③v关于t的函数图象完全位于第一象限内，其中正确的是（填序号） ． 【答案】①②③ 【分析】根据路程，时间，速度的关系即可判断①②，列出v关于t的函数即可判断③ 【详解】线段长50厘米，速度是v最大速度是10厘米/秒 则 则甲虫不可能在4秒之内爬完全程； 故①正确； ， 则厘米/秒 故②正确； v关于t的函数图象完全位于第一象限内， 故③正确； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查了变量与函数表达式，根据题意列出函数表达式，结合实际问题分析是解题的关键． 14．《九章算术》中有一题大意为：走路快的人走100步时，走路慢的人只能走60步．若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上对方？如图是走路快的人与走路慢的人行走的路程s（步）与走路快的人的行走时间t之间的函数关系，则两图象的交点P的纵坐标是 ． 【答案】250 【分析】本题主要考查了函数图象、一元一次方程的应用等知识点，从函数图象上获得信息成为解题的关键． 设走路快的人要走时间t才能追上对方，然后根据题意列方程求得，易得走路快的人要追上对方需走，再结合函数图象即可确定点P的纵坐标． 【详解】解：设走路快的人要走时间t才能追上对方， 由题意可得：，解得：， 所以走路快的人要追上对方需走． 所以点P的纵坐标为250． 故答案为250． 15．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村．甲、乙之间的距离s（单位：）与骑行时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则相遇后，两人再次相距时，乙又骑行了 ． 【答案】30或55 【分析】本题考查了函数图象，由图象先分别求出甲、乙的速度，然后根据甲超过乙后相距和甲到达C村庄后相距两种情况计算解答即可． 【详解】解：骑行过程为先是甲追乙，追上乙，然后甲超过乙，到达C村庄，然后乙继续骑行，在时到达C村庄， ∴乙的骑行速度为，甲的骑行速度为， 当甲超过乙后相距时，时间为， 当甲到达C村庄后相距时，时间为， 故答案为：30或55． 16．已知动点P以每秒的速度沿图甲的边框按的路径移动，相应的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若，则图甲中的图形面积是 平方厘米． 【答案】135 【分析】本题考函数图像的应用，解题的关键是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，长方形的面积公式及应用．通过观察折线统计图可知，点从点移动到点用4秒，点从点移动到点用2秒，点从点移动到点用3秒，根据路程速度×时间，分别求出的距离，根据长方形的面积公式，把数据代入公式求出长方形的面积与长方形的面积差即可． 【详解】解：观察图像可得： 的长：（厘米）， 的长：（厘米）， 的长：（厘米） 图甲中的图形面积是：（平方厘米）． 答：图中甲的面积是135平方厘米． 故答案为：135． 三、解答题 17．已知等腰三角形的周长为cm，底边长为cm，一腰长为cm． （1）求与之间的函数关系式； （2）指出其中的变量和常量． 【答案】（1）；（2），是变量；是常量． 【分析】（1）根据三角形的周长公式可得，化简即可； （2）根据常量和变量的概念，即可求解． 【详解】解：（1）根据三角形的周长公式可得：，即 与之间的函数关系式为： （2）根据常量和变量的有关概念，可得： ，是变量；是常量 【点睛】此题考查了函数的解析式，常量与变量的概念，解题的关键是熟练掌握函数的解析式以及常量与变量的概念． 18．甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的关系图象如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题： （1）A地与B的路程是　 　km； （2）　 　同学先到达B地；提前了　 　h； （3）乙的骑行速度是　 　km/h； （4）甲从A地到B地的平均速度是　 　km/h． 【答案】（1）18；（2）甲，0.5；（3）12；（4）12 【分析】（1）利用函数图象，直接得出AB的路程即可； （2）利用函数图象，直接得出甲比乙先到达B地的时间； （3）利用路程除以时间得出乙的速度即可； （4）利用总路程除以总时间得出甲的平均速度． 【详解】解：（1）利用图象可得： A地与B的路程是18千米， 故答案为：18； （2）利用图象可得出：甲比乙先到达B地；提前了2﹣1.5＝0.5（小时）， 故答案为：甲，0.5； （3）乙的骑行速度是18÷（2﹣0.5）＝12（千米/时） 故答案为：12； （4）整个过程中甲的平均速度是 18÷1.5＝12（千米/时）， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，利用函数图象得出正确的信息是解题的关键． 19．小明某天上午时骑自行车离开家，时回到家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）． （1）图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）时和时，他分别离家多远？ （3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （4）时到时他行驶了多少千米？ （5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？ （6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？ 【答案】（1）时间、离家的距离，自变量是时间，因变量是离家的距离；（2）15千米、30千米；（3）12:00，30千米；（4）15千米，（5）12:00-13:00；（6）15千米/小时． 【分析】（1）根据图象的x轴和y轴即可确定表示了哪两个变量的关系； （2）由函数图像可以看出10时的时候他离家的距离是15千米，12时的时候他离家30千米； （3）首先根据图象找到离家最远的距离，由此即可确定他到达离家最远的地方是什么时间，离家多远； （4）根据图象首先找到时间为10时和12时离家的距离，然后作差即可； （5）如果休息，那么距离没有增加，由此就可以确定在哪段时间内休息，并吃午餐； （6）根据返回时所走路程和使用时间即可求出返回时的平均速度． 【详解】解：（1）图像表示了离家的距离与时间这两个变量之间的关系．其中时间是自变量，离家的距离是因变量；　 （2）由函数图像可以看出10时的时候他离家的距离是15千米，13时的时候他离家30千米； （3）由图象看出他到达离家最远的地方是在12-13时，离家30千米； （4）由图象看出10时到12时他行驶了30－15=15千米；　 （5）由图象看出12:00~13:00时距离没变且时间较长，得他可能在12时到13时间内休息，并吃午餐； （6）由图象看出回家时用了2小时，路程是30千米，所以回家的平均速度是30÷2=15(千米/时)． 【点睛】此题考查了函数的图象，解题关键在于看懂图中数据表示的实际意义． 20．下图是某物体的抛射曲线图，其中表示物体与抛射点之间的水平距离，表示物体的高度． （1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ （2）根据图象填表： 0 1 2 3 4 5 6 （3）当距离取之间的一个确定的值时，相应的高度确定吗？ （4）高度可以看成距离的函数吗？ 【答案】（1）反映了拋射距离与高度之间的关系；（2）2.0，2.5，2.65，2.5，2.0，1.2，0；（3）确定；（4）可以 【分析】（1）根据变量的定义，即可求解； （2）根据图象填表即可； （3）根据这一范围内对于任一个距离，对应的函数值高度是唯一的，即可得到相应的高度是确定的； （4）根据函数的定义，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：这个图象反映了高度与拋射水平距离之间的关系； （2）根据图象填表如下： 0 1 2 3 4 5 6 2.0 2.5 2.65 2.5 2.0 1.2 0 （3）当距离取之间的一个确定的值时，相应的高度是确定的， 理由如下：因为这一范围内对于任一个距离，对应的函数值高度是唯一的，所以相应的高度是确定的； （4）∵高度随距离的变化而变化，并且对于任一个距离，对应的函数值高度是唯一的， ∴高度可以看成距离的函数． 【点睛】本题主要考查了函数与变量，熟练掌握设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量是解题的关键． 21．如图是小明散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：）的函数图象． （1）小明在散步过程中停留了多少时间？ （2）求小明散步过程步行的平均速度． （3）在哪一时间段，小明是匀速步行的？在这一时间段，他步行的速度是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）第25～50分，速度为． 【分析】（1）根据函数图象中的信息，利用数形结合列式求解即可； （2）根据函数图象中的信息，利用数形结合列式求解即可； （3）根据函数图象中的信息，利用数形结合列式求解即可． 【详解】（1）小明在散步过程中停留了25-20=； （2）小明散步过程步行的平均速度为2000m÷50=． （3）由图可得小明在25～50分是匀速步行的；速度为=． 【点睛】本题考查了函数图像的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键． 22．按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，1张餐桌摆6把椅子，2张餐桌摆10把椅子，3张餐桌摆14把椅子，其中餐桌的数量用x（张）表示，椅子的数量用y（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化． (1)题中自变量是____，因变量是____． (2)请写出y和x之间的关系式；（不要求写自变量的取值范围） (3)按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐80人（一把椅子只坐一个人）？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能刚好坐80人，理由见解析 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量的值，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化进行判断即可； （2）根据题干给出的数据，求出函数解析式即可； （3）令，求出自变量的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意知，题中反映了餐桌的数量和椅子的数量之间的关系，其中餐桌的数量是自变量，椅子的数量是因变量， 故答案为：，； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴椅子的数量和餐桌的数量之间的关系式为； （3）解：不能刚好坐80人，理由如下： 将代入得，， 解得， ∵餐桌的数量是整数， ∴不能刚好坐80人. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.函数的定义 2.函数的三种表示方法 3.函数的自变量与函数值 题型巩固 一、函数的概念 二、求自变量的取值范围 三、求自变量的值或函数值 四、函数的三种表示方法 五、函数解析式 六、函数图象识别 七、从函数的图象获取信息 八、动点问题的函数图象 分层强化 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1.函数的定义 函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.例如y=2 x， y= 等， y 是 x 的函数 . 说明：(1)在函数中定义的两个变量x，y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)； (2)函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系. 知识点2.函数的三种表示方法 1. 函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与它对应的函数值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 关系式法 用数学式子表示函数关系的方法叫做关系式法. 其中的等式叫做函数关系式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数值的对应关系 从函数关系式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用关系式法表示出来 图象法 用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 2. 列函数关系式 根据实际问题列函数关系式的方法类似于列方程解应用题，只要找出自变量与函数值之间存在的等量关系，列出等式即可. 但要整理成用含自变量的代数式表示函数值的形式. 知识点3.函数的自变量与函数值 1. 函数自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做函数的自变量的取值范围 . 2. 确定自变量的取值范围需要从两个方面考虑 (1)使函数表达式本身有意义； (2)实际问题中还需要使实际问题有意义 . 3. 常见函数自变量取值范围的确定 类型 特点 举例 自变量的取值范围 自变量在整式中 等号右边是整式 y=2x2－1 全体实数 自变量在分母中 等号右边的自变量在分母的位置上 使分母不为 0 的实数 自变量在二次根号下 等号右边是开平方的式子 使被开方数大于或等于 0 的实数 4. 函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值 . 题型巩固 题型一、函数的概念 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列变化过程中，两变量存在函数关系的是（   ） A．人的身高与年龄 B．光照时间与果树产量 C．三角形的底边长与面积 D．速度一定的汽车的行驶路程与行驶时间 2．（24-25八年级上·山西运城·期末）已知跳伞运动员从飞机跳下至落地过程中，运动员离地面的高度随着时间的变化而变化，在此过程中，自变量为 ． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）根据经验，跳远的距离（v是助跑的速度，米/秒），其中变量s随着哪一个量的变化而变化？ 题型二、求自变量的取值范围 4．（24-25八年级·河北唐山·期中）函数中，自变量的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）函数的定义域为 ． 6．求下列函数中自变量的取值范围． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 题型三、求自变量的值或函数值 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数，当函数值时，自变量的取值是（    ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26八年级上·全国·课前预习）在函数中，当时，函数值为 ；当函数值为4时，自变量x的值为 ． 9．（24-25八年级上·山东威海·期末）规定：对于关于的函数，当，若，则称：当时，是的增函数；反之，若，则称：当时，是的减函数． 例如，证明关于的函数在范围内为减函数． 令， 则 ， ，，． ．即． 所以，在范围内为减函数． 请完成下面问题： (1)当时，为________函数（增、减或者不确定）； (2)判断关于的函数在范围内的增减性，并说明理由． 题型四、函数的三种表示方法 10．（23-24八年级上·河南郑州·期中）某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（    ） A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可 11．（23-24八年级上·上海·单元测试）用 来表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法；图像法的优点是 ；图像法的缺点是 ． 12．心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 对概念的接受能力 （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当提出概念所用时间是分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ （4）从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 题型五、函数解析式 13．（24-25八年级上·福建宁德·期末）4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某水果批发市场规定，批发水果不少于时，批发价是每千克元，小王携带现金元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为 ． 15．（23-24八年级·河南周口·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数表达式． (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 题型六、函数图象识别 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）李华一家从动物园的游客中心出发，路过象馆游玩一段时间后，再前往熊猫馆，下面四个选项中，能描述李华一家与游客中心的距离s随时间t变化的图象是（   ） A． B． C． D． 17．（22-23八年级上·广东深圳·期中）小刚从家出发步行去学校， 几分钟后发现忘带作业，于是掉头原速返回并立即打电话给爸爸，挂断电话后爸爸立即跑步去追小刚， 同时小刚以原速的两倍跑步回家， 爸爸追上小刚后以原速的倍原路步行回家， 而小刚则以原跑步速度赶往学校，并在从家出发23分钟后到校(小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计)．两人之间相距的路程 (米)与小刚从家出发到学校的时间 (分钟)之间的函数关系如图所示，则小刚的步行速度为 ． 18．下列各曲线中哪些表示y是x的函数？ 题型七、从函数的图象获取信息 19．（2025八年级上·全国·专题练习）端午假期，小林约琪琪开车出去游玩．小林从家出发后，加速行驶了一段时间后匀速行驶，到达琪琪家减速停车，琪琪上车后，小林又加速行驶了一段时间，再转为匀速行驶．下列图象能近似刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是（    ） A． B． C． D． 20．一辆货车从甲地匀速驶往乙地用了2.7小时，到达后用了0.5小时卸货，随即匀速返回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍，货车离甲地的距离（千米）关于时间（小时）的函数图像如图所示，则 （小时）． 21．（22-23八年级上·全国·阶段练习）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为（），两车之间的距离为（）．图中的折线表示与之间的函数关系．根据图象进行以下探究： (1)甲、乙两地之间的距离为_________； (2)求慢车和快车的速度； (3)请解释图中点C的实际意义； 题型八、动点问题的函数图象 22．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，，点 P 从点 A 出发，沿折线运动，当点P与点B重合时停止运动．设点P运动的路程为 x，的面积为y，当点P在上运动时，则y 与x 之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级·四川乐山·期末）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于两点，设面积为与函数关系的图象如图2所示． （1）点的坐标为 ； （2）当时，函数与函数解析式为 ． 24．如图，中，是边的中点，是边上的一个动点，连接．设的面积是变量，的长是变量，小明对变量和之间的关系进行了探究，得到了以下的数据： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)自变量和因变量分别是什么？ (2)和的值分别是多少？ (3)请用关系式法表示两个变量之间的关系．并且说一说的面积是怎样变化的？ 分层强化 一、单选题 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度（最长为），与所挂物体质量之间有下面的关系： 0 1 2 3 4 … 8 8.5 9 9.5 10 … 下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，是自变量，是的函数 B．所挂物体质量为时，弹簧长度为 C．与的函数表达式为 D．挂物体时，弹簧长度一定比原长增加 3．已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则y与x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 4．下列变量之间的关系中，不属于函数关系的是（   ） A．人的身高与体重 B．某地一天的气温与时间 C．存款在银行中产生的利息与时间 D．正方形的周长与面积 5．甲、乙两个工程队同时修建两条长为1000米的马路，所修建的马路的长度y（米）与天数x（天）之间的函数关系如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．甲工程队每天修建100米 B．甲、乙两队在前6天修建的马路长度相同 C．乙工程队休息前修建的速度比休息后修建的速度慢40米/天 D．乙工程队比甲工程队早2天完成任务 6．如图①，在中，，D为的中点，动点P从点A出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②所示，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 7．如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为，小正方形与大正方形重叠部分的面积为，若，则S随t变化的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．甲、乙两人一起沿着同一路线匀速从A地出发到B地，途中甲发现忘记带钱包，立即以原速原路返回，乙则以原速的倍速度继续匀速前行，甲返回A地后取钱包花了2分钟，取到钱包后以之前速度的1.5倍速度追乙．甲乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲返回前的速度为 B．甲取到钱包开始追乙时，两人相距595米 C．甲追乙的时间为8.5分钟 D．甲追上乙时，甲走的总路程为1592米 二、填空题 9．变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值为 ． 10．一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x、y，并且对于变量x的每一个值，y都有 的值与它对应，那么我们称y是x的 ，其中x是 ． 11．下列关于变量x，y的关系式中：①；②；③．其中，y是x的函数的是 （填序号）． 12．在函数中，自变量的取值范围是 ． 13．已知线段长50厘米，一只机器甲虫从A点出发，沿线段爬向B点，设甲虫爬完全程的时间为t（秒），速度是v（厘米/秒）且最大速度是10厘米/秒，给出结论①甲虫不可能在4秒之内爬完全程，②甲虫用10秒爬完全程时，平均速度是5厘米/秒，③v关于t的函数图象完全位于第一象限内，其中正确的是（填序号） ． 14．《九章算术》中有一题大意为：走路快的人走100步时，走路慢的人只能走60步．若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上对方？如图是走路快的人与走路慢的人行走的路程s（步）与走路快的人的行走时间t之间的函数关系，则两图象的交点P的纵坐标是 ． 15．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村．甲、乙之间的距离s（单位：）与骑行时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则相遇后，两人再次相距时，乙又骑行了 ． 16．已知动点P以每秒的速度沿图甲的边框按的路径移动，相应的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若，则图甲中的图形面积是 平方厘米． 三、解答题 17．已知等腰三角形的周长为cm，底边长为cm，一腰长为cm． （1）求与之间的函数关系式； （2）指出其中的变量和常量． 18．甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的关系图象如图所示，根据图象提供的信息，回答下列问题： （1）A地与B的路程是　 　km； （2）　 　同学先到达B地；提前了　 　h； （3）乙的骑行速度是　 　km/h； （4）甲从A地到B地的平均速度是　 　km/h． 19．小明某天上午时骑自行车离开家，时回到家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）． （1）图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）时和时，他分别离家多远？ （3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （4）时到时他行驶了多少千米？ （5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？ （6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？ 20．下图是某物体的抛射曲线图，其中表示物体与抛射点之间的水平距离，表示物体的高度． （1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ （2）根据图象填表： 0 1 2 3 4 5 6 （3）当距离取之间的一个确定的值时，相应的高度确定吗？ （4）高度可以看成距离的函数吗？ 21．如图是小明散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：）的函数图象． （1）小明在散步过程中停留了多少时间？ （2）求小明散步过程步行的平均速度． （3）在哪一时间段，小明是匀速步行的？在这一时间段，他步行的速度是多少？ 22．按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，1张餐桌摆6把椅子，2张餐桌摆10把椅子，3张餐桌摆14把椅子，其中餐桌的数量用x（张）表示，椅子的数量用y（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化． (1)题中自变量是____，因变量是____． (2)请写出y和x之间的关系式；（不要求写自变量的取值范围） (3)按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐80人（一把椅子只坐一个人）？请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $