第1章《三角形》复习学案 2025--2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦《三角形》单元复习，涵盖三角形的边与角、全等判定、特殊三角形等核心概念，以“定义-符号语言-典型例题”递进设计，构建“基础认知-性质应用-综合证明”的连贯学习路径，系统梳理知识内在逻辑。 亮点在于融入实际问题与逻辑推理任务，如“景观桥距离判断”培养数学眼光，“AP+BP＜AC+BC”证明发展推理意识。典型例题含作图、折叠等探究任务，配合知识框架图梳理联系，助力学生深度学习，为教师单元教学提供完整支撑。

苏科版（2024版）八年级数学第1章《三角形》复习 【知识点一：三角形的边和角】 1.如图所示的三角形可以记作 　 　 ． （1）三角形的三条边是 　 ；三个顶点是 　 　 ：三个内角是 　 　 ． （2）顶点A所对的边是 　 ；顶点B所对的边是 　 　 ；顶点C所对的边是 　 　 ． 【知识点二：三角形的三边关系】 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和 第三边； 三角形任意两边之差 第三边. 符号表示：AB-AC BC AB+AC. 【典型例题】 1.以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（　）（可组成三角形的：两小边相加＞长边） A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．6，6，1 2.一个三角形，三条边长分别是4，7，x.则x的范围为 . 3.在中，AB=2，，若的长为整数，则的长可能是 ． 4. 某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸A、B之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点C，测得CA＝8米，CB＝7米．根据三角形三边关系，A、B之间的距离不可能是（　　） A．5米 B．7米 C．12米 D．16米 5.已知a，b，c是三角形的三边长，回答下列问题. （1）比较大小：a-b-c 0，b-a-c 0，c+b-a 0.（填“＞”“＜”或“=”） （2）化简：|a-b-c|+|b—a-c|-|c+b-a|. 6.如图，点P是△ABC内的一点，连接PA，PB.求证：AP+BP＜AC+BC. 【知识点三：三角形边与角的关系】 三角形边与角关系：在 三角形中，大边对 ，大角对 . 符号语言：∵在△ABC中，∠A＞∠B ∵在△ABC中，BC＞AC ∴BC＞AC ∴∠A＞∠B 范例：如图，在△abc中，∠C=90°，比较AB，BC的大小，并说明理由. AB＞BC 证明：∵在△ABC中，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° ∴∠A＜90° ∴∠C＞∠A ∴AB＞BC 【典型例题】 1.如图，AB＞AC，∠BDA=∠BAD，∠CEA=∠EAC.求证：AD＞AE. 【知识点四：三角形的三线】 1.三角形的中线：在三角形中连接一个 点与它对边 点的线段，叫作三角形的中线. 符号语言： 反过来： ∵点D是BC中点 ∵AD是△ABC的中线 ∴AD是△ABC的中线 ∴BD=CD=BC 三角形中线的性质：三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 2.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的 点与 点之间的线段叫作三角形的角平分线. 符号语言： 反过来： ∵AE平分∠BAC ∵AE是△ABC的角平分线 ∴AE是△ABC的角平分线 ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC 3.三角形的高线：从三角形的一个 点向它的对边所在的直线作 ， 点与 之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 符号语言： 反过来： ∵AF⊥BC ∵AF是△ABC的高 ∴AF是△ABC的高 ∴∠AFB=∠AFC=90° 【典型例题】 1．下面所示的四个图形中，线段BE能表示三角形ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　） A．BE＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．△BAE＝△CAE D．S△ABC＝2S△ABF 第2题图 第3题图 3．如图，CD是△ABC的中线，点E和点F分别是CD和AE的中点，若△BEF的面积为，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 4．如图，△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝4，S△ABD＝10，求BC，CD的长． 5．（1）在△ABC中，BC边上的高是 　 　 ； （2）在△AEC中，AE边上的高是 　 　 ； （3）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长． 【知识点五：全等三角形的性质】 全等三角形的性质：全等三角形 相等， 相等。（全等三角形面积相等，周长相等） 符号语言：∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE,AC=DF,BC=EF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F， , 【典型例题】 1.如图，△ABC≌△ADE，AB＝3cm，BE＝8cm，点B，A，E在同一条直线上，则下列说法中，正确的是（　　） A．AC＝11cm B．CD＝1cm C．∠C＝∠ADE D．∠B+∠E=90° 2. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3= . 3. 如图，△ABC≌△DBC，∠A＝45°，∠ACD＝76°．求△BCD各内角的度数． 【知识点六：全等三角形的判定】 全等三角形的判定：（至少要有一组边相等） ①两边及其 分别相等的两个三角形全等。（简称“边角边”或“SAS”） 符号语言：（全等五行） 在△ABC与△DEF中 ∴△ABC≌△DEF （SAS） ②两角及其 分别相等的两个三角形全等。（简称“角边角”或“ASA”） 符号语言：（全等五行） 在△ABC与△DEF中 ∴△ABC≌△DEF （ASA） ③两角分别相等且其中一组 的 相等的两个三角形全等。（简称“角角边”或“AAS”） 符号语言：（全等五行） 在△ABC与△DEF中 ∴△ABC≌△DEF （AAS） ④ 分别相等的两个三角形全等。（简称“边边边”或“SSS”） 符号语言：（全等五行） 在△ABC与△DEF中 ∴△ABC≌△DEF （SSS） ⑤只能用于直角三角形全等的判定： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 符号语言：（全等五行） 在Rt△ABC与Rt△DEF中 ∠C=∠F=90° ∴Rt△ABC≌Rt△DEF （HL） 【方法指引】 证明全等需要3个条件，可从3个方面考虑：①直接条件②隐藏条件③间接条件 隐藏条件包括：对顶角，公共角，公共边. 【典型例题】 1.根据下列条件，能画出唯一确定的△ABC的是（ ） A. AB=2，BC=3，AC=6 B. AC=4，BC=3，∠A=60° C. AB=5，BC=3，∠B=30° C. ∠A=45°，∠B=45°，∠C=90° 2.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有 1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃。应该带（ ） A.第1块 B. 第2块 C. 第3块 D.第4块 第2题图 第3题图 第4题图 3. 如图，已知△ABC，△DEF为小明根据△ABC所作的图形，且△ABC≌△DEF，则他作图的根据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 4.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.如图，线段AB与CD相交于点O．已知AC∥BD，添加下列条件仍无法证明△ACO≌△BDO的是（　　） A．AC＝BD B．OA＝OB C．OC＝OD D．AB＝CD 第5题图 第6题图 6.如图所示AB＝AC，要说明△AEB≌△ADC，需添加的条件不能是（　　） A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC 7. 如图，∠A＝∠D＝90°，给出下列条件：①AB＝DC，②OB＝OC，③∠ABC＝∠DCB，④∠ABO＝∠DCO，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 8.已知：如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，AC=AE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE． 9.如图，点A，D，F，B在一条直线上，AD＝BF，∠E＝∠C，且AE∥BC．求证：△AEF≌△BCD． 10．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F.CF=5,BD=2．求AB的长． 11．如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，且有AD=AE，求证：△CBE≌△BCD． 12.已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E． 求证：△ACD≌△CBE．（以上两个不同的图形所得的结论相同．请你任选其中一个图形加以证明） 13. 已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F， （1）如图①，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝　 　 ；如图②，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝　 　 ；如图③，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝　 　 ； （2）如图④，若∠ACD＝α，则∠AFB＝　 　 （用含α的式子表示）； （3）将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图⑤所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明． 【知识点七：线段的垂直平分线】 ①定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 ②性质：垂直平分线上的点到线段 的距离相等。 符号语言：∵PO垂直平分AB ∴AP=BP,AO=BO. ③性质的逆定理：到线段两端 的点在线段的垂直平分线上。 符号语言：∵AP=BP ∴点P在AB的垂直平分线上 ∵AQ=BQ ∴点Q在AB的垂直平分线上 ∴PQ垂直平分AB ④三角形三边的垂直平分线的交点到三角形 距离相等。 ⑤应用：将军饮马（轴对称的性质，化曲为直，求两条线段和的最小值） 解题关键：在复杂图形中抽离出将军饮马的基础模型。①找到“河”②找到两个固定的点。 【典型例题】 1.如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F。△CMN周长为5，∠MFN=70°。则AB= ,∠MCN= . 2.如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为CE的中点。试写出图中相等的线段 ，若∠C=70°，则∠BAC= . 第2题 第1题 第3题 3.如图，在三角形纸片ABC中，∠A=50°，AC+BC=9，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，則∠CEB= ,△CBE周长为 . 4.（1）在班级的联欢晚会上，有A,B,C三名同学站在如图①所示的三个位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，请你用尺规作图作出此凳的位置.（不写作法，保留作图痕迹） （2）图②是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B,C均在格点上，利用网格找一点P，使PA=PB=PC。 图① 第5题图 图② 5.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，边BC的长为10cm，面积是40cm2，AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小为　 　cm． 6.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F。求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC。 【知识点八：角的轴对称性】 ①性质：角平分线上的点到角 的距离相等。 符号语言： （条件必须是双垂直+角平分线） ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB ∴PC=PD ②性质定理的逆定理：在角的内部，到角两边 的点在角平分线上。 符号语言： （条件必须是双垂直+线段相等） ∵PC=PD，PC⊥OA，PD⊥OB ∴OP平分∠AOB ③三角形三条角平分线的交点到三角形 距离相等。 【典型例题】 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC=5,AD平分∠BAC， CD：BD＝2：3，则点D到AB的距离是　 　。 第3题 第2题 第1题 2.如图，△ABC的三边AB,BC,CA的边长分别为10,15,20，其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则= 。 3.在△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，DE=DF，∠B=18°，∠BAC=100°，则 ∠CDA的度数为 . 4.如图，2024年9月20日至22日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办．某社区要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个便民服务站．要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（　　） A．△ABC三边中线的交点 B．△ABC三个角的平分线的交点 C．△ABC三边高线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 4.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为70，AB=16，BC=12.求DE的长。 5.某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道OM，ON之间（即∠MON内部）的开阔地修建一所红十字救助站P，使其到景观道OM，ON的距离相等，同时到A，B两个休息亭的距离也相等，试确定救助站P的位置． 【知识点九：等腰三角形】 等腰三角形的对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有1条。是 . 定义：有 相等的三角形叫做等腰三角形. 符号语言：∵AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 性质：①等腰三角形的两个底角相等（简称“ ”） 符号语言：∵AB=AC ∴∠B=∠C ②等腰三角形 、 、 重合.（简称“三线合一”） 符号语言：①∵AB=AC,AD平分∠BAC ∴BD=CD=BC,∠ADB=∠ADC=90° ②∵AB=AC,AD是△ABC的中线 ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC,∠ADB=∠ADC=90° ③∵AB=AC,AD是△ABC的高 ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC, BD=CD=BC 判定：①定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“ ”） 符号语言：∵∠B=∠C ∴AB=AC（或△ABC是等腰三角形） 【典型例题】 1.在△ABC中，∠A=40°，当∠B= °时，△ABC是等腰三角形。 2. 如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有 个。 第2题 第3题 3.如图，已知：在△ABC中，AB=AC=10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 个等腰三角形； EF与BE、CF之间的数量关系是 ,△AEF的周长是 . 4.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60度，则该三角形的底角是（　　）度． A．120 B．30 C．15或75 D．30或120 5.若a，b是等腰△ABC的两边，且满足|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，则此三角形的周长为（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．20 6.等腰△ABC的一个外角为140°，则另外两个角为（　　） A．40°，40° B．100°，40° C．70°，70° D．70°，70°或100°，40° 7．若关于x，y二元一次方程组的解x，y的值大于0． （1）求a的取值范围； （2）若x，y的值恰好是一个等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为15，求a的值． 8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的中线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF． （1）求证：DE＝DF； （2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数． 9．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，M为BC的中点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．求证：MD＝ME． 10.已知，如图，在△ABC中，AB=AC，点M、N在BC上，且AM=AN.求证：BM=CN.（不要用全等） 11．如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连结BD并延长到点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，交AB于点G． （1）若BD＝DE，求证：CD＝DF； （2）若BG＝GE，∠ACB＝70°，∠E＝25°，求∠A的度数． 【知识点十：等边三角形】 等边三角形的对称性：等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有 条。 定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。 符号语言：∵AB=AC=BC ∴△ABC是等边三角形 性质：等边三角形的各角都等于 . 符号语言：∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60° 判定：①定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。 ②三个角 的三角形是等边三角形。 符号语言：∵∠A=∠B=∠C ∴△ABC是等边三角形 ③有一个是 °的 三角形是等边三角形。 符号语言：∵AB=AC，∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°） ∴△ABC是等边三角形 【典型例题】 51. 如图，在△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至点G，取NG=NQ. 则图中的等腰三角形（不含等边三角形）有 ，等边三角形有 ，判定等边三角形的理论依据是 。 【知识点十一：直角三角形】 定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。 性质：①直角三角形的两个锐角 。 符号语言：∵在Rt△ABC中，∠B=90° ∴∠A+∠C=90° ②直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 符号语言：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30° ∴AB=AC（或AC=2AB） ③直角三角形斜边上的 等于斜边的 。 符号语言：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，D是AC的中点 ∴BD=AD=CD=AC 【典型例题】 1. 如图，某公园里的一个池塘周边有三条小路AB、BC和AC，其中AB⊥BC，AC＝100m，现在打算从B处修一座木桥直通AC的中点D处，木桥的长为（　　） A．50 m B．60 m C．80 m D．100 m 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 3.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A在BC边上的点D位置．且ED⊥BC，EC=2CD．则∠EFD＝（　　） A．45° B．50° C．40° D．55° 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝8cm，那么CE＝（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 5.如图，BE,CF是△ABC的两条高，P是BC边上的中点，连接PE,PF,EF． （1）求证：PE=PF； （2）若∠A=60°求证△PEF是等边三角形. 6.如图，△MNP是等边三角形，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至点G，取NG=NQ. 若△MNP的周长为12，MQ=m. （1）△MGQ的周长是 。 （2）若点O为MN中点，求证△OQG是直角三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $