三角函数及解三角形公式复习讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义围绕三角函数核心模块，将任意角三角函数公式、同角关系、诱导公式、和差倍角公式及辅助角公式系统整合，构建“公式梳理-题型突破-真题应用”的复习框架，通过考点分类讲解、典型例题方法指导（如切弦互化中的弦化切技巧、1的妙用）、近五年新高考真题演练等环节，帮助学生夯实公式基础并掌握解题通法。 讲义突出“公式-题型-素养”三位一体教学特色，创新采用形象记忆法（如诱导公式的“加塞口”等口诀）帮助学生快速掌握公式，通过题型分层训练（如切弦互化、辅助角公式应用）培养数学思维和运算能力，结合真题解析强化数学语言表达规范。这一设计能在短时间内提升学生公式应用和解题效率，为教师提供精准复习节奏把控的教学资源。

1、任意角三角函数公式 sin日=￥，cos日=等，tan日=景其中r=Vx2+y2 2、同角关系式 (1)sin20+c0s28=1 (2)tan8=0器 3、诱导公式（括号里是我以前的记忆方法） ①sin(8+2kπ)=sin6,cos(6+2kπ)=cos6,tan(6+2kπ)=tan6(这-行是 不变的 2sin(π+6)=-sin6,cos(π+6)=-cos6,tan(π+6)=tan6(加塞口) 3sin(π-6)=sin6,cos(π-6)=-cos6,tan(π-6)=-tan(捡口痰) ④sin(-6)=-sin8,cos(-6)=cos6,tan(-6)=-tan6(负赛痰) ⑤sin(器-6)=cos6,cos(晋-6)=sin6(减法是不变的) ⑥sin(琴+6)=cos日，cos(亨+6)=-sin6(cos和加法是让人烦的，所以他变) 4、和差公式(si的是赛扣扣赛，加法就是加法，减法就是减法) (1)sin(a+B)=sinacosB+cosasinB,sin(a-b)=sinacosB-cosasinB Cos是扣扣赛赛，加法变减法，减法变加法 (2)cos(&+B)=cosacosB-sinasinβ，cos(a-β)=cosacosB+sinasinB 上面同号加减法，下面异号乘法 etan(a+B)-a器，tan(a-B)）=器 tana-tanB 5、二倍角公式（这个你可以自己推出来用上面的和差公式） (1)sin2a =2sinacosa, (2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a (3tan2a=器 6、辅助角公式：（这个必须会，特别好用，相当于万能公式） y=asinx+bcosx=b sim) 题型一 切弦互化 【例1】已知tanc=3,求下列表达式的值： (1) sina-2cosa 3sina4cosa (2) 2sin a-3cosa 4sin'a+cosa (3)sin2a-2sinacosa+4cos2a 第一道题很典型的就是每一项都除cos,这样sin的一项就能得到tan,cos一项就变成 1了，给你tan的得数了所以可以带入。第二道题和第一道题一样，每一项都除cos的 平方，剩下的就是和刚才的解析是一样的。第三道题是变1，叫1的妙用，任何数的分 母都是一，可以直接用，中间一项的次数是2，所以和第二道题一个意思 sin20+cos20=1,然后就是一样的了。希望你能会，不会马上给我发微信！ 【解析】(1)m4eo sina-2cosa tana-2 (2) 2sina-3cosa 2tan'a 3 4sina+cosa 4tan2a+1 = (3) incocoa sina+cosa tan a+1 题型二sina士cosa与sinacosa的关系 【例2】sinc+cos&=青，0<a<πo求下列式子值： (1)sinacosa (2）sina-cosa 这导体第一眼就是把sin心+cos心=吉整体平方，然后就可以打开了，再用 sin2日+cos20=1,可以得到第一题的答案，第二道题考察的是完全平方公式， (sin&-cosa)2=sin2a-2 sinacosa+cos2a=1-2 sinacosa就出来了 【解析】(1)(sina+cosa)2-sin2a+2 sinacosa+cos2a=1+2 sinacosa=元 解得sinacosa=·号 (2)因为0<a<元，所以sia>0因为sinacosa=·号<0，所以cosa<0,所以 sina-cosa>0o所以(sina-cosa)2=1-2 sinacosa=1+第=0 故sina-cosa=看 题型三诱导公式的应用 sin-a)sir-a)tar(2xa) 【例3】sin是方程5x2-7x-6=0的一个根， co号co号+网)π+a等于（） A B号 c D 关键就是si的取值范围是(-1,1)，第二个根需要舍去，然后就是诱导公式的运用 【解析】解方程5x2.7x-6=0,得x1=-是，x2=2o所以sina=-。 cosa(-cosatani a 所以原式= sina(-sina(-sina) =品=号故选B 题型四倍角公式综合应用 【例4】2sina=2sin2号-1o (1）求sinacosa+cos2a的值， (2）已知ae(0,π)，B∈[0，]，且tan2B-6tanS=1,求a+2β的值。 上面的二倍角公式必须背下来，这道题给你练练手(1)sin2a=2 sinacos%, (2)cos2a cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a (3)tan2a=tana 1tang 【解析】(1)2sinc=2sin2号-1=-cosa,所以tana=- 所以sinacosa十cos2a=迎cga2=n时a=-青 sina+cosza tana+1 (2）tan23-6tanB=1,则tan23=6tan3+1。所以 tan28-器-器-专，tan(c+28)=知器 有=-1因为 ae(0,π)，tana=-克，所以c∈（号，π）：因为β∈[0，号]，所以2Be[0,π]o因为 tan2B=-青<0，所以2Be(,π所以a+2B∈（π，2π）， 因为tan(x+23)=-1,所以a+23=妥 题型五辅助角公式应用 【例5】(1)求y=V3six+cosx的最小值 (2）求y=3sinx+4cosx的最大值 公式y=asin+-bcox=h2+b2sin(x+p,其中cos9=,sinp= 【懈折la)y=V5six+cox=2(siax号+cosx,号)=2sin(x+号) 所以ymin=·2 (2)y=V32+4sim(x+p)=5sinx+p),其中cosp=寻sinp=青。 故ymax=5o 2025年新高考2卷三角函数及解三角形 第二问主要理解f(X)里的x是一个整体，f(x-π/6)代换在cos里面的x这个整 体，然后就是两角和公式 15.已知函数fa)=os(2x+p0≤g<动.f0=号 (1)求p: (2)设函数g)=f(a)+f红一)，求g)的单调区间和值域 【解析】1：f0)=c080=2,0≤0<元六p=3 ∴f)=cos(2x+5) 2):f-吾)=cos2(e-吾)+5]=cos2z ·g6)=fje)+fe-若)=cos(2z+3)+cos2z =c0s2z·c0s5-in2x·n号+c0s2z =号cos2r-号n2z 或者=-9n2z+号cos2z=V3n2e+) =3(9s2x-吉如2a）)或者=v8如（赁-2=-一5如2z-2 =3cos(2+) xeR·g()的值域为[-V3,3] 令-x+2版≤2红-吾≤0+2版，得单调增区间为[-登+c意+]k€2 令0+2版<2红-吾≤π+2，得单调减区间为[臣+x瓷+标]化EZ习 2024年新高考2卷三角函数及解三角形 典型的积化和差，用辅助角公式也可以，第二问就是正弦定理 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+V3cosA=2. (I)求A: (2)若a=2,V2 bsinC=csin2B,求△ABC周长. 【解析】 (a2(侵smA+号cos个）=1，sim(A+)=1 A+骨=受A=8 (2)sin B sinC=sin Csin2B,=2cos B,cosB= 2 B=景c=8 :a==→2= c,“b=2V2,c=V6+V2, 周长=2+V6+3V2. 2024年新高考1卷三角函数及解三角形 15.记△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,已知 sinC=2cos B.a+b2-c=2ab (I)求角B (2)若△4BC的面积为3+√5，求c ①餐器余这定理2+-2=2osC=,那么sC=发又烟为C∈a. 得到C=骨时sB=分得到B-号 ②限E孩定理影-8-并粗血A=血8+=也BasC4sBaC v6+ 4 ,那么S=c血A=3+V8.解得c=2W5 2023新高考1卷三角函数及解三角形 17.(10分)已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB. (I)求sin4: (2)设AB=5,求AB边上的高. 【解注】D:4+B=C,六-C=C,即C-晋 2sin(A-C)=sin B=sin(A+C)...2sin AcosC-2cos AsinC sin AcosC+cos Asin C. sin AcosC =3cos AsinC,.'sin A=3cos A, 即anA=3,所以0<A<,sinA= 33W10 1010 1√10 (2)由(1)知，c0sA= 010 由snB=sim4+O=sin coC+es4snC=53iOg.25】 210105 b 5x25 由正弦定理， sinc sinB'可得6=习 -=2V10 号48有-号484Cm4,h=6sn4=2o,D-6 10 2022新高考1卷三角函数及解三角形 18.(12分) 记△ABC的内角A,,C的对边分别为a,b,。,已如品1o2B sin2B I)若c-否，求B: (2)求口+的最小值： c 【解H折】(1)由已月茶件得：s1n2B+sm4sn2B=cos1+cos,1cos2B sin 2B cos+cos/lcos28-sin Isin 28 cos+cos(+2B) =cosπ-(B+C1+coslπ-tB+C)+2B] =-csB+()+cosn+(B-C】 =-2cos Bcos(' 所以2s1 n BeasB=-2 cos Beos(,即(s1nB+cosC)cosB=0, I已妇知条件：1+cos2B≠0，则B=交.可得cOsB≠0， 2 所以sn=-cosC-子B- 6 2由1)知snB=-c0s(C>0.期B=(-号snB=snC-=-csC. sind=si(B+C)=sin(2C-)=-cos2C. 由技定理+2.sm+snB-c0s2C+cosG -(1-2sin'C)+d-sin'C) s1n”( sinC+4sin'c-5 2+4sin-5sim°C_2 sin'C ≥2cmc-5=45-s 当几仪当smC=巨时等号成立.所以4+的最小值为+5-5. 2 2 4 3.(2018年高考数学江苏卷第16题)（体小题满分14分）已知a,B为锐角，ma=3, cos(a+B)=- 5 (1)求cos2a的值： (2)求tan(a-)的值. 【答来灯解析：a因为ama-号ma-所以na=含a 4 4 cosa 因为sin2a+cos2a=l小，cosa=25 9 因tosa=2ma-l:名 (2)因为a,B为锐角，所以a+B∈(0，x). 又因为oa+历=-5，所以a+m=-osa+顶_25 5 5 因此，tan(a+)=-2, 因为0手所m2a2。-号 因此，an(a-A)=taml2a-a+j=an2a-tan(a+D。-2 1+tan 2atan(a+B)11 6.2019商考数学江苏第15圈已知ae写，地0=5 5 a)求sn子+a)的值： 2)求cos5-2a)的值。 6 【答案1①-D:214+3随 10 10 解折：⑧因为ae(传小g-5,所以oa-小ma.26 5 10 am2- 女为你加油 高考顺利！祝你金榜题名