平面向量专项训练-2026届高三数学一轮复习

平面向量专项训练 平面向量专项训练 考点目录 平面向量的线性运算与基本定理 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 平面向量中的最值问题 平面向量的实际应用 平面向量的新定义问题 考点一 平面向量的线性运算与基本定理 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）如图，5×5的方格里，每个方格长度为1，则向量＝（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 3．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）在中，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 6．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）在中，点满足，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北孝感·阶段练习）在平行四边形中，，点F是线段DE的中点，若，则＝（   ） A．1 B． C． D． 8．（25-26高二上·安徽·阶段练习）如图，已知在中，为的中点，与相交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段练习·多选）已知都是单位向量，若，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习·多选）在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试·多选）在中，，，向量满足，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为 .    13．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）已知点是的重心，点满足，若三点共线，则 ． 14．（25-26高二上·河北·开学考试）已知单位向量与的夹角为． (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若，求的值． 15．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 考点二 平面向量的数量积 1．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段练习）设，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知向量与的夹角为，，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）已知正方形的边长为1，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 5．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（    ） A．为定值16 B．为定值32 C．最大值为32 D．与的位置有关 6．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）已知向量满足，且，设的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段练习）若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（    ） A．4 B．8或 C．10 D．4或10 8．（2025·陕西西安·模拟预测）若非零向量，相互垂直，且，则满足的的值为（   ） A．2 B． C． D． 9．（2025·四川绵阳·模拟预测·多选）圆为三角形ABC的外接圆，则（    ） A． B． C．三角形的面积为 D．三角形的周长为 10．（24-25高一下·福建福州·期末·多选）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 11．（2025·河北衡水·模拟预测·多选）在边长为3的等边三角形中，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·浙江嘉兴·一模）已知向量满足，则 . 13．（25-26高三上·山东菏泽·开学考试）已知满足，且对任意的实数，不等式恒成立，设的夹角为，则 . 14．（25-26高三上·上海·开学考试）已知圆心为、半径为1的圆上有三点、、．若，则 ． 考点三 平面向量的坐标运算 1．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2025·广西·模拟预测）已知向量，则下列选项中与同向的单位向量是（    ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量，若，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 5．（24-25高二上·四川达州·开学考试）设向量，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知平面向量满足 ，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．（25-26高三上·北京·开学考试）已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 9．（25-26高三上·福建泉州·阶段练习·多选）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 10．（25-26高二上·重庆·开学考试·多选）已知向量，，则（   ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 11．（25-26高三上·江苏南京·开学考试·多选）已知向量，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．在上的投影向量为 D．的最小值为 12．（2025·江苏南京·模拟预测）已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则 . 13．（23-24高一下·北京·开学考试）设向量，，若，则实数 . 14．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是 ． 15．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知非零向量，，且． (1)求x的值； (2)求向量与的夹角； (3)求向量在方向上的投影向量的模． 考点四 平面向量中的最值问题 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，是单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 2．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 4．（25-26高三上·湖北·阶段练习）设圆的半径为为圆上的动点，且圆心到弦的距离为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 5．（25-26高二上·河南·开学考试）平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点.若，且，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 7．（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 8．（24-25高一下·上海·期末）已知平面向量满足，且对任意的实数，均有．则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习·多选）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B．的最大值为 C．的范围是 D．的范围是 10．（24-25高一下·浙江·阶段练习·多选）已知平面向量，满足为单位向量，，则（    ） A． B．的最小值为 C．在方向上的投影长度的范围为 D．若，则的最大值为 11．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）如图，在矩形中，，E，F分别是矩形的边和的中点，N是线段上的一动点，，则的最大值为 . 12．（2024·甘肃·一模）已知单位向量满足，则的范围是 . 13．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为 . 14．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知平面内的三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时， . 考点五 平面向量的实际应用 1．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 2．（25-26高三上·山东泰安·开学考试）如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地面速度对应的向量为，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 3．（2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（    ） A．2m/s B．m/s C．4m/s D．m/s 5．（24-25高一下·广西河池·期末·多选）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 6．（2025·安徽黄山·二模·多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 7．（25-26高三上·广东·开学考试·多选）无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹．无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和．无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量（垂直线路方向的向量分量）超过2m/s或纵向偏移量（沿线路方向的向量分量，其标准值为4m/s）超过标准值1m/s时，需调整飞行姿态．已知某区域风速稳定，某次无人机计划沿轴正方向为线路巡检时，空速向量为（单位：m/s），风速向量为（单位：m/s），则（    ） A．地速大小为5m/s B．地速向量的方向与空速向量方向相同 C．纵向偏移量与标准值无偏差 D．该无人机需要调整飞行姿态 8．（24-25高一下·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳． 9．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则 ，传令兵所走的路程为 ． 10．（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)． 考点六 平面向量的新定义问题 1．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段练习）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西·期中）对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角.若非零向量，满足，向量，的夹角，且和都是集合中的元素，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京西城·期末）设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 4．（2025·四川成都·三模·多选）对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（   ） A．若，，，则，，线性相关 B．若，，，则，，线性无关 C．若，，线性无关，则，，线性相关 D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关 5．（2025·浙江宁波·模拟预测·多选）将一些向量构成的集合称为线性空间，设是线性空间V到自身的一个变换，将中所有能被变换为零向量的向量组成的集合称为变换在上的核，记作．已知线性空间，对任意，中的元素个数不少于4，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则 . 7．（24-25高一下·重庆·期末）若向量，且为单位向量，定义，则的取值范围是 . 8．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ． 9．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 10．（24-25高一下·黑龙江·期末）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且 (1)求角； (2)求； (3)已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值． 11．（2025高二下·北京·学业考试）给定正整数，按照一定顺序排列的向量记为向量序列，其中. 给出两个性质： ①，且中的向量互不相等； ②已知向量集合.记.对于中的任意两个向量，“” 的充要条件是“”. (1)当时，分别判断向量序列是否满足性质①；（结论无需证明） (2)（）当时，写出一个同时满足性质①和性质②的向量序列； （）当时，若向量不同时在向量序列中，且同时满足性质①和性质②，求证：的个数为偶数. 12．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于一组向量、、、…、（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． (1)设，且，若是向量组、、的“长向量”，求实数的取值范围； (2)若，且，向量组、、、…、是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知、、均是向量组、、的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列、、、…、，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 13．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知：对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P． (1)已知平面内点，点，把点B按已知方式绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标； (2)若曲线上的点可以由曲线（，）上的点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转角得到，求曲线的方程； (3)将曲线上的所有点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转，得到曲线，证明：和有且仅有一条公切线． 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量专项训练 平面向量专项训练 考点目录 平面向量的线性运算与基本定理 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 平面向量中的最值问题 平面向量的实际应用 平面向量的新定义问题 考点一 平面向量的线性运算与基本定理 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）如图，5×5的方格里，每个方格长度为1，则向量＝（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，． 故选：B    2．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 3．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）在中，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知. 故选：C 5．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【详解】因为，可得， 可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上. 故选：D. 6．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）在中，点满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则为的中点， 因为，所以， 则， 而， 则，即. 故选：D.    7．（25-26高二上·湖北孝感·阶段练习）在平行四边形中，，点F是线段DE的中点，若，则＝（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】   ，． 故选：C． 8．（25-26高二上·安徽·阶段练习）如图，已知在中，为的中点，与相交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 则， 又三点共线，， 又为的中点，，又，所以， 又三点共线，， 由平面向量基本定理知，，解得，所以， 即，所以， 故选：D. 9．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段练习·多选）已知都是单位向量，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由均为单位向量，，则， 又，则，即，故，， 由零向量与任意向量平行或垂直，则，，，且， 综上，A、C正确，B、D错误. 故选：AC. 10．（24-25高一下·山东临沂·阶段练习·多选）在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【详解】∵点在线段上，∴设，. 又点，分别在和上，且满足，， ∴，，∴. 又，∴，即. 故选项A，C，D正确，选项B错误. 故选：ACD. 11．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试·多选）在中，，，向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，， 由余弦定理可得， 所以， 所以为直角三角形，为直角，故，A正确， 因为，所以， 所以，故， 所以，故， 所以，B正确， 若，则，故，矛盾， 若，则，故，矛盾， 所以，且， 因为， 所以，又， 所以，故， 所以，所以， 所以，故所以C错误， 因为， 所以， 又，， 所以，故D正确， 故选：ABD. 12．（25-26高二上·河北张家口·开学考试）如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为 .    【答案】 【详解】由A，P，D三点共线，设，由得， 故， 由得， 故，——① 再由B，P，E三点共线，设， 所以，即——② 由①②及向量与不共线，由平面向量基本定理，得，解得. 故得 又，故，， 所以. 故答案为：. 13．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）已知点是的重心，点满足，若三点共线，则 ． 【答案】/ 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，， 所以， 又若三点共线，则，解得. 故答案为：. 14．（25-26高二上·河北·开学考试）已知单位向量与的夹角为． (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ； （2）， ； （3）因为，所以 所以，解得． 15．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由，可得， 因，则有， 又与有公共点，故A、B、D三点共线. （2）依题意，设，则得，解得， 当时，，， 此时显然有，符合题意； 当时，，， 此时显然有，符合题意. 故时，和 共线. （3）因，，则. 由题意，可得且与不共线， 由，即， 故，解得或； 又由与共线可得，即，解得， 故与不共线，即. 综上，λ的取值范围为. 考点二 平面向量的数量积 1．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段练习）设，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以由，得， 因为，所以. 故选：A. 2．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知向量与的夹角为，，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】， 即，即， 解得或（舍）. 故选：. 3．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）已知正方形的边长为1，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， . 故选：A. 4．（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：A 5．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（    ） A．为定值16 B．为定值32 C．最大值为32 D．与的位置有关 【答案】B 【详解】如图，取的中点为，连接， 因为为等腰三角形，所以，又， 所以. 所以. 所以为定值32. 故选：. 6．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）已知向量满足，且，设的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 故，则， 故. 故选：D. 7．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段练习）若平面向量，，，两两的夹角相等，且，，，则（    ） A．4 B．8或 C．10 D．4或10 【答案】D 【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两的夹角为或， 当夹角为时，. 当夹角为时， ，所以或. 故选：D. 8．（2025·陕西西安·模拟预测）若非零向量，相互垂直，且，则满足的的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量，相互垂直，且，不妨设，， 则， 解得. 故选：B． 9．（2025·四川绵阳·模拟预测·多选）圆为三角形ABC的外接圆，则（    ） A． B． C．三角形的面积为 D．三角形的周长为 【答案】BCD 【详解】对于A，因点是的外心，则点在的中垂线上， 若点符合，则点也应在的中垂线上，则，这与题设条件矛盾，故A错误； 对于B，因为是的外心，则在的中垂线上， 于是，，故B正确； 对于C，由可得， 即，解得，解得 则，故的面积为，故C正确； 对于D，由余弦定理，， 解得，故三角形的周长为，故D正确. 故选：BCD. 10．（24-25高一下·福建福州·期末·多选）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 【答案】AB 【详解】A：由，是夹角为的单位向量则，则对两边同时平方得，则，故A正确； B：在方向上的投影向量为，故B正确； C：由，，则，故C错误； D：当时，，此时夹角不为锐角，故D错误； 故选：AB. 11．（2025·河北衡水·模拟预测·多选）在边长为3的等边三角形中，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A：，A错误； 对于B：，所以 ，B正确； 对于C：因为， 所以， 所以，C正确； 对于D： ，D正确. 故选：BCD. 12．（2025·浙江嘉兴·一模）已知向量满足，则 . 【答案】1 【详解】由，得，而， 则，解得. 故答案为：1 13．（25-26高三上·山东菏泽·开学考试）已知满足，且对任意的实数，不等式恒成立，设的夹角为，则 . 【答案】 【详解】由题意可知，对任意的实数恒成立， 即，即， 即， 即对任意的实数恒成立， 则，即，得， 因，则， 则. 故答案为： 14．（25-26高三上·上海·开学考试）已知圆心为、半径为1的圆上有三点、、．若，则 ． 【答案】 【详解】∵，且， 两边平方， ∴，故， 则. 故答案为： 考点三 平面向量的坐标运算 1．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】 由，，且， 所以，得. 故选：C. 2．（2025·广西·模拟预测）已知向量，则下列选项中与同向的单位向量是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因，则， 故与同向的单位向量为. 故选：A. 3．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：A. 4．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量，若，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，解得， ， ，则. 故选：D. 5．（24-25高二上·四川达州·开学考试）设向量，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由在方向上的投影向量. 故选：C 6．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知平面向量满足 ，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】设， 因为，所以，得， 得， 则， 当时，取得最小值，为3. 故选：D 7．（25-26高三上·北京·开学考试）已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，设，则，即， 因为，所以，即，所以. 因为，则， 所以， 又因为，即， 所以， 由可得，则的取值范围是. 故选：A. 8．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，， 在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：C. 9．（25-26高三上·福建泉州·阶段练习·多选）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【详解】对于A，，则，A错误； 对于B，因， 则，，B正确； 对于C，因，， 则与夹角的余弦值为，C正确； 对于D， ，D正确. 故选：BCD 10．（25-26高二上·重庆·开学考试·多选）已知向量，，则（   ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：， 由，得，则，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，， 则向量在向量上的投影向量为，故D正确； 故选：ACD． 11．（25-26高三上·江苏南京·开学考试·多选）已知向量，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．在上的投影向量为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】若，，，所以， 所以，故A正确； 若，则，解得，故B错误； 在上的投影向量为，故C正确； 因为，所以， 令，当时，则由均值不等式，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号， 则（或）， 所以当时，有最小值，故D正确. 故选：ACD 12．（2025·江苏南京·模拟预测）已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则 . 【答案】/0.5 【详解】， 向量在向量上的投影向量为， 又向量在向量上的投影向量为，故，解得. 故答案为： 13．（23-24高一下·北京·开学考试）设向量，，若，则实数 . 【答案】 【详解】，， 即，解得：. 故答案为：. 14．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，，则， 又与的夹角为钝角， 则，即，解得， 当与反向共线时，，解得，此时夹角不是钝角， 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：． 15．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知非零向量，，且． (1)求x的值； (2)求向量与的夹角； (3)求向量在方向上的投影向量的模． 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）已知非零向量，，故， 而，故，解得或， 由于为非零向量，故，故； （2）结合（1）可知，，则， 故， 故向量与的夹角为； （3）向量在方向上的投影向量为，， 故向量在方向上的投影向量的模为. 考点四 平面向量中的最值问题 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，是单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，是单位向量，且，所以， 又因为，所以， 如图建立平面直角坐标系，可设，，， 则， 所以， 因为，所以， 可得， 化简得，配方得， 则动点的轨迹是表示以为圆心，为半径的圆， 因为圆心到原点的距为， 所以的最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，即为. 故选：B. 2．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段上一动点，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点为正八边形的中心，，故， 取的中点，连接，则⊥，， 其中， 故，， 故， 其中，⊥， 当点在上运动时，过点过⊥，交的延长线于点， 则，， 则 ， 由图象可知，此时为最大值， 当点在上运动时，， 显然当与重合时，取得最小值， 最小值为， 所以的范围是 故选：D 3．（2025·湖南益阳·模拟预测）在中，为的中点，为平面内一点，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】A 【详解】 以为坐标原点，，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 所以，设， 所以， 因为， 所以，即，即， 所以为以为圆心，半径为圆上一点， 对于A，，所以，几何意义为到原点的距离， 所以的最大值为到原点的距离的最大值， 最大值为原点到圆心距离加上半径，即，故A正确； 对于B，，，几何意义为到的距离， 所以的最大值为到的距离的最大值， 最大值为到圆心距离加上半径，即，故B错误； 对于C，，令，即， 即，当与圆相切时有最值，即， 解得，所以的最大值为，即的最大值为5，故C错误； 对于D，，因为为以为圆心，半径为圆上一点， 所以的最大值为，所以的最大值为，故D错误， 故选：A. 4．（25-26高三上·湖北·阶段练习）设圆的半径为为圆上的动点，且圆心到弦的距离为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【详解】如图，直径，过作.垂足为，易知是等边三角形. 因为， 所以可看作在上的投影与的乘积. 所以由图可知当与重合时，在上的投影最大，所以最大为. 设为的中点，则，所以， 故的最大值为. 故选：C. 5．（25-26高二上·河南·开学考试）平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，两边平方得，又， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以与夹角的余弦值的最大值为. 故选：A. 6．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点.若，且，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】因为，， 所以，解得， 所以，即， 因为点是圆内部一点，所以，解得， 则，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：D 7．（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】设， 因为单位向量，， 则， 则，等号成立时方向相反， 故的最小值为. 故选：C 8．（24-25高一下·上海·期末）已知平面向量满足，且对任意的实数，均有．则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，记， 因为，所以点， 作，设其坐标为， 因为， 所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，即， 因为对任意的实数，均有，所以， 整理得， 由于上式对任意的实数的一元二次不等式恒成立， 则有，即，故， 设，又设， 则，整理得：， 所以可知点在直线上， 又因为点在以点为圆心，1为半径的圆上，且， 所以可以把看成两动点和的距离， 而圆心到直线的距离， 所以，即的最小值为3．    故选：B． 9．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习·多选）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B．的最大值为 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ACD 【详解】已知，，，， 所以，，， ，，，所以A正确. ， 则 ， 由同角三角函数关系和余弦二倍角公式得，仅当时，，即，所以B错误. ， 因为，所以，所以的范围是，所以C正确. 当时，点与点之间没有关联，则两点都在单位圆上运动， 如图所示，当点与点重合时，最小时为0， 当都与单位圆相切时，最大， 此时可知,所以， 同理可得，，此时，所以D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高一下·浙江·阶段练习·多选）已知平面向量，满足为单位向量，，则（    ） A． B．的最小值为 C．在方向上的投影长度的范围为 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【详解】由，为单位向量，，得， 故，则，又，故， 设，，，则， 则点在以为圆心且为半径的圆上，故，故A正确； 设，中点为， 则， 由题意可得，， 因为，故最小值为，故最小值为，故B错误； 在的投影长度为， 点在以为圆心为半径的圆上， 设，，则， 则， 故在的投影范围，故C正确； 由和得， 所以， 令，则即， 则，故， 故最大值为，故D正确． 故选:ACD． 11．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）如图，在矩形中，，E，F分别是矩形的边和的中点，N是线段上的一动点，，则的最大值为 . 【答案】/0.2 【详解】以A为原点，AB，AD分别为x，y轴，建立直角坐标系， 则，，，， 设，， ∴，，，， ∴， 当时，最大值为. 故答案为：. 12．（2024·甘肃·一模）已知单位向量满足，则的范围是 . 【答案】 【详解】设的夹角为， 因为， 又为单位向量，得到， 又，得到，所以， 故答案为：. 13．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心的半径为的圆上运动，则的最大值为 . 【答案】 【详解】 如图，以为原点，建立直角坐标系. 由题意，梯形的高长为，则. 因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，. 则 其中，， 故当时，. 故答案为： 14．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）已知平面内的三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时， . 【答案】 【详解】令， 由，所以是边长为2的等边三角形， 且，则原点在以为直径的圆周上（不与重合），为圆心，如下图示， 若，则， 所以要使最大，只需尽量小，且点在其轨迹的左上部， 所以，仅当与点轨迹左上部相切时最小，即如图中时，最小， 由，故. 故答案为： 考点五 平面向量的实际应用 1．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【详解】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 2．（25-26高三上·山东泰安·开学考试）如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地面速度对应的向量为，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设飞机的地面速度向量为，实际运动速度向量和风速向量分别为， 由已知可得，且，， 所以， 故. 故选：B. 3．（2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 船的实际过河速度为：.即. 又，即. 所以， 所以， 所以. 即水流速度为：. 故选：B 4．（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（    ） A．2m/s B．m/s C．4m/s D．m/s 【答案】B 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 则，设， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为m/s. 故选：B. 5．（24-25高一下·广西河池·期末·多选）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 6．（2025·安徽黄山·二模·多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 【答案】AC 【详解】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度， 河宽，则渡河时间 ， 当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图， 则，所以，故B错误； 对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度， 船的航行时间，即6分钟，故C正确； 对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则， 当时，， 所以， 因为船垂直河岸方向的分速度， 所以船的航行时间， 所以船的航行距离为，故D错误. 故选：AC. 7．（25-26高三上·广东·开学考试·多选）无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹．无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和．无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量（垂直线路方向的向量分量）超过2m/s或纵向偏移量（沿线路方向的向量分量，其标准值为4m/s）超过标准值1m/s时，需调整飞行姿态．已知某区域风速稳定，某次无人机计划沿轴正方向为线路巡检时，空速向量为（单位：m/s），风速向量为（单位：m/s），则（    ） A．地速大小为5m/s B．地速向量的方向与空速向量方向相同 C．纵向偏移量与标准值无偏差 D．该无人机需要调整飞行姿态 【答案】ACD 【详解】设空速向量为，风速向量为，地速向量为，则， 所以，所以， 所以地速大小为，故A正确； 由可知地速向量的方向与空速向量方向不相同，故B错误； 由于纵向偏移量为，与标准值无偏差，故C正确； 由于无人机计划沿轴正方向为线路巡检时，而地速向量为， 所以需要调整飞行姿态，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高一下·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳． 【答案】21 【详解】因为力，位移， 所以力对物体所做的功为焦耳． 故答案为：21． 9．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则 ，传令兵所走的路程为 ． 【答案】 2 /2.25 【详解】传令兵从队尾到队首与队伍的相对速度为， 根据路程与速度和时间的关系可得， 传令兵从队首到队尾与队伍的相对速度为， 根据路程与速度和时间的关系可得， 则，传令兵所走的路程为. 故答案为：；. 10．（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)． 【答案】 【详解】设三条绳受的力分别为，则， 合力为，， 如图，在平行四边形中， ∵， ∴， 即，故细绳OA受力最大，即对OA绳的耐力性要求最高． 故答案为： 考点六 平面向量的新定义问题 1．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段练习）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点， 则， 又，所以， 所以点的坐标为. 故选：D. 2．（24-25高一下·山西·期中）对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角.若非零向量，满足，向量，的夹角，且和都是集合中的元素，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，而，，则，， 于是，显然存在，，则， 因此，即，则， 显然，即， 从而，因此， 又存在，使得，即，解得，则， 所以的取值集合为. 故选：A. 3．（24-25高一下·北京西城·期末）设，为平面向量，定义运算．已知向量，，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】设，，， 因为，所以， 所以为的外心， 在中，由正弦定理可得， 所以，，， ，， 又与的夹角为， 所以， 又，，所以， ， 把看作主元，故当时，上式取得最大值，最大值为， 其中 ， 当且仅当且时，等号成立， 即时，， 所以. 故选：B 4．（2025·四川成都·三模·多选）对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（   ） A．若，，，则，，线性相关 B．若，，，则，，线性无关 C．若，，线性无关，则，，线性相关 D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关 【答案】AB 【详解】若，，， 根据题意，设， 即， 所以，解得，取， 所以，A正确； 若，，， 根据题意，设， 即， 所以，解得， 所以，，线性无关，B正确； 假设，，线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则， 因为，，线性无关，则，得， 与假设矛盾，C错误； 对于非零向量，，，若存在实数，使得， 即， 所以， 但不能确定，，是否线性相关，D错误. 故选：AB 5．（2025·浙江宁波·模拟预测·多选）将一些向量构成的集合称为线性空间，设是线性空间V到自身的一个变换，将中所有能被变换为零向量的向量组成的集合称为变换在上的核，记作．已知线性空间，对任意，中的元素个数不少于4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，对任意，，且， 则， 令，得， 则，得， 又，则， 令，得，则，且，即且， 又，因此， 于是变换将中的元素变换为零向量的， 所以中的元素个数为4，满足题意； 对于B，对任意，，且， 则， 令，得， 则，得， 又，则， 令，得，则，且，即且， 又，因此， 于是变换将中的元素变换为零向量的， 所以中的元素个数为1，不满足题意； 对于C，对任意，，且， 则， 令，则，得， 又，则， 令，得，则，且，即且， 又，因此， 于是变换将中的元素变换为零向量的， 所以中的元素个数为4，满足题意； 对于D，对任意，，且， 则， 令，则，得， 又，则， 令，得，则，且，即且， 又，因此， 于是变换将中的元素变换为零向量的， 所以中的元素个数为3，不满足题意； 故选：AC 6．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则 . 【答案】8 【详解】由得，又， 所以，所以. 故答案为：. 7．（24-25高一下·重庆·期末）若向量，且为单位向量，定义，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意知，．设， 则． 又，∴，∴． 故答案为：. 8．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 如下图所示： 记点、、、， 则点的轨迹为四边形， 因为，，同理可得， 故四边形为矩形，且， 所以，点的轨迹围成的图形面积为； 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 因为，要求其最大值，令， 不妨设，，于是，则， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：；. 9．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 10．（24-25高一下·黑龙江·期末）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且 (1)求角； (2)求； (3)已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，又， 所以， 因为，则，故， 因为，所以， 又，则，故为等腰直角三角形，所以. （2）由，知， 由费马点定义知，， 设，，，，，， 由得：， 整理得， 则. （3）在中，，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、，设点， 则，， 所以， 则的几何意义是点到点、、的距离之和， 因为，，则为等腰直角三角形，故， 易知，故， 所以，的“费马点”为点，故的最小值为. 11．（2025高二下·北京·学业考试）给定正整数，按照一定顺序排列的向量记为向量序列，其中. 给出两个性质： ①，且中的向量互不相等； ②已知向量集合.记.对于中的任意两个向量，“” 的充要条件是“”. (1)当时，分别判断向量序列是否满足性质①；（结论无需证明） (2)（）当时，写出一个同时满足性质①和性质②的向量序列； （）当时，若向量不同时在向量序列中，且同时满足性质①和性质②，求证：的个数为偶数. 【答案】(1)不满足性质①，满足性质① (2)（）.（答案不唯一）（）证明见解析 【详解】（1）根据性质①，当时，向量序列首向量为，末向量为，且向量互不相等. 对于向量序列，其末向量不满足性质①，所以不满足性质①； 对于向量序列，其首向量为，末向量为，且向量互不相等，所以满足性质①. 综上，不满足性质①，满足性质①. （2）（）根据性质①，当时，向量序列首向量为，末向量为，，且向量互不相等. 根据性质②，当时，相邻向量差， 即相邻向量要么增加且不变，要么不变且根据前一向量增加或减小. 所以可写出向量序列，经验证，同时满足性质①和性质②. （）设向量序列. 因为满足性质②，所以或. 由性质①且可得， 根据已知条件，存在正整数，使得. 当时，可为或， 因为向量不同时在向量序列中， 所以，则末向量或， 所以或. 当时，可为或， 因为向量不同时在向量序列中， 所以，则末向量或， 所以或. 故当，且向量不同时在向量序列中使，向量序列成对出现. 综上，任何满足条件的序列，在其第一个坐标为4的向量确定后（为或），都有两种方式延伸至终点. 因此，所有满足条件的序列总数是所有可能的前缀路径（截止到第一个坐标为4的向量）数量的两倍，故总数为偶数.” 12．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于一组向量、、、…、（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． (1)设，且，若是向量组、、的“长向量”，求实数的取值范围； (2)若，且，向量组、、、…、是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知、、均是向量组、、的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列、、、…、，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在“长向量”，且“长向量”为、，理由见解析； (3) 【详解】（1）由题意可得：，即，又， 故， 故， 解得； （2）存在“长向量”，且“长向量”为、，理由如下： 由题意可得， 若存在“长向量”，只需使， 又， ， 即，即， 当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为、． （3）由题意，得，，即， 即，同理，， 三式相加并化简，得， 即，，所以， 设，由得， 设，因为与关于点对称，与（且）关于点对称， 则依题意得：， 将①代入②得，， 从而， ……， ， 以上个式子相加化简得， ， 又由②知， ， 即， 所以， 其中， ， 当且仅当时等号成立，故． 13．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知：对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P． (1)已知平面内点，点，把点B按已知方式绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标； (2)若曲线上的点可以由曲线（，）上的点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转角得到，求曲线的方程； (3)将曲线上的所有点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转，得到曲线，证明：和有且仅有一条公切线． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【详解】（1）由题意可知：， 点B按已知方式绕点A沿顺时针方向旋转即等价于点B绕点A沿逆时针方向旋转， 可得， 则，即点P的坐标. （2）设为曲线上任一点，则，， 点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转角得到， 即在曲线上， 则， 整理可得 又因为，则，可得， 且，则，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 所以曲线的方程为. （3）对于曲线，则， 设切点坐标为，则切线斜率， 可得切线方程为，即， 设为切线上任一点， 点按已知方式绕原点沿逆时针方向旋转， 得到， 即，可得， 则， 整理可得， 可知为曲线的切线， 假设曲线和有公切线， 即存在，使得， 可得，整理可得， 构建， 则， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述：对任意恒成立， 可知在内单调递增，且， 可知在内有且仅有一个零点，所以和有且仅有一条公切线. 2 学科网（北京）股份有限公司 $