专题2.7圆与圆的位置关系重难点题型讲义（3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019选修第一册）

专题2.7圆与圆的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断圆与圆的位置关系 题型二 求两圆的交点坐标 题型三 由圆的位置关系确定参数或范围 题型四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型五 相交圆的公共弦方程 题型六 两圆的公共弦长 题型七 圆的公切线条数 题型八 圆的公切线方程 题型九 圆的公切线长 拓展训练一 圆与圆的位置关系的判断及应用 拓展训练二 两圆的公共弦的相关问题求解 拓展训练三 圆的公切线的相关问题求解 知识点一：圆与圆的位置关系及判定 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【即时训练】 1．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 2．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 知识点二：两圆的公切线 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【即时训练】 1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 2．（2023·湖南长沙·一模）已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为 . 知识点三：两圆的公共弦 1．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【即时训练】 1．（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 【经典例题一 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【例2】（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列两个圆的位置关系： (1)与； (2)与． 1．（24-25高二下·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 2．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 4．（22-23高二·全国·课堂例题）分别判断下列两个圆的位置关系： (1)； (2)． 【经典例题二 求两圆的交点坐标】 【例1】（22-23高二上·全国·课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）判断圆与圆的位置关系． 1．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三·北京·强基计划）若平面直角坐标系中一点与圆上一点关于直线对称，则（    ） A．1 B． C． D．前三个答案都不对 3．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）求圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程. 【经典例题三 由圆的位置关系确定参数或范围】 【例1】（24-25高二下·上海静安·期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 1．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）若存在实数使得与内切，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（24-25高二下·河南开封·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（   ） A．1 B． C． D． 3．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 4．（23-24高二上·江西·期中）已知圆：，圆：（）. (1)若圆与圆相外切，求的值； (2)若圆与圆有两个公共点，求的取值范围. 【经典例题四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）求与圆内切于点，且半径为1的圆的方程． 1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 2．（22-23高二上·北京顺义·期中）已知圆与圆外切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·河北邢台·期中）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程： ． 4．（23-24高二·江苏·课后作业）求过点且与圆相切于点的圆的方程． 【经典例题五 相交圆的公共弦方程】 【例1】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆：与圆：. (1)判断圆与圆的位置关系； (2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程. 1．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 4．（22-23高二·全国·随堂练习）已知圆与圆相交，求交点所在直线的方程. 【经典例题六 两圆的公共弦长】 【例1】（23-24高一上·湖南邵阳·期末）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）圆与圆，如何求圆与圆的公共弦长？ 1．（2024·河南·模拟预测）已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二上·四川雅安·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 3．（23-24高二上·江苏淮安·期中）圆与圆的公共弦长为 . 4．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）求圆与圆的公共弦长. 【经典例题七 圆的公切线条数】 【例1】（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知圆与圆恰好有三条公切线，点，直线与圆交于点． (1)求实数的值； (2)证明：轴平分． 1．（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆：与圆：的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）与圆，都相切的直线有 条． 4．（23-24高二上·福建宁德·期中）已知圆：． (1)若圆与圆：有三条外公切线，求的值； (2)若圆与直线交于两点，，且（为坐标原点），求的值． 【经典例题八 圆的公切线方程】 【例1】（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） （1）y＝0      （2）       （3）       （4） A．（1）（3）（4） B．（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3） 【例2】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知圆和圆相交于两点，求： (1)线段的长； (2)两圆有公切线方程. 1．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）求圆与圆的公切线所在直线的方程. 【经典例题九 圆的公切线长】 【例1】（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 1．（2023高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 3．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 【拓展训练一 圆与圆的位置关系的判断及应用】 【例1】（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 1．（22-23高二上·广东肇庆·期中）实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 3．（24-25高二下·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 . 4．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 【拓展训练二 两圆的公共弦的相关问题求解】 【例1】（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知圆，点为圆上一动点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)求曲线与的公共弦长. 1．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江·期中）设圆和圆交于两点，则弦的长度为（    ） A．4 B． C．2 D．1 3．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）已知圆与圆交于两点，且平分圆的周长，则的值为 ． 4．（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 【拓展训练三 圆的公切线的相关问题求解】 【例1】（24-25高二下·河南洛阳·期末）已知圆，直线，则下列结论错误的是（    ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．恰有三条直线与圆C和圆都相切 D．直线l与直线垂直 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线及轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，求直线的方程． 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 2．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 3．（24-25高二上·福建南平·期中）写出与圆和圆都相切的一条切线方程 . 4．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和. (1)求圆和圆公切线段的长度； (2)在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由. 1．（2025·安徽·模拟预测）已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 3．（2025高三·全国·专题练习）已知圆的方程为，圆的方程为，过上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆与圆分别为圆和圆上的动点，则直线PQ的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知圆直线，，则下列说法错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有公共点 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D．圆与圆只有一条公切线 6．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 7．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知点，圆，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．圆上至少有2个点与点的距离为1 D．过点作圆的切线，则切点弦过点 8．（多选）（2025·贵州毕节·二模）已知圆，圆，则（    ） A．当时，圆与圆相切 B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆相交于两点，且 9．（多选）（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 10．（多选）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 11．（2025高三·全国·专题练习）以点O为圆心的两个同心圆的半径分别是9和5，与这两个圆相切，则的半径为 ． 12．（24-25高三下·湖南常德·开学考试）已知点，，，，且满足，的点只有1个，则 . 13．（22-23高三上·浙江金华·阶段练习）已知圆与圆，点是圆上的一点，过圆心作直线的平行线与圆交于点（和不在轴同侧），交轴于点，以为直径的圆与圆的一个交点为，则圆心与圆心到直线的距离之和是 ． 14．（25-26高二上·全国·单元测试）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差．在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴．已知圆与圆，则圆与圆的根轴的方程为 ．已知点为根轴上的一动点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当最小时，点的坐标为 ． 15．（2024高二下·四川·竞赛）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ．    16．（23-24高二上·河南·期中）已知为坐标原点，圆，直线，其中． (1)当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 17． （23-24高二·全国·课后作业）某同学发现了一个现象：在求圆的公共弦AB（即两个圆相交时，两个交点的连线）所在直线的方程恰好与两个圆的方程相减消掉二次项，后所得的方程一样．由此，他提出了一个猜想：对于两个圆与，直线就是两个圆的公共弦所在直线的方程．你认为他的猜想对吗？请说明理由． 18．（23-24高二上·江苏南通·期末）圆与轴的交点分别为，且与直线，都相切． (1)求圆的方程； (2)圆上是否存在点满足？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知圆，为圆外的动点．过点作圆的切线，切点为，满足．记动点的轨迹为． (1)求的轨迹方程； (2)设点为直线上的一点．过点作轨迹的两条切线，切点为． （i）证明：直线过定点； （ii）求线段长度的最小值． 20．（24-25高二上·浙江·期中）已知点与点关于直线：对称，圆：（），圆的半径为，且圆与圆交于，两点. (1)求的取值范围； (2)当时，求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7圆与圆的位置关系重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断圆与圆的位置关系 题型二 求两圆的交点坐标 题型三 由圆的位置关系确定参数或范围 题型四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 题型五 相交圆的公共弦方程 题型六 两圆的公共弦长 题型七 圆的公切线条数 题型八 圆的公切线方程 题型九 圆的公切线长 拓展训练一 圆与圆的位置关系的判断及应用 拓展训练二 两圆的公共弦的相关问题求解 拓展训练三 圆的公切线的相关问题求解 知识点一：圆与圆的位置关系及判定 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【即时训练】 1．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】根据题意，化简得圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 所以两圆内含． 故选：A 2．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，再由圆心距与半径和差关系判断位置关系即可. 【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为， 所以，故，即两圆相交. 故答案为：相交 知识点二：两圆的公切线 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【即时训练】 1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 2．（2023·湖南长沙·一模）已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为 . 【答案】 【分析】根据题意作出如下图形：      由圆方程求出圆心连线斜率为：，计算出圆心距， 再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形中列方程求得，联立方程即可求出，，问题得解． 【详解】根据题意作出如下图形：    AB为两圆的公切线，切点分别为A,B. 当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即 不妨设 过作AB的平行线交于点E，则：，且 , 直线的斜率为：， 所以直线AB与直线的夹角正切为：. 在直角三角形中，，所以， 又,整理得：， 解得：，又，解得：，， 所以=. 【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题． 知识点三：两圆的公共弦 1．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【即时训练】 1．（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长. 【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 【经典例题一 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（2025·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可. 【详解】圆即，圆心为，半径为； 圆即，圆心为，半径为； 圆心距为，因为，所以两个圆外离. 故选：B 【例2】（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列两个圆的位置关系： (1)与； (2)与． 【答案】(1)外切 (2)相交 【分析】（1）求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解； （2）化简两圆为标准方程，求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解. 【详解】（1）解：由圆与， 可得两圆的圆心坐标分别为，半径分别为和， 可得两个圆的圆心距，所以， 所以两个圆外切． （2）解：将两个圆的方程都化为标准方程，可得，， 则两圆的圆心坐标分别为，半径分别为和， 可得两个圆的圆心距， 因为，所以两个圆相交． 1．（24-25高二下·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【分析】判断两圆的位置关系，根据两圆位置关系确定公切线的条数. 【详解】圆：，所以，. 圆：，所以，. 因为，，所以. 所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线. 故选：A 2．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为， 故， 故圆与圆的位置关系为相切. 故选：B. 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆与圆，则两圆的位置关系是 . 【答案】内切 【分析】依题意，求出两圆的圆心距和半径后即可判断. 【详解】因为圆，圆， 所以圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以两圆的位置关系为内切. 故答案为：内切. 4．（22-23高二·全国·课堂例题）分别判断下列两个圆的位置关系： (1)； (2)． 【答案】(1)相交 (2)内切 【分析】（1）根据两圆圆心之间的距离与两半径和与差的关系即可确定两圆的位置关系； （2）先将两圆的方程化为标准方程，再根据两圆圆心之间的距离与两半径和与差的关系即可确定两圆的位置关系． 【详解】（1）由方程可知圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径， 因此两圆的圆心距， 又因为，所以，故两个圆相交． （2）将两圆的方程化为标准方程，分别为，， 由此可知圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径， 因此两圆的圆心距， 又因为，所以，所以两圆内切． 【经典例题二 求两圆的交点坐标】 【例1】（22-23高二上·全国·课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】联立两圆的方程，解方程组，即可求得答案. 【详解】由,可得，即， 代入，解得或， 故得或, 所以两圆的交点坐标为和, 故选:C 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）判断圆与圆的位置关系． 【答案】圆与相交于两点与 【分析】联立两圆方程直接求解得到两个交点，由此得解. 【详解】依题意，联立方程组，将两方程相减并化简得， 把代入第一个方程得到，解得，， 从而，． 所以圆与相交于两点与． 1．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立圆与圆的方程，解得两交点坐标，即可求得圆的半径，从而可得答案. 【详解】解：联立，解得：或， 所以圆的半径为：， 所以的面积为. 故选：B． 2．（23-24高三·北京·强基计划）若平面直角坐标系中一点与圆上一点关于直线对称，则（    ） A．1 B． C． D．前三个答案都不对 【答案】C 【分析】求出点P关于直线对称的点的轨迹与已知圆的交点后可求的值. 【详解】如图，点P关于直线对称的点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆． 这个圆与题中的圆外切于点，因此． 故选：C. 3．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 4．（23-24高一·全国·课后作业）求圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程. 【答案】. 【分析】联立两圆的方程可得交点坐标，进而可得线段的垂直平分线方程，再联立可得圆心坐标，即得. 【详解】设圆与圆的交点为， 由， 解得或， 不妨设，， 因此线段的垂直平分线方程为， 由与联立，解得，， 则所求圆心为，半径， 故所求圆的方程为. 【经典例题三 由圆的位置关系确定参数或范围】 【例1】（24-25高二下·上海静安·期中）若半径分别为3和7的两圆相交，则它们的圆心距可能是（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】求出圆心距满足的范围，得到答案. 【详解】设圆心距为，由于两圆相交，故，即， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知圆，圆．试求为何值时，圆、圆的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含． 【答案】(1)时，两圆外切；时，两圆内切． (2) (3) (4) 【分析】（1）将两圆化成标准方程，算出圆心坐标和它们的半径，根据两圆相切的性质，可解出满足条件的实数a的值； （2）根据两圆相交的性质，建立关于a的不等式，解之即可； （3）根据两圆外离的性质，建立关于a的不等式，解之即可； （4）根据两圆内含的性质，建立关于a的不等式，解之即可. 【详解】（1）将圆、圆的方程配方后可得 ，， 圆心，，半径，． ． 当，即时，两圆外切； 当，即时，两圆内切． （2）当，即时，两圆相交，的取值范围为． （3）当，即时，两圆外离，的取值范围为． （4）当，即时，两圆内含，的取值范围为． 1．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）若存在实数使得与内切，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出每个圆的圆心与半径，再由两圆的圆心距与两个半径之差相等，即即可求的结果. 【详解】将方程配方得：，则，半径为1， 由可得，半径为， 因与内切，则有， 由于，则得，解得，即的最小值为2. 故选：B. 2．（多选）（24-25高二下·河南开封·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为1，则a的取值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】AB 【分析】设圆上的点，由题意有，即两圆相交即可求的范围，进而逐项验证即可求解. 【详解】设圆上的点，则， 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心，半径为，则两圆有两个交点，即两圆相交， 所以，解得，故AB正确，CD错误. 故选：AB. 3．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】由两圆位置关系构造方程求解即可. 【详解】圆和圆有一个公共点，则两圆内切或外切， 由题可得，解得或． 故答案为：或 4．（23-24高二上·江西·期中）已知圆：，圆：（）. (1)若圆与圆相外切，求的值； (2)若圆与圆有两个公共点，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据两圆外切，可知圆心距等于，列方程即可求； （2）根据两圆有两个交点，可知圆心距属于区间，列式即可求； 【详解】（1）由题意圆心，半径为， 又圆可化为，故圆心，半径为1， 因为圆与圆相外切，则点与之间的距离等于， 即， 所以. （2）若圆与圆有两个公共点， 则点与之间的距离属于区间， 即， 解得， 所以的取值范围为. 【经典例题四 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）求与圆内切于点，且半径为1的圆的方程． 【答案】 【分析】根据两圆内切的性质，结合两点间距离公式进行求解即可. 【详解】设所求圆的圆心为， 圆的的半径为，圆心为坐标原点， 因为圆和圆相内切， 所以， 又因为两圆内切于点， 所以三点共线，因此有， 由可解或， 因为点在第四象限，    所以点也在第四象限，所以， 因此所求圆的方程为. 1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 【答案】B 【分析】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 2．（22-23高二上·北京顺义·期中）已知圆与圆外切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 分别求出两圆的圆心和半径，然后可建立方程求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以由两圆外切可得，解得， 故选：C 3．（23-24高二上·河北邢台·期中）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出一个圆C的标准方程： ． 【答案】（答案不唯一，只要方程满足即可） 【分析】求出圆的圆心和半径，利用两圆外切即可求出一个圆C的标准方程. 【详解】由题意， 在中，圆心，半径， 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆M：外切， 设半径为，则圆心 所以圆C的方程为． ∴一个圆C的标准方程： 故答案为：. 4．（23-24高二·江苏·课后作业）求过点且与圆相切于点的圆的方程． 【答案】 【分析】设所求圆的圆心为，由题意可得DA＝DB，，解方程组求得a、b的值，可得圆的半径，从而求得圆的方程． 【详解】设所求圆的圆心为，由题意可得DA＝DB，， ∴，且, 解得，半径， 故所求圆的方程为． 【经典例题五 相交圆的公共弦方程】 【例1】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）圆与圆交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两圆方程相减即可求解； 【详解】①，②，. ②−①化简可得， 方程为， 故选：A． 【例2】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆：与圆：. (1)判断圆与圆的位置关系； (2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程. 【答案】(1)相交 (2) 【分析】（1）首先求解两圆的圆心距，利用两圆的位置关系的公式，即可判断； （2）两圆相减，即可求解两圆公共弦所在的直线方程. 【详解】（1）圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 因为，所以两圆相交； （2）两圆相减，， 化简为：， 所以两圆的公共弦所以的直线方程为. 1．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得直线的方程，代入点坐标来求得. 【详解】圆，即，圆心为，半径； 圆，即， 圆心为，半径. 两个圆的方程相减并化简得，将代入得， 此时圆，， ，满足两圆相交，符合题意. 故选：B 2．（24-25高二上·河北衡水·阶段练习）若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设，将两圆方程作差即可得公共线方程. 【详解】由题设，将两圆作差，有， 整理可得，即公共弦所在直线为. 故选：B 3．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】因为两点是两圆公共的交点，即满足两圆方程，联立求解即可求得直线方程. 【详解】由题意可知两点均在两个圆上，即两点均满足两圆的方程， 也即是两个圆方程共同的解，故联立两个圆方程，得 ，解得或， 故或， 两种情况下公共弦所在的直线方程均为. 故答案为：. 4．（22-23高二·全国·随堂练习）已知圆与圆相交，求交点所在直线的方程. 【答案】. 【分析】根据给定条件，判断两圆位置关系，再把两个方程相减即可作答. 【详解】圆的圆心，半径， 圆圆心，半径，      显然，即圆与圆相交，设它们的交点坐标为， 由，得，同理， 显然点都满足方程， 所以两圆交点所在直线的方程为. 【经典例题六 两圆的公共弦长】 【例1】（23-24高一上·湖南邵阳·期末）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出弦长即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，即，圆心为，半径， 又，即， 所以两圆相交， 则两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到直线的距离， 所以公共弦长为． 故选：B 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）圆与圆，如何求圆与圆的公共弦长？ 【答案】 【分析】先计算公共弦方程，然后计算圆心到公共弦的距离，最后利用勾股定理计算公共弦长. 【详解】 由题意将圆与圆的方程相减，可得圆和圆公共弦所在的直线的方程为， 对于圆，该圆的圆心到直线的距离为， 由条件知，所以公共弦长为． 1．（2024·河南·模拟预测）已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】分析出两圆公共弦的端点，利用两点间的距离公式可求公共弦长. 【详解】如图： 因为两圆都过点，且均与两坐标轴相切，所以必在直线上， 点关于直线的对称点为，则线段即为圆的公共弦. 因为. 故选：B 2．（24-25高二上·四川雅安·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】先求得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求得公共弦长. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， ， ，所以两圆相交， 由两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故选：B 3．（23-24高二上·江苏淮安·期中）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以，两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以，两圆的公共弦长为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）求圆与圆的公共弦长. 【答案】 【解析】两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程，计算出到公共弦的距离为，进而得公共弦长为． 【详解】解：因为圆与圆 两式相减得，公共弦所在直线的方程， 圆心，半径， 所以圆心到公共弦的距离为， 所以公共弦长为． 【点睛】本题考查两圆的位置关系，属于基础题． 【经典例题七 圆的公切线条数】 【例1】（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出两圆的位置关系，即可得出圆的公切线的条数． 【详解】因为圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则两圆的圆心的距离为，又， 则两圆的圆心的距离等于两圆的半径之和，所以两圆外切， 所以有3条公切线． 故选：C. 【例2】（23-24高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知圆与圆恰好有三条公切线，点，直线与圆交于点． (1)求实数的值； (2)证明：轴平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意判断两圆的位置关系，列式即可求得答案； （2）联立直线和圆的方程，求得交点坐标，即可求得，即可证明结论. 【详解】（1）化圆为， 则圆心坐标为，半径为2． 由题意圆与圆恰好有三条公切线， 则两圆外切，则，解得； （2）证明：联立，得， 解得或．不妨设，， ∴， ∴直线，的倾斜角互补，从而，    故轴平分． 1．（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆：与圆：的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以，， 所以，两圆相交，故两圆的公切线条数为. 故选：B. 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）与圆，都相切的直线有 条． 【答案】3 【分析】根据两圆心距离与两个圆的半径和差关系判断两圆位置关系，即可判断公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为，因为， 所以圆与圆外切，与圆，都相切的直线有3条． 故答案为：3 4．（23-24高二上·福建宁德·期中）已知圆：． (1)若圆与圆：有三条外公切线，求的值； (2)若圆与直线交于两点，，且（为坐标原点），求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆有三条公切线，说明两圆外切，根据两圆外切可以求出参数的值 （2）设，，则等价于，直线与圆联立方程，根据韦达定理，得到关于的等式，即可求解的值 【详解】（1）由， 知圆的圆心，半径为； 由圆：，有圆心，半径为1， 依题意有圆与圆相外切，故； （2）设，，有，， 由，有， 整理得………① 由，得：，易知，是方程的根，故有，代入①，得，满足要求，故 【经典例题八 圆的公切线方程】 【例1】（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（    ） （1）y＝0      （2）       （3）       （4） A．（1）（3）（4） B．（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3） 【答案】A 【分析】根据两圆的位置关系可判断有4条公切线，结合两圆为半径相等且关于原点对称，由点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】圆M的圆心为，半径．圆N的圆心为，半径，圆心距，两圆外离，故有四条公切线． 又两圆关于原点O对称，则有两条内公切线过原点O，设切线方程为， 则圆心到直线的距离，解得k＝0或， 对应方程分别为y＝0，． 两条外公切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得， 切线方程为，． 故选：A 【例2】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知圆和圆相交于两点，求： (1)线段的长； (2)两圆有公切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）两方程联立求出直线的方程，利用垂径定理和勾股定理即可求出线段的长； （2）利用图象找出一条公切线，利用点在圆上的对称点即可得出公切线方程. 【详解】（1）由题意， 联立方程组，两式相减得到直线的方程为， 则原点到直线的距离为， 根据勾股定理得    （2）由题意及（1）得， 在圆中， ， ∴，半径为， 在圆中，圆心，半径为， 可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线， 则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线， 由和，可得两圆心所在直线为， 即， 联立方程组，解得， 即交点坐标为， 在直线上任取一点， 设点关于直线对称点为， 可得，解得， 即对称点的坐标为， 所求的另一条切线过点， 可得其方程为， 故所求切线方程为或.    1．（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 2．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式逐项验证即可. 【详解】由题意知：， 所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2， 对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件， 圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件， 即直线是两圆的一条公切线； 对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件， 即直线不可能是两圆的公切线； 故选：D. 3．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 【答案】；；（三个任意一个都算正确） 【分析】先判断两个圆的位置关系，再判断公切线的条数，然后求公切线即可. 【详解】由题可知： 所以 两个圆的半径和为 所以两个圆外切，所以有三条公切线, 设公切线为 由圆心到切线的距离等于半径得 解得 或或 所以切线方程为，或 故答案为：；； 4．（23-24高二·全国·课后作业）求圆与圆的公切线所在直线的方程. 【答案】，，，. 【分析】设公切线方程，利用几何法求切线方程. 【详解】由题意得，圆心为，半径，，圆心为，半径， 可知两圆的公切线所在直线的斜率存在， 设公切线所在直线的方程为，即 由，得，得或， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 综上，两圆的公切线所在直线的方程为，，，. 【经典例题九 圆的公切线长】 【例1】（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【分析】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 【答案】或，8 【分析】利用两圆的圆心在轴得到内公切线的交点也在轴上，再利用几何性质可求的坐标，最后利用内公切线和圆相切得到其斜率，从而可求其直线方程. 【详解】，，，． 设内公切线与连心线交于点，则在轴上且． 设，可得，． 设内公切线所在直线方程为，即． 由，得． 所以内公切线所在直线方程为或． 内公切线的长为． 【点睛】当两圆相离时，两圆有两条外公切线和内公切线，求它们的直线方程时，应先利用几何性质求出外公切线的交点、内公切线的交点，它们和两圆的圆心在一条直线上，再利用相切求出斜率. 1．（2023高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【详解】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于推导出为的中点，并利用勾股定理进行计算，此外，在直线与圆相切的问题时，要注意利用圆心与切点的连线与切线垂直这一几何性质. 2．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 3．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)①，②4. 【分析】（1）根据两圆的方程得出圆心坐标和半径，计算出圆心距，比较圆心距与半径之和，半径之差的绝对值的大小，进而判断两圆位置关系；相交时，将两圆的方程相减，即得公共弦所在直线的方程； （2）①利用两圆外切的条件得出关于参数的方程，即可求出的值，②利用外公切线的计算公式计算即可. 【详解】（1）由圆与圆， 可知两圆圆心分别为，半径，则， 当时，，则，， 所以，故两圆相交． 两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为． （2）①若两圆外切，则，即，解得． ②因为，所以. 【拓展训练一 圆与圆的位置关系的判断及应用】 【例1】（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】 【分析】所求的圆过已知圆交点，故可表示为：，求出圆心坐标再代入直线方程即可求解． 【详解】所求的圆过已知圆交点，故可表示为：， 即，① 从而圆心坐标为． 因为圆心在直线上，代入可得，解得． 代入①得，即为所求圆的方程． 1．（22-23高二上·广东肇庆·期中）实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法1：令，（为参数），代入利用三角恒等变换即可求解； 解法2：由题意有，利用柯西不等式得，令得，解一元二次不等式即可求解； 解法3：设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为，设圆心距为，利用两圆的位置关系有，即，进而求解. 【详解】由题意令，（为参数）， 所以 ， 所以的最大值是， 解法2： 由有， 所以， 当且仅当时，等号成立， 令，所以，即， 所以，所以， 所以，即， 所以的最大值是， 解法3： 设，则圆心为，半径为，由的圆心为，半径为， 设圆心距为，则，则有， 即，即， 所以的最大值为， 故选：C. 2．（多选）（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 【答案】BD 【分析】根据对称性求得，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即， 根据对称性可知，解得，所以A选项错误. 此时，圆心为，半径. ， 由于，所以两圆相交，B选项正确. 直线的方程，所以C选项错误. 线段中点坐标为，直线斜率为， 所以直线l的方程为，所以D选项正确. 故选：BD 3．（24-25高二下·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，由可得，问题转化为圆与圆有公共点，由圆与圆的位置关系列式求解. 【详解】设，因为， 所以，化简得， 则圆与圆有公共点，所以，即，解得. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．    (1)求圆心与圆心的坐标； (2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值. 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）设圆心，其中，根据圆与圆的位置关系可得出，可求出的值，即可得出点的坐标，同理可得出点的坐标； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用几何法求出直线截三个圆所得的弦长，可得出关于的方程，解出的值，即可求出的值. 【详解】（1）圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为，则，解得， 即点，同理可得点. （2）若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时，直线与圆、圆都相离，不合乎题意， 设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为，所以，直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为，则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，.    【拓展训练二 两圆的公共弦的相关问题求解】 【例1】（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 【例2】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知圆，点为圆上一动点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)求曲线与的公共弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相关点法求解轨迹方程即可. （2）两圆相减求出公共弦方程，再利用点到直线的距离公式结合勾股定理求解公共弦长即可. 【详解】（1）设，，因为为线段的中点， ，所以得 又因为点在圆上，所以， 所以，化简得， 所以曲线的方程为. （2）圆①，圆②， ①②得，即公共弦所在的直线方程为， 因为圆心到直线的距离， 而圆的半径为2，所以曲线与的公共弦长为. 1．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知圆和交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减求得直线方程，然后求得一个圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长． 【详解】由已知，两圆方程相减得，这是两圆公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 故选：B． 2．（24-25高二上·浙江·期中）设圆和圆交于两点，则弦的长度为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】先用两圆的方程相减求得公共弦方程，再利用垂径定理求解弦长即可. 【详解】两圆方程相减得公共弦方程为， 圆心，到公共弦的距离为， 所以所求弦长为. 故选：A. 3．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）已知圆与圆交于两点，且平分圆的周长，则的值为 ． 【答案】2 【分析】由题知，弦所在直线方程为，且在弦所在直线上，进而求解； 【详解】解：因为圆与圆交于A、B两点， 所以弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，平分圆的周长， 所以，在弦所在直线上，即， 所以. 故答案为：2 4．（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段的中垂线与圆心所在的直线的交点求出圆心坐标，再由两点间距离公式求出半径，可得圆的标准方程； （2）两圆相减得到圆的公共弦方程，再由点到直线的距离公式求出圆心M到直线的距离，最后由勾股定理求弦长即可； 【详解】（1）记点，线段的中垂线方程为：， 圆C经过A，B，所以圆心C在直线上，又因为圆心C在直线上， 所以圆心C的坐标为（2，－2）， 半径，所以圆C的方程为：. （2）设圆C与圆M相交与E，F两点，则直线EF的方程为： ， 即：， 圆心M到直线的距离， 所以，，即公共弦长为. 【拓展训练三 圆的公切线的相关问题求解】 【例1】（24-25高二下·河南洛阳·期末）已知圆，直线，则下列结论错误的是（    ） A．直线l与圆C不可能相切 B．当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．恰有三条直线与圆C和圆都相切 D．直线l与直线垂直 【答案】B 【分析】对于A项，求出直线经过的定点坐标，判断该点与圆的关系，即可判断；对于B项，代入，得出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可得出答案；对于C项，根据两直线的系数计算即可得出；对于D项，根据已知可知两圆外切，根据已知求出两圆圆心、半径，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】对于A项，整理直线 可得出， 解方程组可得，直线过定点. 圆的圆心为，半径为， 则， 所以点在圆内，即直线过圆内一定点， 所以，直线l与圆C一定相交，不可能相切.故A正确； 对于B项，当时，直线化为. 此时有圆心到直线的距离，且， 因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1.故B错误； 对于C项，圆可化为， 圆心为，半径为. 因为，所以两圆外切， 即恰有三条直线与圆C和圆都相切，故C正确； 对于D项，因为， 所以直线l与直线垂直，故D项正确. 故选：B 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线及轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，求直线的方程． 【答案】 【分析】由对称性，设圆心在直线，，，则，利用两圆的交点，可得是方程的两根，根据韦达定理，结合半径之积即可求解. 【详解】由题意，圆心都在轴与直线组成角的角平分线上． 若直线的斜率，设，则． 圆心在直线上，可设． 交点在第一象限，， 所以． 所以 即 所以是方程的两根，于是． 由半径的积，得，故． 所以，直线的方程为． 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 2．（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【详解】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 3．（24-25高二上·福建南平·期中）写出与圆和圆都相切的一条切线方程 . 【答案】（答案不唯一，或均可以） 【分析】根据圆与圆的位置关系，先确定出切线条数，其中可直接根据位置关系求得，根据与圆心连线的位置关系以及与相切可求方程，根据直线关于直线的对称直线求法求解出的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线， 易得切线的方程为， 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以， 又和关于对称，联立，解得，且在上， 在上任取一点，设其关于的对称点为， 则，解得， 则，所以直线，即， 综上，切线方程为或或． 故答案为：（答案不唯一，或均可以）． 4．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和. (1)求圆和圆公切线段的长度； (2)在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由. 【答案】(1)或 (2)存在，2个 【分析】（1）将圆化为标准方程，得到圆心和半径，根据同侧异侧两种情况计算公切线段长度得到答案. （2）存在满足条件，根据题意化解得到，根据两圆的位置关系得到答案. 【详解】（1）圆：，即，， 圆：，即，，， 圆心距为，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同， 当两圆在公切线同侧时：. 当两圆在公切线异侧时：. 综上所述，公切线段长为或. （2）假设存在满足条件，即， 化简得到：，圆心为，半径. ，故两圆相交，有两个交点. 故点P的个数为2. 1．（2025·安徽·模拟预测）已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 故选：A. 2．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系. 【详解】对于圆，圆心为，半径； 对于圆，圆心为，半径. 两圆圆心距，又， 所以，所以两圆外切. 故选：B 3．（2025高三·全国·专题练习）已知圆的方程为，圆的方程为，过上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，故当取得最小值时角最大，数形结合即可求解． 【详解】由题可知，圆半径为1，圆心， 由于，，故当取得最小值时角最大， ，所以， 或（不合题意舍）， 所以， 故选：A． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆与圆分别为圆和圆上的动点，则直线PQ的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形可知两圆外离，直线PQ的斜率的最大值是斜率为正的公切线斜率，故只需求出直线的斜率即可. 【详解】圆M：，可得圆心为，半径为， 圆，可得圆心为，半径为，易知两圆外离， 则直线PQ的斜率的最大值是斜率为正的公切线斜率． 如图所示，，且， 所以，在中，可得， 所以，即直线PQ的斜率的最大值为．    故选：D. 5．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知圆直线，，则下列说法错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有公共点 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D．圆与圆只有一条公切线 【答案】D 【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，由，得， 直线过定点，故A正确： 对于B，，又， 即定点在圆C内，则直线与圆C相交，有两个交点，故B正确； 对于C，当时，直线，圆心到直线l的距离为， 而圆C半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，故C正确： 对于D，圆化为， 圆的圆心为，半径为4， 两圆圆心距为，所以两圆相交， 因此它们有两条公切线，故D错误. 故选：D 6．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 7．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知点，圆，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．圆上至少有2个点与点的距离为1 D．过点作圆的切线，则切点弦过点 【答案】AD 【分析】对选项A将点代入验证即可；对于选项B则求圆心到直线的距离可知直线与圆外离，即可得结果；对于C点P到圆上一点的最小值为1；对于D根据选项构造以线段为直径的圆，求出圆和圆的公共弦方程进而求解. 【详解】对A,点，代入直线方程得，故点在直线上．故A正确； 对B，圆心到直线的距离为（为圆的半径），故直线与圆相离，因此点不可能在圆上．故B错误； 对C，因为，所以圆上只有1个点与点的距离为1．故C错误； 对D,构造以线段为直径的圆，则线段为圆和圆的公共弦． 圆的直径式方程为， 整理得  ①． 圆方程化为一般式为，与①作差变形得的方程为．整理得，令解得即直线经过点．故D正确 故选：AD 8．（多选）（2025·贵州毕节·二模）已知圆，圆，则（    ） A．当时，圆与圆相切 B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆相交于两点，且 【答案】AB 【分析】利用距离和半径的关系判断两圆的位置关系. 【详解】圆，则， 圆的圆心，半径为；圆的圆心，半径为， 则，，， 对于A，当时， ，，则，故两圆内切，故A正确； 对于B， 当时，，，则，故两圆相交，又圆，故直线的方程为，故B正确； 对于D，由选项B可知，此时圆心到直线的距离为，则，故D错误； 对于C，两圆相交，则，即，解得，故C错误. 故选：AB. 9．（多选）（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 【答案】ABD 【分析】通过计算两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差比较来判断位置关系；对于公切线，需要判断两圆圆心到直线的距离是否等于半径；对于公共弦，可通过两圆方程相减得到. 【详解】圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径为. 则两圆的圆心距. 对于A，当时，.，知圆与圆相离，A正确； 对于B，当时，，由可得两圆相离. 因圆心到的距离为；圆心到的距离为， 故是圆与圆的一条公切线，B正确； 对于C，当时，，因为，两圆相离，C错误； 对于D，当时，将两圆方程相减得：， 整理得，即圆与圆的公共弦所在直线方程是，D正确. 故选：ABD. 10．（多选）（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 11．（2025高三·全国·专题练习）以点O为圆心的两个同心圆的半径分别是9和5，与这两个圆相切，则的半径为 ． 【答案】2或7 【分析】根据题意，分与小圆外切、与大圆内切和与两圆都内切两种情形分别求解． 【详解】由于两圆为同心圆，可能与小圆外切、与大圆内切，此时的直径等于两圆 的半径之差；也可能与小圆、大圆都内切，此时的直径等于两圆的半径之和． 当与小圆外切、与大圆内切时， 的直径为，∴； 当与小圆、大圆都内切时， 的直径为 ，∴． ∴的半径是2或7． 故答案为：2或7． 12．（24-25高三下·湖南常德·开学考试）已知点，，，，且满足，的点只有1个，则 . 【答案】 【分析】由题意可知，且，所以点既在以为直径的圆上，也在以为直径的圆上，由题可知两圆相外切，通过圆心距等于两半径之和列出等式计算即可. 【详解】由，且得，且， 点既在以为直径的圆上，也在以为直径的圆上，两圆相切， 因为两圆半径相等，内切不满足条件，所以圆心距等于两半径之和， 即，. 故答案为：. 13．（22-23高三上·浙江金华·阶段练习）已知圆与圆，点是圆上的一点，过圆心作直线的平行线与圆交于点（和不在轴同侧），交轴于点，以为直径的圆与圆的一个交点为，则圆心与圆心到直线的距离之和是 ． 【答案】 【分析】根据三角形相似，以及两圆位置关系，通过几何关系，即可容易求得结果. 【详解】根据题意，连接交轴于，过作的垂线，垂足记作，如下所示： 因为//，故△△，则； 又因为点在以为直径的圆上，故，又在圆上，则， 又△△，则，故； 则，即圆心与圆心到直线的距离之和为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·全国·单元测试）圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差．在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴．已知圆与圆，则圆与圆的根轴的方程为 ．已知点为根轴上的一动点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】第一空：先求出圆和圆的圆心和以及半径和，接着设为根轴上任意一点，由列式化简即可得根轴的方程． 第二空：先由题意求得，进而结合，可得取得最小值亦即｜PC｜取得最小值，此时，接着可求出直线PC的方程，联立PC与直线的方程即可得点的坐标． 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为， 半径为．设点为圆与圆的根轴上的任意一点， 则由题可得，即， 整理得，即圆与圆的根轴的方程为． 如图，连接CA，CB，由题意可知且，， 设PC与AB相交于点， 则， 又， 所以，所以取得最小值即｜PA｜取得最小值． 又，所以取得最小值亦即｜PC｜取得最小值， 而｜PC｜取得最小值时，此时直线PC的斜率为1， 又直线PC过点，所以，即， 联立,即．    15．（2024高二下·四川·竞赛）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解． 【详解】如图所示，   得到圆心； 得到圆心； 由于，所以两圆相离，因为为上的动点，， 所以要使取得最大值，只需最大即可， 因为，则的最大值为. 故答案为：3. 16．（23-24高二上·河南·期中）已知为坐标原点，圆，直线，其中． (1)当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在以为直径的圆上，两圆方程相减，可得直线的方程； （2）为中点，由，可得，有，可求值. 【详解】（1）当时，圆，则， 过点作圆的两条切线，切点分别为，则在以为直径的圆上， 的中点坐标为，， 以为直径的圆的方程为， 两圆方程相减，则直线的方程为； （2）点到直线的距离为， 设为中点，即， 所以， 可得，所以． 17．（23-24高二·全国·课后作业）某同学发现了一个现象：在求圆的公共弦AB（即两个圆相交时，两个交点的连线）所在直线的方程恰好与两个圆的方程相减消掉二次项，后所得的方程一样．由此，他提出了一个猜想：对于两个圆与，直线就是两个圆的公共弦所在直线的方程．你认为他的猜想对吗？请说明理由． 【答案】他的猜想正确，理由见解析. 【分析】设两圆的交点坐标为，分别代入两圆的方程，两式相减可知点在直线上，结合过两个交点的直线有且只有一条，进而得出结果. 【详解】他的猜想正确，理由如下： 设两圆的交点坐标为， 则， ， 两式相减，得， 同理 说明点在直线上， 又过两个交点的直线有且只有一条，所以过交点的直线方程为 . 18．（23-24高二上·江苏南通·期末）圆与轴的交点分别为，且与直线，都相切． (1)求圆的方程； (2)圆上是否存在点满足？若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）由题意，设圆心，由圆与两直线相切，可得圆心到两直线的距离都等于圆的半径，进而可求，然后求出半径即可得答案； （2）假设圆上存在点满足，利用向量数量积的坐标运算化简，再联立圆的方程即可求解. 【详解】（1）解：因为圆与轴的交点分别为，， 所以圆心在弦的垂直平分线上，设圆心， 又圆与直线，都相切， 所以，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为； （2）解：假设圆上存在点满足， 则，即①， 又，即②， 联立①②可得或， 所以存在点或满足. 19．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知圆，为圆外的动点．过点作圆的切线，切点为，满足．记动点的轨迹为． (1)求的轨迹方程； (2)设点为直线上的一点．过点作轨迹的两条切线，切点为． （i）证明：直线过定点； （ii）求线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）连接，通过为直角三角形，得到，即可求解； （2）（i）设点．确定以为直径圆的方程，与圆方程相减可得直线的方程，即可求证；（ii）记圆的半径为，到直线的距离为，则 通过确定的最大值即可求解； 【详解】（1）连接，则为直角三角形，且． 则． 所以点是以为圆心，半径为2的圆．所以的轨迹方程为． （2） （i）设点． 以为直径圆的方程为，即． 以为直径圆与圆的方程相减即为直线的方程，即． 整理得． 令，解得． 所以直线过定点． （ii）记圆的半径为，（即坐标原点）到直线的距离为，则． 则当取最大值时，有最小值． 由几何性质知的最大值为，当且仅当时取到． 所以的最小值为． 20．（24-25高二上·浙江·期中）已知点与点关于直线：对称，圆：（），圆的半径为，且圆与圆交于，两点. (1)求的取值范围； (2)当时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点关于直线的对称点为，得到圆方程，再利用两圆位置关系得到关于的不等式组，解之即可得解； （2）先求出当时圆的圆心与半径，从而分析得是以为顶点的等腰三角形，进而利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故圆为， 因为圆与圆交于，两点， 所以， 解得. （2）当时，圆：，：， 故是以为顶点的等腰三角形， 由（1）可知，， 所以边上的高为， 所以的面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $