专题2.6直线与圆的位置关系重难点题型讲义（5个知识点+16大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019选修第一册）

专题2.6直线与圆的位置关系重难点题型专训 （5个知识点+16大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 判断直线与圆的位置关系 题型二 由直线与圆的位置关系求参数 题型三 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型四 求直线与圆交点的坐标 题型五 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 题型六 直线与圆中的定点定值问题 题型七 过圆上一点的圆的切线方程 题型八 过圆外一点的圆的切线方程 题型九 切线长 题型十 切点弦及其方程 题型十一 已知切线求参数 题型十二 圆的弦长与中点弦 题型十三 已知圆的弦长求方程或参数 题型十四 圆内接三角形的面积 题型十五 直线与圆的实际应用 题型十六 坐标法的应用——直线与圆的位置关系 拓展训练一 直线与圆位置关系的判断及应用 拓展训练二 直线与圆的相关问题求解 拓展训练三 圆的切线相关问题求解 拓展训练四 圆的弦长相关问题求解 知识点一：直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【即时训练】 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 2．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是 ． 知识点二：圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【即时训练】 1．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 知识点三：圆的弦长 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 【即时训练】 1．（25-26高一上·湖南娄底·开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到AB的距离等于（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 2．（25-26高二上·全国·课前预习）圆C的半径为2，且圆心C到直线l的距离为1，则直线l被圆C所截的弦长为 . 知识点四：与圆有关的最值问题的解题策略 1．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【即时训练】 1．（23-24高三上·北京西城·期末）已知点，点满足.若点，其中， 则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 知识点五：直线与圆的方程的应用 1．直线与圆的方程的应用 (1)解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据； ②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程； ③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解； ④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则 建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则： ①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可 以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上. 【即时训练】 1．（22-23高二下·广东·阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为 小时． 【经典例题一 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设，，求证：不论如何变化，经过两点的直线都与某个定圆相切． 1．（24-25高二下·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 2．（多选）（2025·陕西渭南·二模）设直线系，则下列四个命题为真的是（    ） A．中所有直线均经过一个定点 B．存在定点不在中的任一条直线上 C．中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 3．（24-25高二上·福建福州·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 4．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点.    (1)求圆的方程； (2)若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【经典例题二 由直线与圆的位置关系求参数】 【例1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·山东滨州·期末）已知圆：，点是圆与轴的公共点，点是圆上到轴距离最大的点. (1)求直线的方程； (2)求与直线垂直，且与圆相切的直线的方程. 1．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知圆和轴相切，且和相切于，则符合条件的所有圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·浙江绍兴·期末）曲线，则下列结论中正确的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为6 C．曲线E上存在无数个点到直线的距离为1 D．若圆在曲线E的内部含边界，则 3．（25-26高二上·全国·课后作业）若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为 ． 4．（23-24高二上·浙江温州·期中）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为6海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）. (1)以为坐标原点，1海里为单位长度，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围. 【经典例题三 直线与圆的位置关系求距离的最值】 【例1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知x、，时，求的最大值与最小值． 1．（23-24高二上·江苏常州·期中）设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高三上·福建福州·期末）已知，，动点C满足，记的轨迹为.过的直线与交于两点，直线与的另一个交点为，则(    ) A．关于轴对称 B．的面积的最大值为 C．当时， D．直线的斜率的范围为 3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线与圆交于两点，则的最小值为 4．（23-24高二上·安徽·期中）已知圆和直线. （1）若直线与圆相交，求的取值范围； （2）若，点是圆上一个动点，求点到直线距离的最大值和最小值. 【经典例题四 求直线与圆交点的坐标】 【例1】（2025·江西南昌·一模）直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2023·四川宜宾·一模）设直线与圆交于两点，为坐标原点，已知点的坐标为． （1）当原点到直线的距离为时，求直线方程； （2）当时，求直线的方程． 1．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023高二·福建宁德·学业考试）如图，直线l与⊙O相交于点，点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆过点，为圆上一点，且弧的中点为，则点的坐标为 . 4．（23-24高二上·湖北咸宁·阶段练习）如图，已知点是直线上任意一点，点是直线上任意一点，连接，在线段上取点使得. (1)求动点的轨迹方程； (2)已知点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【经典例题五 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用】 【例1】（23-24高二上·四川眉山·期中）若直线与圆的两个交点恰好关于轴对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知直线与圆相交，若为直线与圆交点坐标，求k． 1．（23-24高二上·全国·课后作业）如果实数x，y满足等式(x－1)2＋y2＝，那么的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）实数x，y满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏·一模）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为 ． 4．（23-24高三上·吉林四平·阶段练习）已知圆关于直线对称，且与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点.若，求直线的斜率. 【经典例题六 直线与圆中的定点定值问题】 【例1】（2022·安徽蚌埠·模拟预测）从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·浙江温州·期中）已知圆：，直线：. （1）当直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. （2）已知点是圆上任意一点，在轴上是否存在两个定点，，使得？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由. 1．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知直线：与圆：交于，两点，则当弦最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知过点的直线l与圆交于、两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 3．（2023高三·全国·专题练习）已知圆O：，直线l：，设圆O上到直线l距离等于1的点的个数为k，则 ． 4．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知圆O：与直线相切． （1）求圆O的方程； （2）若过点的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程； （3）若过点作两条斜率分别为，的直线交圆O于B、C两点，且，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标． 【经典例题七 过圆上一点的圆的切线方程】 【例1】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 【例2】（2025高二上·全国·专题练习）过点作圆的切线，求此切线方程． 1．（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·福建漳州·期中）与圆：相切，且在，轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）设是圆上一点，求过点且与圆相切的直线方程． 【经典例题八 过圆外一点的圆的切线方程】 【例1】（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 【例2】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 1．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）过点作圆的切线，则的斜率为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 2．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25高二上·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 4．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，是直线上的一动点，过点作圆的切线，当点的横坐标为2时，求切线的方程． 【经典例题九 切线长】 【例1】（24-25高二上·河南郑州·期末）已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长. 1．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过点向圆作切线，切点为，则 . 4．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知长为2的线段的两个端点和分别在x轴和y轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线C， (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若是直线上的动点，过点向曲线C引两条切线，切点分别为、，求四边形的面积的最小值． 【经典例题十 切点弦及其方程】 【例1】（23-24高一上·河南焦作·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）如图，过圆外一点向圆引切线.    (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若切点为，，求过切点，的直线方程. 1．（23-24高二上·安徽六安·期中）过原点作圆的两条切线，设切点分别为、，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·甘肃兰州·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为 A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东广州·期末）过圆O:外一点作圆O的切线，切点分别为A、B，则 . 4．（23-24高一·全国·单元测试）已知圆外一点,过点作圆的切线，，其中是切点. （1）求，所在的直线方程； （2）求，的值； （3）求直线的方程. 【经典例题十一 已知切线求参数】 【例1】（2025·辽宁·二模）已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）当取什么值时，圆与直线相切？ 1．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ） A． B．8 C． D．18 2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）过点与圆相切的两条直线垂直，则（    ） A． B．-1 C．1 D． 3．（2024·浙江绍兴·三模）如图，，点A，B为射线OP上两动点，且，若射线OQ上恰有一个点C，使得，则此时OA的长度为 ． 4． （23-24高二·全国·单元测试）已知点A，B关于坐标原点O对称，过点A，B且与直线相切.若A在直线上，求的半径. 【经典例题十二 圆的弦长与中点弦】 【例1】（25-26高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知圆C过点. (1)求圆C的标准方程； (2)已知直线l过原点，倾斜角为60°，求直线l被圆C截得的弦长. 1．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 3．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆，过原点作不与坐标轴重合的直线交圆于，两点，则 ． 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆与轴相切. (1)直接写出圆心的坐标及的值； (2)直线与圆交于两点，求 【经典例题十三 已知圆的弦长求方程或参数】 【例1】（2025·河北·模拟预测）已知圆A的圆心为，且圆A截x轴所得的弦长为6，则圆A的半径为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与圆心为 的圆 相交于A，B 两点，且为等边三角形，求实数的值. 1．（2025·江西·模拟预测）已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知直线与圆交于两点，写出满足“面积为”的的一个值 ． 4．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线相交于、两点，且，求直线的方程. 【经典例题十四 圆内接三角形的面积】 【例1】（2023高二·江苏·专题练习）若过原点O的动直线l将圆分成两部分的面积之差最大时，直线l与圆的交点记为A，B，直线l将圆E分成两部分的面积相等时，直线l与圆的交点记为C，D，则四边形ACBD的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程． 1．（23-24高一上·河南·期末）直线：与圆C：交于A，B两点，若为等边三角形，则值是（    ） A．1 B． C．1或 D．5 2．（2023高一下·湖南·期末）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于(　　) A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津武清·期中）已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 4．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 【经典例题十五 直线与圆的实际应用】 【例1】（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·内蒙古包头·期末）在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 1．（22-23高二上·浙江杭州·阶段练习）已知点，，为直线上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过（    ） A．1.4米 B．3.0米 C．3.6米 D．4.5米 3．（23-24高二上·天津河西·期中）如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少 .    4．（23-24高二上·安徽·期中）2023年我国某海滨城市经常遭遇东偏南某方位的台风的侵袭，对居民的生产和生活产生巨大影响.如图，据10月13日午时监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围是半径为的圆形区域，位于城市的东偏南方向有一条自城市通向远海的航线，当前该航线的至段正遭受台风侵袭. (1)求当前该航线正被台风侵袭的至段的距离；（距离精确到） (2)经过多长时间后该航线将不受台风侵袭？（时间精确到）（参考数据：） 【经典例题十六 坐标法的应用——直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（24-25高二上·四川·期中）已知三点，点在圆上运动． (1)若直线与圆有唯一公共点，求； (2)求的最小值． 1．（23-24高一·全国·课后作业）若实数x，y满足方程，则的最大值为． A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）若实数x,y满足，则的最小值等于． A． B． C． D．2 3．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知的圆心为，且与直线相切，则圆C的面积为 . 4．（2023高二上·江苏宿迁·期中）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身应该降低多少？（精确到0.1m,参考数据）    【拓展训练一 直线与圆位置关系的判断及应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求，的最值. 1．（22-23高二上·广东肇庆·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切或相离 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且圆上存在两个点，使得，则称圆为一个“好圆”.给出以下两个命题：（1）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交；（2）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相离；则下列说法正确的是（    ） A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立，（2）不成立 D．（1）不成立，（2）成立 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为 ． 4．（24-25高二上·福建三明·期中）已知圆. (1)若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. (2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 【拓展训练二 直线与圆的相关问题求解】 【例1】（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆的方程是， (1)若点为圆上一点，过点M作圆的切线，求该切线方程. (2)若点为圆外一点，过点M作圆的两条切线，切点分别为A、B， ①求直线AB的方程. ②若为直线上的一个动点，试讨论直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由 1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）半径为3的圆内有一点，点在圆上，当最大时，的长等于（    ） A． B．3 C． D． 2．（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，圆，为圆上动点，下列正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最大时， 3．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 4．（24-25高二上·天津红桥·期中）已知直线与圆C：相切与点P. (1)求切点P的坐标； (2)过P点直线的与圆C值交于另一点Q，若线段PQ的长度为2，求直线的方程. 【拓展训练三 圆的切线相关问题求解】 【例1】（2025·山东聊城·三模）已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【例2】（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆． (1)若直线与圆相切，求切线的方程； (2)若过点的直线与圆相交于、两点，且为直角三角形，求直线的方程. 1．（2024·江西·模拟预测）若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则下列判断正确的是（   ） A．有一条切线方程为 B．有一条切线方程为 C． D．四边形的面积为2 3．（24-25高二下·湖北黄石·阶段练习）已知圆O：和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是 ． 4．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知直线和圆. (1)若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程； (2)若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求的最小值. 【拓展训练四 圆的弦长相关问题求解】 【例1】（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知在中，，，的角平分线与的外接圆相交于点，，则（  ） A．1 B． C． D． 【例2】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 1．（22-23高二上·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广东广州·期末）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到 米． 4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 1．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 3．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知圆，点，点，点在圆上运动，点满足（O为坐标原点），则点到直线距离的最大值为（　　） A．8 B． C． D．6 6．（多选）（2025高三·全国·专题练习）公元前180年，古希腊数学家狄奥克勒斯研究倍立方问题时发现了蔓叶线．已知蔓叶线，，，线段与曲线C交于点M，过点A作x轴的垂线，与直线交于点D，以为直径作圆，交直线于点Q．下列命题正确的是（   ） A．若点在蔓叶线C上，则 B． C． D． 7．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知是直线l：上一动点，过作圆O：的两条切线，切点分别为，则的大小可能为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知圆C的方程为，为圆C上任意一点，则（   ） A．若，，则的值与M的位置无关 B．轴上存在无数对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 C．直线上存在无数对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 D．直线上不存在一对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 9．（多选）（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 10．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知点A，B是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是（    ） A．直线是圆与圆的公切线 B．｜PA｜的最小值为 C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点 11．（25-26高二上·全国·随堂练习）过且与两坐标轴都相切的圆的方程为 ． 12．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知直线与圆有唯一交点，则 . 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知P是圆上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的外接圆面积的最大值为 ． 14．（2025·江西·模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 . 15．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 16．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 17． （2025高三·全国·专题练习）已知圆，直线，若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围． 18． （2025高二上·全国·专题练习）过点的直线被圆截得的弦长为，求该直线方程． 19．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 20．（22-23高二上·四川广安·阶段练习）已知圆O：及点． (1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给出证明； (2)过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6直线与圆的位置关系重难点题型专训 （5个知识点+16大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 判断直线与圆的位置关系 题型二 由直线与圆的位置关系求参数 题型三 直线与圆的位置关系求距离的最值 题型四 求直线与圆交点的坐标 题型五 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 题型六 直线与圆中的定点定值问题 题型七 过圆上一点的圆的切线方程 题型八 过圆外一点的圆的切线方程 题型九 切线长 题型十 切点弦及其方程 题型十一 已知切线求参数 题型十二 圆的弦长与中点弦 题型十三 已知圆的弦长求方程或参数 题型十四 圆内接三角形的面积 题型十五 直线与圆的实际应用 题型十六 坐标法的应用——直线与圆的位置关系 拓展训练一 直线与圆位置关系的判断及应用 拓展训练二 直线与圆的相关问题求解 拓展训练三 圆的切线相关问题求解 拓展训练四 圆的弦长相关问题求解 知识点一：直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【即时训练】 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 2．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断条件即可得到结果. 【详解】由题意可知，则，圆的圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故答案为：相交. 知识点二：圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【即时训练】 1．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得则，得到切线的斜率为，且，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 故答案为：. 知识点三：圆的弦长 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 【即时训练】 1．（25-26高一上·湖南娄底·开学考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到AB的距离等于（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意和圆的性质知点为的中点，连接交于，在应用勾股定理求得，即得答案. 【详解】 根据题意和圆的性质知点为的中点， 连接交于，则， 在中，， ∴， ∴， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选： 2．（25-26高二上·全国·课前预习）圆C的半径为2，且圆心C到直线l的距离为1，则直线l被圆C所截的弦长为 . 【答案】 【分析】利用直线被圆截得弦长公式计算即可求得结果. 【详解】根据题意可得圆的半径，圆心到直线距离, 所以弦长为. 故答案为： 知识点四：与圆有关的最值问题的解题策略 1．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【即时训练】 1．（23-24高三上·北京西城·期末）已知点，点满足.若点，其中， 则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据直线和圆的位置关系求得正确答案. 【详解】由于，所以是单位圆上的点， 由于，其中，所以是直线上的点， 画出图象如下图所示，由图可知，的最小值为. 故选：C    2．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由直线过定点，可知圆心到直线的距离的范围，即可得弦长的取值范围. 【详解】 直线：过定点， 圆的标准方程为，所以圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆相交， 设圆心到直线的距离为，当与直线垂直的时候最大，所以， 则. 故答案为：. 知识点五：直线与圆的方程的应用 1．直线与圆的方程的应用 (1)解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据； ②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程； ③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解； ④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则 建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则： ①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可 以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上. 【即时训练】 1．（22-23高二下·广东·阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，解得答案. 【详解】小岛到航线的距离为，解得. 故选：C 2．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为 小时． 【答案】5 【分析】以气象台为圆心，作半径为100的圆交台风轨迹于CD两点，计算CD两点的长度即可求得气象台所在地受到台风影响的时间． 【详解】如图所示，可设台风中心初始位置为，气象台为，， 以A为圆心，为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点，CD为圆A的弦， 而台风向北偏东移动，可知， 过作BD的垂线，垂足为E， 在直角中，，则， 在直角中，由勾股定理得， 所以， 故持续时间为小时． 故答案为：5． ;;; 【经典例题一 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离与半径之间的大小关系，判断直线和圆的位置关系. 【详解】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）设，，求证：不论如何变化，经过两点的直线都与某个定圆相切． 【答案】证明见解析 【分析】根据两个等式可以确定两个不同的点在同一条直线上，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】由于， 所以两点均在直线上． 又因为原点到直线的距离等于，故知直线与圆相切． 1．（24-25高二下·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】首先确定圆心和半径，再应用点线距离公式求圆心与直线的距离，即可判断. 【详解】由，即圆心，半径， 所以到的距离， 所以直线与圆相交. 故选：B 2．（多选）（2025·陕西渭南·二模）设直线系，则下列四个命题为真的是（    ） A．中所有直线均经过一个定点 B．存在定点不在中的任一条直线上 C．中的直线所能围成的正三角形面积都相等 D．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上 【答案】BD 【分析】根据题意，利用同角三角函数的恒等式，结合消参法可推导出直线系表示圆的切线的集合，逐项计算并判断即可. 【详解】对于A，可令，消去可得， 故直线系表示圆的切线的集合，故A错误； 对于B，对任意，存在定点不在直线系中的任一条直线上，故B正确； 对于C，中的直线所能围成的正三角形边长不一定相等，故面积也不一定相等，如图中的等边三角形和，故C错误；    对于D，由于圆的外切正边形，其所有边均在直线系中的直线上，故D正确. 故选：BD. 3．（24-25高二上·福建福州·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件可以分析得直线到圆心的距离为2，代入公式即可求得. 【详解】由题意可知，圆心坐标为，半径为，则圆上恰有三个点到直线的距离为1， 则使得圆心到直线的距离2，即，如图所示： 解得. 故答案为： 4．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点.    (1)求圆的方程； (2)若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险 【分析】（1）依据平面直角坐标系得出三点坐标，再设出圆心坐标即可得出圆的方程； （2）求出行驶轨迹所在直线方程，利用点到直线距离公式判断出该直线与圆的位置关系可得结论. 【详解】（1）根据题意可知， 易知圆的圆心在线段的垂直平分线上，可设圆心， 又可得， 解得，所以半径， 因此圆的方程为. （2）由在岛的北偏西方向距岛千米处，可得； 由行驶方向为北偏东可知行驶直线所在直线斜率为， 因此行驶直线方程为， 圆心到直线的距离为， 即行驶直线与暗礁区域圆相离，因此该船没有触礁的危险. 【经典例题二 由直线与圆的位置关系求参数】 【例1】（2025·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于r的不等式即可求解． 【详解】将直线方程变形为，则可知直线恒过定点， 圆的圆心，则， 若，则直线可和圆O相切，如图所示，此时A、B重合，若直线与圆O交于不同的两点A，B， 则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故， 即P在圆O内，直线与圆O一定交于两点A、B，此时对于任意给定的半径r， 根据圆的性质，当时，弦AB最短，最小，此时弦长， 在中，，当时，为等边三角形，此时， 由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦AB满足， 即，解得， 综上所述，． 故选：C． 【例2】（24-25高二上·山东滨州·期末）已知圆：，点是圆与轴的公共点，点是圆上到轴距离最大的点. (1)求直线的方程； (2)求与直线垂直，且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)和. 【分析】（1）求得的坐标，再由题意得到轴，确定的坐标，即可求解； （2）由（1）设直线方程，再结合直线与圆的位置关系，列出等式，即可求解； 【详解】（1）在圆：中，令，解得，所以点的坐标为. 因为点是圆上到轴距离最大的点，所以轴. 因为圆的圆心为，且半径为1，所以点的坐标为. 过、两点的直线方程为，整理得， 即直线的方程为. （2）因为所求直线与垂直，所以设所求直线的方程为， 因为所求直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为1， 所以， 解得或， 所以所求直线的方程为和. 1．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知圆和轴相切，且和相切于，则符合条件的所有圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆心坐标为，半径为，根据圆心到切点的距离，圆心到轴的距离等于半径列出等量关系，由导数的几何意义可求切线斜率，于是又可列得圆心和切点的连线垂直切线，得到另一个方程，进而得解. 【详解】设圆心坐标为，半径为，由题知， 注意到圆心和切点的连线的斜率和切线斜率互为负倒数， ，则，时，，即在切线斜率是， 于是，则， 联立消去字母得到， 解得或，又圆和轴相切，则圆的半径为或， 所以 故选：A. 2．（多选）（24-25高二上·浙江绍兴·期末）曲线，则下列结论中正确的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为6 C．曲线E上存在无数个点到直线的距离为1 D．若圆在曲线E的内部含边界，则 【答案】BD 【分析】A选项，分情况得到曲线图象，即可判断对称性；B选项，根据图象计算面积；C选，结合图象求到直线距离为1的点；D选项，根据圆的方程得到圆心在线段BE上，然后再结合对称性列不等式，解不等式即可. 【详解】由， 得①，时，得， ②，时，得， ③时，得， ④时，得， ⑤时，得， ⑥时，得， 作出曲线图象如图所示，其中，，，，，， 对于A，由图可知，点在曲线E上，但点不在曲线E上，所以曲线E不关于直线对称，故A错误； 对于B，图形为一个边长为2的正方形BCEF和两个底和高分别为2和1的三角形及构成，其面积为，故B正确； 对于C，如图，直线BE就是直线，而直线CD与直线AF均与之平行，两线段AF和CD上的点到直线距离最大， 且直线CD，直线AF与直线BE距离均为，数形结合可得曲线上只四个点到直线距离为1，故C错误； 对于D，易得曲线关于原点对称，圆的圆心在线段BE上， 据对称性可得， （1）当时，须满足，解得， （2）当时，须满足，解得， 由（1）（2）得，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于通过取绝对值得到曲线的解析式，画出图象，然后结合图象解决问题. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为 ． 【答案】 【分析】将圆化为圆的标准方程，由圆心在轴的左侧得，根据圆与直线相切即可求解． 【详解】由得， 圆心为，半径为， 圆心在轴的左侧，故，即， 圆与直线相切，故， 解得． 故答案为： 4．（23-24高二上·浙江温州·期中）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为6海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）. (1)以为坐标原点，1海里为单位长度，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围. 【答案】(1)曲线的方程为： (2)的取值范围为 【分析】利用已知条件结合两点间距离公式列出方程并化简求得曲线方程.，利用直线与圆相切确定取值范围. 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有， 是以为圆心，为半径的圆.， 所以曲线的方程为：. （2） ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，临界情况下直线与圆相切，圆心到直线距离为圆的半径4， 且，解得， 所以综上可知的取值范围为. 【经典例题三 直线与圆的位置关系求距离的最值】 【例1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积的最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知x、，时，求的最大值与最小值． 【答案】最小值是1，最大值是 【分析】根据表示圆，设表示关于原点、x轴、y轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解. 【详解】的图形是圆，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 设，由式子的对称性得知的图形是关于原点、x轴、y轴均对称的正方形． 如图所示： 当b变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上， 问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b的最值问题． 当时，正方形与圆没有公共点； 当时，正方形与圆相交于点， 若令直线与圆相切， 则，解得， 所以当时，正方形与圆相切； 当时，正方形与圆没有公共点， 故的最小值是1，最大值是． 1．（23-24高二上·江苏常州·期中）设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助数形结合思想，利用直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】曲线，其中，，即，， 曲线方程可化为， 其中，，即曲线的轨迹是一个半圆. 因为圆心到直线的距离， 故半圆上一点到直线的最小距离， 半圆上点到直线的距离最大， 则的取值范围为， 故选：B. 2．（多选）（23-24高三上·福建福州·期末）已知，，动点C满足，记的轨迹为.过的直线与交于两点，直线与的另一个交点为，则(    ) A．关于轴对称 B．的面积的最大值为 C．当时， D．直线的斜率的范围为 【答案】AC 【分析】首先设，根据条件求得动点的轨迹以为圆心，半径的圆，然后对选项进行逐一判断即可． 【详解】设，由得， ， 整理得的方程为，其轨迹是以为圆心，半径的圆． 由图可知，由于，所以当垂直时，即时，的面积的最大值， 所以，选项B错误； 因为，所以，所以， 又轨迹的轨迹关于轴对称，所以关于轴对称，选项A正确； 当时， ，则为等腰直角三角形， ，选项C正确； 当直线与圆相切时， ，此时， 所以，所以切线的倾斜角为和， 由图可知，可得直线的斜率的取值范围为，选项D错误. 故选：AC 3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线与圆交于两点，则的最小值为 【答案】4 【分析】由直线方程可以求得所过定点，当时，的最小，借助勾股定理可以求得. 【详解】因为直线，即， 当且时，方程恒成立， 所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小，如下图所示： 此时. 故答案为： 4．（23-24高二上·安徽·期中）已知圆和直线. （1）若直线与圆相交，求的取值范围； （2）若，点是圆上一个动点，求点到直线距离的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为. 【解析】（1）利用点到线距离公式，使圆心到直线的距离小于半径即可； （2）由（1）可知，当时，直线与圆相离，先计算圆心到直线的距离，则圆上一点到直线的最大距离为，最小距离为． 【详解】解：（1）直线可化为，圆的圆心是，半径是. 由题意得，圆心到直线的距离是， 解得：或. 故的取值范围是. （2）当时，直线与圆相离， 圆心到直线的距离是， 故点到直线距离的最大值为，最小值为. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及圆上一点到某一条线的最大距离与最小距离，解答时，点到线距离公式的运用是关键.一般地，当直线与圆相离时，设圆心到线的距离为，则圆上一点到直线的距离的最大值为，最小值为． 【经典例题四 求直线与圆交点的坐标】 【例1】（2025·江西南昌·一模）直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线方程与圆的方程联立，求出，利用两点之间的距离公式即可求得结果. 【详解】 设，联立，消去y整理得：， 解得，故， 利用两点之间的距离得， 故选：C 【例2】（2023·四川宜宾·一模）设直线与圆交于两点，为坐标原点，已知点的坐标为． （1）当原点到直线的距离为时，求直线方程； （2）当时，求直线的方程． 【答案】（Ⅰ）或； （Ⅱ）或. 【分析】（1）根据题意求得圆的方程，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式，求得的值，求得直线方程；当直线的斜率不存在时，得到直线，即可求解； （2）先求得直线的斜率，根据，得到，联立方程组求得点的坐标，进而求得直线的方程. 【详解】（1）由题意，点在圆上，可得，所以圆的方程为， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时直线的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合要求 所以直线的方程为或. （2）由点，可得直线的斜率， 因为，即，所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为， 由，解得点的坐标为或， 结合直线的两点式方程，可得直线的方程为或. 1．（22-23高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数. 【详解】联立直线方程和曲线方程可得可得， 即，解得或，故方程组的解为或. 故选：C 2．（2023高二·福建宁德·学业考试）如图，直线l与⊙O相交于点，点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即可得解. 【详解】由图可以发现，点A与点B关于原点对称， 由点A的坐标为，所以点B的坐标为 故选：B 3．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆过点，为圆上一点，且弧的中点为，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设的中点为，则，即可取出直线的方程，联立直线与圆的方程，解得即可. 【详解】解：设的中点为，即，所以，又， 所以， 所以直线为，又圆：， 所以，解得或， 所以. 故答案为： 4．（23-24高二上·湖北咸宁·阶段练习）如图，已知点是直线上任意一点，点是直线上任意一点，连接，在线段上取点使得. (1)求动点的轨迹方程； (2)已知点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或. 【分析】（1）设，，，根据向量相等得到方程组，利用整体思想消去参数，即可求出动点的轨迹方程； （2）设，由得到，再结合（1）求出直线与圆的交点坐标，即可得解. 【详解】（1）解：设，，， 由， ， 又， 得：， 把①②代入上式得，即为点的轨迹方程. （2）解：设，由，得， 又点满足， 联立得方程组，解得或. 故存在点满足条件，点的坐标为或. 【经典例题五 直线与圆相交的性质——韦达定理及应用】 【例1】（23-24高二上·四川眉山·期中）若直线与圆的两个交点恰好关于轴对称，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】两交点恰好关于y轴对称，则两交点横坐标之和为零；联立直线和圆的方程，消去y，可得关于x的二次方程，则该方程两根之和也为零，由此即可求出k的值． 【详解】解：设直线和圆交点横坐标为x1、x2， 由，得， 两交点恰好关于轴对称，， ． 故选：A 【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知直线与圆相交，若为直线与圆交点坐标，求k． 【答案】1 【分析】联立直线与圆的方程得，应用判别式求k范围，由韦达定理及已知等量关系列方程求k值. 【详解】由过定点，代入圆有，定点在圆外， 将直线代入圆并整理得：， 则，即， (x1,y1)、(x2,y2)为直线与圆的交点坐标， 所以，而， 由，则， 综上，. 1．（23-24高二上·全国·课后作业）如果实数x，y满足等式(x－1)2＋y2＝，那么的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，即，代入已知等式后，由可得的最大值． 【详解】显然，令，即，代入得， 所以，解得． 所以的最大值为． 故选：D． 2．（多选）（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）实数x，y满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】令，与联立，然后利用解出的取值范围，即得. 【详解】令，可得， 则直线与圆， 将代入方程， 得 解得，即. 故选：BCD. 3．（2023·江苏·一模）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】联立直线方程和圆的方程消元后利用韦达定理可求. 【详解】由题意，设直线与圆联立，可得， 设，则，，， 联立解得，则直线的方程为， 故答案为：. 4．（23-24高三上·吉林四平·阶段练习）已知圆关于直线对称，且与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点.若，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆的方程，可得圆心，半径为，再结合题意求解即可； （2）设直线，联立方程组，消元，结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）由圆，可知圆心，半径为， 因为圆关于直线对称，所以，即 又圆与直线相切于点，所以，即则， 故圆的圆心为，半径. 则，则， 故圆的方程为. （2）依题意可设直线， 联立方程组，整理得， 故，解得， 则，. 由，解得， 所以直线的斜率为. 【经典例题六 直线与圆中的定点定值问题】 【例1】（2022·安徽蚌埠·模拟预测）从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可由原点到直线的距离为定值判断即可 【详解】由图可知，原点到直线的距离为定值，四个选项中仅有到原点的距离为定值. 故选：C 【例2】（23-24高二上·浙江温州·期中）已知圆：，直线：. （1）当直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. （2）已知点是圆上任意一点，在轴上是否存在两个定点，，使得？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）直线的方程为或；（2）满足题意的定点，存在，其坐标为，或，. 【解析】（1）求出圆心到直线的距离，再由弦长公式得出直线的方程； （2）设，，，由结合距离公式化简得出恒成立，再由求出点，的坐标. 【详解】（1）由已知可得圆心，. 圆心到直线的距离. 因此. ，解得，直线的方程为或. （2）设，， 由已知可得，且，化简得. 即恒成立 所以，解得，或 所以满足题意的定点，存在，其坐标为，或，. 1．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知直线：与圆：交于，两点，则当弦最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分析圆C的圆心坐标与半径，分析直线所过定点P，可得当CP与AB垂直时，弦长|AB|最短，求出直线CP的斜率，通过垂直关系可得直线AB的斜率，即可得答案． 【详解】解：根据题意，圆C的圆心C为（0，2），半径r＝2； 已知直线l：2mx+y﹣m﹣1＝0恒过点P（）； ∴当CP与AB垂直时，即P为AB的中点时，弦长|AB|最短， 此时，则； 此时﹣2m＝⇒m＝； 此时直线AB的方程为﹣，变形可得2x﹣4y+3＝0． 故选：A． 2．（多选）（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知过点的直线l与圆交于、两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】先根据题意求出圆心的坐标和半径，再求圆心到定点的距离，最后求的最小值 【详解】解：将圆的方程化为标准方程， 则圆心为，半径，则圆心到定点的距离为， 最小值为. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、求弦长的最小值，是基础题. 3．（2023高三·全国·专题练习）已知圆O：，直线l：，设圆O上到直线l距离等于1的点的个数为k，则 ． 【答案】4 【分析】根据点到直线的距离公式，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】原点O到的距离为， 由于l：是到原点O距离为1的直线， 而圆O：的半径为，如图所示， 于是圆O上到直线l距离等于1的点的个数为4，因此．    故答案为：4 4．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知圆O：与直线相切． （1）求圆O的方程； （2）若过点的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程； （3）若过点作两条斜率分别为，的直线交圆O于B、C两点，且，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）证明详见解析，该点坐标为． 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径即可求出. （2）根据题意可得圆心到直线的距离，分类讨论，当斜率不存在时，，满足题意；当直线的斜率存在，利用点斜式求出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解. （3）设直线AB：，直线： ，分别与圆的方程联立，求出点、，进而求出直线BC方程，根据直线方程即可求解. 【详解】解：（1）圆O：与直线相切， 圆心到直线的距离等于半径，即， ， 圆O的方程为；                                     （2）直线l被圆O所截得的弦长为4， 圆心到直线的距离， 斜率不存在时，，满足题意；                              斜率存在时，设方程为， 即， 圆心到直线的距离，， 直线l的方程为，                              综上所述，直线l的方程为或；            （3）由题意知，设直线AB：， 与圆方程联立，消去y得：， ，，即， 设直线： ， 与圆的方程联立，消去y得：， ，，           ，用代替得：， 直线BC方程为， 令，可得，则直线BC定点 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点斜式方程，考查了考生的基本运算能力，属于基础题. 【经典例题七 过圆上一点的圆的切线方程】 【例1】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 【答案】B 【分析】判断点与圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】因为，故点在圆上，所以因此过点只能作一条圆的切线. 故选：B. 【例2】（2025高二上·全国·专题练习）过点作圆的切线，求此切线方程． 【答案】 【分析】将A点代入圆的方程中，发现点A在圆上，则圆心到A点的斜率为0，则切线斜率不存在，是垂直于x轴的直线即可求出切线方程. 【详解】因为， 所以点在圆上，从而A是切点， 又过圆心与点A的直线斜率为，且切线与之垂直， 故所求切线的方程为． 1．（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】经分析知点在圆上，根据过圆上点的切线与圆心和切点所在直线垂直，得到切线斜率为，结合直线点斜式方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心， 点在圆上， 过点P的切线与CP垂直，且 ， 过点的切线斜率为， 故所求直线方程为： ， 整理，得： 故选：A 2．（多选）（23-24高二上·福建漳州·期中）与圆：相切，且在，轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】讨论所求直线过原点和不过原点两种情况，设出对应的直线方程，根据直线与圆相切列出方程求解，即可得出结果. 【详解】圆：化为标准方程为，即圆是圆心为，半径为的圆. 若所求直线过原点，可设所求直线为，因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所以； 若所求直线不过原点，因为该直线在两坐标轴上的截距相等，所以可设该直线方程为，因为该直线与圆相切，所以，解得或（舍），所以. 综上，满足条件的直线的方程为，，. 故选：ABD. 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）设是圆上一点，求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】 【分析】依题意设直线方程为，由点在直线上及点在圆上，可得，从而得到切线方程. 【详解】如图所示，所求直线垂直于过切点的半径，    因此是直线的法向量． 故可设直线方程为①．         因为点在直线上，将其坐标代入①式，得②．         又点在圆上，其坐标适合圆方程，即③．             由②、③可解得， 故所求直线方程为． 【经典例题八 过圆外一点的圆的切线方程】 【例1】（25-26高三上·湖北·开学考试）与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 【答案】B 【分析】分类讨论，①当直线不经过原点时，设截距为，②当直线经过原点时，设直线方程为. 【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以 ①当直线不经过原点时，设截距为，. 则直线过点，那么直线斜率为. 所以直线方程为. 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得或（舍去）. 此情况下有一条直线符合题意，直线方程为. ②当直线经过原点时，设直线方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得. 此情况下有两条直线符合题意，直线方程为. 综上，共有3条直线符合题目要求. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两点距离公式可得，即可求解， （2）利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）由题可设圆心的坐标为，， ∵圆的半径为2，点在圆上， ∴，解得（舍去）， 故圆的标准方程为． （2）由题知，切线的斜率存在， 设切线的方程为，即， 由题意得，解得或， ∴切线的方程为或． 1．（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）过点作圆的切线，则的斜率为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，化简得，解得或，所以的斜率为0或. 故选：C. 2．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【详解】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 3．（24-25高二上·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】当切线的斜率存在时，可设直线：， 即， 圆心到直线的距离为，解得， 故直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线：，圆心到直线的距离为1，符合题意； 所以直线l的方程为或. 故答案为：或. 4．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知圆，是直线上的一动点，过点作圆的切线，当点的横坐标为2时，求切线的方程． 【答案】或； 【分析】由圆的方程可求得圆心与半径，利用点在直线上求得点的坐标，分过点的切线斜率是否存在两种情况讨论可求得切线方程； 【详解】由圆，可得圆心，半径， 点在直线上，且点的横坐标为2,故点的坐标为， ①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，； ②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为， 即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：， ， 此时切线方程为，得， 切线方程为或； 【经典例题九 切线长】 【例1】（24-25高二上·河南郑州·期末）已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用圆心到直线的距离转化求四边形周长的最小值. 【详解】圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 而，的最小值为点到直线的距离为， 所以的最小值为，则四边形的周长的最小值为. 故选：B 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长. 【答案】2. 【分析】利用切线与半径的垂直关系，利用勾股定理求得切线长. 【详解】由题知，设圆心为，切点为A，半径，如图所示， 由切线性质知，， 则切线长. 1．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】求出切线长，得出最小时，最小，再由点到直线距离公式求解可得. 【详解】连接，则，当最小时，最小， 又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为. 故选：C. 2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求出⊙C圆心坐标，半径，，求出和，求出四边形的面积. 【详解】 由题意得⊙C圆心为，半径，， 则， 则四边形的面积. 故选：B. 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 【分析】根据圆切线的性质求切线长即可. 【详解】由圆，圆心坐标为，半径为2， 因为过点向圆作切线，切点为，且， 所以. 故答案为： 4．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知长为2的线段的两个端点和分别在x轴和y轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线C， (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若是直线上的动点，过点向曲线C引两条切线，切点分别为、，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用两点间距离公式及中点坐标公式列式化简即得. （2）利用切线长定理，结合面积公式列出函数关系，进而求出最小值. 【详解】（1）设，，由，得，设的中点为， 依题意，，则，即； 所以所求曲线C的方程为. （2）由、为圆的两条切线，得，， 则四边形的面积， 设，，则， 所以四边形的面积的最小值为1. 【经典例题十 切点弦及其方程】 【例1】（23-24高一上·河南焦作·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的圆心，求出以为直径的圆的方程为，把圆与圆相减，得直线AB的方程． 【详解】设坐标原点为，以为直径的圆的方程为，即， 把圆与圆相减，得：， 直线经过两圆的交点，即切点. 所以直线即为圆与圆的公共弦所在的直线， AB方程为:. 故选：B. 【例2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）如图，过圆外一点向圆引切线.    (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若切点为，，求过切点，的直线方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设出直线方程，利用直线和圆相切的性质可求切线方程； （2）求出切点坐标可得方程或者利用两圆的公共弦求出答案. 【详解】（1）设过点P的圆的切线方程为，的圆心为，半径为； 则，解得或， 故切线方程为或. （2）解法1：将切线方程与圆的方程联立成方程组，由可得， 由可得， 即和， 故过切点，的直线方程为，整理得. 解法2：因为O，，P，四点共圆， 所以，在以OP为直径的圆上，圆心为，半径为， 即方程为 与已知圆相减，得过切点，的直线方程为.    1．（23-24高二上·安徽六安·期中）过原点作圆的两条切线，设切点分别为、，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程确定圆心C、半径r，根据切线段长与半径r、OC的几何关系，求切线段长，利用相似等比例求切点弦的长即可. 【详解】由题意，可化为， ∴圆心，半径，则有，故切线段长， 若线段的长为，则，得. 故选：B. 2．（23-24高一下·甘肃兰州·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2， ∵P（﹣3，4），∴线段PO的中点C（﹣，2），|PO|=5， ∴以PO为直径的圆C的方程为（x+）2+（y﹣2）2=，即x2+y2+3x﹣4y=0， 把圆C：x2+y2+3x﹣4y=0与圆x2+y2=4相减，得：3x﹣4y+4=0， ∵直线3x﹣4y+4=0经过两圆的交点，即切点A，B， ∴直线AB的方程为3x﹣4y+4=0． 故选B． 3．（23-24高二下·广东广州·期末）过圆O:外一点作圆O的切线，切点分别为A、B，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由切线长公式可得，则点A、B在以为圆心，半径为的圆上，求出该圆方程，与圆的方程联立可得直线的方程，结合直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】根据题意，圆O:的圆心为，半径， 若，则， 圆O:外一点做圆O的切线，切点分别为A、B， 则， 故点A、B在以为圆心，半径为的圆上， 该圆的方程为， 联立两个圆的方程： ， 两式作差可得，则直线的方程为， 圆O的圆心O到直线的距离， 则. 故答案为： 4．（23-24高一·全国·单元测试）已知圆外一点,过点作圆的切线，，其中是切点. （1）求，所在的直线方程； （2）求，的值； （3）求直线的方程. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）求出圆心和半径，这样可以判断切线斜率一定存在，设出切线的点斜式方程，利用圆心到切线的距离等于半径，得到方程，解方程求出斜率，写出切线方程； （2）利用两点间距离公式，可以求出的长度，再利用切线的性质和勾股定理，可以求出，的值； （3）切线方程与圆方程联立，求出切线与圆的交点坐标，利用两点式求出直线方程. 【详解】（1)由圆心,点及半径知，切线斜率一定存在.设切线方程为，即. ∵圆心到切线的距离等于半径，∴， 即,解得或.故切线方程为或,即所在的直线方程分别为，. (2)∵，∴. (3)由解得 ∴. 由解得 ∴. 故直线的方程为，即. 【点睛】本题考查了圆的切线方程、圆的切线长，以及圆切点直线方程，考查了数学运算能力，抓住平面几何图形的性质是解题的关键. 【经典例题十一 已知切线求参数】 【例1】（2025·辽宁·二模）已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出正实数的值. 【详解】因为，则圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆相切， 所以，. 故选：A. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）当取什么值时，圆与直线相切？ 【答案】 【分析】解法一：结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求解； 解法二：联立方程组，转化为方程有唯一的解，结合，列出方程，即可求解. 【详解】解法一：由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，可得，解得， 即当时，直线与圆相切. 解法二：联立方程组，整理得， 可得， 因为直线与圆相切，即方程有唯一的解，可得，解得， 即当时，直线与圆相切. 1．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ） A． B．8 C． D．18 【答案】AB 【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于半径列方程来求得的值. 【详解】圆的圆心为，半径为. 由于直线与圆相切， 所以，解得或. 故选：AB 2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）过点与圆相切的两条直线垂直，则（    ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线性质、正方形的判定定理进行求解即可. 【详解】， 设该圆的圆心为，半径为，设点为点， 如图所示：过与圆相切的直线为，切点为， 连接，显然， 由题意可知相切的两条直线垂直， 所以四边形是矩形，又因为， 所以四边形是正方形， 因此有， 故选：D    3．（2024·浙江绍兴·三模）如图，，点A，B为射线OP上两动点，且，若射线OQ上恰有一个点C，使得，则此时OA的长度为 ． 【答案】 【分析】由题意可得：与以为直径的圆相切，结合切线的性质与题目条件计算即可得. 【详解】由题意可得：与以为直径的圆相切， 取中点，连接，则且， 又，则，则. 故答案为：. 4．（23-24高二·全国·单元测试）已知点A，B关于坐标原点O对称，过点A，B且与直线相切.若A在直线上，求的半径. 【答案】或. 【分析】根据题意可设，可知的半径为，再根据可解得，从而可得半径. 【详解】因为过点A，B，所以圆心M在的垂直平分线上. 由已知A在直线上，且A，B关于坐标原点O对称， 所以M在直线上，故可设. 因为与直线相切，所以的半径为. 由已知得，又，所以， 故可得，解得或. 故的半径或. 【点睛】本题考查了圆的性质，考查了直线与圆的位置关系，属于基础题. 【经典例题十二 圆的弦长与中点弦】 【例1】（25-26高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 【例2】（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知圆C过点. (1)求圆C的标准方程； (2)已知直线l过原点，倾斜角为60°，求直线l被圆C截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求圆的一般方程，再化为标准方程； （2）利用几何法求圆的弦长. 【详解】（1）设圆C的方程为， 则，解得， 所以圆C的方程为， 化为标准方程为； （2）由题意可知：直线为，即， 圆的圆心坐标，半径， 设圆心C到直线的距离为，则， 故直线被圆截得的弦长==. 1．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B 2．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由几何法求出弦长，再由面积公式计算． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 3．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆，过原点作不与坐标轴重合的直线交圆于，两点，则 ． 【答案】3 【分析】利用相交弦定理求解. 【详解】如图所示，令圆方程中，解得或，则，． 由相交弦定理可得． 故答案为：3 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆与轴相切. (1)直接写出圆心的坐标及的值； (2)直线与圆交于两点，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与轴相切得半径； （2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解. 【详解】（1）圆， 则圆心，因为圆与轴相切，则半径. 由（1）知，圆的方程为，圆心，半径为2. （2）法一：设， 联立，得， ， 则， 所以. 法二：圆心到直线的距离， 则. 故. 【经典例题十三 已知圆的弦长求方程或参数】 【例1】（2025·河北·模拟预测）已知圆A的圆心为，且圆A截x轴所得的弦长为6，则圆A的半径为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据圆心到弦的距离、半径、半弦长之间的关系求解. 【详解】由圆心坐标可知，圆心到弦的距离为， 又弦长为，所以圆的半径， 故选：A 【例2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与圆心为 的圆 相交于A，B 两点，且为等边三角形，求实数的值. 【答案】 【分析】由圆的方程知等边的边长为2，圆心到的距离为，利用点到直线距离公式求解即可. 【详解】由知，圆心， 因为为等边三角形且为圆心，所以该三角形的边长为2， 由等边三角形的性质可知高为，即点到的距离为. 所以圆心到直线的距离， 所以 解得 1．（2025·江西·模拟预测）已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【分析】首先根据弦长和圆的半径求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式列出关于参数的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】依题意可知直线与圆相交，且圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到的距离为，则，解得. 由，化简得，解得或. 故选：D. 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出弦心距不大于1，由点到直线距离公式解不等式可得． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 当弦长时，弦心距， 若，则， 即，解得， 故选：C. 3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知直线与圆交于两点，写出满足“面积为”的的一个值 ． 【答案】（从中任选一个即可） 【分析】由圆心坐标得到圆心到直线距离。由垂径定理得到弦长与圆心到之间距离的关系，利用三角形面积建立方程，从而解得圆心到直线距离，然后即可解得的值. 【详解】圆心到直线的距离、 由于弦长，所以，解得或， 故或，解得或．因此，从中任选一个即可． 故答案为：（从中任选一个即可）. 4．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线相交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）结合两点距离公式求轨迹方程即可； （2）根据圆中的弦长公式结合点斜式计算即可. 【详解】（1）设，则， 因为，则， 整理得， 即曲线的方程为：； （2） 不妨设，如上图所示，设曲线是以为圆心的圆， 由（1）知，半径为， 取中点C，则， 由，则， 即圆心到直线的距离，解之得或， 所以的方程为：或. 【经典例题十四 圆内接三角形的面积】 【例1】（2023高二·江苏·专题练习）若过原点O的动直线l将圆分成两部分的面积之差最大时，直线l与圆的交点记为A，B，直线l将圆E分成两部分的面积相等时，直线l与圆的交点记为C，D，则四边形ACBD的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得当直线时，弦AB将圆E分成两部分的面积之差最大，当直线l过圆心即与OE重合时，直径CD将圆E分成两部分的面积相等，进而得出四边形ACBD的面积. 【详解】当直线l过圆心即与OE重合时，直径CD将圆E分成两部分的面积相等. 如图所示，连接，设，过作的垂线，垂足为， 则为的中点且. 故，故即， 由四边形可得 记劣弧弓的面积为，，则弦AB将圆E分成两部分的面积之差为： ， 因为在上为减函数，故在为减函数， 故当时，弦AB将圆E分成两部分的面积之差最大. 此时与重合，即.    圆心到原点O的距离为，半径为，所以， 因为，所以. 故选: A. 【例2】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据点到直线的距离即可根据相切求解， （2）根据圆的弦长公式，即可结合面积求解. 【详解】（1）由已知可设圆心， 圆C与直线：相切，且， 所以， 解得或（舍）， 所以圆C的方程为． （2）设圆心C到直线的距离为d， 则，， 即，解得，（舍去） 又，所以，解得， 所以直线的方程为或． 1．（23-24高一上·河南·期末）直线：与圆C：交于A，B两点，若为等边三角形，则值是（    ） A．1 B． C．1或 D．5 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准方程,由直线与圆相交形成等边三角形,结合点到直线的距离及垂径定理即可求得的值. 【详解】圆C：,化为标准方程可知 所以圆心坐标为.半径为 由点到直线距离公式可知弦心距为 直线与圆交于两点且为等边三角形 根据垂径定理可得,即 化简得 解得或 故选:C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,点到直线距离公式及垂径定理的应用,属于基础题. 2．（2023高一下·湖南·期末）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意得到曲线表示半圆，当面积取最大值时，，从而确定此时圆心到直线的距离，再讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线距离公式，即可求出直线斜率. 【详解】由得， 所以曲线是以为圆心，半径的半圆， 因为直线与曲线相交于，两点，为坐标原点， 所以， 因此当面积取最大值时，， 此时， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得 因为点在的右侧，所以，因此. 故选：B. 3．（23-24高二上·天津武清·期中）已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 【答案】（任意一个也对） 【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线距离，根据垂径定理得到弦长，根据面积得到方程，求出或，进而求出实数m的值. 【详解】的圆心为，半径为， 则圆心到的距离为， 则， 故，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得， 故或 故答案为：（任意一个也对） 4．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用直线和圆相切的性质列方程求解即可； （2）利用直线和圆的弦长公式和三角形的面积列方程求解即可. 【详解】（1）将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为. 因为直线l：与圆C相切， 所以， 解得， 所以圆C的标准方程为. （2）设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得. 故， 解得或. 所以直线m的方程为或 【经典例题十五 直线与圆的实际应用】 【例1】（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果. 【详解】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，    则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 【例2】（23-24高一下·内蒙古包头·期末）在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 【答案】；4 【分析】根据题意建立数学模型，即台风中心到达点时开始受影响，计算出直线与圆相交的弦长，利用对称性得到，再计算开始影响时间即可. 【详解】以气象台A为原点建立直角坐标系， 则台风中心移动的轨迹在直线上， 距离气象台150km的轨迹为， 则台风中心经过图中弦时，气象台会受到影响， 又原点到直线的距离，所以弦， 即， 设经过时间后开始影响，持续时间为 则，， 所以气象台所在地大约小时后受到影响，持续时间为4小时. 1．（22-23高二上·浙江杭州·阶段练习）已知点，，为直线上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作圆与直线相切于，在直线上任取一点，连接交圆于，由 得点即为所求点，利用几何关系求点坐标即可. 【详解】如图所示过作圆与直线相切于，在直线上任取一点，连接交圆于， 因为，所以切点即为所求点， 因为点坐标为，所以由切割线定理得， 又由直线的倾斜角为可得，且 由余弦定理可得. 所以轴， 所以点横坐标为3，代入直线方程得点坐标为， 故选：B 2．（23-24高二上·全国·课后作业）一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过（    ） A．1.4米 B．3.0米 C．3.6米 D．4.5米 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，由垂直条件对应的勾股定理求解出结果. 【详解】可画出示意图如图所示，通过勾股定理解得米． 故选：C. 3．（23-24高二上·天津河西·期中）如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少 .    【答案】 【分析】画出如图的货车截面图矩形，在圆上时，货车最高，求出的长即得． 【详解】如图，矩形是货车截面图，，则， 故答案为：．    4．（23-24高二上·安徽·期中）2023年我国某海滨城市经常遭遇东偏南某方位的台风的侵袭，对居民的生产和生活产生巨大影响.如图，据10月13日午时监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向的海面处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围是半径为的圆形区域，位于城市的东偏南方向有一条自城市通向远海的航线，当前该航线的至段正遭受台风侵袭. (1)求当前该航线正被台风侵袭的至段的距离；（距离精确到） (2)经过多长时间后该航线将不受台风侵袭？（时间精确到）（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点到直线的距离和勾股定理可求解； （2）设小时后台风中心所处位置为点，再建立方程求解即可. 【详解】（1）由题得当前台风中心所处位置点坐标为，即点，又至段所在直线的方程为，则点到该直线的距离为，则，即得当前该航线正被台风侵袭的至段的距离为. （2）由题知，当该航线不受台风侵袭时，城市也恰好结束遭受台风侵袭.设经过小时后台风中心所处位置为点，则得坐标为，即点，又圆的方程为， 则由，得，其中､分别表示城市开始和结束遭受台风侵袭所需要经历的时间，则易得经过后该航线将不受台风侵袭. 【经典例题十六 坐标法的应用——直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，求出半圆的方程可得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，   O为圆心，易得半圆的方程为，， 因为B在半圆上，且轴，所以， 即．故车辆的最大高度应不超过米． 故选：C. 【例2】（24-25高二上·四川·期中）已知三点，点在圆上运动． (1)若直线与圆有唯一公共点，求； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，根据题意得到直线与圆相切，且唯一公共点为点，由勾股定理求出切线长； （2）设，且，表达出，而，故当时，取得最小值． 【详解】（1）由题意知，圆的圆心为，半径， 故， 由题意可得直线与圆相切，且唯一公共点为点， 在中，由勾股定理可得． （2）设，且， 故 ， 而，当时，取得最小值． 1．（23-24高一·全国·课后作业）若实数x，y满足方程，则的最大值为． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意,画出图形,结合图形设出过原点的直线为,利用圆心C到直线的距离,求出k的值即可求出的最大值. 【详解】根据题意,画出图形,如图所示, 设,且过原点的直线为, 则的圆心为, 所以圆心C到直线的距离为, 即, 化简得, 解得或, 所以的最大值为, 故选A. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求最值，关键在于将转化为过原点的直线的斜率，运用直线与圆相切求得最值，属于中档题. 2．（23-24高一·全国·课后作业）若实数x,y满足，则的最小值等于． A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据x,y满足的条件画出圆，再设,利用的几何意义求最值,只需求出过定点的直线是圆的切线时,直线的斜率取得最值,从而得到的最小值. 【详解】作出简图如下图所示： 设，则表示恒过定点的直线上去掉点的部分，要求的最小值，则转化为求恒过定点的直线的斜率最小, 因为实数满足，所以当直线是圆的切线时, 取得最值, 则此时圆的圆心到直线的距离，解得，过点P的直线也是圆的切线，但的斜率不存在，所以 最小值为. 故选. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，关键在于将转化为直线的斜率，从直线与圆相切时取得最值，属于中档题. 3．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知的圆心为，且与直线相切，则圆C的面积为 . 【答案】 【分析】求得圆的半径，进而求得圆的面积. 【详解】因为圆M与直线.相切， 所以点到直线：的距离即为圆M的半径， 所以，圆C的面积为. 故答案为： 4．（2023高二上·江苏宿迁·期中）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身应该降低多少？（精确到0.1m,参考数据）    【答案】0.4m 【分析】建立坐标系，确定圆的方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少． 【详解】以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 如图所示，则，，三点的坐标分别为，，，   又圆心在轴上，故可设， 因为，所以，解得，则 所以圆拱桥所在圆的方程为， 当时，， ，因为水位暴涨了， 所以船身要降低，才能顺利地通过桥洞． 【拓展训练一 直线与圆位置关系的判断及应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出与相离，根据圆的性质以及勾股定理，设点的坐标为，从而得到不等式，求出答案. 【详解】由题意可得圆心，到的距离为， 故与相离， 根据圆上存在两点使得，即三点共线， 且，其中最大值为圆的直径2，故的最大值为1， 过作， 设，则， 故, 由于，故 设点的坐标为，则有， 求得. 故选：D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求，的最值. 【答案】， 【分析】先将原等式进行变形，然后将问题转化成几何意义上的问题，画出图像结合条件进行求解即可. 【详解】，令，，，， 则有：，：，则为圆上的点，为直线上的点. 那么表示的是圆上点与直线上点的斜率. 因为，所以， 如图，当点取时，，即， 则，， 当点取时，，即， 则，， 故， 所以，. 1．（22-23高二上·广东肇庆·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切或相离 【答案】D 【分析】已知直线方程恒过，点在以为圆心，半径为1的圆外，可绘出示意图可得出直线和圆的大致位置关系，设点与直线的距离为，通过讨论与半径1的关系，得出结论. 【详解】直线方程可变形为，恒过点.圆，是以为圆心，半径为1的圆. ，故P在圆外，直线与圆的位置关系示意如下：    设圆心到直线：的距离为d，则. 当时，，，解得：， 即当时，直线与圆相切. 当时，即时，直线与圆相交. 当时，即时，直线与圆相离. 综上，随着的变化，直线和圆可能相交、相切或相离. 故选：D. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且圆上存在两个点，使得，则称圆为一个“好圆”.给出以下两个命题：（1）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交；（2）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相离；则下列说法正确的是（    ） A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立，（2）不成立 D．（1）不成立，（2）成立 【答案】D 【分析】设“好圆”圆的方程为，分类讨论借助韦达定理转化条件为，根据直线与圆的位置关系，将问题转化为二次不等式恒成立问题，再结合二次函数图象与性质求解可得. 【详解】设圆为一个“好圆”，圆心，半径为， 则圆的方程为， 则圆上存在两个点，使得，. 若与（或）重合，则，不满足题意， 所以不与重合. 由， 可得，则， 则三点共线，且在点同侧，即在圆外. 若直线斜率不存在，即为轴，此时不妨设， 则. 如图，当时，即圆， 圆上存在，使得，且圆与轴相离. 若直线斜率存在，设：，设与圆相交于， 联立，得， 则， 且，则， ， 故，则或. （1）假设存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交； 则圆心到直线的距离， 即， 化简得对任意恒成立， 当时，对任意不恒成立； 当时，不成立； 当时，， 设，由，图象开口向上， 且，， 当时，，则必存在，使得，不满足题意； 当时，，则必存在，使得，不满足题意； 当且时，由， 则在与内都存在，使得，不满足题意； 综上所述，不存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交； （2）假设存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相离； 则圆心到直线的距离， 即， 化简得对任意恒成立， 当时，恒成立； 验证：当时，圆心到轴的距离， 由，可知恒成立. 故存在直线，即轴，使得所有“好圆”与直线轴都相离. 由（1）不成立，（2）成立. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是借助直线与圆的位置关系转化为含参不等式的恒成立问题，进而分类讨论解决问题；二是存在性问题，通过分类根据特殊界点寻找特殊直线证明存在. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】先判断直线AB与圆相离，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径的和求解即可. 【详解】由得直线AB的方程为，即． 圆化为标准形式为， 圆心的坐标为，半径， 则圆心到直线AB的距离， 所以直线AB与圆相离， 所以点到直线AB的距离的最大值为． 故答案为： 4．（24-25高二上·福建三明·期中）已知圆. (1)若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. (2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由圆的弦长公式结合点到直线距离公式即可计算求解； （2）求出点Q到直线距离的最大值即可求解. 【详解】（1）由题意可得圆的标准方程为，所以圆心，半径， 又直线方程为， 则圆心C到直线的距离，直线AB与圆相交， 所以. （2）圆的圆心，半径， 则点到直线：的距离为， 所以点Q到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 【拓展训练二 直线与圆的相关问题求解】 【例1】（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，结合题意可得点的坐标，又两点都在圆上，代入计算即可得点的横坐标. 【详解】设，故有，即， 由，则点为中点， 故，故有， 即有，整理得， 即. 故选：A. 【例2】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知圆的方程是， (1)若点为圆上一点，过点M作圆的切线，求该切线方程. (2)若点为圆外一点，过点M作圆的两条切线，切点分别为A、B， ①求直线AB的方程. ②若为直线上的一个动点，试讨论直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由 【答案】(1)； (2)①；②恒过定点. 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合圆的切线性质求解即得. （2）①设出切点坐标，利用（1）的结论推导即得；②利用①的结论，结合直线的方程即可求解. 【详解】（1）圆的圆心，由点在圆上，得， 设过点M的圆的切线上任意点，当与不重合时，，有， 当与重合时，也成立，而， 因此，整理得， 所以所求切线的方程为. （2）①设切点，由（1）知切线的方程分别为，， 于是，显然点的坐标满足方程， 所以直线的方程为. ②由①知，直线的方程为，而点在直线上， 即，则直线：，即， 由，解得，因此直线过定点. 1．（23-24高三下·浙江·阶段练习）半径为3的圆内有一点，点在圆上，当最大时，的长等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，当时，最大，然后在中，用勾股定理求出即可． 【详解】如左图，因为点A在圆O内，所以为锐角，作与E, ． 欲使最大，即最大，由于为定值，则只要最大即可． 当，重合时，即时，最大，如右图 中，，，， 则故当最大时，的长等于． 故选：C． 2．（多选）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，圆，为圆上动点，下列正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最大时， 【答案】ABC 【分析】利用数形结合法，转化为三点共线时，取得最大值，可判定A正确；取的中点为，转化为，结合点与圆的位置关系，可判定B正确；利用直线与圆相切时，求得的最小值，可判定C正确；根据圆的切线的性质，结合圆切线长公式，可判定D不正确. 【详解】对于A中，因为，可得， 如图所示，可得 当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确. 对于B中，设的中点为，则， 所以，所以B正确； 对于C中，令，当直线与圆相切时，取值最值， 由圆心到直线的距离，解得， 所以的最小值为，所以C正确； 对于D中，当与圆相切时，取得最大值， 因为，圆的圆心为，可得， 此时，所以D错误. 故选：ABC. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为 ，直线所经过的定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】方法一：可得四点共圆，求出以为直径的圆，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法二：求出以为圆心，为半径的圆方程，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标；方法三：对于圆 ，若点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则切点弦所在直线的方程为 ，直接用结论写出直线的方程，进而可求出定点的坐标. 【详解】如图，连接， 方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆， 且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 两圆方程相减得直线的方程为， 令，则，所以直线过定点． 方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦． ，，所以， 在中，， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 即，令，则，所以直线过定点． 方法三：直线的方程为，即， 令，得，所以直线过定点． 故答案为：； 4．（24-25高二上·天津红桥·期中）已知直线与圆C：相切与点P. (1)求切点P的坐标； (2)过P点直线的与圆C值交于另一点Q，若线段PQ的长度为2，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过切点和圆心的直线与切线垂直，从而得到过切点和圆心的直线方程，两直线交点即为切点； （2）讨论斜率存在和不存在两种情况，斜率不存在时得出直线方程联立方程组求出另一个交点，验证两点间距离是否为2，在下结论；斜率存在时，设出直线方程，由垂径定理建立方程求得斜率，写出直线方程. 【详解】（1）由题意得：，圆心，半径， 因为，所以， 所以，所以，即， 联立方程得，， 所以. （2）直线斜率不存在时，， 联立方程得，或， 所以，所以，所以； 直线斜率存在时，设直线，即， 圆心到直线的距离， 又因为，所以， 所以，解得，所以； 综上，直线：或. 【拓展训练三 圆的切线相关问题求解】 【例1】（2025·山东聊城·三模）已知是直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，，则面积的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】应用点到直线距离得出，最小时，利用面积公式结合角的范围即得. 【详解】∵圆心O到直线的距离，所以， 设 ，，所以，，所以， 则面积 故选：A. 【例2】（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆． (1)若直线与圆相切，求切线的方程； (2)若过点的直线与圆相交于、两点，且为直角三角形，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求出的值，由此可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，结合点到直线的距离公式可求出参数的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）由已知得圆心的坐标为，半径． 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 即，解得或． 故直线的方程为或． （2）在直角中，因为，所以，则为等腰直角三角形， 因此直线与圆所截的弦长， 所以，圆心到直线的距离为， 显然，当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意； 所以，直线的斜率存在，设它的方程为，即， 所以， ，解得，则直线的方程为. 综上所述，直线的方程为.    1．（2024·江西·模拟预测）若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据参变分离可得，表示点与点连线的斜率.法一：根据直线与圆的位置关系运算求解即可；法二：根据图像结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，即， 注意到，可得， 令，则表示点与点连线的斜率， 且，所以点在圆上， 所以表示点与圆上的动点连线的斜率． 法一： 因为直线与圆有公共点， 直线的方程为，即， 则，解得， 即的最大值为，所以； 法二：由图可知，的最大值即为切线的斜率， 设，则，可得， 则． 所以． 故选：D． 2．（多选）（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则下列判断正确的是（   ） A．有一条切线方程为 B．有一条切线方程为 C． D．四边形的面积为2 【答案】ACD 【分析】利用圆心O到直线的距离d等于半径r求解判断A，B；利用圆的直径垂直平分弦判断C；利用面积公式求解判断D 【详解】由题意可知，过点作圆的两条切线斜率都存在， 所以设直线方程为， 所以圆心O到直线的距离d等于半径r， 即或， 所以切线方程为或，故A对；B错； 因为PA，PB是圆O的切线，所以， 所以四点共圆， 又，所以PO平分AB， 且PO是圆的直径，所以，故C对； ， 所以四边形的面积为，故D对； 故选：ACD 3．（24-25高二下·湖北黄石·阶段练习）已知圆O：和点，由圆外一点向圆引切线，切点分别为，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设，由得到的轨迹方程，进而可求解. 【详解】设，连接，则，可得， 所以， 即，可得， 所以的最小值为点到直线：的距离． 故答案为： 4．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知直线和圆. (1)若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程； (2)若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由垂直关系设出直线的方程，再由其过圆的圆心求得答案. （2）设点，利用切线长定理列出函数关系求出最小值. 【详解】（1）由直线与m：垂直，设直线：， 圆C的方程可化为，圆心为， 由直线经过圆心，得，解得， 所以的方程为. （2）设，由（1）知圆C的半径， 则， ，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 【拓展训练四 圆的弦长相关问题求解】 【例1】（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知在中，，，的角平分线与的外接圆相交于点，，则（  ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴建系，确定的外接圆方程，结合的角平分线方程，求得的坐标，即可求解. 【详解】    以为坐标原点，为轴，为轴建系， 设，则 则中点坐标为， 因为，， 所以的外接圆即为以中点为圆心，半径为1的圆， 方程为：， 由的角平分线的平分线方程为：， 两方程联立可得：， 解得或， 所以的坐标为， 又， 所以， 即，结合， 可得：， 即， 故选：A 【例2】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【详解】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 1．（22-23高二上·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数. 【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆， 联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义. 联立，解得或，所以直线与有两个交点. 所以直线与曲线的交点个数为2个. 故选：B 2．（23-24高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 3．（22-23高二上·广东广州·期末）如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度AB为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．旱季时水位下降了1米，则此时水面跨度增大到 米． 【答案】8 【分析】画出圆拱图示意图，构建直角坐标系，列出雨季和旱季时水位方程即可求出圆的半径，旱季时水面跨度. 【详解】 画出圆拱图示意图，设圆半径为,雨季时水位方程，解得； 旱季时水位方程，解得，所以此时水面跨度为. 所以答案为 8. 4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求出各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线和的方程，并求它们与轴的交点坐标，可得和的长度． （2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测，分别求出点和点的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立． 【详解】（1）当，，，时， 圆，直线，由解得或， 故，； 直线，由解得或， 故，． 所以直线，令得，即； 直线，令得，即， 所以． （2）①由原点在圆内，知, 由得，即， 则，是上述方程的两个解，由根与系数的关系得， 同理可得， 所以. ②猜测，证明如下： 设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以， 同理因为三点共线，可得, 由①可知， 所以,即， 所以成立． 1．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据过圆内一点的最长弦长和最短弦长得到过点的最短弦长的取值范围，从而得到点与圆心之间距离的取值范围，得到符合条件的点的区域，进而得到面积. 【详解】由得，所以圆的圆心为，半径， 因为直径是最长的弦，所以点在圆内，过点的弦中，直径是最长的弦，长度为， 以下分析过点的最短的弦，    由垂径定理知，，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大， 由图可知，，当弦时取到等号，所以当弦时，最大，弦长最短， 根据圆的对称性，这条长度为正整数的弦长度分别是， 要使得有两条长度为的弦，则最短弦长小于，要使得没有长度为的弦，则最短弦长大于， 因此，过点的最短的弦长，    因为弦长最短时弦，所以，，， 所以点落在以为圆心，半径分别为和的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为， 故选：B. 2．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 3．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 4．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知圆，点，点，点在圆上运动，点满足（O为坐标原点），则点到直线距离的最大值为（　　） A．8 B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据题意先解出直线的方程，再设点，然后根据已知条件解出点的轨迹方程，即可得到结果. 【详解】由点得. 设，由已知且， 所以. 又点在上，得， 故点轨迹为以为圆心，半径的圆， 则点到直线距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 6．（多选）（2025高三·全国·专题练习）公元前180年，古希腊数学家狄奥克勒斯研究倍立方问题时发现了蔓叶线．已知蔓叶线，，，线段与曲线C交于点M，过点A作x轴的垂线，与直线交于点D，以为直径作圆，交直线于点Q．下列命题正确的是（   ） A．若点在蔓叶线C上，则 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将点的坐标代入方程，利用求得，判断A；联立直线与蔓叶线C的方程求得M的坐标，利用两点距离公式求得判断B；求得，则有判断C；连接，利用等面积法求得，进而求得，即有判断D． 【详解】若点在蔓叶线C上，则， 因此且，解得，故A正确． 直线方程为，联立直线与蔓叶线C的方程消去y， 得，即， 故M的横坐标为，纵坐标为． 因此，故B错误． 直线的方程为，所以，所以，故C正确． 对于D，只需验证．连接，则． 由于，而，，， 因此． 在直角中，，即． 因此，所以，故D正确． 故选：ACD 7．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知是直线l：上一动点，过作圆O：的两条切线，切点分别为，则的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】因为，由分析的最大值，结合选项做出判断. 【详解】因为，， 当时，取得最小值，最大，所以也最大. 此时，，解得， 所以最大值为， 所以C，D错误；A，B正确． 故选：AB. 8．（多选）（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知圆C的方程为，为圆C上任意一点，则（   ） A．若，，则的值与M的位置无关 B．轴上存在无数对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 C．直线上存在无数对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 D．直线上不存在一对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 【答案】ABC 【分析】设，，由，再结合可求得即可对A、B判断；由圆关于直线对称且结合A、B中推论，可对C、D判断. 【详解】A：圆心C的坐标为，圆关于轴对称，设，， 则，即，对恒成立， 所以，所以，所以， 即，所以且且且， 令，得，所以A正确； B：因为且且且有无数组解，所以B正确； C、D：由圆关于直线对称及以上推理得，直线上也存在无数对定点A，B（A，B不重合）， 使得的值与M的位置无关，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 9．（多选）（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为 C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2 【答案】ABC 【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值. 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内，    所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC 10．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知点A，B是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，下列说法正确的是（    ） A．直线是圆与圆的公切线 B．｜PA｜的最小值为 C．四边形ACBP面积的最小值为2 D．直线AB恒过定点 【答案】AD 【分析】对于A，根据两圆半径判断两圆位置关系； 对于B，由向量性质判断垂直关系，用参数表示，继而得到最小的情况； 对于C，代入三角形面积公式即的值，得到面积； 对于D，两圆相交，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程. 【详解】对于A，连接，因为，圆，圆的半径均为1，所以圆，圆外切，结合草图可知，，则圆，圆的公切线方程为，A正确．    对于B，如图，因为，，所以，连接CP，则，所以当最小时，最小．当，即为圆心到直线的距离时，最小，，所以，B错误． 对于C，由题意得，，所以四边形ACBP的面积，由选项B可知，C错误． 对于D，设，因为PA，PB是圆的切线，所以点，在以PC为直径的圆上． 因为，所以以PC为直径的圆的方程为， 整理得，与圆的方程相减得直线AB的方程为，化简得，由得即直线AB恒过定点，D正确． 故选：AD 11．（25-26高二上·全国·随堂练习）过且与两坐标轴都相切的圆的方程为 ． 【答案】或 【分析】先根据已知确定圆心坐标，设圆的标准方程为，将点代入求解即可得圆的方程． 【详解】因为圆过且与两坐标轴都相切，可设圆心为 则圆的标准方程为， 则， 解得或， 所以圆的标准方程为或． 故答案为： 或． 12．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知直线与圆有唯一交点，则 . 【答案】4 【分析】由直线和圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意，可知直线与圆相切，由直线和圆的方程可知圆心到直线的距离，圆的半径， 所以由可得，解得. 故答案为：4. 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知P是圆上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的外接圆面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，确定两圆心与半径及位置关系作出图像，由相切可知PC为四边形PACB的外接圆的直径，然后求出PC得最大值即可求解. 【详解】如图，圆C：，即圆，则圆心． 圆，即圆，设圆心为D，半径为r， 则，．因为P是圆上一动点， 所以． 因为PA，PB分别切圆C于点A，B，所以PC为四边形PACB的外接圆的直径， 所以四边形PACB的外接圆的面积的最大值为． 故答案为：. 14．（2025·江西·模拟预测）直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则 . 【答案】 【分析】根据垂径定理可求弦心距，故可求参数的值. 【详解】由，得， 知点到直线的距离为， 所以，得. 故答案为：. 15．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】由题可求得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的半径为2，弦长为圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线距离为1得，解得． 直线的方程为或． 故答案为：或 16．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分切线斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可； （2）根据切线长的性质可得，进而结合图形求解即可. 【详解】（1）由圆，则圆心为，半径为3， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线方程为的距离为3，等于半径，满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由切线的性质，得， 当切线为时，此时切线与轴垂直， 则. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，直线，若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围． 【答案】的取值范围 【分析】求得圆心到直线的距离，进而可得，求解即可. 【详解】由，可得圆的圆心， 则到直线的距离， 当圆上到直线的距离为1的点的个数为2时，可得， 解得. 所以的取值范围． . 18．（2025高二上·全国·专题练习）过点的直线被圆截得的弦长为，求该直线方程． 【答案】或． 【分析】用点斜式设出直线方程，利用点到直线的距离公式，列出等式，即可解出斜率和直线方程. 【详解】由例题知，圆心为，半径长为， 又弦长为，所以圆心到直线的距离 ． 又直线过点，可知直线斜率一定存在， 可设直线斜率为k，则直线方程为， 所以，解得或， 所以直线方程为或， 即或． 19．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】(1)，的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. (2). 【分析】（1）设中点为，且，根据中点公式，求得，将其代入圆的方程，即可求解； （2）当直线斜率不存在时，得到直线方程，结合圆的弦长公式，不满足题意；当直线斜率存在时，设方程为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由圆，可得圆心为，半径长为2， 设线段中点为，且， 因为点的坐标是，且是线段的中点， 可得，解得， 因为点在圆上上运动，即， 所以，所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. （2）解：当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，所以弦长为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即 因为过点的直线被曲线截得的弦长为， 设圆心到直线的距离为，可得，解得， 则，解得，所以直线的方程为. 20．（22-23高二上·四川广安·阶段练习）已知圆O：及点． (1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A，B两点，试判断四边形OACB的形状，并给出证明； (2)过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】(1)四边形为菱形，证明见解析 (2)或 【分析】（1）的中点为， 求出的垂直平分线，代入圆，得，由韦达定理及中点坐标公式得到的中点为，再由，推导出四边形OACB为菱形． （2）当直线的斜率不存在时，，当直线的斜率存在时，设的方程为，，圆心到直线的距离为，由平面几何知识得，推导出当且仅当时，取得最大值，由此能求出直线的方程． 【详解】（1） 四边形为菱形，证明如下： 的中点为，， 的垂直平分线为，即， 代入圆，得， 设， 则， 所以的中点为，则四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形. （2） 当直线的斜率不存在时，的方程为， 则的坐标为，所以， 当直线的斜率存在时，设的方程为，， 则圆心到直线的距离为， 由平面几何知识得， 所以， 当且仅当，即，取得最大值为， 此时由，解得或， 此时直线的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $