第二章直线和圆的方程重难点检测卷-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019选修第一册）

第二章直线和圆的方程用语重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过三点，则该圆经过的整点共有（    ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）我们称与向量平行的非零向量为直线的法向量.已知直线与圆相交，则下列向量不可能是直线的法向量的为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 4．（24-25高二上·全国·课后作业）某圆拱桥的拱高为，现有宽，水面以上的高度为米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：）在下列哪个区间内（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 6．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）我校校徽代表三种德性：一是虚心，代表学习；二是不断，代表工作；三是精诚团结，代表最后胜利.如图，这三个圆可看作半径为，且过彼此圆心的圆，圆心分别是、、（都在坐标轴上），是圆与圆位于左下方的公切线，是圆与圆位于右下方的公切线，点在圆上运动，、分别在与上，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河北·模拟预测）已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦方程为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高二上·江苏南通·期中）下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．斜率之积为的两直线相互垂直 C．在两坐标轴上截距相等的直线斜率为 D．直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线 10．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知圆的圆心为，半径为3，则（    ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．点在圆外 11．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知圆，P为圆O上的动点，则（    ） A．圆心O关于直线AB的对称点为 B．动点P到直线AB的距离最大值为 C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）最新发布的Figure 02实体机器人在平面内的运行轨迹方程为圆O：，则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是 . 13．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，圆O的圆心为原点，半径长为1；圆C的圆心为点，半径长为2．点P是圆O上的动点，过P点作圆C的两条切线，切点分别为M点和N点，求线段MN长度的最小值为 14．（24-25高一下·上海宝山·期末）平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为 ． 4、 解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知，两个定点，是直线上一动点． (1)求的最小值； (2)当的外接圆与直线相切时，求外接圆的标准方程． 16．（23-24高一上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中点，圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且直线与圆相切． (1)求直线的方程； (2)求圆的方程． 17．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知圆是以点和点为直径端点的圆，圆是以点和点为直径端点的圆． (1)求圆，的方程； (2)已知两圆相交于，两点，求直线的方程及公共弦的长. 18．（24-25高二上·江苏·期中）已知圆经过点，且与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程. 19．（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． (1)求曲线的方程； (2)若，求实数的值； (3)过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章直线和圆的方程用语重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高三上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过三点，则该圆经过的整点共有（    ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【答案】D 【分析】先设出圆的一般方程，代入点的坐标得到圆的方程，从而得到圆经过的整点. 【详解】设该圆的方程为， 将代入圆的方程可得： ，解得， 故圆的方程为， 整理得， 当时，；当时，或5； 当时，或6；当时，或7； 当时，或6；当时，或5； 当时，，所以该圆经过的整点共有12个. 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）我们称与向量平行的非零向量为直线的法向量.已知直线与圆相交，则下列向量不可能是直线的法向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线与圆相交，可得，求解可得结论. 【详解】由，可得圆心，半径为， 因为直线与圆相交， 所以，解得， 根据法向量的定义可得直线的法向量为，且， 所以A，B，C均可作为直线的法向量，D不能作为直线的法向量. 故选：D. 3．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）某圆拱桥的拱高为，现有宽，水面以上的高度为米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：）在下列哪个区间内（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】适当建立平面直角坐标系，根据直线与圆的位置关系，结合弦长的求法可得拱桥的水面跨度，进而得解. 【详解】    由题意，建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，，， 其中为圆拱桥的圆心．设拱桥所在的圆的方程为， 则， 解得，， 则圆形拱桥的水面跨度为， 故选：B. 5．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内任取一点，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点重合，记此时的折痕为，点在上，则的最小值为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用对称性，两点之间，线段最短得到答案. 【详解】如图，设关于对称的点为，则在圆上，连接，， 则有， 故.    故选：D 6．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，求出与圆相切时且时的取值即可得答案. 【详解】由题意可知圆心在直线上， 设， 又因为圆与轴相切， 所以， 因为当与圆相切时，取最大值， 所以当， 则， 此时， 所以， 整理得， 解得或， 因为圆上存在两点使得， 所以，即圆圆心的横坐标的取值范围为. 故选：D. 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期中）我校校徽代表三种德性：一是虚心，代表学习；二是不断，代表工作；三是精诚团结，代表最后胜利.如图，这三个圆可看作半径为，且过彼此圆心的圆，圆心分别是、、（都在坐标轴上），是圆与圆位于左下方的公切线，是圆与圆位于右下方的公切线，点在圆上运动，、分别在与上，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线、的方程，设点，利用点到直线的距离公式结合三角函数的有界性可求得的取值范围. 【详解】连接、，设直线分别切圆、圆于点、，连接、， 由题意可知，是边长为的等边三角形， 由于三个圆心、、都在坐标轴上，则为线段的中点， 所以，、、，故圆的方程为， 由圆的几何性质可知，且，故四边形为矩形， 所以，，同理可证，所以，直线的斜率为， 设直线的方程为，由图可知， 因为直线与圆相切，则，因为，解得， 所以，直线的方程为，即， 同理可求得直线的方程为， 设点，则 ， ， 所以， . 故选：A. 8．（2024·河北·模拟预测）已知是圆上的动点，点满足，记点的轨迹为，若圆与轨迹的公共弦方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相关点法求得圆的轨迹方程，进而得到两圆的公共弦的方程，利用待定系数法得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为点在圆上的动点，点满足， 设，，则， 所以，即， 代入圆的方程，可得，即， 可得两圆的公共弦的方程为，即， 又因为两圆的公共弦的方程为，可得 ，解得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量的线性运算与相关点法，求得圆的轨迹方程，从而得解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高二上·江苏南通·期中）下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．斜率之积为的两直线相互垂直 C．在两坐标轴上截距相等的直线斜率为 D．直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线 【答案】BD 【分析】对于A：根据倾斜角定义分析判断；对于B：根据直线垂直分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线的一般方程分析判断. 【详解】对于A：直线的倾斜角的取值范围是，故A错误； 对于B：斜率之积为的两直线相互垂直，故B正确； 对于C：例如直线，此时在两坐标轴上截距均为0，相等，但斜率不为，故C错误； 对于D：直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线，故D正确； 故选：BD. 10．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知圆的圆心为，半径为3，则（    ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．点在圆外 【答案】BC 【分析】写出圆的标准方程，再逐一代入点后判断与半径的平方关系即可； 【详解】由题得圆的标准方程为． 对于A，因为，故点在圆外，故A错误； 对于B，因为，故点在圆外，故B正确； 对于C，因为，故点在圆上，故C正确； 对于D，因为，故点在圆内，故D错误； 故选：BC. 11．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知圆，P为圆O上的动点，则（    ） A．圆心O关于直线AB的对称点为 B．动点P到直线AB的距离最大值为 C．以AB为直径的圆与圆O有2条公切线 D．分别过A，B两点所作的圆O的切线长相等 【答案】AC 【分析】求出直线的方程，求出对称点坐标判断A；利用圆的性质求出最大距离判断B；确定两圆位置关系判断C；求出切线长判断D. 【详解】直线的斜率，直线的方程为， 对于A，设圆心关于直线对称点为，则，解得，A正确； 对于B，圆心到直线的距离，因此动点P到直线AB的距离最大值为，B错误； 对于C，，线段中点，则，以AB为直径的圆半径为， 而圆半径为，且，即以AB为直径的圆与圆O相交，有2条公切线，C正确； 对于D，过点作圆的切线长为，过点作圆的切线长为，D错误. 故选：AC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）最新发布的Figure 02实体机器人在平面内的运行轨迹方程为圆O：，则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是 . 【答案】/ 【分析】首先求出直线的方程并计算圆心到直线的距离，再由平面几何知识得出结论. 【详解】由直线的截距式可知，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相离， 所以圆上的一点到直线距离的最小值为， 则它在行进过程中与经过点，的直线的最近距离是， 故答案为： 13．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，圆O的圆心为原点，半径长为1；圆C的圆心为点，半径长为2．点P是圆O上的动点，过P点作圆C的两条切线，切点分别为M点和N点，求线段MN长度的最小值为 【答案】． 【分析】根据切线长公式以及勾股定理分析得出的最小值，利用等面积法可确定的最小值. 【详解】∵PM、PN为⊙C的切线， 当PC最小时，PM最小， ∵点P是圆O上的动点， ∴当P点为OC与⊙O的交点时，PC最小， 最小值为， ∴PM的最小值为＝2， ∵＝2＝， 即＝， 解得MN＝， ∴线段MN长度的最小值为2． 故答案为: . 14．（24-25高一下·上海宝山·期末）平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式，结合不等式的性质求出最小值. 【详解】点到直线的距离分别为， ，则距离之和为， ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，， 而，因此，所以所求最小值为. 故答案为： 4、 解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知，两个定点，是直线上一动点． (1)求的最小值； (2)当的外接圆与直线相切时，求外接圆的标准方程． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可求解； （2）根据已知条件，设圆心坐标为点然后根据，即可求解. 【详解】（1）如图，设直线分别与轴交于点则 连结并延长至，使，并过点，作轴于点. 因为，所以 又因为，所以点关于直线l的对称点为， 因为，所以， 所以，，即 则    （2）因为的外接圆过点，则设圆心一定在直线上，设圆心为点 连结，则，所以，所以直线，即 联立，得，即， 又因为所以，解得或， 当时，，圆心， 所以外接圆的标准方程为， 当时，，圆心， 所以外接圆的标准方程为.    16．（23-24高一上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中点，圆的圆心在轴正半轴上，半径为，且直线与圆相切． (1)求直线的方程； (2)求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点坐标，利用两点式直线方程，可得答案； （2）根据切线的性质，结合点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】（1）由直线的两点式方程得， 直线的方程为． （2）设圆心，则． ，解得（舍）或． 圆的方程为． 17．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知圆是以点和点为直径端点的圆，圆是以点和点为直径端点的圆． (1)求圆，的方程； (2)已知两圆相交于，两点，求直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)：，： (2)， 【分析】（1）求出圆心及半径即可得圆的方程； （2）联立两圆方程，即可求出两圆交点坐标，即可得直线的方程及公共弦的长. 【详解】（1）的圆心为，半径，故：， 的圆心为，半径，故：； （2）联立，解得或， 则，则，.    18．（24-25高二上·江苏·期中）已知圆经过点，且与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由弦长来求得直线的方程. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 直线的方程是，所以圆的圆心可设为， 则，则， 半径， 所以圆的方程为. （2）由，令，解得， ，所以直线符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由于，所以到直线的距离为， 所以，解得， 直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 19．（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． (1)求曲线的方程； (2)若，求实数的值； (3)过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）由，代入坐标并化简可得结果； （2）由易得，再结合点到直线的距离公式表示圆心到直线的距离，从而计算出结果； （3）由，分别讨论和时四边形的面积，从而得到面积的最大值. 【详解】（1）由，化简整理得． 所以曲线的方程为． （2）因为，所以． 所以圆心到直线的距离，所以． （3）当时，，，； 当时，圆心到直线的距离，所以． 又，同理得． 所以． 整理得，当且仅当时取等号． 当时，． 综上，当时，四边形面积有最大值7． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $