第二章 圆锥曲线重难点检测卷-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选修第一册）

第二章 圆锥曲线重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 2．（23-24高三上·湖南·开学考试）与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系可得，再根据椭圆的定义可得动圆圆心的轨迹. 【详解】设动圆的圆心为，半径为，圆，圆， 则，. 又，所以点在以为焦点的椭圆上． 故选：A． 3．（2022·安徽·一模）设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点.且，若的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得，进一步得为等边三角形，且轴，从而可得解. 【详解】由椭圆的定义，得， 由余弦定理，得 ， 整理得：，又， ， 因此，，又，则为等边三角形， 由椭圆对称性得轴，所以. 故选：B. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设的中点为，连接，由得，即，得，结合双曲线的定义得，又由，得，记，利用二倍角的余弦公式得，进而求解. 【详解】如图，设的中点为，连接．故， 由得，故， 故为等腰三角形，即，又， 所以，．由直线， 所以，所以， 又， 解得，记，则， 所以，得，即， 所以． 故选：B.    5．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的标准方程为，根据题意求出、的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】由题，设双曲线的标准方程为，则，可得， 又因为双曲线的两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：A. 6．（22-23高三·云南昆明·阶段练习）抛物线的焦点是F，点A是该抛物线上一点，O是坐标原点，的外接圆的圆心在C上，且该圆周长等于，则p的值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】设的外接圆的圆心为，根据抛物线定义得，结合圆心在的垂直平分线上在则有，最后得到方程解出即可. 【详解】设的外接圆的圆心为，设外接圆的半径为，则， 解得，则， 根据抛物线的定义及圆心B在C上得，即， 又圆心在的垂直平分线上，则， 所以，即， 故选：B. 7．（2025·浙江绍兴·二模）已知椭圆，双曲线．A，B分别为的左，右顶点．过A作直线l与及的右支分别交于点P，Q．若，则Q点的横坐标为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】设，求出直线方程，分别联立椭圆和双曲线方程得到坐标，再由解出斜率可得. 【详解】    由题意可得直线l的斜率存在，设为，设， 由直线过点可得直线方程为， 联立，消去可得， ，， 代入直线方程可得， 所以 同理，联立，消去可得， ，， 代入直线方程可得， 所以， 因为，所以， 即， 即， 解得， 所以. 故选：D. 8．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（    ） A． B．3 C．6 D．8 【答案】BC 【分析】根据到焦点距离的范围求解即可. 【详解】由题意可知，所以，即. 故选：BC. 10．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线与x轴的交点F为抛物线的焦点，若点O为坐标原点，l与C交于A、B两点．则（    ） A． B． C．以线段为直径的圆被y轴截得的弦长为定值 D．重心横坐标的最小值为 【答案】BD 【分析】A：求得直线与轴的交点即可；B：由直线与抛物线方程联立，利用数量积运算结合韦达定理求解即可；C：设的中点为，表示以为直径的圆的方程为求解；D：由重心的坐标公式求解. 【详解】A：易知直线与轴交于点，即，所以，解得，故A错误； B：由选项A知抛物线，设，， 由，得，所以， 得，所以，故B正确； C：设的中点为，则，，所以以为直径的圆的方程为， 即，设该圆与y轴交，，令，得，所以，， 所以， 所以以为直径的圆被y轴所截的弦长为，不是定值，故C错误． D：由选项B知的重心的横坐标为， 当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD 11．（2023·广东广州·模拟预测）已知曲线C是平面内到定点和定直线l：的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则（    ） A．曲线C关于x轴对称 B．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 C．曲线C及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点） D．点到点和点的距离之和最小为 【答案】BC 【分析】由题意得到曲线的解析式，画出图象，由图直观判断即可. 【详解】设是曲线上任意一点，由于到定点和定直线的距离之和等于4. 所以，当时，， 即，化简得：， 当时，，化简得：. 画出曲线的图象： 如图，对于A，显然图象不关于轴对称，故A错误； 对于B，，当时，解得， 点到原点的距离最大为：，故B正确； 对于C，由A可得， 当时，，此时直线在曲线上或内部有1个整点； 当时，，此时直线在曲线上或内部有5个整点； 当时，，此时直线在曲线上或内部有5个整点； 当时，，此时直线在曲线上或内部有7个整点； 当时，，此时直线在曲线上或内部有1个整点； 故曲线及其内部共包含了19个整点，故C正确； 对于D，如图：点到与到直线的距离之和为4， 点到点和点的距离之和最小值为：，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，根据题意，利用两点距离公式与点线距离公式得到曲线的解析式，从而作图即可得解. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2025高三·全国·专题练习）已知，则实数x的值为 . 【答案】 【分析】将根号的式子配方后，根据椭圆的定义转化为椭圆与直线的交点即可求解. 【详解】， 故原方程可化为， 由椭圆定义可知：，解得. 故答案为：. 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意利用点差法可得，进而可求的中点为，结合点在椭圆内，列式求解即可. 【详解】由题意可知：直线的斜率， 设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为， 可得，且，， 因为点在上，则，两式相减得， 整理可得，可得，即， 则， 联立方程，解得，即， 因为点在椭圆内，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（2025高三·全国·专题练习）过抛物线的焦点作一条直线，交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则 ． 【答案】1 【分析】设，直线方程为，联立方程，得.根据韦达定理得.根据抛物线定义有，代入计算得答案. 【详解】抛物线的焦点，设该直线方程为. 联立，得. 设，则. 由抛物线定义知，线段与的长分别是 所以 故答案为：1 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2024·广东广州·模拟预测）将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为.记，过点的直线与交于不同的两点，直线，与分别交于点. (1)求的方程； (2)设直线，的倾斜角分别为，（，），求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求轨迹上的任意点为，且对应的点为，列出关系式，代入即可求解； （2）设直线方程：①，联立方程组，结合韦达定理求得和，再结合三点共线，求得，利用斜率公式，即可求解； 【详解】（1）解：设所求轨迹上的任意点为，与对应的点为， 根据题意，可得，即 代入方程，可得，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）设，，，， 由题知，所以直线的斜率不可能为0， 设直线的方程为 联立方程组，整理得， ， 由韦达定理得，，， 又因为，点在椭圆上， 所以， ， ，同理可得， 又因为三点共线，可得， 即， 所以， 所以. 【点睛】易错点点睛：第（2）小题中，设直线的方程时，很容易忽略一些特殊情况，比如：若令直线时，需要考虑直线斜率为0时是否满足题意，若令直线为，则需要考虑直线斜率不存在的时候. 16．（2024·吉林长春·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为6，左顶点为，点是双曲线的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线交于点，且以线段为直径的圆恰过双曲线的右焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)400． 【分析】（1）利用双曲线的定义与性质即可求解. （2）设出直线与双曲线方程联立，表达出韦达定理，再表示面积，利用函数性质即可求解最值. 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2）由（1）知，，则直线是线段AF的垂直平分线．    因为以线段MN为直径的圆恰过点，所以以线段MN为直径的圆恰过点． 所以，故． 设直线， 由双曲线的对称性可得B，C必在轴两侧，则，故． 将代入，得， 则①，②， 由B，C必在轴两侧，可得， 因为，所以，所以，所以， ③， 将①②代入③中并整理，得，解得（舍去）或， 所以直线过定点 所以 令，则， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，， 所以，当且仅当，即时取等号，所以面积的最小值为400. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中三角形面积最值.关键点是设出直线方程与双曲线方程联立，根据韦达定理和函数性质求解面积的最值. 17．（23-24高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是上的三个不同点. ①若，点在双曲线的同一支上，且是等边三角形，求； ②若（异于原点）是外接圆的圆心，直线的斜率均存在，并分别记为，求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据虚轴长及渐近线方程可求出，即可得出曲线方程； （2）①设出点的坐标，根据三角形为等边三角形，利用边长相等求出点坐标即可得解； ②根据点差法及斜率公式表示出，再求出的中垂线，代入点坐标，所得两式相减即可得解. 【详解】（1）由题意，且，所以， 故曲线的方程为. （2）如图， ①若，设， 因为，所以. 因为在双曲线上，所以. 以上三个方程联立，解得或. 当时，则，由，得， 再由，可解得. 此时. 当时，因为在同一支上，则不满足条件，舍， 所以. ②根据条件均存在知均不为零， 设点，三角形外心， 则有， 两两相减可得：， 则的中垂线为， 将代入则：，整理得， 又点在直线上，所以有① 同理有的中垂线为， 又点在直线上，所以有② 由①②得，， 整理得：，即， 则有. 18．（24-25高二上·全国·单元测试）某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令． (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由和C点在椭圆上联立得方程组，解方程组得出点的坐标. （2）由抛物线的顶点和C点坐标求出抛物线的方程，再求出降落点B的坐标，从而求出降落点与观测点之间的距离. 【详解】（1）（1）设，由题意，，即，得 又点上在，所以联立得方程组， 解方程组得或（舍去），当时，， 由图可知，所以， 故C的坐标为． （2）（2）由题意设抛物线的方程为， 因为抛物线经过点，， 所以，，解得，即． 令可得或（舍去），即， 所以， 故航天器降落点B与观测点A之间的距离为3． 19．（2025·四川巴中·模拟预测）双曲线，渐近线方程为，焦距为，设直线与交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若且，求的值； (3)若，过分别作双曲线的切线，且相交于点，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用双曲线的几何性质，列出方程组，求得的值，即可得到曲线的方程； （2）由，得到直线方程为，联立方程组，利用，求得或，再由弦长公式，列出方程，求得的值； （3）设，设处的切线方程为，联立方程组，根据，求得，得到在处的切线方程，同理得到在处的切线方程，结合为两切线的交点，得到都在上，结合恒过定点，求得，即可得到答案. 【详解】（1）解：由双曲线，渐近线方程为，焦距为， 可得，解得：，所以双曲线的方程为. （2）解：因为，所以直线方程为， 联立方程组，整理得， 由，解得或， 设，可得， 又由， 可得， 整理得，解得，此时满足，所以. （3）解：设 设在处的切线方程为，且， 代入，可得， 令，整理得， 解关于的二次方程，其中， 则，所以曲线在处的切线方程为， 又因为，所以在点处的切线方程为， 同理可得，曲线在处的切线方程为， 因为为两切线的交点，则满足， 即都在直线上， 又因为，可得都在直线上， 因为恒过定点，可得，解得， 综上可得，点的轨迹方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆锥曲线重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·湖南·开学考试）与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 3．（2022·安徽·一模）设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点.且，若的面积为，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 5．（23-24高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三·云南昆明·阶段练习）抛物线的焦点是F，点A是该抛物线上一点，O是坐标原点，的外接圆的圆心在C上，且该圆周长等于，则p的值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 7．（2025·浙江绍兴·二模）已知椭圆，双曲线．A，B分别为的左，右顶点．过A作直线l与及的右支分别交于点P，Q．若，则Q点的横坐标为（    ） A． B． C．5 D． 8．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（    ） A． B．3 C．6 D．8 10．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线与x轴的交点F为抛物线的焦点，若点O为坐标原点，l与C交于A、B两点．则（    ） A． B． C．以线段为直径的圆被y轴截得的弦长为定值 D．重心横坐标的最小值为 11．（2023·广东广州·模拟预测）已知曲线C是平面内到定点和定直线l：的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则（    ） A．曲线C关于x轴对称 B．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 C．曲线C及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点） D．点到点和点的距离之和最小为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2025高三·全国·专题练习）已知，则实数x的值为 . 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 14．（2025高三·全国·专题练习）过抛物线的焦点作一条直线，交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2024·广东广州·模拟预测）将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为.记，过点的直线与交于不同的两点，直线，与分别交于点. (1)求的方程； (2)设直线，的倾斜角分别为，（，），求的值. 16．（2024·吉林长春·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为6，左顶点为，点是双曲线的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线交于点，且以线段为直径的圆恰过双曲线的右焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求面积的最小值． 17．（23-24高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的虚轴长为2，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是上的三个不同点. ①若，点在双曲线的同一支上，且是等边三角形，求； ②若（异于原点）是外接圆的圆心，直线的斜率均存在，并分别记为，求的值. 18．（24-25高二上·全国·单元测试）某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令． (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离． 19．（2025·四川巴中·模拟预测）双曲线，渐近线方程为，焦距为，设直线与交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若且，求的值； (3)若，过分别作双曲线的切线，且相交于点，求点的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司 $