精品解析：湖北省武汉市第六中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

武汉六中2025~2026学年度高二上学期第1次月考 数学试题 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 ★沉着冷静规范答题端正考风严禁舞弊★ 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量， 且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 下列叙述正确的是（ ） A. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 C. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D. 若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为1的正方体中，点在正方形内，且不在棱上，又，则下列结论中错误的是（　　） A. 四棱锥的体积不变 B. 总有 C. 点在一条定线段（不含端点）上 D. 记直线分别与平面和平面所成角为，则可以为 7. 在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）． ①三棱锥中，点P到面的距离为定值 ②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ③ 直线与面所成角的正弦值的范围为 ④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 以上命题为真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 任意向量满足 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 10. 直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 直线关于点对称的直线经过点 B. 直线与的交点坐标为 C. 已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为 D. 已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为 11. 对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将和为第I组点将和归为第II点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为．给出下列四个结论： ①直线比直线的分类效果好； ②分类直线的斜率为2； ③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于的同侧； ④如果从第I组点中去掉点，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 三、填空题 12. 已知直线和直线的方向向量分别为，若，则实数的值是___________． 13. 图，已知正方体的棱长为1，E，F，G分别是棱的中点，设M是该正方体表面上的一点，若，则点M的轨迹所形成的长度是________． 14. 若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为________ 四、解答题 15. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上． （1）求证：平面平面； （2）当取得最小值时，求二面角的余弦值． 17. 如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问： （1）求直线MN的方程； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由． 18. 已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标； （2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程. 19. 如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉六中2025~2026学年度高二上学期第1次月考 数学试题 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 ★沉着冷静规范答题端正考风严禁舞弊★ 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程得斜率，再根据斜率和倾斜角的关系，即可求得倾斜角. 【详解】直线的斜率是， 设倾斜角为，则， ∴. 故选：C. 2. 已知空间向量， 且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式可得. 【详解】由题意可得在上的投影向量为. 故选：D 3. 下列叙述正确的是（ ） A. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 C. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D. 若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断各选项即可. 【详解】选项A：当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故A错误； 选项B：与轴垂直的直线倾斜角为，与轴垂直的直线倾斜角为，所以选项B正确； 选项C：平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，而倾斜角为的直线的斜率不存在，所以选项C错误； 选项D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为； 当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，故D错误． 故选：B. 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和进行分类讨论，结合余弦函数的值域计算出的范围，则倾斜角的取值范围可知. 【详解】当时，此时直线方程，垂直于轴，所以倾斜角； 当时，此时直线的斜率， 因为，所以， 结合正切函数的图象可知， 综上所述，倾斜角的取值范围是， 故选：C. 6. 在棱长为1的正方体中，点在正方形内，且不在棱上，又，则下列结论中错误的是（　　） A. 四棱锥的体积不变 B. 总有 C. 点在一条定线段（不含端点）上 D. 记直线分别与平面和平面所成角为，则可以为 【答案】D 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据可得的轨迹为如图所示的线段（不含两点），故可判断AC的正误，利用空间向量数量积的坐标形式计算后可判断B的正误，利用向量法求出后结合三角变换公式求出后结合在上无解可判断D的正误. 【详解】根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 其中， 因为点在正方形内，且不在棱上，故设， 对于C，因为，故，故， 故，取的中点为，的中点为， 则的轨迹为（不含两点），故C正确； 对于A，因为，故到平面的距离为1， 而正方形的面积为定值，故四棱锥的体积为为定值， 故A正确； 对于B，又， 故，故B正确； 对于D，，设平面的法向量为， 则，取， 而，故. 而，设平面的法向量为， 则，取， 故. 因为，故，， 故， 令，整理得， 故，而，故， 而，故在无解，故D错误， 故选：D. 7. 在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式得，作图，结合的几何意义求解可得． 【详解】将直线与化为一般式为， 所以到两直线的距离之和为， 所以①． 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为． 则动点的轨迹为如图所示的四边形的边， 的几何意义为四边形边上任意一点与连线的斜率． 由，得， 由，得, ，，，， 所以的取值范围是． 故选：C 8. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）． ①三棱锥中，点P到面的距离为定值 ②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ③ 直线与面所成角的正弦值的范围为 ④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 以上命题为真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于①③用空间向量求解；对于②可证明三角形为截面多边形，求其面积即可；对于④设球心，由求解球心坐标即可. 【详解】 以A为坐标原点，分别以为轴建系如图： ,， ， 设, 则， 所以 设面的一个法向量为， 则 令得， 对于①：到平面的距离为，故①正确； 对于②：连接，因为四边形为平行四边形， ，又面，面， 面， 同理可证面， 又，所以面面， 所以过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为， 它是边长为的等边三角形，故面积为，故②正确； 对于③：设直线与面所成角为，则， ，， 所以直线与面所成角的正弦值的范围为，故③正确； 对于④：当点P为中点时，设三棱锥的外接球球心， ， ， 解得， 所以外接球半径满足：， 三棱锥的外接球表面积为，故④正确； 综上：①②③④均正确. 故选：D 【点睛】几何体外接球球心的求法： （1）将几何体置入长方体中找球心； （2）利用几何法找到几何体各个顶点距离相等的点即为球心； （3）设球心坐标，根据到各顶点的距离相等解方程组得到球心坐标. 二、多选题 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 任意向量满足 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数量积的定义即可判断A；根据空间向量共面定理的推论即可判断B；根据空间向量基本定理即可判断C；根据时，，即可判断D. 【详解】对于A，表示与共线的向量， 表示与共线的向量， 而的方向无法确定，所以无法判断是否相等，故A错误； 对于B，因为，且， 所以四点共面，故B正确； 对于C，是空间的一组基底，若， 当共面时，则， 所以，无解，所以不共面， 所以也是空间的一组基底，故C正确； 对于D，时，，故D错误. 故选：BC. 10. 直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 直线关于点对称的直线经过点 B. 直线与的交点坐标为 C. 已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则的方程为 D. 已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得方程，可得过点，据此可判断选项正误；对于B，由A分析可得交点坐标；对于C，考虑直线过原点及直线横纵截距全不为0两种情况，可判断选项正误；对于D，由题可得方程，然后由点到直线距离公式可判断选项正误. 【详解】对于A，由，可知，由在轴上的截距为知过点， 所以直线的方程为，即．令，得，即直线过点， 所以直线关于点对称的直线经过点，故A正确； 对于B，联立，解得，即直线与的交点坐标为．故B正确； 对于C，当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意； 当直线不过原点时，设直线的方程为，将点代入可得，所以直线的方程为． 综上，满足条件的直线的方程为或．故C错误； 对于D，由题意过点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和的连线垂直，故此时直线的斜率为， 所以直线为，即，所以点到的距离为，故D正确. 故选：ABD 11. 对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”．对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好．某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用（单位：百元）和网购图书的费用（单位：百元）的情况如图所示，现将和为第I组点将和归为第II点．在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为．给出下列四个结论： ①直线比直线的分类效果好； ②分类直线的斜率为2； ③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于的同侧； ④如果从第I组点中去掉点，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分类直线的定义判断 【详解】由图象知： ，，，，，，， 当直线为分类直线时，， 当直线为分类直线时，其过， 由图可知，到直线距离最小， 到直线的距离为， 到直线的距离为， 所以，所以直线分类效果好，故①错误； 由图知的位置由，，确定， 所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好． 可知点，，直到线的距离相等， 所以直线过点，的中点，而的中点为,的中点为， 故直线的斜率为，故②正确； 又直线的方程为， 此时点在的右侧，故③正确； 去掉点后，，到直线的距离相等， 此时直线为线段，的垂直平分线，故④正确； 故答案为：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解分类直线的定义，如本题的位置由，，确定. 三、填空题 12. 已知直线和直线的方向向量分别为，若，则实数的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，可得，从而可求解. 【详解】由题意可得直线的方向向量为，直线的方向向量为， 且，可得，则， 所以可得. 故答案为：. 13. 图，已知正方体的棱长为1，E，F，G分别是棱的中点，设M是该正方体表面上的一点，若，则点M的轨迹所形成的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定点的轨迹，再求长度. 【详解】，在平面上， 取，，的中点，则点的轨迹是正六边形，轨迹长度是正六边形的周长，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定在平面上，并能作出平面与正方体的交线. 14. 若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为________ 【答案】，， 【解析】 【分析】 化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由，看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等； 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时， 会作为增根被舍去；设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，， 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于化简得到，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等，这是本题的解题关键，本题难度属于困难 四、解答题 15. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【小问1详解】 联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 【小问2详解】 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上． （1）求证：平面平面； （2）当取得最小值时，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 因为四边形为菱形，所以 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理和面面垂直的判定定理证明即可； （2）解法一：由二面角的性质可知即为二面角的平面角，利用垂直关系和等面积法求出的边长，进而求出的余弦值即可；解法二：建立空间直角坐标系，求出平面和的法向量，利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知平面， 因为平面，所以，， 又，平面平面，所以即为二面角的平面角， 当取得最小值时，有， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为在菱形ABCD中，，， 所以，， 又因为，所以， 又因为在中，，解得, 则在中，， 所以二面角的余弦值为． 解法二：由底面，底面，且底面为菱形可知两两垂直， 又当取得最小值时，有， 以为原点，分别为轴建空间直角坐标系， 因为在菱形ABCD中，，， 所以，为等边三角形，易得，， 则，，，，， 易知为平面的法向量， 又由（1）得平面，平面， 所以，又因为，，平面，平面， 所以平面， 所以为平面的法向量， 又， 所以二面角的余弦值为. 17. 如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问： （1）求直线MN的方程； （2）若的面积为，求的表达式； （3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（2）（3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用点斜式方程，即可求得直线的方程，得到答案； （2）联立直线方程求出直线交点的坐标，进而求得的范围，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，由，即可得到答案； （3）根据有解问题最值法，先分离变量，再利用二次函数性质求函数最小值，即可求解． 【详解】（1）依题意，点，直线的斜率为， 由直线的点斜式方程，可得直线MN的方程为． （2）由题意，因为， 可得直线OA方程为，直线AB方程为， 联立方程组，解得， 因为，所以或， 又由，解得，∵，∴ 所以 由弦长公式可得， 又由点P到直线OM的距离为， 所以． （3）由题意，可得， 设， 令，即，函数在为单调递增函数， 所以当时，的最小值为，当时，的最大值为， 即，所以， 又且， 所以，可得的最大值为， 因为关于S的不等式有解， 所以实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了直线的一般方程与直线的性质，并且考查了函数的最值与有解问题，是一道知识交汇较好，综合性较强的题，属于难题． 18. 已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0， （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标； （2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程. 【答案】（1）证明:依题意直线方程为， 即，即， 所以由，解得，故直线过定点. （2）存在；直线方程为3x＋4y－12＝0（3）3x＋3y－10＝0 【解析】 【分析】（1）将题目所给直线方程重新整理，由此证得直线恒过定点，并求得定点坐标. （2）设出直线方程截距式，根据题目所给条件，求出直线方程. （3）设出直线的倾斜角，求得的表达式并结合三角函数的知识求得最小值，以及此时的直线方程. 【详解】（1）证明略 ;定点. （2）依题意设直线方程为，将代入得①. 则，则，解得或. 其中不满足①，满足①. 所以存在直线，即满足条件. （3）由（1）知直线过定点，而若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线的倾斜角， 所以， 所以②， 令， 由于，所以，所以， 所以. 则②可化为，由于在上为减函数，所以在上为增函数，故当，即时，取得最小值为.此时直线方程为，即， 也即. 【点睛】本小题主要考查直线方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 19. 如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值． 【答案】（1） 由棱台性质知， 所以，则， 在中，由余弦定理可得：，， 连接，因为D为BC中点，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形求出，余弦定理求出，即可根据勾股定理证明，结合，可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，空间向量法求直线与平面所成角的正弦值. （3）求出平面ADE的法向量，设，由点M在侧面内，所以存在使得，再结合平面可推出，根据两点间距离公式及二次函数的性质可求出取最小值时m的取值，即可求出此时点M的坐标，利用向量法求平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以，则， 以A为坐标原点，AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， ，， ，， 设平面的一个法向量为， ，令，得，故， 设直线与平面所成角为， . 【小问3详解】 设为平面ADE的法向量， ， ，令得，， 设， 因为点M在侧面内，所以存在使得， ， ，，， 因为平面，所以，得， 将，，代入上式可得， 则，所以， 因为M在侧面内，所以， . 当时，取得最小值，此时， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， ，， ，令得，， 设平面与平面所成的二面角为， ，， 所以平面与平面所成的二面角得正弦值为. 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