7.1.1-2 数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

复数是概念及几何意义 第一课时 数系的扩充和复数的概念 人教A版必修第二册第七章 1.知道数系扩充的过程，理解复数的概念以及符号表示； 2.掌握复数的代数形式和几何表示法,能叙述复数的几何意义； 3.理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义掌握复数集C与复平面内所有点成一一对应； 3.理解共轭复数的概念，了解共轭复数的几个简单性质． 课时目标 自主预习，回答问题 阅读课本68-69页，思考并完成以下问题 1.实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？ 2.复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 创设情境，提出问题 从数系扩充的角度来看 （2）在整数集中求方程2x-1=0的解； 无解 有解 无解 有解 有解 无解 （3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；   （4）在实数集中求x2+1=0方程的解． 无解 有解 ？ （1）在自然集中求方程x+1=0的解； 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 【问题1】 思考下列解方程问题，你有什么体会？ （1）在自然数集中求方程 x+1=0 的解； （2）在整数集中求方程 2x-1=0 的解； （3）在有理数集中求方程 x2-2=0 的解； （4）在实数数集中求方程x2＋1＝0的解. 0.数系的扩充 数系的每一次扩充都解决了原有数集中某种运算不能解决的问题． 0.数系的扩充 0.数系扩充规则： （1）运算法则一致：新数集中规定的加法和乘法运算与原数集中规定的运算法则一致； （2）运算律一致：加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 【追问1】 数系扩充后，在运算上遵循了什么规则？ 【追问1】我们已经知道x2＋1＝0 在实数范围内无解？联系从有理数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集？使这个方程有解吗? （1）引入一个新数 ，使得 是方程 的解，即使得 ； （2）我们希望新数 和实数之间保持运算法则和运算律一致，则： 规定：①把实数b与i相乘，结果记作bi； ②把实数a与bi相加，结果记作a+bi. （3）所有实数以及 都可以写成 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 1.复数的概念 1.复数的概念 （1）虚数单位：我们把引入的新数i（i2＝－1）称为虚数单位. （2）复数：把形如a＋bi( a，b∈R)的数叫做复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. （3）复数集：全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R} 叫复数集. 1.复数的概念 【追问2】两个复数相等的充要条件是什么？两个复数能比较大小吗？ （4）复数相等：设a，b，c，d都是实数，那么：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，但两个实数可以比较大小. 1.复数的概念 1.复数的概念 【追问3】形如的复数在什么时候可以是实数？什么时候是虚数？ （5）虚数与纯虚数：对于复数. ①当且仅当 时，它是实数； ②当且仅当时，它是实数 ； ③当 时，它叫做虚数； ④当且仅当 且 时，它叫做纯虚数. 10 2.复数的分类 【问题2】实数与复数之间有什么关系？虚数与纯虚数有什么区别？请用文氏图表示各数集之间的关系? 题型1.复数的概念 【例1】（1）说出下列复数的实部和虚部： －2＋i，＋i，，－i，i，0； （2）判断N*，N，Z，Q，R，C的关系； （3）若 A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，判断A，B，C间的关系. 【答案】（1）实部分别为－2，，，0，0，0；虚部分别为，1，0，－，1，0. （2）根据各数集的含义可知，N*⫋N⫋Z⫋Q⫋R⫋C. （3）B⫋A⫋C. 题型2.复数的分类 【变式】本例中条件不变，当m为何值时，z＞0. 【答案】 （1）当m=5时，复数z是实数. （2）当m≠5且m≠－3时，复数z是虚数. （3）当m＝3或－2时，复数z是纯虚数. 【答案】m＝5. 题型3.复数相等 【例3】（1）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m的值； （2）已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值. 【或 课堂练习 【练习1】下列说法中正确的是(　　) A.复数由实数、虚数、纯虚数构成 B.若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0 C.在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D.若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i 【练习2】给出下列说法错误的是 . ①复数2＋3i的虚部是3i； ②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数； ③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数； ④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数． 【答案】 ①②③ 【答案】C 课堂练习 课堂练习 通过这节课的学习你有哪些收获呢？ 课堂小结 知识总结 学生反思 （1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 2.方法归纳：方程思想. 3.常见误区：未化成z＝a＋bi的形式. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 作业布置 1. 教材P73，习题 第1，2，3题（做在作业本上）； 2. 三维设计：大白+课时训练. 复数是概念及几何意义 第二课时 复数的几何意义 人教A版必修第二册第七章 课时目标 1. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2. 掌握实轴、虚轴、模等概念； 3. 掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 自主预习，回答问题 阅读课本70-72页，思考并完成以下问题 1.复平面是如何定义的，复数的模如何求出？ 2.复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 创设情境，提出问题 实数可以与数轴上的点一 一对应，类比实数，复数能与什么一 一对应呢？ 1.复数的几何意义 【问题1】根据复数相等的定义，任何一个复数 都可以由一个有序实数对唯一确定；反之也对. 由此你能想到复数的几何表示方法吗？ 0.复平面 复数 可用点 表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 1.复数的几何意义 （1）复数 复平面内的点； （2）复数 平面向量= . 一 一对应 一 一对应 2.复数的模 【追问1】根据复数的几何意义，其对应复向量的模在复数中是什么？ 2.复数的模：向量的模叫做复数的模或绝对值，记作：或. 即，其中. （1）复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小； （2）根据复数模的计算公式可把复数模的问题转化为实数问题解决； （3）根据复数模的定义，可把复数模的问题转化为向量模（即两点的距离）的问题解决． 【追问2】我们知道复数不能比较大小，它的模能比较大小吗？ 3.共轭复数： （1）定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于 的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示：复数 的共轭复数用 表示，即如果 ，那么 . 3.共轭复数 【问题2】若一个复数与它的共轭复数相等，即，则复数满足什么条件？一般地，共轭复数还有哪些性质? （2）共轭复数的性质： ①； ②； ③⟺ 为实数； ④（ ） ⟺ 为纯虚数. 题型1.复数与复平面内的点 【例1】在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围. 【答案】（1）m＝－2或4. （2）2＜m＜ （3）4.2＜m＜4或－5＜m＜－2. （4）m＝. 题型2.复数与复平面内向量的对应 【答案】（1），则z=1+i； ，则z=1 4i； （2）D(3，7)，则z=3+7i. 题型3.复数的模及其应用 【例3】（1）已知复数z1＝－i，z2＝－＋i. ①求｜｜，｜｜的值并比较大小； ②设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示. 【答案】 (1)① ｜｜＝2，｜｜＝1，所以｜｜＞｜｜. ②如下图： 【例3】（2）设复数z＝x＋yi，x，y∈R，且｜x｜＝｜y｜，则满足｜z｜＝1的复数z共有　　　　个.  （3）已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，则实数a的取值范围是　　　　. 题型3.复数的模及其应用 【答案】 （1）4个； （2）（）. 题型4.共轭复数 【例4】求下列各复数的共轭复数. (1)2+5i； (2)－ 3+2i；； (3)(2 － 4i)i； (4)－ 3i. 课堂练习 【练习1】实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. (1)对应的点在x轴上方； (2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上. 课堂练习 【练习3】设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z构成什么图形. (1)|z|＝2； (2)1≤|z|≤2. 课堂练习 课堂练习 【练习4】若复数z1＝1＋2i，z2＝3－i（其中i为虚数单位）所对应的向量分别为和（O为坐标原点），则△OZ1Z2的面积为　　　.  【答案】 【练习5】已知x为实数，复数z＝x－2＋（x＋2）i. （1）当x为何值时，复数z的模最小？ （2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值. 【答案】（1）最小值为2. （2）＋≥＋.当且仅当m＝2－，n＝2－2. 通过这节课的学习你有哪些收获呢？ 课堂小结 知识总结 学生反思 （1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 2.方法归纳：待定系数法、数形结合. 3.常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小； |z－(a＋bi)|表示复平面内的点到点(a，b)的距离. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 作业布置 1. 教材P73，习题 第5，6，7，10，11题（做在作业本上）； 2. 三维设计：大白+课时训练. 思考 【问题与情境】 16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“5＋ eq \r(－15)和5－ eq \r(－15)”就可以满足要求： (5＋ eq \r(－15))＋(5－ eq \r(－15))＝5＋5＝10， (5＋ eq \r(－15))(5－ eq \r(－15))＝5×5－ eq \r(－15)× eq \r(－15)＝25－(－15)＝40. 【问题】 eq \r(－15)能作为“数”吗？它真的是无意义的、虚幻的吗？ 2.复数的分类 (1)复数分类：(a＋bi，a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0)))) (2)集合表示： 【例2】实数x分别取什么值时，复数z＝ eq \f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是: ①实数；②虚数；③纯虚数. 【练习3】（1）实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)是： ①实数； ②虚数； ③纯虚数； ④零. （2）已知m∈R，复数z＝lg m＋(m2－1)i，当m为何值时， ①z为实数？ ②z为虚数？ ③z为纯虚数？ 【练习4】(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值. (2)关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值. 【情境与问题】 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 【问题】实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数该怎样来表示呢？ 【例2】在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点． (1)求向量 eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))和 eq \o(AC,\s\up16(→))对应的复数； (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数． 【练习2】(1)在复平面内，O为原点，向量表示的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量表示的复数为(　　) A．－2－I B．1＋2i　 C．－2＋I D．－1＋2i (2)在复平面内，把复数3－ eq \r(3)i对应的向量按顺时针方向旋转 eq \f(π,3)，所得向量对应的复数是(　　) A．2 eq \r(3) B．－2 eq \r(3)I C． eq \r(3)－3i D．3＋ eq \r(3)i 【思考1】求适合下列条件的复数z在复平面上表示的图形: (1) ； (2) 且 . $