2.2.2有理数的除法讲义-　2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

第二章 有理数的运算 第四节 有理数的除法 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1有理数除法运算法则 2 知识点2有理数的乘除混合运算 3 题型精讲1有理数的除法运算 4 题型精讲2有理数除法的应用 5 题型精讲3有理数乘除混合运算 6 题型精讲4有理数乘除中的简便运算 8 题型精讲5有理数四则混合运算 10 题型精讲6有理数四则混合运算的实际应用 11 题型精讲7根据点在数轴的位置判断式子的正负 12 题型精讲8数轴上的翻折 13 03拓展培优 15 04课堂检测 20 知识思维导图 课程学习目标 1. 理解有理数除法的意义，能通过乘法逆运算推导出除法法则，掌握“同号得正，异号得负，绝对值相除”及0的除法规则。 2. 会求非零有理数的倒数，能熟练进行有理数除法运算，养成良好运算习惯。 3. 体会转化思想，能运用除法解决简单实际问题，提升运算能力与应用意识。 【新知学习】 【知识点1】有理数除法运算法则 1） 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 ，即：a÷b=a×（b≠0）。 2） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值 . 3)0除以任何一个不等于0的数，都得 . 【补充】 1)除法在运算时有2个要素要发生变化： ①符号发生变化.（“÷”变“×”）； ②除数发生变化.（除数变为它的倒数）. 2）0不能作除数，0作除数时无意义； 3） 有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值； 4） 有理数的除法转化为有理数的乘法后，可以利用乘法的运算律来简化运算； 【易错提醒】 若被除数是和的形式，则可以把除数分配给“和”中的每一个数；若除数是和的形式，就不能把除数分配给“和”中的每一个数.即(a-b)+c=a+c-b+c，a+(b-c)+a+b-a+c 例题1：根据有理数除法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】有理数除法法则： (1)除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 ，用字母表示为a÷b＝a· (b≠0)； (2)两个有理数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ．0除以任何一个不等于0的数，都得 ． 【变式训练2】有理数除法法则：成立的条件是 ． 【变式训练3】（1）除法法则二：两个有理数相除，同号为正，异号为 ，并把 相除， （2）0除以任何一个不为0的数都得 ． 【知识点二】有理数的乘除混合运算 运算法则：有理数的乘法和除法属于同级运算，按照除法运算法则，把有理数的除法变换成乘法之后从左至右算起即可。注意有括号的先算括号。 例题1：（25-26七年级上·全国·课后作业）计算 ． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）若一个数的是，则这个数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B．5 C． D． 【变式训练3】2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 题型精讲1有理数的除法运算 例题1：（25-26七年级上·全国·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【变式训练2】（25-26七年级上·广西柳州·开学考试）下列算式中得数最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26七年级上·海南·开学考试）在一道除法算式中，被除数、除数、商三个数的和是207，商是15，被除数是 ，除数是 ． 题型精讲2有理数除法的应用 例题1：（25-26七年级上·广西柳州·开学考试）外卖小哥送一批订单，前2小时送了18单．按照这样的效率，送完72单需要多少小时？ 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·阶段练习）一只蚂蚁从某点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为“”，向左爬行的路程记为“”，爬行的各段路程依次为单位：： ，，，，，，． (1)蚂蚁共爬行了多少厘米？ (2)若蚂蚁共用了完成上面的路程，蚂蚁的平均速度是多少？ 【变式训练2】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中） [情境题 生活应用]随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米． (3)若行驶需用汽油，请估计小明家一个月（按30天计算）共用多少升汽油？ 【变式训练3】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）妮妮去文具店购买修正带，某品牌的修正带有两款，普通版20米长售价5.4元，加长版30米长售价7.5元，（   ）更优惠． A． 普通版 B．加长版 C．两者相同 D．不能比较 题型精讲3有理数乘除混合运算 例题1：（2025七年级上·全国·专题练习）（　　） A．2 B． C．1 D．4 【变式训练1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算题 (1) (2) 【变式训练2】（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读下面的解题过程．请认真阅读并解答相关问题． 计算：． 解：原式……………………………………第一步 ……………………………………第二步 ……………………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)上面解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)写出正确的解答过程． 【变式训练3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）有理数乘除混合运算： (1) (2) (3) (4) 题型精讲4有理数乘除中的简便运算 例题1：（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）( )，( ) 【变式训练1】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）递等式计算（能简算的要简算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式训练3】（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）选择合适的方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型精讲5有理数四则混合运算 例题1：（25-26七年级上·福建福州·开学考试）数学上把相差2的两个质数叫做“孪生质数”，例如5和7相差2，且两个数都是质数，那么5和7就是“孪生质数”．下列四组数中是“孪生质数”的是（ ）． A．2和3 B．3和5 C．9和11 D．13和15 【变式训练1】（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）用你喜欢的方法计算 (1)； (2) (3)； (4)． 【变式训练2】（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算：= 【变式训练3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型精讲6有理数四则混合运算的实际应用 例题1：（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）2025年5月20日，徐州马拉松云龙湖欢乐跑成功举办．活动期间，酒店推出促销活动，食宿类消费一律享受七五折优惠．请根据以上信息，完成下列问题： （1）七五折 ．（填小数） （2）跑步爱好者小李在活动期间入住酒店一晚，预订了一个房间．结账时他实际支付房费比定价便宜了70元．那么，这个房间的定价是 元． 【变式训练1】（25-26七年级上·山西临汾·开学考试）临汾市内电话的收费标准如下： 前3分钟 共计0.20元 以后每分钟 计费0.12元（不足1分钟的按照1分钟收费） 李老师给市内的张教授打了9分40秒的电话，应付电话费（   ）元． A．0.92元 B．0.94元 C．1元 D．1.04元 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·期中）一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 【变式训练3】（25-26七年级上·四川绵阳·开学考试）一辆汽车经过一座长500米的大桥要102秒，通过一个90米的隧道要20秒，则经过一根电线杆要（   ）秒． A． B． C．5 D．无法确定 B． 题型精讲7根据点在数轴的位置判断式子的正负 例题1：（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下面结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·期中）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的是 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）a，b两数在数轴上位置如图所示，a，b，，用“”连接，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型精讲8数轴上的翻折 例题1：（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A． 我 B．爱 C．数 D．学 【变式训练1】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·周测）如图，在纸上有一条数轴．折叠这张纸，使对应的点与1对应的点重合，则3对应的点与 对应的点重合． 【变式训练3】（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 、两点表示的数分别是、 【拓展培优】 【典例1】（24-25七年级上·甘肃酒泉·开学考试）脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 【变式训练1】（25-26七年级上·浙江·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法：原式． 解法：原式的倒数为 ，所以原式． (1)上述解法中，你认为解法 是错误的； (2)计算：． 【变式训练3】（24-25七年级下·重庆·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【典例2】 （25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）某高速公路养护小组，乘车沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下．（单位：千米） (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)养护过程中，最远处离出发点有多远？ (3)若汽车耗油量为0.3升/千米，则这次养护共耗油多少升？ 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·期中）有理数x，y在数轴上的位置：x在原点左侧，y在原点左侧，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：   ①；②；③；④  ． 其中正确的个数有    （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻为t秒，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)此时刻快车头与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【典例3】（24-25七年级上·北京·开学考试）已知为有理数，定义一种新运算“”，满足求： (1)； (2)这种新运算“”是否满足类似于乘法的交换律，结合律以及分配律． 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【发现问题】小华同学通过初中这段时间以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则是一套来源于生活实际，符合人们认知规律的一种游戏规则． 【提出问题】基于之前的学习和认识，小华同学也定义了一个新的运算“”，满足以下两个要求：①；②，其中可以取任何有理数，问题：求的值． 【分析问题】爱思考的小益同学看到上面的这个问题，做了以下尝试：第一步，先让②中的，于是就有了，由①可以知道____，于是有…记为（1）式．第二步，令②中的，则有，由①可以知道____（用含字母的式子表示）…记为（2）式．结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到____（用含字母，的式子表示）． 【解决问题】的值是_____． 【拓展问题】已知，其中符号“”为绝对值，求的倒数． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川巴中·期中）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论正确的有（   ）个 （1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【定义新运算】现规定一种运算：，那么的值为 ． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．王叔叔的月工资是元，扣除元个税起征点后的部分按缴税，他应缴税（   ）元． A． B． C． D． 2．若，则一定有（    ） A．且 B．或 C．且 D． 3．，括号里应该填（   ） A． B． C．25 D．40 4．若“！”是一种数学运算符号，并且，则的值为（　　） A． B． C．2450 D． 5．若，则的值为（    ） A． B．4或0 C． D．或0 6．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①，②，③，④，⑤，⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．计算的结果为 ． 8．计算 ． 9．请将“，4，，8”这四个数进行加、减、乘、除混合运算，使运算结果为24（可以加括号，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式： ． 10．计算： ． 三、解答题 11．． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 13．计算：． 14．一家服装店用1240元购进了10件衣服，每件的市场销售价预定为200元．实际的售价情况如下（售出价超出预定价记为正，不足记为负）： 件数（件） 3 2 2 1 2 钱数（元） 通过计算，这家服装店在这次销售中是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 第四节 有理数的除法 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1有理数除法运算法则 2 知识点2有理数的乘除混合运算 3 题型精讲1有理数的除法运算 5 题型精讲2有理数除法的应用 7 题型精讲3有理数乘除混合运算 9 题型精讲4有理数乘除中的简便运算 11 题型精讲5有理数四则混合运算 16 题型精讲6有理数四则混合运算的实际应用 19 题型精讲7根据点在数轴的位置判断式子的正负 21 题型精讲8数轴上的翻折 23 03拓展培优 26 04课堂检测 39 知识思维导图 课程学习目标 1. 理解有理数除法的意义，能通过乘法逆运算推导出除法法则，掌握“同号得正，异号得负，绝对值相除”及0的除法规则。 2. 会求非零有理数的倒数，能熟练进行有理数除法运算，养成良好运算习惯。 3. 体会转化思想，能运用除法解决简单实际问题，提升运算能力与应用意识。 【新知学习】 【知识点1】有理数除法运算法则 1） 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a×（b≠0）。 2） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3)0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【补充】 1)除法在运算时有2个要素要发生变化： ①符号发生变化.（“÷”变“×”）； ②除数发生变化.（除数变为它的倒数）. 2）0不能作除数，0作除数时无意义； 3） 有理数除法运算的步骤与有理数加、减、乘一样，都是先确定符号，再确定绝对值； 4） 有理数的除法转化为有理数的乘法后，可以利用乘法的运算律来简化运算； 【易错提醒】 若被除数是和的形式，则可以把除数分配给“和”中的每一个数；若除数是和的形式，就不能把除数分配给“和”中的每一个数.即(a-b)+c=a+c-b+c，a+(b-c)+a+b-a+c 例题1：根据有理数除法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法，根据有理数的除法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 【变式训练1】有理数除法法则： (1)除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 ，用字母表示为a÷b＝a· (b≠0)； (2)两个有理数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ．0除以任何一个不等于0的数，都得 ． 【答案】 倒数 正 负 相除 0 【知识点】有理数的除法法则 【详解】(1). (2) 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【变式训练2】有理数除法法则：成立的条件是 ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法法则，掌握有理数的除数不能为0是解题的关键． 【详解】解：有理数除法法则：把除法转化成乘法是除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（1）除法法则二：两个有理数相除，同号为正，异号为 ，并把 相除， （2）0除以任何一个不为0的数都得 ． 【答案】 负 绝对值 0 【知识点】有理数的除法运算 【知识点二】有理数的乘除混合运算 运算法则：有理数的乘法和除法属于同级运算，按照除法运算法则，把有理数的除法变换成乘法之后从左至右算起即可。注意有括号的先算括号。 例题1：（25-26七年级上·全国·课后作业）计算 ． 【答案】18 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解决本题的关键是掌握有理数混合运算的顺序，同时要注意符号的确定. 从左向右一次计算，除以一个数就等于乘以它的倒数. 【详解】解：原式 故答案为：18. 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）若一个数的是，则这个数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查的是有理数的除法，解决本题的关键是根据题意列出式子并解答. 根据有理数的除法得出式子解答即可. 【详解】解：由题意可得： 故选：B. 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除混合运算法则进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 故选D． 【变式训练3】2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的除法，多个有理数的乘法，解题关键是注意运算顺序． 先将除法转化为乘法，再计算． 【详解】解：原式 ． 题型精讲1有理数的除法运算 例题1：（25-26七年级上·全国·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算、有理数的除法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，解题关键是熟练掌握运算法则． 根据有理数的加减乘除运算法则对各选项进行计算判断即可． 【详解】解：A．，此选项的计算错误，故不符合题意； B．，此选项的计算错误，故不符合题意； C．，此选项的计算正确，故符合题意； D．，此选项的计算错误，故不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 利用有理数的除法法则计算各题即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【变式训练2】（25-26七年级上·广西柳州·开学考试）下列算式中得数最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数大小比较、有理数的减法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各算式计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，， ， ∴算式中得数最大的是， 故选：D． 【变式训练3】（25-26七年级上·海南·开学考试）在一道除法算式中，被除数、除数、商三个数的和是207，商是15，被除数是 ，除数是 ． 【答案】 180 12 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法中各部分间的关系，掌握除数商=被除数是解题的关键．根据题意列出算式求解即可． 【详解】解：除数： 被除数：， 所以，被除数是180，除数是12． 故答案为：180；12． 题型精讲2有理数除法的应用 例题1：（25-26七年级上·广西柳州·开学考试）外卖小哥送一批订单，前2小时送了18单．按照这样的效率，送完72单需要多少小时？ 【答案】送完72单需要8小时 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，求出一个小时送多少单，进而求出送完72单需要多少小时即可． 【详解】解：（小时）； 答：送完72单需要8小时． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·阶段练习）一只蚂蚁从某点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为“”，向左爬行的路程记为“”，爬行的各段路程依次为单位：： ，，，，，，． (1)蚂蚁共爬行了多少厘米？ (2)若蚂蚁共用了完成上面的路程，蚂蚁的平均速度是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数除法的应用 【分析】本题主要考查绝对值的性质以及有理数的加法和除法． （1） 把所有的路程数值取绝对值相加即是蚂蚁爬行的总路程； （2） 根据“速度路程时间”，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： 答：蚂蚁的平均速度是． 【变式训练2】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中） [情境题 生活应用]随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表，单位：），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 (1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了多少千米？ (2)请求出这七天中平均每天行驶多少千米． (3)若行驶需用汽油，请估计小明家一个月（按30天计算）共用多少升汽油？ 【答案】(1)行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了54千米 (2)这七天中平均每天行驶千米 (3)小明家一个月共用升汽油 【知识点】有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数除法的应用 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，有理数的加减乘除法的应用，熟练掌握题意，正确列出各运算式子是解题关键． （1）用多于50千米最多的减去不足50千米最少的； （2）50加上将表格中数字的和除以7的商即可得； （3）用（2）中的结果乘以30求出一个月行驶的总里程，再乘以平均每千米耗油量，即得小明家一个月用的汽油． 【详解】（1）解：， 答：行程最多的一天比行程最少的一天多行驶了54千米． （2）解： 则 答：这七天中平均每天行驶千米， （3）解：（升）， 答：小明家一个月共用升汽油． 【变式训练3】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）妮妮去文具店购买修正带，某品牌的修正带有两款，普通版20米长售价5.4元，加长版30米长售价7.5元，（   ）更优惠． A．普通版 B．加长版 C．两者相同 D．不能比较 【答案】B 【知识点】有理数除法的应用、有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查了小数除法的实际应用以及小数大小的比较，明确单价、数量和总价之间的关系是解答本题的关键．根据总价数量单价，分别求出两款修正带每米的钱数，再进行比较即可判定． 【详解】解：普通版修正带每米的钱数为： （元）， 加长版修正带每米的钱数为： （元）， ， 所以，加长版更优惠． 故选：B． 题型精讲3有理数乘除混合运算 例题1：（2025七年级上·全国·专题练习）（　　） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法混合计算，先把除法变成乘法，再根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式训练1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数乘除法计算法则求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式训练2】（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读下面的解题过程．请认真阅读并解答相关问题． 计算：． 解：原式……………………………………第一步 ……………………………………第二步 ……………………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)上面解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一；除法没有分配律 (2)见解析 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的运算法则即可解答； （2）先计算括号，再计算除法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解：第一步开始出现错误，这一步错误的原因是除法没有分配律 故答案为：一；除法没有分配律． （2）解：原式 ． 【变式训练3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）有理数乘除混合运算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握乘除法则，是解题的关键； （1）根据乘法法则进行计算即可； （2）除法变乘法，约分即可； （3）除法变乘法，约分即可； （4）除法变乘法，约分即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型精讲4有理数乘除中的简便运算 例题1：（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）( )，( ) 【答案】 【知识点】有理数乘除中的简便运算、单位的认识和换算 【分析】本题主要考查了单位换算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，进行换算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：； 【变式训练1】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）递等式计算（能简算的要简算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数乘除中的简便运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查有理数的四则运算，有理数乘法运算律，有理数加法中的简便计算，有理数除法的简便计算，解题的关键是熟练掌握运算法则和简便计算． （1）按照运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘法分配律计算即可； （3）按照有理数的乘法结合律计算即可； （4）按照有理数的乘法分配律计算即可； （5）除数和被除数同时乘，再相除即可； （6）把分成个，分别与另外个数相加，再计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘除中的简便运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要注意使用运算律进行简便运算. （1）使用乘法交换律进行简便运算； （2）使用乘法交换律进行简便运算； （3）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； （4）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式训练3】（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）选择合适的方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】有理数乘除中的简便运算、有理数乘法运算律、有理数的加减混合运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （）利用乘法分配律逆用进行简便运算即可； （）利用有理数除法法则进行简便运算即可； （）利用加法运算律进行简便运算即可； （）利用乘法分配律逆用进行简便运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：； ； （3）解： ； （4）解： ． 题型精讲5有理数四则混合运算 例题1：（25-26七年级上·福建福州·开学考试）数学上把相差2的两个质数叫做“孪生质数”，例如5和7相差2，且两个数都是质数，那么5和7就是“孪生质数”．下列四组数中是“孪生质数”的是（ ）． A．2和3 B．3和5 C．9和11 D．13和15 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了“孪生质数”的概念，熟练掌握质数的定义以及“孪生质数”的定义是解题的关键．依次判断每个选项中的两个数是否为质数，且是否相差2，从而确定符合“孪生质数”的选项． 【详解】解：选项A中，3是质数，2也是质数，但，2和3不是“孪生质数”． 选项B中，3是质数，5也是质数，且，3和5是“孪生质数”． 选项C中，9不是质数（），9和11不是“孪生质数”． 选项D中，15不是质数（），13和15不是“孪生质数”． 故选：B． 【变式训练1】（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）用你喜欢的方法计算 (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1)194 (2)75 (3)7 (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、有理数的除法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，混合运算，乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再运算括号内，即可作答． （2）先整理原式，再根据有理数的乘法运算律进行计算，即可作答． （3）先计算小括号内的减法，再计算中括号内的乘法，最后计算除法，即可作答； （4）先计算小括号内的加法，再计算除法，最后计算加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练2】（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算：= 【答案】10 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了小数四则混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据小数混合运算法则，先算括号内的，然后算乘、除，最后算加、减． 【详解】解： ． 【变式训练3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算、有理数四则混合运算、求一个数的绝对值 【分析】（）利用绝对值的性质先化简，再根据有理数的加法法则计算即可； （）利用绝对值的性质先化简，再根据有理数的减法法则计算即可； （）利用绝对值的性质先化简，再根据有理数的乘法法则计算即可； （）利用绝对值的性质先化简，再根据有理数的乘除及减法法则计算即可； 本题考查了绝对值的性质，有理数的运算，掌握绝对值的性质及有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型精讲6有理数四则混合运算的实际应用 例题1：（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）2025年5月20日，徐州马拉松云龙湖欢乐跑成功举办．活动期间，酒店推出促销活动，食宿类消费一律享受七五折优惠．请根据以上信息，完成下列问题： （1）七五折 ．（填小数） （2）跑步爱好者小李在活动期间入住酒店一晚，预订了一个房间．结账时他实际支付房费比定价便宜了70元．那么，这个房间的定价是 元． 【答案】 15 32 75 0.75 280 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查分数、小数、百分数、折扣之间的相互转换，掌握以上知识的计算方法是关键． （1）根据折扣、比、分数，小数间的相互转换方法求解即可； （2）根据折扣的计算方法求解即可． 【详解】解：（1）七五折， ∴七五折， 故答案为：①；②；③；④； 食宿类消费一律享受七五折优惠，结账时他实际支付房费比定价便宜了70元， ∴（元）， ∴这个房间的定价是元， 故答案为：⑤． 【变式训练1】（25-26七年级上·山西临汾·开学考试）临汾市内电话的收费标准如下： 前3分钟 共计0.20元 以后每分钟 计费0.12元（不足1分钟的按照1分钟收费） 李老师给市内的张教授打了9分40秒的电话，应付电话费（   ）元． A．0.92元 B．0.94元 C．1元 D．1.04元 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了分段计费在生活中的运用．解答时，应根据不同时段的计费标准分别计算；计时时，应采取进一法保留整数． 先求出李老师打电话3分钟后剩下的时间；再根据总价单价时间，求出3分钟后的总价；最后依据总价前3分钟总价3分钟后总价解答． 【详解】解：9分40秒分分40秒分， （元）， 故应付电话费1.04元． 故选：D． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·期中）一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 【答案】(1)B地在A地东边距离A地10千米处 (2)右边，97千米 (3) 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）将行驶路程记录的数据相加，根据结果进行判断即可； （2）求出每次与出发地的距离，然后进行判断即可； （3）先求出需要的燃油，然后求出需要补充的燃油即可． 【详解】（1）解：∵（千米）， ∴B地在A地东边距离A地10千米处． （2）解：； ； ； ； ； ； ； ； ∴检修车离出发地A最远时在A地的右边，距离A地97千米． （3）解： ， ， 答：检修车在检修过程中至少还需补充燃油． 【变式训练3】（25-26七年级上·四川绵阳·开学考试）一辆汽车经过一座长500米的大桥要102秒，通过一个90米的隧道要20秒，则经过一根电线杆要（   ）秒． A． B． C．5 D．无法确定 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，先计算出汽车的速度，从而可求出汽车的车身长度，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：汽车的速度为：（米/秒）， 汽车车身长度为：（米）， 经过一根电线杆要（秒）， 故选：B． 题型精讲7根据点在数轴的位置判断式子的正负 例题1：（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下面结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算、有理数加法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，正确得到，是解题的关键．先根据数轴上点的位置得到，，再根据有理数的四则运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴，，，， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·期中）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的是 ． 【答案】①②⑤ 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴判断式子的正负性，掌握在数轴上表示有理数，利用数轴判断式子的正负性是解题的关键． 先由数轴得，，再得，，，，即可作答． 【详解】解：由数轴得，， ∴②是符合题意的； 则，，，， ∴①⑤是符合题意的；③④是不符合题意的； 故答案为：①②⑤． 【变式训练2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】此题主要考查了利用数轴比较实数的大小，同时考查了绝对值的几何意义．解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大． 根据数轴左边的数小于右边的数以及绝对值的几何意义即可解答． 【详解】解：根据实数、、在数轴上的位置可以得知：， 根据实数、在数轴上与原点的距离大小可知：． 则A、B、C错误，D正确， 故选：D． 【变式训练3】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）a，b两数在数轴上位置如图所示，a，b，，用“”连接，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查有理数的大小比较及数轴，解题的关键是熟知数轴上右边的数总比左边的数大． 通过分析数轴上、的位置确定其取值范围，或给、赋值，进而比较、、、的大小． 【详解】解：方法一：由数轴可知，．所以．按照数轴上数从左到右逐渐增大的规律，可得． 方法二：令，则．比较可得，即． 故选：C． 题型精讲8数轴上的翻折 例题1：（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【知识点】数轴上的翻折、有理数的除法运算 【分析】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字． 【详解】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． 【变式训练1】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 【答案】3 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题主要考查了数轴，先求出对称点，再求x即可． 【详解】解：∵将数轴对折，使表示与1的两个点重合， ∴对折点为， ∴此时表示的点与另一个表示数3的点重合， ∴， 故答案为：3． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·周测）如图，在纸上有一条数轴．折叠这张纸，使对应的点与1对应的点重合，则3对应的点与 对应的点重合． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题考查数轴的对折问题，先求出对折处的点对应的数，再根据对折点到两个重合的点的距离相等，即可求解． 【详解】解：对应的点与1对应的点重合， 对折处的点对应的数为：， ，， 3对应的点与对应的点重合． 故答案为：． 【变式训练3】（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)①，②、两点表示的数分别是、． 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折、用数轴上的点表示有理数、有理数的除法运算 【分析】 本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键． （1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 【详解】（1） 解：（1）表示的点与表示的点重合， 对称中心为0， 表示的点与数3表示的点重合； （2）表示的点与2表示的点重合， 对称中心为， ①， 表示的点与数表示的点重合； ②，两点之间的距离为5， 的一半为， 在的左侧， 点表示， 点表示． 、两点表示的数分别是、 【拓展培优】 【典例1】（24-25七年级上·甘肃酒泉·开学考试）脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数加减中的简便运算、有理数乘除混合运算 【分析】此题主要考查有理数的混合运算以及运算律的综合运用，解答此题的关键是通过观察算式，再确定简便算法，要灵活运用运算律， （1）先把加法化为乘法，再用乘法交换结合律进行计算即可； （2）先去小括号，再根据乘法分配律计算即可； （3）先计算括号内的运算，再计算乘法即可； （4）先计算括号内运算，再把除法化为乘法，进而即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式训练1】（25-26七年级上·浙江·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）直接根据有理数的除法法则计算即可； （2）先将带分数化为假分数，并将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1） ； （2） 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）阅读下列材料： 计算：． 解法：原式． 解法：原式的倒数为 ，所以原式． (1)上述解法中，你认为解法 是错误的； (2)计算：． 【答案】(1)① (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查分数混合运算，解题的关键是掌握分数相关的运算法则． （1）由除法没有分配律可得，解法①是错误的； （2）求出，可得． 【详解】（1）解：观察可得，解法①是错误的，除法没有分配律． （2）解：原式的倒数为 ； ∴ 【变式训练3】（24-25七年级下·重庆·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． （1）将带分数和百分数化为分数，利用乘法分配律计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可； （3）将小数化为分数，利用乘法分配律计算即可； （4）将分数裂项，化简计算即可； （5）计算分子可得，再计算分母，即可解答； （6）将分数拆分分别计算即可； （7）将算式拆分，化简计算即可； （8）将带分数化为假分数，化简计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【典例2】 （25-26七年级上·山东济宁·阶段练习）某高速公路养护小组，乘车沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下．（单位：千米） (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)养护过程中，最远处离出发点有多远？ (3)若汽车耗油量为0.3升/千米，则这次养护共耗油多少升？ 【答案】(1)养护小组最后到达的地方在出发点的北方，距出发点15千米 (2)最远距出发点17千米 (3)这次养护共耗油29.1升 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数的意义，绝对值的意义，有理数的混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据有理数的加法，可得答案． （2）根据有理数的加法，可得每次行程，根据绝对值的意义，可得答案． （3）根据单位耗油量乘以路程和，可得答案． 【详解】（1）解：（1）（千米）． 答：养护小组最后到达的地方在出发点的北方，距出发点15 千米． （2）解：第一次17 千米， 第二次（千米）， 第三次（千米）， 第四次（千米）， 第五次（千米）， 第六次（千米）， 第七次（千米）， 第八次（千米）， 第九次（千米）， 第十次（千米）． 答：最远距出发点17千米． （3）解：（升）． 答：这次养护共耗油29.1升． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·期中）有理数x，y在数轴上的位置：x在原点左侧，y在原点左侧，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数大小比较、绝对值的几何意义、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，绝对值的意义等知识，由题意得到，再逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵x在原点左侧，y在原点左侧，且， ∴， A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：   ①；②；③；④  ． 其中正确的个数有    （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，有理数的运算，要熟练掌握．根据图示，可得，，据此逐项判定即可． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∵， ，故①不正确； ∵，， ∴， ，故②正确； ∵，， ∴， ，故③正确； ∵ ，故④错误； 综上分析可知：正确的有②③． 故选B． 【变式训练3】（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻为t秒，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且． (1)此时刻快车头与慢车头之间相距______单位长度； (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头相距个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)正确，秒，单位长度 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数四则混合运算的实际应用、绝对值非负性 【分析】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． （1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：，且，， ，， 解得，， 此时刻快车头与慢车头之间相距； 故答案为：； （2）解：由题意可得： ①当快慢车未相遇前相距个单位长度时，则有：（秒）； ②当快慢车相遇后相距个单位长度时，则有：（秒） 答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头相距个单位长度； （3）因为， 当在之间时，是定值， （秒） 此时（单位长度）． 故这段时间为秒，定值是单位长度． 【典例3】（24-25七年级上·北京·开学考试）已知为有理数，定义一种新运算“”，满足求： (1)； (2)这种新运算“”是否满足类似于乘法的交换律，结合律以及分配律． 【答案】(1) (2)这种新运算“”满足乘法的交换律，不满足结合律和分配律 【知识点】有理数乘法运算律、新定义下的实数运算、有理数四则混合运算 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，还用到了乘法交换律和加法结合律证明公式的性质． （1）先根据计算括号内的式子，再利用新定义的运算法则计算即可得答案； （2）分别利用新定义的运算法则计算乘法的交换律，结合律以及分配律时的结果，比较即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：这种新运算“”满足乘法的交换律，不满足结合律和分配律． 理由如下： 新运算“”满足乘法的交换律， ∵， ， ∴不满足乘法结合律， ∵， ， ∴， ∴不满足乘法分配律． 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）【发现问题】小华同学通过初中这段时间以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则是一套来源于生活实际，符合人们认知规律的一种游戏规则． 【提出问题】基于之前的学习和认识，小华同学也定义了一个新的运算“”，满足以下两个要求：①；②，其中可以取任何有理数，问题：求的值． 【分析问题】爱思考的小益同学看到上面的这个问题，做了以下尝试：第一步，先让②中的，于是就有了，由①可以知道____，于是有…记为（1）式．第二步，令②中的，则有，由①可以知道____（用含字母的式子表示）…记为（2）式．结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到____（用含字母，的式子表示）． 【解决问题】的值是_____． 【拓展问题】已知，其中符号“”为绝对值，求的倒数． 【答案】【分析问题】；【解决问题】12；【拓展问题】或 【知识点】有理数四则混合运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查定义新运算，按照题中所给步骤依次计算即可得到答案． 【详解】【分析问题】由知； 令②中的，则有， 即， 即； 由及可知，； 故答案为：； 【解决问题】由可知：； 故答案为：12； 【拓展问题】，， ， 或， 或， 的倒数为或． 【变式训练2】（24-25七年级下·四川巴中·期中）定义运算：．下面给出了关于这种运算的几种结论正确的有（   ）个 （1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了新定义下的运算，根据定义运算逐个计算即可． 【详解】解：（1）； （2），， ， ； （3）， ， ， ，， ； （4）若，则 或， 故有（1）（3）（4）共3个正确， 故选：C． 【变式训练3】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【定义新运算】现规定一种运算：，那么的值为 ． 【答案】13 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查新定义运算，根据先计算出，再计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：13． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．王叔叔的月工资是元，扣除元个税起征点后的部分按缴税，他应缴税（   ）元． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题关键是掌握有理数的四则混合运算． 根据题意，王叔叔的应纳税所得额为月工资减去个税起征点，再乘以税率计算税款． 【详解】解：(元)， ∴他应缴个人所得税元， 故选：C． 2．若，则一定有（    ） A．且 B．或 C．且 D． 【答案】C 【知识点】有理数的除法运算 【分析】根据有理数的除法法则可得，除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数；（注意：0没有倒数）公式：． 【详解】0除以任何一个不等于0的数，都得0． ． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的除法法则，理解“0除以任何一个不等于0的数，都得0”是解题的关键． 3．，括号里应该填（   ） A． B． C．25 D．40 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的理解，理解和，积，商的含义是解本题的关键，先计算，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴括号里应该填2.5，即， 故选：A． 4．若“！”是一种数学运算符号，并且，则的值为（　　） A． B． C．2450 D． 【答案】C 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题主要考查了有理数的乘除法的运算方法，以及阶乘的含义和求法，要熟练掌握．根据阶乘的定义，，再代入计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 5．若，则的值为（    ） A． B．4或0 C． D．或0 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算 【分析】本题考查绝对值的性质，根据可得a，b，c同时大于0，或者有一个大于0，另外两个小于0，分别求解即可． 【详解】∵ ∴a，b，c同时大于0，或者有一个大于0，另外两个小于0， 当a，b，c同时大于0时 ∴； 当有一个大于0，另外两个小于0时，假设 ∴ 故选：B． 6．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①，②，③，④，⑤，⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数的除法运算 【分析】根据数轴提供信息得到，再分别根据有理数的除法法则，乘法法则，减法法则，加法法则，相反数的定义，绝对值的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：数轴得， 所以，故①正确； ，故②错误； ，故③正确， ，故④错误； ，故⑤正确； ，故⑥正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数有理数的除法法则，乘法法则，减法法则，加法法则，相反数的定义，绝对值的定义等知识，综合性强，熟知相关知识并灵活应用是解题关键． 二、填空题 7．计算的结果为 ． 【答案】25 【知识点】有理数的除法运算 【分析】利用有理数的运算法则计算即可 【详解】原式==25 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 8．计算 ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算乘除法，再计算减法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．请将“，4，，8”这四个数进行加、减、乘、除混合运算，使运算结果为24（可以加括号，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算 【分析】根据有理数的混合运算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10．计算： ． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】先把带分数化为假分数，然后根据乘除法运算法则进行解题，即可得到答案． 【详解】解： = = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法和除法的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． 三、解答题 11．． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】根据有理数的乘除运算进行计算即可． 【详解】解：原式=． 【点睛】本题考查了有理数乘除混合运算，掌握有理数混合运算的顺序是解题的关键． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) (5)5 (6) (7) (8) (9) (10) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，1、除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除（0除以任何一个非0的数，都得0）． （1）利用除法法则计算即可； （2）利用除法法则计算即可； （3）利用除法法则计算即可； （4）利用除法法则计算即可； （5）利用除法法则计算即可； （6）利用除法法则计算即可； （7）利用除法法则计算即可； （8）利用除法法则计算即可； （9）利用除法法则计算即可； （10）利用除法法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ． 13．计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是熟记有理数混合运算的顺序，运算法则与运算定律． 先确定符号，再根据有理数乘除混合运算法则进行计算． 【详解】解： ． 14．一家服装店用1240元购进了10件衣服，每件的市场销售价预定为200元．实际的售价情况如下（售出价超出预定价记为正，不足记为负）： 件数（件） 3 2 2 1 2 钱数（元） 通过计算，这家服装店在这次销售中是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 【答案】盈利，盈利800元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据有理数的混合运算求出总售价，然后减去成本即可． 【详解】解：， 所以（元）， 故这家服装店在这次销售中盈利800元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $