精品解析：四川省射洪中学校2026届高三上学期第一次模拟考试数学试题

射洪中学高2023级高三上期第一次模拟考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，若满足，则实数的值为（ ） A. 5或或3 B. 5 C. 3 D. 2. 是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知样本数据3，6，3，2，7，4，6，8的中位数为，则的展开式中含项的系数为（ ） A. 80 B. 240 C. D. 6. 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，… ，则（ ） A. 9 B. C. 12 D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正实数、满足，则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递增 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在处有极小值，则______. 13. 设等比数列的前项和为，已知，则__________ 14. 如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额（单位: 百亿元）与年份（第年）的6组数据（时间变量的取值依次为），对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值. 其中. 48.7 3.5 91 1204 1.1 9.4 388.1 分别用两种模型：①；②进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值真实值预测值）. （1）根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由； （2）根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程（系数精确到0.1）； （ⅱ）若该电商平台每年活动当天线上日销售额与当日营销成本及年份存在线性关系: ，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大? 参考公式: ；参考数据:. 16. 已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的值； （2）求在上解不等式 （3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 17. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项和． 18. 已知函数. （1）若函数在处的切线方程为，求实数； （2）若函数存在两个极值点（） ①求a的取值范围； ②证明： 19. 若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” （1）证明：为“切合函数”； （2）若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2023级高三上期第一次模拟考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，若满足，则实数的值为（ ） A. 5或或3 B. 5 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，分、两种情况讨论，分别求出，再代入检验. 【详解】因为，且， 所以， 若，则，此时，，不满足，故舍去； 若，解得或， 当时，，集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足，符合题意； 综上可得. 故选：D 2. 是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得，再根据集合间的包含关系及必要不充分条件的定义即可得答案. 【详解】由，可得， 又因为是的真子集， 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，举例说明判断A，C，D；利用指数函数单调性判断B作答. 【详解】取，满足，显然有、、成立，即选项A，C，D都不正确； 指数函数在R上单调递增，若，则必有，B正确. 故选：B 4. 如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域排除选项A，根据函数图象过原点排除选项B，根据函数单调性排除选项C，根据定义域和单调性判断D. 【详解】对于A，要使函数有意义，则，即， 所以或或或， 所以函数的定义域为，A不正确； 对于B，，而已知函数图象过原点，B不正确； 对于C，对于函数，则，当时，， 则函数在上单调递增，不符合题中图象，C不正确， 对于D，对于函数，定义域为，且， ，当时，，当时，， 当时，，所以函数在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，符合图象，故D正确. 故选：D. 5. 已知样本数据3，6，3，2，7，4，6，8的中位数为，则的展开式中含项的系数为（ ） A. 80 B. 240 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再由二项展开式求项的系数. 【详解】将样本数据从小到大排列， 则中位数， 所以的展开式中项为从5个因式中一个取，其余4个都取相乘所得， 其系数为. 故选：A 6. 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，… ，则（ ） A. 9 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数和都关于点对称求解，即可得答案. 【详解】由已知得，所以关于点对称， 令，则 ， 所以关于点 对称， 所以两函数图象的交点也关于点对称， ， 故选：. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先变形得到，构造函数，求导得到其在上的单调性，从而得到，. 【详解】因为，所以. 设函数，则，当时，单调递减， 所以，所以，故. 故选：B 8. 已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，，再对所求目标式子进行化简，利用对勾函数的单调性，得到所求范围. 【详解】有四个不同的零点， 即和有四个交点，它们的横坐标分别为， 画出函数和的图像， 根据图像可知， 和是和的交点横坐标， 即方程的两根， 所以， 是和的交点横坐标，是和的交点横坐标， 故有，得到， 由，可得 ， 令， 令， 则在上单调递减， 所以，， 故， 即所求式子的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查函数与方程，根据对勾函数的单调性求值域，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】观察二项式展开式两边的次数可得，即可判断A；由赋值法，令得即可判断B；求出展开式中与的系数，结合得即可判断C；由赋值法，令求解即可判断D. 【详解】对于A，等式右边最高次数为7，故，A正确； 对于B，令，则，B正确； 对于C，的系数为 ，C错误； 对于D，令 则，D错误. 故选：AB. 10. 已知正实数、满足，则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合等式求最值可判断A，B；令，换元后再利用均值不等式求最小值，即可判断C，D. 【详解】对于A，，∴， 则，当且仅当，时取等，即的最小值为，故A错误； 对于B，由选项A知，所以，故的最小值为，则B正确； 对于C，， 由得，故， 令，则，，所以， 则， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故C正确； 对于D，由选项C,得 ，当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且，则（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递增 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合复合函数求导及奇偶性定义判断A；求出及其导数的解析式依次判断BCD. 【详解】对于A，由是定义在上的奇函数，得，求导得， 即，因此函数为偶函数，A正确； 由，得，即， 解得，， 对于B，，因此在上单调递增，B正确； 对于C，，，即，C错误； 对于D，当时，， 求导得，函数在上单调递增，， 因此，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用奇偶性函数的定义求出和的解析式是解决问题的关键. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在处有极小值，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求函数的导数，根据，求的取值，再代入验证，即可求解. 【详解】，因为在处有极小值，所以， 即，解得或； 当时，， 当或时，，当时，， 函数在处取得极大值；故不成立， 当时，， 当或时，，当时，， 函数在处取得极小值，所以. 故答案为：3 13. 设等比数列的前项和为，已知，则__________ 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比，进而求出. 【详解】设等比数列为，由， 得，解得， 所以. 故答案为：8 14. 如果函数在上存在满足，，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是上“双中值函数”，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目给出的定义可得，即方程在区间有两个解，结合二次函数的图象和性质可构造关于的不等式组，求解可得的取值范围． 【详解】， 在区间存在， 满足 方程在区间有两个不相等的解 令， 则，解得： 实数的取值范围是 本题正确结果： 【点睛】本题主要考查新定义的运算问题，关键是能够通过定义将问题转化为方程在区间内根的个数问题，从而可以根据二次函数的图像与性质，构造出不等关系，从而可求得结果，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额（单位: 百亿元）与年份（第年）的6组数据（时间变量的取值依次为），对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值. 其中. 48.7 3.5 91 1204 1.1 9.4 388.1 分别用两种模型：①；②进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值真实值预测值）. （1）根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由； （2）根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程（系数精确到0.1）； （ⅱ）若该电商平台每年活动当天线上日销售额与当日营销成本及年份存在线性关系: ，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大? 参考公式: ；参考数据:. 【答案】（1）由残差图可知模型①的残差值比较分散和远离横轴， 所以模型①平方和大于模型②的残差平方和，所以应选择模型②. （2）①；②第12年活动当日营销成本的预测值最大. 【解析】 【分析】（1）根据残差的意义结合题中图表分析判断即可； （2）①令，可得，根据题中数据和公式代入求解即可；②整理可得，构建，利用导数求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）对于模型②：， 令，可得， 则， 可得，所以关于的经验回归方程为； （ⅱ）由（i）可得：，整理可得， ，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以当时，取到最大值，即取得最大值， 所以第12年活动当日营销成本的预测值最大. 16. 已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的值； （2）求在上解不等式 （3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得实数a的值，进而可得所求函数值； （2）由（1）可得函数在的解析式，再由奇函数的对称性可求上的解析式，再由指数函数的单调性可得不等式的解集. （3）由（1）可得函数在的解析式，将不等式进行参数分离，进而转化为函数的最大值问题，再根据函数的单调性可得. 【小问1详解】 因为是定义在R上的奇函数，所以， 又当时，，所以，解得. 所以时，且是定义在上的奇函数， 所以. 故. 【小问2详解】 由（1）得，当时， 设时，，且是定义在上的奇函数， 所以， 所以当时，， 所以，得，，即， 所以，得，由指数函数在R上是单调递减函数， 所以得，解得. 故在上的解不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，，由， 得，，， 即，再由指数函数和都是R上的单调递减函数， 所以函数在R上单调递减，也在递减， 所以，所以. 故实数m的取值范围为. 17. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用数列中前项和与项的关系求解； （2）先写出奇数项、偶数项的通项公式，再按奇数项、偶数项分组求和. 【小问1详解】 由题意 当时，； 当时， 两式相减得， 所以，当时也成立． 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 根据题意，得 所以 所以 18. 已知函数. （1）若函数在处的切线方程为，求实数； （2）若函数存在两个极值点（） ①求a的取值范围； ②证明： 【答案】（1）； （2） ①； ②因为或， 而， 所以，而， 所以， 令，所以，所以在上单调递减， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义和函数在处切线的概念，可求的值. （2）①问题转化为有两个不同的解求参数的取值范围； ②先结合①的结论，确定的取值范围，在根据得到的表达式，通过对函数单调性的分析，可求的取值范围. 【小问1详解】 因为在处的切线斜率为0， 所以，即；此时切点坐标为，所以. 【小问2详解】 ①因为， 当时，在单调递增，只有一解，显然不符合题意； 当时，设，则. 由；由. 所以即在上单调递增，在上单调递减. 因为函数存在两个极值点. 所以需有两解，所以为必要条件，即为必要条件， 当时，时，时，， 分别在及各有一零点， 综上：. ②略. 19. 若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” （1）证明：为“切合函数”； （2）若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）证明：假设存在两个不同的数，满足题意， 易知，由题意可得 ， 即， ，，， ， 又， 所以. 因为，即， 化简可得，又， 所以， 代入， 可得或， 所以为“切合函数”. （2）（ⅰ）证明：由题意知， 因为为“切合函数”， 故存在不同的数(不妨设)使得 ， 即， 整理得， 先证， 即， ， 令，则由，知， 要证，只需证， 即， 设， 易知， 故在单调递减，所以， 故有， 由上面的式知, 所以. （ⅱ）证明：由上面的得， ， 又， 所以且， 故要证， 只需证， 即， 设， 则即证 ， 设， 则， 即也就是在单调递增， ， 所以在单调递增， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）假设存在两个不同的数满足条件，通过求出即可得证； （2）（ⅰ）利用“切合函数”的定义得出关系式，通过构造新函数，通过新函数的单调性得出证明. （ⅱ）利用与的关系，把待证不等式转化为关于的不等式，构造函数，利用单调性证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键主要有三点：一是理解新定义“切合函数”；二是利用切合函数得到两个关键等式；三是把多变量转化为单变量，构造函数，利用单调性证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $