精品解析：上海市风华中学2025-2026学年高三上学期9月阶段测试数学试题

上海市风华中学2025学年第一学期 高三年级阶段测试卷1 2025.9 一、填空题（1~6题每小题4分，7~12题每小题5分，本大题满分54分） 1. 不等式的解集为 ____________ ． 【答案】或. 【解析】 【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得. 【详解】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 2. 若指数函数的图像经过点，则其解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设指数函数的解析式为，(且)，代入计算即可得解. 【详解】设指数函数的解析式为，(且)， 因指数函数的图像经过点， 则，即，则其解析式为. 故答案为：. 3. 已知幂函数在上是严格减函数，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】由题意，可得，解得. 故答案为：. 4. 若函数的对称中心是，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式函数的对称中心进行求解即可. 【详解】因为， 所以该函数的对称中心为， 由已知可知函数的对称中心是， 所以， 故答案为： 5. 已知函数，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数导数的定义，求出指定导数值即可. 【详解】由题意得，， 则，可知； 故答案为：1. 6. 已知，则曲线在点处的切线方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式得到切点坐标和导函数，根据导函数在切点的函数值等于切线的斜率求解切线斜率，进而得到切线方程. 【详解】， ∴曲线在点处的切线斜率为， ∴曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 7. 已知函数=在上时为增函数.则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，，由函数在上单调递减，可得函数在上单调递减且，分别对，，三种情况讨论，从而可求解. 【详解】由函数=在上时为增函数， 令，，则函数在上单调递减， 所以在上单调递减且， 当时，在上单调递减， 因为时，，故不符题意； 当时，函数为二次函数开口向下，不满足在上恒成立，故不符题意； 当时，函数为二次函数开口向上， 则可得，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 8. 已知，，若，则满足条件的x的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】由得到，建立不等式组，利用对数函数的单调性解出取值范围. 【详解】∵， ∴， ∴或， ∴或 故答案为：或 9. 若函数在上单调，则a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数的单调性，结合指数函数和对数函数的性质，分类讨论可求a的取值范围. 【详解】若在R上单调递增，则，解得； 若在R上单调递减，则，解得. 所以a的取值范围是. 故答案为： 10. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则___________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式求出函数的周期性，再利用函数的周期性进行求解即可. 【详解】因为是奇函数， 所以有，而， 于是有， 即有，因此有， 所以该函数的周期为，在中，令， 有， 于是， 故答案为： 11. 如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为__________cm时，这个纸盒的容积最大. 【答案】1 【解析】 【分析】设剪下的小正方形的边长为，根据条件得到，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解. 【详解】设剪下的小正方形的边长为， 由题知纸盒的容积为， 则，令，得到（舍）或， 所以当时，，当时，， 则的增区间为，减区间为 所以在处取到最大值，最大值为. 故答案为：. 12. 已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得：，分别根据单调性求最值，代入运算求解． 【详解】根据题意可得： ∵在上单调递减，则 又∵在上单调递增，则 ∴，则 故答案为：． 二、选择题（共4题.其中13、14每小题4分，15、16每小题5分共18分） 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出和的解，根据充分必要条件的定义判定，即可求出结论, 【详解】得，得， 成立，则成立， 而成立，不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题. 14. 如果，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值排除法及不等式的性质逐一分析即可判断. 【详解】取， 对于：，故错误； 对于：，故错误； 对于：因为，所以，故正确； 对于：，故错误. 故选：C. 15. 定义域和值域均为（常数）的函数和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程有且仅有三个解； （2）方程有且仅有三个解； （3）方程有且仅有九个解； （4）方程有且仅有一个解； 那么，其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，依次判断： （1）由于，可得方程有且仅有三个解； （2）由于，可得方程最多三个解； （3）方程的解最多有九个解； （4）由于，可得方程有且仅有一个解. 最后可求得结果. 【详解】（1）方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解；g（x）有三个不同值，由于y＝g（x）是减函数，所以有三个解，正确； （2）方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解；从图中可知，f（x）∈（0，a）可能有1，2，3个解，不正确； （3）方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解；类似（2）不正确； （4）方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解．结合图象，y＝g（x）是减函数，故正确． 故答案为①④． 故选B. 【点睛】本题考查了函数的图象及其性质、复合函数的图象与性质、方程的解与函数的零点之间的关系，考查了推理能力，考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 16. 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如:. 现有关于“取整函数”的两个命题: ① 集合是单元素集: ②对于任意成立，则以下说法正确的是（ ） A. ①②都是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①②都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】分段解方程求出集合中元素判断①；利用不等式性质结合取整数的意义推理判断②. 【详解】对于①，当时，，方程化为，则； 当时，，方程化为，则； 当时，，方程化为，无解， 因此，①是假命题； 对于②，令，则，， 当时，，， 则，； 当时，，， 则，， 因此对任意，，②是真命题， 故选：B 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： ①可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； ②可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； ③发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； ④如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三、解答题（共5题本大题满分78分） 17. 已知全集，若集合，． （1）若，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；或 （2） 【解析】 【分析】（1）将集合化简，再由集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由可得，解得或， 所以或， 当时，， 则或. 【小问2详解】 当时，，即， 此时满足； 当时，要使， 则，解得； 综上所述，实数的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据解得，并检验时，满足题意，得出函数解析式，求解值域； （2）根据函数值域，将问题转化，故，利用换元法求解最值即可得解. 【详解】（1）由解得，反之时， ，符合题意， 故，据此，， 即值域为 （2）在显然是单调增函数，为正数， 所以，故， 令，则 随的增大而增大， 最大值为，实数范围是. 【点睛】此题考查根据函数奇偶性求参数的取值，根据不等式恒成立求解参数的取值范围，涉及参变分离，换元法求解最值. 19. 2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； （1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ （2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 【答案】（1）245万元 （2）每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元 【解析】 【分析】（1）根据供货价格的固定价格和浮动价格的概念，将单价售价为85元代入求解即可； （2）分类讨论，分别求出当和当时的销售量和供货价，从而可得单价利润，继而利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为元， 故总利润为：万元； 【小问2详解】 当时，销售量为10万件，供货价为60.5元， 则，且， 因而，当时，单价利润， 即单价利润最大为39.5元； 当时，销售量为（万件）， 同时，，解得，且， 此时单价利润为： ， 当且仅当，即时，取等号 因为， 故当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元． 20. 已知函数，（为常数）. （1）当时，判断在的单调性，并用定义证明； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （3）讨论零点的个数. 【答案】（1）当时，且时，是单调递减的. 证明：设，则 又且， 故当时，在上是单调递减的. （2） （3）或时，有个零点. 当或或时，由个零点； 当或时，有个零点. 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论； （2）由得，转化为，设，利用二次函数的性质，即可求解. （3）把函数有个零点转化为方程有两个解，令，作的图像及直线图像，结合图象，即可求解，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由得，变形为，即， 设，令，则， 由二次函数的性质，可得，所以，解得. 【小问3详解】 由有个零点可得有两个解， 转化为方程有两个解， 令，作的图像及直线图像有两个交点， 由图像可得： i）当或，即或时，有个零点. ii）当或或时，由个零点； iii）当或时，有个零点. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定，以及函数与方程的综合应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及合理分离参数和转化为图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应用，试题有一定的综合性，属于中档试题. 21. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 【答案】（1）极小值为0，无极大值. （2） （3） 证明：，由，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 由题意，且，则，. 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证， 又，所以只需证， 即证， 令， 即， ， 由均值不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数在上单调递增. 由，可得，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以，即得证. 【解析】 【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值. （2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可. （3）求出，并得函数在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为，求导可得， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为0，无极大值. 【小问2详解】 方程， 当时，显然方程不成立， 所以，则， 方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点， ， 当或时，， 在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得最小值，， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，， 故的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市风华中学2025学年第一学期 高三年级阶段测试卷1 2025.9 一、填空题（1~6题每小题4分，7~12题每小题5分，本大题满分54分） 1. 不等式的解集为 ____________ ． 2. 若指数函数的图像经过点，则其解析式为__________． 3. 已知幂函数在上是严格减函数，则_____________. 4. 若函数的对称中心是，则___________. 5. 已知函数，则___________. 6. 已知，则曲线在点处的切线方程是__________． 7. 已知函数=在上时为增函数.则的取值范围为___________. 8. 已知，，若，则满足条件的x的取值范围是______． 9. 若函数在上单调，则a的取值范围是___________. 10. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则___________. 11. 如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为__________cm时，这个纸盒的容积最大. 12. 已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数a的取值范围是___________. 二、选择题（共4题.其中13、14每小题4分，15、16每小题5分共18分） 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 如果，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 定义域和值域均为（常数）的函数和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程有且仅有三个解； （2）方程有且仅有三个解； （3）方程有且仅有九个解； （4）方程有且仅有一个解； 那么，其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如:. 现有关于“取整函数”的两个命题: ① 集合是单元素集: ②对于任意成立，则以下说法正确的是（ ） A. ①②都是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①②都是真命题 三、解答题（共5题本大题满分78分） 17. 已知全集，若集合，． （1）若，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 19. 2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； （1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ （2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 20. 已知函数，（为常数）. （1）当时，判断在的单调性，并用定义证明； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （3）讨论零点的个数. 21. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $