2026届高考物理一轮复习讲义：专题25 机械能守恒定律及其应用

专题25 机械能守恒定律及其应用 学习目标 理解并掌握机械能的概念,理解机械能的守恒条件;理解多物体构成速度关联问题并解决系统机械能守恒问题。 知识点梳理 1.重力做功的特点 (1)重力做功只跟它的起点和终点的位置有关,而跟物体运动的路径无关。 (2)重力做功不引起物体机械能的变化。 2.重力势能 (1)表达式Ep=mgh。 (2)重力势能的特点 ①系统性:重力势能是物体和地球所共有的。 ②相对性:重力势能的大小与参考平面的选取有关,但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 (3) Ep与WG的关系 ①定性关系:重力对物体做正功,重力势能减小;重力对物体做负功,重力势能增大。 ②定量关系:重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量,即WG=-(Ep2-Ep1)=- Ep。 3.弹性势能 (1)定义:发生弹性形变的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用而具有的势能。 (2) Ep与W弹的关系:弹力做正功,弹性势能减少;弹力做负功,弹性势能增加。定量表达式为W弹=- Ep。 4.机械能守恒定律 (1)内容:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以互相转化,总的机械能保持不变。 (2)表达式:=。 (3)守恒条件 ①系统只受重力或弹簧弹力的作用,不受其他外力。 ②系统除受重力或弹簧弹力作用外,还受其他内力和外力,但这些力对系统不做功。 ③系统内除重力或弹簧弹力做功外,还有其他内力和外力做功,但这些力做功的代数和为零。 真题汇编 1.(多选)(2025•云南)如图所示,倾角为的固定斜面,其顶端固定一劲度系数为的轻质弹簧,弹簧处于原长时下端位于点。质量为的滑块(视为质点)与斜面间的动摩擦因数。过程 :以速度从斜面底端点沿斜面向上运动恰好能滑至点;过程 :将连接在弹簧的下端并拉至点由静止释放,通过点(图中未画出)时速度最大,过点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,忽略空气阻力,重力加速度为。则 A.、两点之间的距离为 B.过程 中,在从点单向运动到点的过程中损失的机械能为 C.过程 中,从点沿斜面向上运动的最大位移为 D.连接在弹簧下端的无论从斜面上何处释放,最终一定静止在(含、点)之间 2.(2025•选择性)如图,一雪块从倾角的屋顶上的点由静止开始下滑,滑到点后离开屋顶。、间距离,点距地面的高度,雪块与屋顶的动摩擦因数。不计空气阻力,雪块质量不变,取,重力加速度大小。求: (1)雪块从点离开屋顶时的速度大小; (2)雪块落地时的速度大小,及其速度方向与水平方向的夹角。 3.(2025•安徽)如图,、为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉,间距。一根长为的轻绳一端系在上,另一端竖直悬挂质量的小球,小球与水平地面接触但无压力。时,小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过、,运动到正下方与相距的位置时,绳子刚好被拉断,小球开始做平抛运动。小球可视为质点,绳子不可伸长,不计空气阻力,重力加速度取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小,及绳子所受的最大拉力大小; (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离; (3)若在时,只改变小球的初速度大小,使小球能通过的正上方且绳子不松弛,求初速度的最小值。 4.(2024•重庆)2024年5月3日,嫦娥六号探测成功发射,开启月球背面采样之旅,探测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中 A.减速阶段所受合外力为0 B.悬停阶段不受力 C.自由下落阶段机械能守恒 D.自由下落阶段加速度大小 (多选)5.(2023•乙卷)如图,一质量为、长为的木板静止在光滑水平桌面上,另一质量为的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为,当物块从木板右端离开时 A.木板的动能一定等于 B.木板的动能一定小于 C.物块的动能一定大于 D.物块的动能一定小于 考点1:机械能守恒的判断 1.对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用,例如做平抛运动的物体机械能守恒。 (2)除重力外,物体还受其他力,但其他力不做功或做功代数和为0。 (3)除重力外,只有系统内的弹力做功,那么系统的机械能守恒。注意:并非系统内某个物体的机械能守恒,而是整个系统的机械能守恒。 2.机械能是否守恒的三种判断方法 (1)定义法:系统的动能、势能之和不变则守恒。 (2)做功法:即守恒的条件。 (3)能量转化法:系统的能量仅在机械能范围内转化则守恒。 例题精讲: 【例1】(2025•重庆开学)弹簧在社会生活中得到广泛的应用,如控制机械的运动、内燃机中的阀门弹簧、离合器中的控制弹簧等。如图所示为一竖直放置的劲度系数足够大的轻质弹簧,其下端固定在水平地面上,一定质量的小球从轻质弹簧正上方某一高处自由落下,并将弹簧压缩,直到小球的速度减为零。对于小球和轻质弹簧组成的系统,在小球开始与弹簧接触至弹簧压缩到最短的过程中,下列正确的是 A.小球的机械能守恒 B.小球的动能不断减小 C.小球的动能与重力势能之和逐渐增大 D.小球的动能与弹簧的弹性势能之和逐渐增大 【例2】(2025•海淀区开学)将一铅球水平抛出,若空气阻力可忽略不计,则对于铅球的运动过程,下列说法中正确的是 A.铅球在空中的运动是变加速运动 B.铅球在空中运动过程中其机械能不断增加 C.若抛出点高度一定,铅球在空中运动的时间与初速度的大小有关 D.若抛出的初速度一定,铅球落地时速度大小与抛出点的高度有关 【例3】(2025春•泸州期末)小锋寒假和家人一起去体验了滑雪运动,在春期开学后的学习中,他将滑雪时的情境抽象为图甲、图乙两种情况来思考。图甲中、两物块靠在一起,图乙中物块放在物块上面,、两物块的接触面水平。两图中的斜面均光滑,、物块均相对静止。则在下滑过程中,下列说法正确的是 A.甲、乙两图中物块的机械能均保持不变 B.甲、乙两图中物块对物块的作用力均不为零 C.图甲中物块对物块做负功,物块的机械能减少 D.图乙中摩擦力对物块做正功,物块的机械能增加 考点2:单物体机械能守恒 1.单物体机械能守恒的常用表达式 2.求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 (1)选对象:选取研究对象——物体。 (2)析受力、判守恒:根据研究对象所经历的物理过程,进行受力、做功分析,判断机械能是否守恒。 (3)析运动、明状态:在当地选取参考平面,确定研究对象在初、末状态时的机械能。 (4)列方程、解方程:选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1+Ep1=Ek2+Ep2, Ek=- Ep)进行求解。 3.注意:单物体机械能守恒的问题,往往也能用动能定理解决。 例题精讲: 【例4】(2025春•衢州期末)质量为的小球从粗糙曲面上滑下,在到达高度为的位置时,速度大小为,滑到高度为的位置时,速度大小为,则小球 A.在处的重力势能可能为负值 B.在处的动能为 C.从运动到的过程中合力做功 D.从运动到的过程中机械能增加了 【例5】(2025春•长春校级期末)如图所示,一轻质弹簧竖直固定于地面上,铁质小球自弹簧正上方由静止下落,小球从接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(弹簧的形变始终在弹性限度内),下列说法正确的是 A.小球的速度一直减小 B.小球的机械能不守恒 C.重力对小球做正功,小球的重力势能在增加 D.弹簧的弹力对小球做负功,弹簧的弹性势能在减小 【例6】(2025春•镇江期末)如图所示,质量的小球,从离桌面高处点由静止自由下落,桌面离地面的高度,若以桌面为参考平面,重力加速度为,下列说法正确的是 A.小球在点的重力势能为 B.小球在桌面高度处的动能为 C.由到的下落过程中小球机械能减少了 D.小球在点的机械能与参考平面选取无关 考点3:系统的机械能守恒 系统的机械能守恒 1.解决多物体系统机械能守恒的注意点 (1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找通过绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时,一般选用 Ek=- Ep或 EA=- EB的形式。 2.常见的三种模型 模型1 轻杆连接系统的机械能守恒 常见情境 三大特点 ①平动时两物体线速度大小相等,转动时两物体角速度大小相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统,忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功时,系统机械能守恒 模型2 轻绳连接系统的机械能守恒 常见情境 三点提醒 ①分清两物体是速度大小相等,还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体,一般绳上的力做功,机械能不守恒;但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒 模型3 轻弹簧连接系统的机械能守恒 常见 情境 模型特点 由轻弹簧连接的物体系统,一般既有重力做功又有弹簧弹力做功,这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化,而总的机械能守恒 两点提醒 ①对同一弹簧,弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定,无论弹簧伸长还是压缩。 ②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时,两端的物体具有相同的速度,弹性势能最大 例题精讲: 【例7】(2025•四平校级开学)如图所示,一根质量可以忽略不计的刚性轻杆,端为固定转轴,杆可在竖直平面内无摩擦地转动,杆的中心点及另一端各固定一个小球和。已知两球质量相同,现用外力使杆静止在水平方向,然后撤去外力,杆将摆下,从开始运动到杆处于竖直方向的过程中 A.两球重力做功相等 B.杆的弹力对球做正功,对球做负功 C.杆的弹力对球做负功,对球做正功 D.杆的弹力对球和球均不做功 【例8】(多选)(2025•蚌埠校级开学)如图所示,,两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连,放在固定的光滑斜面上,、两小球在竖直方向上通过劲度系数为的轻质弹簧相连,球放在水平地面上。现用手控制住,使细线刚好拉直但无拉力作用,并保证滑轮左侧细线竖直,右侧细线与斜面平行。已知的质量为,、的质量均为,重力加速度为,细线与滑轮之间的摩擦不计,开始时整个系统处于静止状态。释放后,沿斜面下滑至速度最大时恰好要离开地面。下列说法正确的是 A.刚离开地面时,的加速度为零 B.刚释放时,的加速度是 C.斜面倾角为 D.获得最大速度为 【例9】(2025春•河北期末)如图所示,质量为的小环套在光滑竖直细杆上,小环经由跨过光滑固定轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为的重物相连。开始时在位置用手按住,轻绳处于绷紧状态,现释放,小环从图中位置上升至与定滑轮的连线处于水平的位置,已知,,重力加速度为。下列说法正确的是 A.小环的机械能守恒 B.重物的机械能守恒 C.位置,小环的动能为 D.当时,小环与重物的速度关系为 考点4:用机械能守恒定律解决非质点问题 1.特点:在应用机械能守恒定律处理实际问题时,经常遇到像“链条”“液柱”类的物体,其在运动过程中重心位置相对物体会发生变化,因此这类物体不能再视为质点来处理,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。 2.处理方法:一般情况下,可将物体分段处理,确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置,根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 例题精讲: 【例10】(2025•武陵区校级模拟)如图甲所示,光滑平台上放着一根均匀链条,其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下,由静止释放链条。已知整根链条的质量为,链条悬垂的长度为,台面高度为。如果在链条的悬垂端接一质量也为的小球(直径相对链条长度可忽略不计),如图乙所示,还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面来约束链条,重力加速度为,下列说法正确的是 A.甲图中在链条下端触地瞬间,链条的速度大小为 B.乙图中在链条下端触地瞬间,链条的速度大小为 C.甲图中链条下端在触地之前,链条的加速度大小不变 D.乙图中小球在下落过程中,链条对小球的拉力在不断增大 【例11】(2025春•南阳期末)如图所示,长度为的匀质链条的一半放置在水平桌面上,另一半悬在桌面下方,现让链条由静止释放,不计一切摩擦阻力,重力加速度为,当链条全部离开桌面时,其速度大小为 A. B. C. D. 【例12】(2025春•滕州市期中)如图所示,一根质量为、长为的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上,另一半悬在桌边,链条右端拴有质量为的小球。已知桌面足够高,约束链条的挡板光滑。静止释放至整根链条刚离开桌面的过程中,下列说法正确的是 A.链条和小球的重力势能共减少 B.链条和小球的重力势能共减少 C.链条的重力势能转化为动能,链条的机械能守恒 D.若仅去掉小球,整根链条刚离开桌面的速度会变大 课后提优练习 一.选择题(共14小题) 1.(2025秋•重庆校级月考)如图所示,A、B两滑块的质量均为m,用一轻绳将两滑块相连后,将A置于固定的光滑水平面上,将B置于固定的光滑斜面上,斜面的倾角为30 ,并将A、B稳住不动。将一轻质动滑轮置于轻绳上,再将质量为2m的钩码C挂于动滑轮上。现先后按以下两种方式操作:第一次将B稳住,由静止释放A;第二次将A稳住,由静止释放B。物体C下落相同位移x时(C下落过程中,A、B均没有与定滑轮碰撞),设两次下落的时间分别为t1、t2,物体C的加速度分别为a1、a2,物体C的动能分别为Ek1、Ek2,由A、B、C组成的系统减少的重力势能分别为 Ep1、 Ep2。滑轮摩擦不计,则下列说法不正确的是( ) A. B.a1:a2=2:1 C.Ek1:Ek2=4:1 D. Ep1: Ep2=2:1 2.(2024秋•合肥月考)如图所示,质量分别为m、2m小物块A和小物块B在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连,开始时A、B均静止,现给B施加一竖直向下的恒力,使B向下运动,当速度为零时,立即撤去恒力,一段时间后小物块A恰好能离开地面。已知弹簧的弹性势能可表示为,k为弹簧的劲度系数,x为弹簧的形变量,重力加速度为g,则恒力所做的功为( ) A. B. C. D. 3.(2025•孝感开学)如图所示,在倾角为37 的斜面上,轻质弹簧一端连接固定在斜面底端的挡板C上,另一端连接滑块A。一轻细绳通过斜面顶端的定滑轮(质量忽略不计),一端系在滑块A上,另一端与小球B相连,细绳与斜面平行,斜面足够长。用手托住小球B,此时弹簧长度为原长,滑块A刚好要沿斜面向上运动。现在由静止释放小球B,不计轻绳与滑轮间的摩擦。已知mB=2mA=2kg,滑块A与斜面间的动摩擦因数 =0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,取g=10m/s2,弹簧的劲度系数k=100N/m。若弹簧原长时弹性势能为0,弹簧伸长x时的弹性势能为(sin37 =0.6,cos37 =0.8)。下列说法正确的是( ) A.释放小球B前,小球B对手的压力为12N B.滑块A向上滑行0.2m时速度最大 C.当滑块A向上滑行到速度最大时,弹簧对滑块A做功﹣0.5J D.经过足够长的时间,滑块A、小球B都处于静止状态,且弹簧长度为原长 4.(2025秋•沙坪坝区校级月考)某场排球比赛中,若不计空气阻力,排球被击出后在空中运动的过程中,下列关于排球加速度大小a、重力势能Ep、机械能E、动能Ek随时间t的变化关系一定正确的是( ) A.. B.. C.. D. 5.(2025•辽宁开学)如图所示,轻质弹簧的左端固定,质量为m的物块压缩弹簧后自A点由静止释放,物块离开弹簧后运动到B点静止,已知物块向右运动的最大距离为s,物块与水平地面间的动摩擦因数为 ,重力加速度大小为g,则释放物块前弹簧具有的弹性势能为( ) A. B. mgs C.2 mgs D.4 mgs 6.(2025•大同模拟)一小球在竖直向上的拉力F作用下向上做匀减速运动,某时刻撤去拉力,小球继续上升一段距离后下落,不计空气阻力。下列关于小球上升过程中的速度v,动能Ek和机械能E随上升高度h的变化图像正确的是( ) A. B. C. D. 7.(2025•重庆开学)如图甲所示,半径为R的光滑大圆环固定在竖直面内,小环套在大圆环上,小环由静止开始从大圆环顶端自由下滑至其底部。小环下滑过程中,其向心加速度an随下落高度h变化的图像如图乙所示,则重力加速度大小为( ) A.2a B. C.a D. 8.(2025•山东开学)2025年8月8日至12日,世界机器人大会在北京举办。如图甲所示,分拣机器人到达指定投递口停住后,翻转托盘使托盘倾角缓慢增大,当托盘倾角增大到 =37 时,包裹恰好开始下滑。侧视简化图如图乙,下列说法正确的是( ) A.倾转过程中,包裹的机械能保持不变 B.包裹滑动前,托盘对包裹的作用力大小随倾角 增大而增大 C.包裹滑动后,继续增大托盘倾角,包裹所受摩擦力将减小 D.包裹滑动后,继续增大托盘倾角,包裹所受摩擦力大于托盘所受摩擦力 9.(2025•长沙校级开学)如图所示,质量均为m的物块A和B用不可伸长的轻绳连接,A放在倾角为 的固定光滑斜面上,而B能沿光滑竖直杆上下滑动,杆和轻质滑轮中心间的距离为L,物块B从与滑轮等高处由静止开始下落,斜面与杆足够长,不计滑轮的摩擦,重力加速度为g。在物块B下落到绳与水平方向的夹角为 的过程中,下列说法正确的是( ) A.物块B的重力势能的减少量等于物块A的重力势能的增加量 B.物块B的末速度为 C.物块A的速度大小等于物块B的速度大小 D.物块A的速度大小vA与物块B的速度大小vB的关系为:vB=vAsin 10.(2025•浙江开学)小明同学在足球场地进行射门训练,如图为某次射门时打出的香蕉球场景,下列说法正确的是( ) A.足球从离开脚到落地的过程中机械能守恒 B.研究如何踢出香蕉球时,可以把足球看作质点 C.足球在空中减速运动时,其惯性逐渐减小 D.放气压瘪后的足球,其重心不一定位于足球上 11.(2025春•邗江区期末)如图所示,竖直轻弹簧固定在水平地面上,铁球由弹簧的正上方自由下落,与弹簧接触后压缩弹簧。在铁球下落的过程中,不计空气阻力,下列说法中正确的是( ) A.下落过程中小球的机械能守恒 B.铁球接触弹簧后,动能一直减小 C.铁球在整个下落过程中,重力势能一直减小 D.铁球接触弹簧后,弹簧弹性势先增大后减小 12.(2025春•河南期末)晓宇在练习投篮时,某次将可视为质点、质量为m的篮球以速度v0从P点抛出,最终在Q点落入篮筐,如图所示。已知篮球离手瞬间距离地面的高度为h,篮筐距离地面的高度为H,重力加速度为g,规定地面为零势能面,忽略空气阻力。下列说法正确的是( ) A.篮球抛出时的机械能为 B.从P到Q篮球重力做功为mg(H﹣h) C.篮球在Q点的动能为 D.篮球在Q点的机械能为 13.(2025•乐东县模拟)某同学通过Tracker软件(视频分析和建模工具)研究羽毛球运动轨迹与初速度的关系。如图所示为羽毛球的一条运动轨迹,击球点在坐标原点O,a点为运动轨迹的最高点,下列说法正确的是( ) A.羽毛球水平方向的运动为匀速直线运动 B.a点羽毛球只受重力 C.羽毛球下降过程处于超重状态 D.羽毛球在空中运动过程中,机械能不断减小 14.(2025•重庆模拟)如图所示,一轻质弹簧左端与墙壁相连,且未与水平面接触,弹簧自然伸长时其右端位于O点。施加外力F使物块A(可视为质点)压缩弹簧至P点,已知OP间距离为x0=0.6m。在O点固定一弹性挡板B,物体A与挡板碰撞后均原速率反弹。现撤去外力F,物块A由静止开始向右运动,并与挡板发生碰撞。已知物块A的质量为m=1kg,其与水平面间的动摩擦因数 =0.3,弹簧劲度系数k=20N/m,弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为,重力加速度g=10m/s2。经过足够长时间,物块A的位置与O点的距离为( ) A.0m B.0.15m C.0.3m D.0.6m 二.解答题(共1小题) 15.(2026•浙江一模)一游戏装置由倾角为 =37 直轨道AB、半径为R圆心在O点的竖直螺旋圆轨道、水平轨道BC、CE构成,其竖直截面如图所示,C是圆轨道与水平轨道的切点,B、C、D、E处于同一水平面,各连接处平滑过渡。在D点有一质量为m2的物块与劲度系数为k的轻质弹簧相连,弹簧的另一端E连在竖直墙壁上,弹簧处于原长。G为圆轨道上的一点,OG连线与OC夹角 =60 。开始游戏时从斜面上A点静止释放质量为m1的物块,物块m1与斜面AB间动摩擦因数为 1,物块m1、m2与轨道DE的动摩擦因数均为 2,其余接触面均光滑。已知R=0.5m,m1=0.2kg,m2=0.3kg, 1=0.125,,两物块均可视为质点,不计空气阻力,简谐运动的周期公式,弹簧弹性势能表达式,sin37 =0.6,cos37 =0.8。 (1)若AB长L=2.5m,求从A运动到B的时间; (2)若物块m1从斜面下滑后恰好能过圆最高点H,求过G点时轨道对物块的作用力大小FN; (3)若满足(2)中的条件,物块m1与m2碰撞粘在一起(碰撞时间极短),向右压缩弹簧到最短(弹簧始终在弹性限度内)。 ①求此过程中摩擦力做的功; ②求从粘在一起到弹簧压缩到最短的时间。(结果可保留根式) 2 学科网(北京)股份有限公司 $ 专题25 机械能守恒定律及其应用 学习目标 理解并掌握机械能的概念，理解机械能的守恒条件；理解多物体构成速度关联问题并解决系统机械能守恒问题。 知识点梳理 1．重力做功的特点 (1)重力做功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。 (2)重力做功不引起物体机械能的变化。 2．重力势能 (1)表达式Ep＝mgh。 (2)重力势能的特点 ①系统性：重力势能是物体和地球所共有的。 ②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 (3)ΔEp与WG的关系 ①定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。 ②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。 3．弹性势能 (1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用而具有的势能。 (2)ΔEp与W弹的关系：弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。定量表达式为W弹＝－ΔEp。 4．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，总的机械能保持不变。 (2)表达式：＝。 (3)守恒条件 ①系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。 ②系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功。 ③系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零。 真题汇编 1．（多选）（2025•云南）如图所示，倾角为的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于点。质量为的滑块（视为质点）与斜面间的动摩擦因数。过程Ⅰ：以速度从斜面底端点沿斜面向上运动恰好能滑至点；过程Ⅱ：将连接在弹簧的下端并拉至点由静止释放，通过点（图中未画出）时速度最大，过点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为。则　　 A．、两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，在从点单向运动到点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，从点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的无论从斜面上何处释放，最终一定静止在（含、点）之间 【答案】 【分析】根据滑动摩擦力公式求解滑动摩擦力，过程Ⅰ，根据动能定理求解之间的距离； 过程Ⅱ中，根据功能关系求解机械能的损失； 过程Ⅱ中，点的速度最大，说明点为平衡位置，根据平衡条件求解弹簧的形变量，再求之间的距离； 滑块从到的过程中，弹力做正功、摩擦力和重力做负功；滑块从点到最高点的过程中，弹力先做正功后做负功、摩擦力和重力做一致做负功；根据动能定理分析位移关系，然后作答； 设滑块最终停留在距点处，停止时加速度为零，速度为零；根据平衡条件结合摩擦力与重力沿斜面向下的分力的关系求解作答。 【解答】解：、滑块所受的滑动摩擦力 过程Ⅰ，根据动能定理得： 解得： 过程Ⅱ中，弹簧弹力对做正功，设为，克服滑动摩擦力做功为，由功能关系可得在从点单向运动到点的过程中损失的机械能为：，故错误； 、过程Ⅱ中，点的速度最大，则点为平衡位置，设此时弹簧的形变量为，根据平衡条件得： ，解得： 、两点之间的距离为：，故错误； 、滑块从到的过程向上运动的位移为 由运动的对称性可得滑块过点后能继续上滑的最大位移等于，故从点沿斜面向上运动的最大位移为，故正确； 设滑块最终停留在距点处，停止时加速度为零，速度为零； 若弹力为零，根据平衡条件，滑块停在点； 若弹簧处于拉伸状态且摩擦力沿斜面向下，根据平衡条件 其中 解得 滑块停在点与点之间，含点； 由于，因此弹簧不可能处于压缩状态； 综上分析可知，连接在弹簧下端的无论从斜面上何处释放，最终一定静止在（含、点）之间，故正确。 故选：。 2．（2025•选择性）如图，一雪块从倾角的屋顶上的点由静止开始下滑，滑到点后离开屋顶。、间距离，点距地面的高度，雪块与屋顶的动摩擦因数。不计空气阻力，雪块质量不变，取，重力加速度大小。求： （1）雪块从点离开屋顶时的速度大小； （2）雪块落地时的速度大小，及其速度方向与水平方向的夹角。 【答案】（1）雪块到点速度大小为； （2）雪块到地面速度大小为，方向与水平方向夹角为。 【分析】（1）对雪块由静止下滑到点的过程，根据动能定理求解雪块到点速度大小； （2）根据机械能守恒定律得求解雪块到地面速度大小。雪块由点到地面的过程做斜抛运动，根据矢量的合成与分解求解雪块由点到地面的速度与水平方向夹角。 【解答】解：（1）雪块由静止下滑到点的过程，根据动能定理得： 解得： （2）雪块由点到地面的过程，根据机械能守恒定律得： 解得： 雪块由点到地面的过程做斜抛运动，在水平方向做匀速运动的速度大小为： ，解得： 由速度分解可得： 解得： 答：（1）雪块到点速度大小为； （2）雪块到地面速度大小为，方向与水平方向夹角为。 3．（2025•安徽）如图，、为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过、，运动到正下方与相距的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度取。 （1）求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； （2）求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； （3）若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 【答案】（1）绳子被拉断时小球的速度大小为，绳子所受的最大拉力大小为； （2）小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离为； （3）初速度的最小值为。 【分析】（1）根据机械能守恒定律结合牛顿第二定律，求速度和拉力； （2）球做平抛运动竖直方向是自由落体，水平方向是匀速直线运动，求； （3）绳子恰不松弛，重力提供向心力，再结合动能定理，求初速度最小值。 【解答】解：（1）小球从最下端以速度抛出到运动到正下方距离为的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， （2）小球做平抛运动时， 解得 （3）若小球经过点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 答：（1）绳子被拉断时小球的速度大小为，绳子所受的最大拉力大小为； （2）小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离为； （3）初速度的最小值为。 4．（2024•重庆）2024年5月3日，嫦娥六号探测成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中　　 A．减速阶段所受合外力为0 B．悬停阶段不受力 C．自由下落阶段机械能守恒 D．自由下落阶段加速度大小 【答案】 【分析】根据减速概念分析合外力是否为0； 根据悬停的平衡态分析受力情况； 根据机械能守恒条件进行判断； 根据月球表面重力加速度小于地球表面重力加速度进行判断。 【解答】解：减速阶段合外力方向竖直向上，不为0，故错误； 悬停阶段受到重力和向上的作用力，合力为0，故错误； 自由下落阶段只受重力作用，重力做正功，机械能守恒，故正确； 由于是在月球表面自由下落，其加速度小于地球表面自由落体加速度，故错误。 故选：。 （多选）5．（2023•乙卷）如图，一质量为、长为的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为，当物块从木板右端离开时　　 A．木板的动能一定等于 B．木板的动能一定小于 C．物块的动能一定大于 D．物块的动能一定小于 【答案】 【分析】根据物块从木板右端离开时，分别对两物体分析，根据动能定理列式；整体来考虑根据能量守恒定律列式，判断物块动能大小。 【解答】解：设物块离开木板时的速度为，此时木板的速度为，由题可知 设物块的对地位移为，木板的对地位移为 、根据能量守恒定律可得 整理解得 故错误，正确； 、因摩擦产生的热量为 根据运动学公式可得 由于 所以 故 故 故错误，正确； 故选：。 考点1：机械能守恒的判断 1．对机械能守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。 (2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为0。 (3)除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个物体的机械能守恒，而是整个系统的机械能守恒。 2．机械能是否守恒的三种判断方法 (1)定义法：系统的动能、势能之和不变则守恒。 (2)做功法：即守恒的条件。 (3)能量转化法：系统的能量仅在机械能范围内转化则守恒。 例题精讲： 【例1】（2025•重庆开学）弹簧在社会生活中得到广泛的应用，如控制机械的运动、内燃机中的阀门弹簧、离合器中的控制弹簧等。如图所示为一竖直放置的劲度系数足够大的轻质弹簧，其下端固定在水平地面上，一定质量的小球从轻质弹簧正上方某一高处自由落下，并将弹簧压缩，直到小球的速度减为零。对于小球和轻质弹簧组成的系统，在小球开始与弹簧接触至弹簧压缩到最短的过程中，下列正确的是　　 A．小球的机械能守恒 B．小球的动能不断减小 C．小球的动能与重力势能之和逐渐增大 D．小球的动能与弹簧的弹性势能之和逐渐增大 【答案】 【分析】根据机械能守恒定律和功能关系进行分析解答。 【解答】解：对小球分析，由于弹簧对小球做负功，因此小球的机械能逐渐减小，故错误； 小球在向下运动的过程中，弹簧的弹力逐渐增大，小球所受的合力先减小后反向增大，所以小球的速度先变大后变小，小球的动能先变大后变小，故错误； 把小球和弹单簧看成一个系统，系统的动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，小球在向下运动的过程中，弹簧的弹力逐渐增大，弹性势能逐渐增大，所以小球的动能与重力势能之和逐渐减小，故错误； 把小球和弹簧看成一个系统，系统的动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，小球在向下运动的过程中，重力一直做正功，重力势能逐渐减小，小球的动能与弹簧的弹性势能之和逐渐增大，故正确。 故选：。 【例2】（2025•海淀区开学）将一铅球水平抛出，若空气阻力可忽略不计，则对于铅球的运动过程，下列说法中正确的是　　 A．铅球在空中的运动是变加速运动 B．铅球在空中运动过程中其机械能不断增加 C．若抛出点高度一定，铅球在空中运动的时间与初速度的大小有关 D．若抛出的初速度一定，铅球落地时速度大小与抛出点的高度有关 【答案】 【分析】根据平抛运动的受力，机械能守恒以及平抛运动的位移规律等进行分析解答。 【解答】解：平抛运动的物体只受重力，根据牛顿第二定律，加速度恒定为，故是匀变速曲线运动，故错误； 平抛运动的物体只受重力，故只有重力做功，机械能守恒，故错误； 平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，根据分运动与合运动具有等时性，知平抛运动的时间由高度决定，与初速度大小无关，故错误； 根据平抛运动的分位移公式，有，，联立解得，故物体落地时水平飞行的距离与抛出点的高度和初速度有关，故正确。 故选：。 【例3】（2025春•泸州期末）小锋寒假和家人一起去体验了滑雪运动，在春期开学后的学习中，他将滑雪时的情境抽象为图甲、图乙两种情况来思考。图甲中、两物块靠在一起，图乙中物块放在物块上面，、两物块的接触面水平。两图中的斜面均光滑，、物块均相对静止。则在下滑过程中，下列说法正确的是　　 A．甲、乙两图中物块的机械能均保持不变 B．甲、乙两图中物块对物块的作用力均不为零 C．图甲中物块对物块做负功，物块的机械能减少 D．图乙中摩擦力对物块做正功，物块的机械能增加 【答案】 【分析】根据机械能的概念和机械能守恒的条件进行分析解答。 【解答】解：两图中的斜面均光滑，甲图中，以、为整体研究，整体受重力和支持力，根据牛顿第二定律可得加速度为，方向沿斜面向下； 以为对象，根据牛顿第二定律可得受到的合力为，结合的受力分析可知、之间的作用力为零，所以物块只有重力做功，所以物块机械能守恒； 乙图中，以、为整体研究，整体受重力和支持力，根据牛顿第二定律可得加速度为方向沿斜面向下； 以为对象，根据牛顿第二定律可得受到的合力为，结合的受力分析可知对的支持力竖直向上，对的摩擦力水平向右， 对的作用力（支持力和摩擦力的合力）方向垂直斜面向上，与速度方向垂直，大小为， 根据功的定义得对的作用力做功为对的摩擦力做正功，对的支持力做负功），所以物块除了重力做功，其它力做的功为零，所以物块机械能守恒。故正确，错误。 故选：。 考点2：单物体机械能守恒 1．单物体机械能守恒的常用表达式 2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 (1)选对象：选取研究对象——物体。 (2)析受力、判守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 (3)析运动、明状态：在当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。 (4)列方程、解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝－ΔEp)进行求解。 3．注意：单物体机械能守恒的问题，往往也能用动能定理解决。 例题精讲： 【例4】（2025春•衢州期末）质量为的小球从粗糙曲面上滑下，在到达高度为的位置时，速度大小为，滑到高度为的位置时，速度大小为，则小球 A．在处的重力势能可能为负值 B．在处的动能为 C．从运动到的过程中合力做功 D．从运动到的过程中机械能增加了 【答案】 【分析】重力势能大小与零势能面的选取有关；从到，根据动能定理求解小球在处的动能；根据功的计算公式求解从运动到的过程中合力做的功；阻力做的功等于机械能的减少。 【解答】解：、重力势能大小与零势能面的选取有关，若选取最高点为零势能面，则小球在处的重力势能为负值，故正确； 、从到，克服阻力做的功为，根据动能定理可得：，所以小球在处的动能为：，故错误； 、从运动到的过程中合力做功为：，故错误； 、阻力做的功等于机械能的减少，所以从运动到的过程中机械能减少了：△，故错误。 故选：。 【例5】（2025春•长春校级期末）如图所示，一轻质弹簧竖直固定于地面上，铁质小球自弹簧正上方由静止下落，小球从接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（弹簧的形变始终在弹性限度内），下列说法正确的是　　 A．小球的速度一直减小 B．小球的机械能不守恒 C．重力对小球做正功，小球的重力势能在增加 D．弹簧的弹力对小球做负功，弹簧的弹性势能在减小 【答案】 【分析】分析小球受力情况判断其运动情况，确定速度变化情况；分析除重力以外其他力做功情况，判断小球的机械能变化情况；根据高度变化分析重力做功正负，判断重力势能的变化情况；根据弹力做功情况判断弹簧的弹性势能变化情况。 【解答】解：、小球从接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球受到重力和弹簧的弹力两个力作用，一开始弹力小于重力，合力向下，小球继续向下做加速运动；当弹力等于重力时，小球速度达到最大，之后弹力大于重力，合力向上，小球向下减速运动，则小球的速度先增大后减小，故错误； 、由于弹簧弹力对小球做负功，所以小球的机械能不守恒，故正确； 、小球的高度下降，重力对小球做正功，小球的重力势能在减小，故错误； 、弹簧的弹力对小球做负功，弹簧的弹性势能在增大，故错误。 故选：。 【例6】（2025春•镇江期末）如图所示，质量的小球，从离桌面高处点由静止自由下落，桌面离地面的高度，若以桌面为参考平面，重力加速度为，下列说法正确的是　　 A．小球在点的重力势能为 B．小球在桌面高度处的动能为 C．由到的下落过程中小球机械能减少了 D．小球在点的机械能与参考平面选取无关 【答案】 【分析】以桌面为参考平面，小球在点的重力势能由高度决定。根据机械能守恒，小球在桌面处的动能等于点的重力势能。下落过程中只有重力做功，机械能守恒。机械能中的重力势能部分与参考平面有关，但机械能守恒与参考平面无关。选项正确反映了动能与重力势能的转化关系。 【解答】解：、由题意得，小球在点的重力势能，故错误； 、根据机械能守恒定律，小球在点的机械能和桌面处的机械能相等，有，其中，，故。故正确； 、从到的下落过程中，小球只受重力作用，只有重力做功，机械能守恒。故错误； 、重力势能与参考平面有关，点的机械能也与参考平面有关。故错误。 故选：。 考点3：系统的机械能守恒 系统的机械能守恒 1．解决多物体系统机械能守恒的注意点 (1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找通过绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。 2．常见的三种模型 模型1　轻杆连接系统的机械能守恒 常见情境 三大特点 ①平动时两物体线速度大小相等，转动时两物体角速度大小相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功时，系统机械能守恒 模型2　轻绳连接系统的机械能守恒 常见情境 　 　 三点提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体，一般绳上的力做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒 模型3　轻弹簧连接系统的机械能守恒 常见 情境 　 　 模型特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒 两点提醒 ①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。 ②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大 例题精讲： 【例7】（2025•四平校级开学）如图所示，一根质量可以忽略不计的刚性轻杆，端为固定转轴，杆可在竖直平面内无摩擦地转动，杆的中心点及另一端各固定一个小球和。已知两球质量相同，现用外力使杆静止在水平方向，然后撤去外力，杆将摆下，从开始运动到杆处于竖直方向的过程中　　 A．两球重力做功相等 B．杆的弹力对球做正功，对球做负功 C．杆的弹力对球做负功，对球做正功 D．杆的弹力对球和球均不做功 【答案】 【分析】根据两球重力相同，下落高度不同，故两球重力做功不相等，结合两球同轴转动，角速度相等，综合机械能守恒分析求解。 【解答】解：．两球重力相同，下落高度不同，故两球重力做功不相等，故错误； ．两球同轴转动，角速度相等，由线速度和角速度的关系：知，球的速度总是等于球速度的2倍，由于杆在转动过程中无摩擦，故系统机械能守恒，设杆长为，球运动到竖直方向时的速度为，则根据机械能守恒定律有 解得动能 球获得的动能小于减少的重力势能，其机械能减少，故杆对球做负功，同理可判定杆对球做正功，故错误，正确。 故选：。 【例8】（多选）（2025•蚌埠校级开学）如图所示，，两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，放在固定的光滑斜面上，、两小球在竖直方向上通过劲度系数为的轻质弹簧相连，球放在水平地面上。现用手控制住，使细线刚好拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直，右侧细线与斜面平行。已知的质量为，、的质量均为，重力加速度为，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放后，沿斜面下滑至速度最大时恰好要离开地面。下列说法正确的是　　 A．刚离开地面时，的加速度为零 B．刚释放时，的加速度是 C．斜面倾角为 D．获得最大速度为 【答案】 【分析】沿斜面下滑至速度最大时恰好离开地面，和的加速度为零，对和受力分析，由平衡条件求出斜面的倾角；对于整个系统机械能守恒，根据机械能守恒列出方程就可以求得的最大速度。根据系统机械能守恒分析、两小球组成的系统机械能如何变化。 【解答】解：．根据题意可知，开始与恰好要离开地面时，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹力大小均为 对分析 代入数据解得 此时绳子中的拉力 对分析 故此时受力平衡，加速度为零。刚释放时，对分析 解得 故正确，错误； ．由以上分析可知该过程弹簧弹性势能变化为零，由机械能守恒 联立解得获得最大速度为 故正确。 故选：。 【例9】（2025春•河北期末）如图所示，质量为的小环套在光滑竖直细杆上，小环经由跨过光滑固定轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为的重物相连。开始时在位置用手按住，轻绳处于绷紧状态，现释放，小环从图中位置上升至与定滑轮的连线处于水平的位置，已知，，重力加速度为。下列说法正确的是　　 A．小环的机械能守恒 B．重物的机械能守恒 C．位置，小环的动能为 D．当时，小环与重物的速度关系为 【答案】 【分析】分析轻绳对小环和重物做功情况，判断它们机械能变化情况；在位置，重物的速度为0，根据系统机械能守恒求小环的动能；当时，根据小环的速度沿绳子方向的分量与的速率相等列式，得到小环与重物的速度关系。 【解答】解：、小环和重物均受到轻绳的拉力作用，轻绳对小环做正功，小环的机械能增大。轻绳对重物做负功，重物的机械能减少，故错误； 、设，将小环的速度沿绳方向和垂直绳方向进行分解，根据关联速度可得 则当小环运动到点时，因，故 对、组成的系统，因只有重力做功，故系统机械能守恒。小环从位置到位置过程，根据小环和重物组成的系统机械能守恒，有 解得小环运动到位置时的动能，故正确； 、当时，根据，可得，故错误。 故选：。 考点4：用机械能守恒定律解决非质点问题 1．特点：在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中重心位置相对物体会发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。 2．处理方法：一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 例题精讲： 【例10】（2025•武陵区校级模拟）如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为，链条悬垂的长度为，台面高度为。如果在链条的悬垂端接一质量也为的小球（直径相对链条长度可忽略不计），如图乙所示，还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面来约束链条，重力加速度为，下列说法正确的是　　 A．甲图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 B．乙图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 C．甲图中链条下端在触地之前，链条的加速度大小不变 D．乙图中小球在下落过程中，链条对小球的拉力在不断增大 【答案】 【分析】结合题意，由重力势能的计算公式及机械能守恒定律分析列式，即可判断求解速度值； 结合题意，分析整体产生加速度的合力变化，由牛顿第二定律即可分析求解。 【解答】解：、甲图中链条触地时，由平台和链条之间的几何关系、链条右侧悬垂部分长度为，根据机械能守恒定律有： 解得，故正确； 、同理，乙图中链条触地时，有相同的位移，所以根据机械能守恒定律有： 整理解得：，故错误； 、甲图中平台右侧悬垂部分的重力等于链条整体所受外力的合力，随悬垂部分的增多，链条整体所受外力的合力增大，所以链条在触地之前做加速度逐渐增大，同理可知，乙图中链条整体在触地之前加速度逐渐增大，隔离小球分析，链条对小球的拉力在不断减小，故错误。 故选：。 【例11】（2025春•南阳期末）如图所示，长度为的匀质链条的一半放置在水平桌面上，另一半悬在桌面下方，现让链条由静止释放，不计一切摩擦阻力，重力加速度为，当链条全部离开桌面时，其速度大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】不计一切摩擦阻力，链条下滑过程中机械能守恒，分析重力势能的减小量，再根据机械能守恒定律求解。 【解答】解：设整个链条的质量为。当链条全部离开桌面时，重力势能减小量为△，根据机械能守恒定律得△，解得，故正确，错误。 故选：。 【例12】（2025春•滕州市期中）如图所示，一根质量为、长为的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，链条右端拴有质量为的小球。已知桌面足够高，约束链条的挡板光滑。静止释放至整根链条刚离开桌面的过程中，下列说法正确的是　　 A．链条和小球的重力势能共减少 B．链条和小球的重力势能共减少 C．链条的重力势能转化为动能，链条的机械能守恒 D．若仅去掉小球，整根链条刚离开桌面的速度会变大 【答案】 【分析】结合题意，由重力势能的计算公式及机械能守恒定律分析列式，即可判断求解； 结合题意，由动能定理列式，即可分析求解。 【解答】解：结合题意，由重力势能的计算公式可知，链条和小球的重力势能共减少：， 链条在该过程中，除了重力做功，还有小球对其的拉力做功，则由机械能守恒定律可知，链条的机械能不守恒，是小球对链条做的功及链条的重力势能转化为链条的动能， 故正确，错误； 设小球对链条所做的功为，链条重力做的功为， 由动能定理可得：， 由此可知，若仅去掉小球，即：，则整根链条刚离开桌面时，链条的动能会减小，则整根链条刚离开桌面的速度会变小，故错误； 故选：。 课后提优练习 一．选择题（共14小题） 1．（2025秋•重庆校级月考）如图所示，A、B两滑块的质量均为m，用一轻绳将两滑块相连后，将A置于固定的光滑水平面上，将B置于固定的光滑斜面上，斜面的倾角为30°，并将A、B稳住不动。将一轻质动滑轮置于轻绳上，再将质量为2m的钩码C挂于动滑轮上。现先后按以下两种方式操作：第一次将B稳住，由静止释放A；第二次将A稳住，由静止释放B。物体C下落相同位移x时（C下落过程中，A、B均没有与定滑轮碰撞），设两次下落的时间分别为t1、t2，物体C的加速度分别为a1、a2，物体C的动能分别为Ek1、Ek2，由A、B、C组成的系统减少的重力势能分别为ΔEp1、ΔEp2。滑轮摩擦不计，则下列说法不正确的是（　　） A． B．a1：a2＝2：1 C．Ek1：Ek2＝4：1 D．ΔEp1：ΔEp2＝2：1 【解答】解：第一次固定B，物体C下落过程中，设轻绳的拉力为F1，对物体A根据牛顿第二定律有F1＝maA，根据匀变速直线运动的公式有 对物体C根据牛顿第二定律有2mg﹣2F1＝2ma1，根据匀变速直线运动的公式有 可得， 物体C的速度为 动能为 系统减少的重力势能为ΔEp1＝2mgx 第二次固定A，物体C下落过程中，设轻绳的拉力为F2，对物体B根据牛顿第二定律有F2﹣mgsin30°＝maB，根据匀变速直线运动的公式有 对物体C根据牛顿第二定律有2mg﹣2F1＝2ma1，根据匀变速直线运动的公式 可得， 物体C的速度为 动能为 系统减少的重力势能为ΔEp1＝2mgx 第二次固定A，物体C下落过程中，设轻绳的拉力为F2，对物体B根据牛顿第二定律有F2﹣mgsin30°＝maB，根据匀变速直线运动的公式 对物体C根据牛顿第二定律有2mg﹣2F2＝2ma2，根据匀变速直线运动的公式 可得， 物体C的速度为 动能为 系统减少的重力势能为ΔEp2＝mgx 由此可知，a1：a2＝2：1，Ek1：Ek2＝2：1，ΔEp1：ΔEp2＝2：1，故C正确，ABD错误； 故选：C。 2．（2024秋•合肥月考）如图所示，质量分别为m、2m小物块A和小物块B在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，开始时A、B均静止，现给B施加一竖直向下的恒力，使B向下运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后小物块A恰好能离开地面。已知弹簧的弹性势能可表示为，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，重力加速度为g，则恒力所做的功为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：开始时，对B分析可知，弹簧的压缩量为 小物块A恰好离开地面时弹簧的伸长量为 设小物块B在恒力作用下向下运动的最大位移为x0，恒力所做的功为W。 小物块B在恒力作用下向下运动的过程，由能量守恒得 小物块B向上运动至A恰好离开地面的过程，由系统机械能守恒有 联立解得，故A正确，BCD错误。 故选：A。 3．（2025•孝感开学）如图所示，在倾角为37°的斜面上，轻质弹簧一端连接固定在斜面底端的挡板C上，另一端连接滑块A。一轻细绳通过斜面顶端的定滑轮（质量忽略不计），一端系在滑块A上，另一端与小球B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住小球B，此时弹簧长度为原长，滑块A刚好要沿斜面向上运动。现在由静止释放小球B，不计轻绳与滑轮间的摩擦。已知mB＝2mA＝2kg，滑块A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10m/s2，弹簧的劲度系数k＝100N/m。若弹簧原长时弹性势能为0，弹簧伸长x时的弹性势能为（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。下列说法正确的是（　　） A．释放小球B前，小球B对手的压力为12N B．滑块A向上滑行0.2m时速度最大 C．当滑块A向上滑行到速度最大时，弹簧对滑块A做功﹣0.5J D．经过足够长的时间，滑块A、小球B都处于静止状态，且弹簧长度为原长 【解答】解：A．释放B球前用手托住球B，弹簧刚好处于原长，设绳子拉力为T，滑块A刚要沿斜面向上运动可知T＝mAgsin37°+μmAgcos37°，可得T＝10N。 对B受力分析，设手的托力为F，则F＝mBg﹣T，解得：F＝10N。 因此手受到B球的压力为10N，故A错误； B．松手时，滑块A做加速度减小的加速运动，当滑块A受到的合力为零时，速度最大，当滑块A加速度为零时，球B的加速度也为零， 对A物体受力分析：F弹+mAgsin37°+μmAgcos37°＝mBg 又F弹＝kx，当k＝100N/m时，解得：x＝0.1m，故B错误； C．松手后到滑块A最大速度时，弹簧对滑块A做功为，解得：W＝﹣0.5J，故C正确； D．滑块A和小球B最终都静止，由平衡条件可知，此时的弹簧应处于伸长状态，故D错误。 故选：C。 4．（2025秋•沙坪坝区校级月考）某场排球比赛中，若不计空气阻力，排球被击出后在空中运动的过程中，下列关于排球加速度大小a、重力势能Ep、机械能E、动能Ek随时间t的变化关系一定正确的是（　　） A．. B．. C．. D． 【解答】解：不计空气阻力，排球被击出后在空中运动的过程中，加速度为重力加速度不变，排球上升则重力势能变大，动能变小，下降则重力势能减小，动能增大，机械能守恒，则机械能不变，故C正确，ABD错误。 故选：C。 5．（2025•辽宁开学）如图所示，轻质弹簧的左端固定，质量为m的物块压缩弹簧后自A点由静止释放，物块离开弹簧后运动到B点静止，已知物块向右运动的最大距离为s，物块与水平地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，则释放物块前弹簧具有的弹性势能为（　　） A． B．μmgs C．2μmgs D．4μmgs 【解答】解：物块克服摩擦力做的功为2μmgs，根据动能定理 得物块在A点的初速度为 根据能量守恒 得弹簧的最大弹性势能为 Epm＝μmgs 故ACD错误，B正确。 故选：B。 6．（2025•大同模拟）一小球在竖直向上的拉力F作用下向上做匀减速运动，某时刻撤去拉力，小球继续上升一段距离后下落，不计空气阻力。下列关于小球上升过程中的速度v，动能Ek和机械能E随上升高度h的变化图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、有拉力F时，根据牛顿第二定律有mg﹣F＝ma 没有拉力F时，根据牛顿第二定律有mg＝ma′ 可知a′＞a 根据速度—位移公式有 则得 可知v﹣h图是曲线，故A错误； B、小球在拉力F作用下向上做匀减速直线运动过程中，根据动能定理有 Ek﹣Ek0＝（F﹣mg）h 则Ek＝（F﹣mg）h+Ek0 Ek﹣h图像的斜率为F﹣mg，斜率为负数； 当撤去F后，在上升过程，由动能定理得 Ek′﹣Ek＝﹣mgh 则Ek′＝﹣mgh+Ek 斜率为﹣mg，撤去F后Ek﹣h图像的斜率绝对值变大，故B错误； CD、小球在拉力F下向上做减速运动，根据功能关系有E＝E0+Fh，可知E﹣h图像为一次函数。当撤去F后，小球机械能守恒，机械能保持不变，图像为平行于h轴的直线，故C错误，D正确。 故选：D。 7．（2025•重庆开学）如图甲所示，半径为R的光滑大圆环固定在竖直面内，小环套在大圆环上，小环由静止开始从大圆环顶端自由下滑至其底部。小环下滑过程中，其向心加速度an随下落高度h变化的图像如图乙所示，则重力加速度大小为（　　） A．2a B． C．a D． 【解答】解：小环从大圆环顶端下滑至其底部的过程，根据机械能守恒定律得 小环的向心加速度大小 结合题图乙可得，解得，故ABC错误，D正确。 故选：D。 8．（2025•山东开学）2025年8月8日至12日，世界机器人大会在北京举办。如图甲所示，分拣机器人到达指定投递口停住后，翻转托盘使托盘倾角缓慢增大，当托盘倾角增大到θ＝37°时，包裹恰好开始下滑。侧视简化图如图乙，下列说法正确的是（　　） A．倾转过程中，包裹的机械能保持不变 B．包裹滑动前，托盘对包裹的作用力大小随倾角θ增大而增大 C．包裹滑动后，继续增大托盘倾角，包裹所受摩擦力将减小 D．包裹滑动后，继续增大托盘倾角，包裹所受摩擦力大于托盘所受摩擦力 【解答】解：A.倾转过程中，包裹的动能不变，重力势能增大，机械能增大，故A错误； B.由于缓慢转动可近似看作匀速运动，因此包裹滑动前，托盘对包裹的作用力大小始终等于包裹的重力，即保持不变，故B错误； C.包裹滑动后，继续增大托盘倾角θ，包裹所受摩擦力f＝μmgcosθ将减小，故C正确； D.包裹滑动后，包裹所受摩擦力与托盘所受摩擦力是一对相互作用力，一定等大反向，故D错误。 故选：C。 9．（2025•长沙校级开学）如图所示，质量均为m的物块A和B用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和轻质滑轮中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，不计滑轮的摩擦，重力加速度为g。在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块B的重力势能的减少量等于物块A的重力势能的增加量 B．物块B的末速度为 C．物块A的速度大小等于物块B的速度大小 D．物块A的速度大小vA与物块B的速度大小vB的关系为：vB＝vAsinθ 【解答】解：A、在物块B下落过程中，对于A、B组成的系统只有重力做功，所以系统机械能守恒，可知物块B的重力势能的减少量等于物块A的重力势能的增加量与物块A、B动能的增加量之和，故A错误； CD、在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ时，设此时物块A的速度大小为vA，物块B的速度大小为vB，将物块B的速度分解为沿绳方向的速度和垂直绳方向的速度，如图所示。 则有vA＝vBsinθ，故CD错误； B、在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ时，物块B下降的高度为h＝Ltanθ 物块A沿斜面上升的距离为 根据系统机械能守恒有 联立可得，故B正确。 故选：B。 10．（2025•浙江开学）小明同学在足球场地进行射门训练，如图为某次射门时打出的香蕉球场景，下列说法正确的是（　　） A．足球从离开脚到落地的过程中机械能守恒 B．研究如何踢出香蕉球时，可以把足球看作质点 C．足球在空中减速运动时，其惯性逐渐减小 D．放气压瘪后的足球，其重心不一定位于足球上 【解答】解：A.足球运动过程，空气阻力有做功，因此机械能并不守恒，故A错误； B.“香蕉球”是球在空中运动时，一边整体运动，一边自身旋转，故不可以看作质点，故B错误； C.惯性仅与质量有关，与速度无关，故C错误； D.物体的重心可以不在物体本身，足球的重心有可能在其中空的位置，故D正确。 故选：D。 11．（2025春•邗江区期末）如图所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，铁球由弹簧的正上方自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧。在铁球下落的过程中，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．下落过程中小球的机械能守恒 B．铁球接触弹簧后，动能一直减小 C．铁球在整个下落过程中，重力势能一直减小 D．铁球接触弹簧后，弹簧弹性势先增大后减小 【解答】解：A、下落过程中小球接触弹簧之前，只有重力做功，小球的机械能守恒；接触弹簧后，弹簧的弹力对小球做负功，则小球的机械能减少，故A错误； B、铁球接触弹簧后，受到重力和弹簧弹力两个力作用，开始阶段重力大于弹力，合力向下，小球向下加速，动能增加；后来当弹力大于重力后，合力向上，小球向下减速，动能减小，所以整个过程中动能先增加后减小，故B错误； C、铁球在整个下落过程中，小球高度一直降低，重力一直做正功，则重力势能一直减小，故C正确； D、铁球接触弹簧后，弹簧一直被压缩，压缩量不断增大，可知弹簧弹性势能一直增大，故D错误。 故选：C。 12．（2025春•河南期末）晓宇在练习投篮时，某次将可视为质点、质量为m的篮球以速度v0从P点抛出，最终在Q点落入篮筐，如图所示。已知篮球离手瞬间距离地面的高度为h，篮筐距离地面的高度为H，重力加速度为g，规定地面为零势能面，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．篮球抛出时的机械能为 B．从P到Q篮球重力做功为mg（H﹣h） C．篮球在Q点的动能为 D．篮球在Q点的机械能为 【解答】解：AD、规定地面为零势能面，则篮球抛出时的机械能为，由于篮球在空中只受重力作用，只有重力做功，其机械能守恒，所以篮球在Q点的机械能等于抛出时的机械能，为，故A错误，D正确； B、从P到Q篮球重力做功为WG＝﹣mg（H﹣h），故B错误； C、篮球在Q点的动能为EkQ＝E﹣mgHmgHmg（H﹣h），故C错误。 故选：D。 13．（2025•乐东县模拟）某同学通过Tracker软件（视频分析和建模工具）研究羽毛球运动轨迹与初速度的关系。如图所示为羽毛球的一条运动轨迹，击球点在坐标原点O，a点为运动轨迹的最高点，下列说法正确的是（　　） A．羽毛球水平方向的运动为匀速直线运动 B．a点羽毛球只受重力 C．羽毛球下降过程处于超重状态 D．羽毛球在空中运动过程中，机械能不断减小 【解答】解：D、根据羽毛球的运动轨迹可知，羽毛球在运动过程中受到空气阻力的作用，而且空气阻力一定对羽毛球做负功，所以羽毛球的机械能不断减小，故D正确； A、空气阻力方向与速度方向相反，则空气阻力一定存在水平方向的分力，所以羽毛球水平方向的运动不是匀速直线运动，故A错误； B、a点羽毛球受到重力和空气阻力作用，故B错误； C、羽毛球下降过程，有向下的分加速度，处于失重状态，故C错误。 故选：D。 14．（2025•重庆模拟）如图所示，一轻质弹簧左端与墙壁相连，且未与水平面接触，弹簧自然伸长时其右端位于O点。施加外力F使物块A（可视为质点）压缩弹簧至P点，已知OP间距离为x0＝0.6m。在O点固定一弹性挡板B，物体A与挡板碰撞后均原速率反弹。现撤去外力F，物块A由静止开始向右运动，并与挡板发生碰撞。已知物块A的质量为m＝1kg，其与水平面间的动摩擦因数μ＝0.3，弹簧劲度系数k＝20N/m，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为，重力加速度g＝10m/s2。经过足够长时间，物块A的位置与O点的距离为（　　） A．0m B．0.15m C．0.3m D．0.6m 【解答】解：物块A滑动过程中受到的滑动摩擦力始终与运动方向相反，大小为f＝μmg＝0.3×1×10N＝3N 撤去F后，滑块向右的运动可视为简谐运动，位于平衡位置时，有kΔx＝f 此时弹簧压缩量Δx＝0.15m 物块A从x0＝0.6m开始运动，经过平衡位置可以运动至O点。设第一次到O点的动能为Ek1，根据能量守恒定律得 解得Ek1＝1.8J 物块A与挡板碰撞原速反弹，向左减速运动至位移为x1时速度为0，根据能量守恒定律得 解得x1＝0.3m 如图所示，此时kx1＞f，则不能静止，物块A向右做简谐运动，由于x1＝0.3m处与点关于平衡位置Δx＝0.15m对称，则刚好运动至O点物块A减速为0（或设第二次到O点的动能为Ek2，根据能量守恒定律有 解得Ek2＝0，即经过足够长时间，物块A的位置与O点的距离为0m，故A正确，BCD错误。 故选：A。 二．解答题（共1小题） 15．（2026•浙江一模）一游戏装置由倾角为θ＝37°直轨道AB、半径为R圆心在O点的竖直螺旋圆轨道、水平轨道BC、CE构成，其竖直截面如图所示，C是圆轨道与水平轨道的切点，B、C、D、E处于同一水平面，各连接处平滑过渡。在D点有一质量为m2的物块与劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧的另一端E连在竖直墙壁上，弹簧处于原长。G为圆轨道上的一点，OG连线与OC夹角α＝60°。开始游戏时从斜面上A点静止释放质量为m1的物块，物块m1与斜面AB间动摩擦因数为μ1，物块m1、m2与轨道DE的动摩擦因数均为μ2，其余接触面均光滑。已知R＝0.5m，m1＝0.2kg，m2＝0.3kg，μ1＝0.125，，两物块均可视为质点，不计空气阻力，简谐运动的周期公式，弹簧弹性势能表达式，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）若AB长L＝2.5m，求从A运动到B的时间； （2）若物块m1从斜面下滑后恰好能过圆最高点H，求过G点时轨道对物块的作用力大小FN； （3）若满足（2）中的条件，物块m1与m2碰撞粘在一起（碰撞时间极短），向右压缩弹簧到最短（弹簧始终在弹性限度内）。 ①求此过程中摩擦力做的功； ②求从粘在一起到弹簧压缩到最短的时间。（结果可保留根式） 【解答】解：（1）在A﹣B过程中，根据牛顿第二定律有m1gsinθ﹣μ1m1gcosθ＝m1a，结合运动学规律，联立解得t＝1s。 （2）恰好通过最高点H时，根据牛顿第二定律有。 由G到H过程，根据动能定理得。 在G点由牛顿第二定律得，联立解得FN＝9N。 （3）①由C到H点，根据动能定理得，解得vC＝5m/s。 碰撞过程动量守恒，有m1vC＝（m1+m2）v，解得碰后共同速度v＝2m/s。 设碰后总质量m＝m1+m2＝0.5kg，从碰后到速度为零，根据能量守恒得，解得xm＝0.2m。 因此摩擦力做功。 ②物体向右运动时受力F＝kx+μ2mg，可视为简谐运动的一部分，由kA＝kxm+μ2mg（A为振幅），解得A＝0.4m。 由于，故从D点到最大位移的时间。 答：（1）从A运动到B的时间为1s。 （2）过G点时轨道对物块的作用力大小为9N。 （3）①此过程中摩擦力做的功为。 ②从粘在一起到弹簧压缩到最短的时间为。 2 学科网（北京）股份有限公司 $