2.4.2 圆的一般方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版 选择性必修 第一册 2.4.2圆的一般方程 第二章 直线和圆的方程 1. 圆的标准方程： 以A(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是 2. 点M0(x0, y0)与圆x2＋y2＝r2的位置关系： 3. 以P1(x1, y1), P2(x2, y2) 为直径端点的圆的方程为 知识回顾 学习目标 1.探索并掌握圆的一般方程； 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化； 3.初步掌握点的轨迹方程的求法,并能简单应用. 问题1：圆的一般方程。 问题2：点的轨迹方程。 自学指导 阅读课本86--87页，完成以下问题： 一般地, 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以变形为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1) 的形式. 反过来, 形如(1)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗? 探究 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D, E, F满足什么条件时, 这个方程表示圆? 因此, 当 时, 方程①表示一个圆, 我们把方程①叫做圆的一般方程. 注意： 任何一个圆的方程都可以写成： 1. 是关于x、y的二元二次方程，x2 和 y2 的系数相同且不为0; 2. 没有xy这样的二次项. r M x A(a,b) O y • • (x,y) 方程的特点: 教师点拨 圆的一般方程 小组互助 练习 若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则k的取值范围是(　　) A.k>1 B.k<1 C.k≥1 D.k≤1 B 解：(1) 圆心坐标为(3, 0), 半径长为3； (2) 圆心坐标为(0, -b), 半径长为|b|； 1. 求下列各圆的圆心坐标和半径: 课本P88 例1 判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心坐标和半径: (1)3x2+y2+2x+1=0; (2)x2+y2+xy+1=0; (3)x2+y2+x+2y+1=0; (4)x2+y2-4mx+2my+20m-20=0. 小组互助 小组互助 变式1 （1）方程 Ax2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线为圆，则有（ ） A.A=F B.D2+E2-4AF<0 C.A=1，且D2+E2-4F>0 D.A=1，且D2+E2-4F≥0 （2）已知点(1,1)在圆x2+y2-ax-2y+4=0的内部,求a的取值范围. C 解：(1) 方程表示一个点(0, 0)； 2. 判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由: 课本P88 (2) 方程表示圆心坐标为(1, -2), 半径长为 的圆； 例2 求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标. 小组互助 求圆的方程常用待定系数法, 其大致步骤是: (1) 根据题意, 选择标准方程或一般方程; (2) 根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组; (3) 解出a, b, r或D, E, F, 得到标准方程或一般方程. 教师点拨 变式2 已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC外接圆的方程. 小组互助 x2+y2-8x-2y+12=0 (x-4)2+(y-1)2=5 教师点拨 求圆的方程的方法 一般地，求圆的方程有两种方法： (1) 待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程，根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组，求系数 . (2) 几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解 . 常用的性质是圆的弦的垂直平分线必过圆心. 圆的标准方程： 圆的一般方程： 利用待定系数法求圆的方程，对于由已知条件容易求出圆心坐标或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程. 3.如图, 在四边形ABCD中, AB=6, CD=3, 且AB//CD, AD=BC, AB与CD间的距离为3. 求等腰梯形ABCD的外接圆的方程, 并求这个圆的圆心坐标和半径. • A B D C -3 x O y 3 3 课本P88 小组互助 例3（教材89页第10题） 在平面直角坐标系中, 如果点P的坐标(x, y)满足 证明: 点P的轨迹是圆心为(a, b), 半径为r的圆. 方程特征：直接体现了圆上点的坐标x, y的间接关系, 体现了变元(改变变量形式)和换元思想. 圆心为(a, b), 半径为r 的圆 的参数方程为： 特别地, 圆心为(0, 0), 半径为r 的圆 的参数方程为： 教师点拨 圆的参数方程 教师点拨 轨迹方程 点M的轨迹方程是指点M的坐标(x, y)满足的关系式. 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形. 在解析几何中, 我们常常把图形看作点的轨迹(集合). 求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程. 小组互助 练习 已知定点A(2,2),动点M(x,y)满足|MA|=1,则点M的轨迹方程是　 .   (x-2)2+(y-2)2=1 例4 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动, 求线段AB的中点M的轨迹方程. • x O y A • • B(4,3) • M 1 3 4 (相关点代入法) (参数法) 小组互助 变式3 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,点M在直线AB上, 且满足 求点M的轨迹方程. • x O y A • • B(4,3) • M 1 3 4 小组互助 小组互助 例5:已知直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点C的轨迹方程; (2)直角边BC中点M的轨迹方程. 小组互助 变式4 已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半. (1)求动点M的轨迹方程; (2)若N为线段AM的中点,求点N的轨迹. 1. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为： 方程特征：明确给出了圆的大小（半径）和圆的位置（圆心）. ---几何特征 . 2. 圆的一般方程为： 方程特征：突出了圆方程形式上的特点. 3. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的参数方程为： 方程特征：直接体现了圆上点的坐标x、y的间接关系. ----代数特征 . 4.以M(x1, y1)、 N(x2, y2)为直径端点的圆的方程是: (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2) = 0 课后反思 课后作业 完成课后训练P.35 (4,+∞) $