1.3正方形的性质与判定教学设计2025-2026学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦正方形的概念、性质与判定，通过复习平行四边形、矩形、菱形的边、角、对角线及对称性性质，结合“既是菱形又是矩形的四边形”设问，搭建旧知与新知的学习支架，自然引入新课。 以折纸实验为主线，通过菱形纸片剪矩形、矩形纸折叠剪正方形等操作，引导学生自主发现正方形判定方法，结合集合关系图梳理与特殊平行四边形的联系。体现几何直观、数学抽象核心素养，培养学生探究意识与动手能力，为教师提供可操作的实验教学方案，高效突破重难点。

正方形的性质与判定 题目 正方形的性质与判定 第 1课时 内容和内容解析 内容 掌握正方形的概念，知道正方形的性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算。 内容解析 学生知识基础：学生已经较为系统的学习了平行四边形、矩形、菱形的基本性质与判定,已经具有了四边形的基本认知与知识结构,这些已有的认知结构可以迁移到正方形的学习中来 学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了一些对四边形探索的具体方法,并能解决一些简单的现实问题,感受到数学信息的收集和处理的必要性和作用,获得了从事探究活动所必须的一些数学活动经验的基础;同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。 学情分析 《正方形》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，并且具备有初步的观察、操作等活动经验的基础上出现的。目的在于让学生通过探索正方形的性质及判定，进一步学习、掌握说理和进行简单推理的数学方法。这一节课既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形进行综合的不可缺少的重要环节。 目标和目标解析 目标 1. 掌握正方形的概念、性质,并会用它们进行有关的论证和计算。 2. 探索并证明正方形的判定定理。 3. 理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。 目标解析 1. 理解正方形与矩形、菱形的关系，会识别正方形； 2. 以折纸为主线，以几何直观的方式，探索各种正方形的识别方法； 3. 经历探索四边形成为正方形的条件的过程，培养学生直观想象、数学抽象的能力，以及动手操作的能力和主动探究的意识。 教学重点 探索正方形的判定方法； 教学难点 能运用正方形的性质、判定解决有关问题。 教学方法分析 基于本节课内容的特点和学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择动手操作法、讨论法和总结法相结合。与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围。在引导学生进行观察分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用实物、多媒体进行演示，增强直观性，提高教学效率，激发学生的学习兴趣。 教学过程设计 教师活动与任务设计 学生学习活动与任务解决 设计意图或评 价目标 环节一 任务1：复习引入 【导入】第一环节：复习引入导入】 1.叙述几种特殊的平行四边形、矩形、菱形的性质: 边 角 对角线 对称性 平行四边形 矩形 菱形 2.矩形、菱形的定义。 3.提问:有没有一种四边形既是菱形又是矩形呢? 以此引入新课 活动目的:通过纵向复习平行四边形、矩形、菱形的性质,为本节的学习做好准备。同时让学生知道研究一个图形性质从四个方面进行,即边、角、对角线、对称性四个方面。本节研究正方形性质也从这四个方面进行,为本节学习做好铺垫。 环节二 任务2：自主探究 问题1:菱形怎样变化后就成了正方形呢? 教师拿出提前制作好的菱形纸片,请同学在这个获得菱形的任意直角三角形的基础上，剪一刀而得到的展开图是矩形？并说说你的依据。（学生思考，将图形折回初始的三角形，进行修正。） 生 1：我发现了这个直角三角形的两条直角边是展开图对角线的一半，所以我使剪下的三角形的两直角边相等，从而对角线相等，所以在平行四边形的前提下，它是一个矩形。 生 2：使剪下的三角形的一个底角为 45°，从而有一个角为 90°，所以它是一个矩形。 师：现在观察你们剪好的图形，它既是菱形、又是矩形，这个图形你熟悉吗？ 生：它是一个正方形！ 师：好。正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角。回顾刚才剪纸的过程，我们如何得到正方形的？ 生：使这个四边形既是菱形，又是矩形。 归纳：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。 问题2： 除了刚才的方法外，怎样将一张矩形纸通过适当折叠后，一刀剪出正方形？ 生：对折使得两边重合，截掉其余部分，得到正方形。 生总结：对折后，有三个角是直角，因此它是矩形。边重合，说明平行四边形邻边相等，因此它是菱形。这个四边形既是矩形又是菱形，所以它是正方形。 教师结合集合关系图再次总结正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系。 归纳：证明一个四边形是正方形时，可以先判定这个四边形是菱形、再判断它是矩形；也可以先判定这个四边形是矩形，再判定它是菱形。 问题 3：如果现在让你判定正方形，你想怎么判定？ 教师设置填空帮助学生归类： 1. ___________的菱形是正方形； 2. ___________的矩形是正方形； 3. ___________的平行四边形是正方形； 4. ___________的四边形是正方形；...... 生 1：有一个角是直角（或对角线相等）的菱形是正方形； 生 2：有一组邻边相等（或对角线互相垂直）的矩形是正方形； 生 3：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； 生 4：既是矩形又是菱形的四边形是正方形； 生 5：有三个角是直角且四边相等的四边形 ...... 归纳：判定一个四边形是正方形的方法较多，但本质上都能总结为既能判定一个四边形是矩形，又能判定这个四边形是菱形，这也是今后我们判定正方形的方法。 设计意图：学生在菱形的基础上剪矩形的过程中“偶然”发现了正方形，得出既是菱形又是矩形的四边形是正方形的判定。通过设置数学剪纸实验让学生进行独立的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，印象深刻，突 出了教学重点。同时也培养了学生动手实践能力，以及观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力。 设计意图：学生熟悉如何折出一个正方形，所以回答问题 3 的作法并不困 难。通过对生活中常见问题的数学解释，使学生深刻体会到数学来源于生活，又服务于生活，再一次直观感受到判定正方形的依据——矩形且菱形，进一步体会推理的过程，感受数学的生动和严谨。 （设计意图：书本没有完全列举正方形的判定方法，基于此，这里让学生 自主思考，针对正方形的判定要素进行总结，培养学生的严谨思维和创新能力。 任务3：合作探究 问题4： 1.以小组合作探究:正方形有什么性质?由学生完成下表: 正方形的性质 边 角 对角线 对称性 文字语言 符号语言 2.归纳总结: 由正方形的判定可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质. 归纳、总结正方形的性质: 因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形,所以它具有这些图形性质的综合,引导学生从角、边、对角线、对称性上归纳总结。 正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等。 正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 3.正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系? 活动目的:通过让学生对手中的正方形纸片观察、度量、折叠等操作,从边、角、对角线、对称性四个方面 探究正方形性质。 任务4：性质应用 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 使学生对通过自己的实践总结得到的关于正方形的性质能够熟练运用、解决具体问题。 课堂小结 盘点你的收获？ 一是要通过此环节对学过的知识进行回顾,并且进行再加工,内化为自己的数学品质。 板书设计 1.3正方形的性质与判定 一、正方形的定义 二、正方形的判定 例1 三、正方形的性质 反思 本节以三个折纸活动为主线，以正方形与特殊四边形的关系为核心，通过几 何直观的方式串联各种正方形的识别方法。设计思路的过程如下： 第一个实验是一刀剪出菱形，这是已学内容，为下个实验做好铺垫。 第二个实验由北师大课本的实验引入得到启示：实际上这个过程就是控制展 开图既是菱形又是矩形。于是教师分散难点，将实验过程分成了两步：先剪菱形， 后剪矩形，学生展开后“意外”发现得到了一个新的特殊图形：正方形。将原题中已知图形改为未知图形，学生在操作的过程中自主发现并总结得到正方形的方 法，真正成为了学习的主人，提高了学习数学的兴趣。 第三个实验由人教版课后的剪正方形纸片的练习得到启示：这个生活中常见 的操作同样也体现了既是矩形又是菱形的四边形是正方形。由于学生对生活中的 折纸只停留在感性的认识，所以这里设计问题：为什么得到的是正方形？利用学 习的数学知识解释了实验操作的合理性，是对正方形判定的二次推理和应用，体现了数学来源于生活又应用于生活，提升学生数学学习的成就感和应用数学的意识。 学生通过数学折纸活动进行实验探索，亲身体验得到正方形的操作过程，进而总结正方形的判定方法。在这个过程中，教师只是为学生提供“做中学”、“想中学”、“动中学”空间的引导者，学生作为学习的主体在自主操作和探究中体验到发现与收获，既加深了学生对正方形判定的认识，又培养了学生的直观想象、数学抽象的能力，有效突破了本节课的重难点。这一节课将数学实验与数学理论 有效结合，相辅相成，体现了数学的严谨思维和灵巧生动。 学科网（北京）股份有限公司 $