精品解析：　辽宁省庄河市2019-2020学年九年级上学期期末学业质量检测数学试题

2019——2020学年度第一学期学业质量检测初中九年级数学试卷 注意事项： 1．请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 2．本试卷满分150分．考试时间120分钟． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列标志既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A.     B.     C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 3. 关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，点、分别是、上两点，且，若，，，则的长是( ) A. 4 B. 5 C. D. 5. 一根排水管的横截面如图所示．已知排水管的横截面圆的半径，圆心O到水面的距离是3，则水面的宽是（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 3 6. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球．两次摸出的小球标号之和为5的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某公司2018年10月份生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元．若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是（ ） A. 12% B. 9% C. 6% D. 5% 8. 的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（ ） A. 3 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（　　） A. B. 6 C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（ ） A. 3 B. −3 C. −4 D. −5 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若两个相似多边形的周长的比是，则它们的面积比为__． 12. 已知关于的方程的一个根是1，则_____． 13. 飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行__________m才能停下来． 14. 阅读下面古诗，通过列方程式，可算出周瑜去世时的年龄． 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？设周瑜逝世时的年龄的个位数为x，根据题意可列方程为________________． 15. 如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为_____． 16. 如图，正方形中，点、分别在、边上，连接、交于点，，，，则_____________． 三、解答题（本题共4小题，其中17题10分、18、19小题各9分，第20题11分，共39分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，中，，，，E是上一点，，，垂足为D，求长． 19. 如图，点，点的坐标分别为，，将线段绕点沿逆时针旋转，设点旋转后的对应点是点，求点的坐标． 20. 某中学开展“国庆70周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生观看阅兵盛典收视情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图． （1）被调查初中生的人数为 人； （2）把条形统计图补充完整； （3）若该学校有学生1000人，请估计该校没观看阅兵盛典学生人数？ （4）某班级3名同学都观看了阅兵盛典，1人完整看完，1人看一多半，一人看一少半，要从这3人中任选2人写观后感在班级交流，请用列表法或画树形图法求选出的2人恰好1人全看完，1人看一多半的概率． 四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22题9分，23题各10分，共28分） 21. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，据查全国最高毛主席铜像竖在济宁邹城小村，全身净高约12米，若按上述比例设计，毛主席铜像的下部应设计为多高？（结果保留小数点后两位） 22. 如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4 m处（即）达到最高点，最高点高3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？ 23. 如图，四边形内接于，是的直径，，于点，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分） 24. 如图，在中，，，，点、分别在、点与点，不重合且，以、为邻边作平行四边形，设长为，平行四边形与重叠部分的面积为． （1）求为何值时，点落在边上； （2）求S关于的函数解析式，并写出的取值范围． 25 阅读下列材料： 数学课上，老师出示了这样一个问题： 如图1．在中，，，，探究线段、的数量关系，并证明． 某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法： 小伟：“通过观察和度量，发现与图1中某个角存在相等关系；” 小诺：“通过二倍角关系，可以构造与相似的三角形得到相关线段比例关系；” 小雪：“哦！明白了，可以继续通过证明三角形全等，得到与线段相等的线段，进而得到线段、的数量关系．” ．．．．．． 请回答： （1）直接写出与相等的角 ； （2）探究线段、的数量关系，并证明； （3）参考上述思考问题的方法或用其它的方法，解答下列问题：如图2：中，，点、分别在、上，且，求的值（用含、的式子表示）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，直线与轴相交于点，与的平分线相交于点，直线的解析式为，． （1）直接写出点坐标； （2）若点在此抛物线上，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，把抛物线的图象绕点旋转，得到相关抛物线图象，图象的对称轴与x轴交点坐标为，当时，函数最大值为，最小值为，且，求的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2019——2020学年度第一学期学业质量检测初中九年级数学试卷 注意事项： 1．请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 2．本试卷满分150分．考试时间120分钟． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列标志既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A.     B.     C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故A选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 3. 关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有实数根求参数以及解一元一次不等式，根据即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选∶B． 4. 如图，中，点、分别是、上两点，且，若，，，则的长是( ) A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ， 故选：C． 5. 一根排水管的横截面如图所示．已知排水管的横截面圆的半径，圆心O到水面的距离是3，则水面的宽是（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据垂径定理得出，再根据勾股定理求出的长，进而可得出答案． 【详解】解：∵截面圆圆心O到水面的距离OC是3， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，根据垂径定理得出． 6. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球．两次摸出的小球标号之和为5的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率．根据题意画出树状图或列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球标号之和为5的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意列表如下： 1 2 3 1 3 4 2 3 5 3 4 5 共有6种等可能的情况数，其中两次摸出的小球标号之和为5的有2种， 则两次摸出的小球标号之和为5的概率是； 故选：C． 7. 某公司2018年10月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元．若该公司这两月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是（ ） A. 12% B. 9% C. 6% D. 5% 【答案】D 【解析】 【分析】设每个月生产成本的下降率为x，根据该公司10月份及12月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】设每个月生产成本的下降率为x， 根据题意得：400（1-x）2=361， 解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（舍去）． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（ ） A. 3 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为，依题意， ． 解得． 故选：D． 9. 如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（　　） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先，利用等边三角形的性质求得AD=3；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知△ADE为等边三角形，则DE=AD． 【详解】∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点， ∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°， ∴AD=ABcos30°=6×=3． 根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE， ∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=60°， ∴△ADE的等边三角形， ∴DE=AD=3， 即线段DE的长度为3． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 10. 如图，抛物线与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（ ） A. 3 B. −3 C. −4 D. −5 【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系可得：x1+x2=4，x1•x2=-k，所以（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=16+4k，AB的长度即两个根的差的绝对值，利用以上条件代入化简即可得到k的值． 【详解】设方程0=-x2-4x+c的两个根为x1和x2， ∴x1+x2=4，x1•x2=-c， ∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=16+4c， ∵AB的长度即两个根的差的绝对值，即：， 又∵AB=2 ∴=2， 解得，k=-3. 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系以及二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若两个相似多边形的周长的比是，则它们的面积比为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解答本题的关键． 根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵相似多边形的周长的比是， ∴相似比是， ∴面积比为． 故答案为：． 12. 已知关于的方程的一个根是1，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程；分和分别讨论，即可求解． 【详解】解：当时，， 可得：，符合题意， 当时，方程是一元二次方程， 把代入得， ∴， ∴ 解得：（舍去）或， 综上所述，或 故答案为：或． 13. 飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行__________m才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式，求出s取得最大值即可． 【详解】解：， 因为， 所以s的最大值为， 故答案为：． 14. 阅读下面古诗，通过列方程式，可算出周瑜去世时的年龄． 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？设周瑜逝世时的年龄的个位数为x，根据题意可列方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论． 【详解】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为．由题意得： ． 故答案为：． 15. 如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为_____． 【答案】. 【解析】 【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，再由AD=AB可得出△ABD是等边三角形，则DE=AD，∠ODE=∠ADB=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】连接BD，作OE⊥AD，连接OD， ∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°， ∴∠BAD=60°． ∵AD=AB=2， ∴△ABD是等边三角形． ∴DE=AD=1，∠ODE=∠ADB=30°， ∴OD==． 故答案为. 【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键． 16. 如图，正方形中，点、分别在、边上，连接、交于点，，，，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，在上取点，使得，结合已知得出，设，，证明得出，在中，，得出，进而联立解方程，得出的值，即可求解． 【详解】解：如图，在上取点，使得， ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ 设，， ∵，， ∴，即 ∴① ∴ 在中， ∴② 将①代入②得， 解得：或（舍去） ∴ 即， 故答案为：． 三、解答题（本题共4小题，其中17题10分、18、19小题各9分，第20题11分，共39分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法得出，进而解两个一元一次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 即， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ， ∴或 ， 解得：． 18. 如图，中，，，，E是上一点，，，垂足为D，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．先根据勾股定理求出，通过证明，得出即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：． 19. 如图，点，点的坐标分别为，，将线段绕点沿逆时针旋转，设点旋转后的对应点是点，求点的坐标． 【答案】的坐标为 【解析】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；如图，作轴于，证明得到，，然后写出的坐标． 【详解】如图，作轴于． 、， ，， 线段绕点沿逆时针旋转得， ，且， 而， ， 又∵， ， ，， ， 的坐标为． 20. 某中学开展“国庆70周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生观看阅兵盛典的收视情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图． （1）被调查初中生的人数为 人； （2）把条形统计图补充完整； （3）若该学校有学生1000人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？ （4）某班级3名同学都观看了阅兵盛典，1人完整看完，1人看一多半，一人看一少半，要从这3人中任选2人写观后感在班级交流，请用列表法或画树形图法求选出2人恰好1人全看完，1人看一多半的概率． 【答案】（1） （2）见解析 （3）估计该校没观看阅兵盛典的学生人数为人 （4） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息关联，样本估计总体，画树状图法求概率； （1）由“看完整”的人数及其所占百分比可得被调查初中生的人数， （2）用总人数减去其它类型人数求得“看一多半”的人数，据此补全图形即可； （3）用总人数乘以样本中“没看”人数所占百分比可得； （4）设甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半，根据画树状图法即可求得结果． 【小问1详解】 解：被调查初中生的人数为：（人） 故答案为：． 【小问2详解】 “看一多半”的人数为：（人） 补全条形图如下： 【小问3详解】 （人） 答：估计该校没观看阅兵盛典的学生人数为人； 【小问4详解】 解：设甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半 共有种等可能结果，其中恰好1人全看完，1人看一多半的有种， ∴恰好1人全看完，1人看一多半的概率为 四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22题9分，23题各10分，共28分） 21. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，据查全国最高毛主席铜像竖在济宁邹城小村，全身净高约12米，若按上述比例设计，毛主席铜像的下部应设计为多高？（结果保留小数点后两位） 【答案】毛主席铜像的下部应设计为7.42米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设毛主席铜像的下部应设计为x米，则上部长度为米，根据“雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比”建立方程求解． 【详解】解：设毛主席铜像的下部应设计为x米，依题意得， 解得： （舍）， 所以， 答：毛主席铜像的下部应设计为7.42米． 22. 如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时球离地面约球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4 m处（即）达到最高点，最高点高3m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？ 【答案】该运动员的成绩是 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数的解析式和实际问题与二次函数图像的关系是解决此题的关键，根据题意可知：点A的坐标为，顶点D的坐标为，设此二次函数的解析式为，将点A的坐标代入解析式中，即可求出二次函数的解析式，然后将代入解析式中，即可求出运动员的成绩． 【详解】解：根据题意可知：点A的坐标为，顶点D的坐标为， 设此二次函数的解析式为， 将点A的坐标代入解析式中，得 解得：， ∴此二次函数的解析式为 将代入解析式中，得 解得：（不符合题意，舍去） 即该运动员的成绩是． 23. 如图，四边形内接于，是的直径，，于点，与交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，弧与圆心角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接、，根据得出，根据圆周角定理可得，进而证明，根据已知可得，即可得证； （2）勾股定理求得，根据，证明，根据相似三角形的性质求得，进而求得的长，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接、 ， ∴， ， ， ， ， 于点， ， ， 是的切线． 【小问2详解】 解：设的半径为 ，， ， ， ∴， ∴， 即， 解得：， ， ． 五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分） 24. 如图，在中，，，，点、分别在、点与点，不重合且，以、为邻边作平行四边形，设长为，平行四边形与重叠部分的面积为． （1）求为何值时，点落在边上； （2）求S关于函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）在中，勾股定理求得，根据题意得出四边形是矩形，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）根据（1）的结论，分两种情况讨论，，，根据相似三角形的性质求得相应的边长，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：中，，，， ∴， 如图，当落在边上， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：； 【小问2详解】 情况1：当时，在的内部，如图，过点作于点， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 情况2：时，如图，在的外部，设交于点 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 综上所述： 25. 阅读下列材料： 数学课上，老师出示了这样一个问题： 如图1．在中，，，，探究线段、的数量关系，并证明． 某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法： 小伟：“通过观察和度量，发现与图1中某个角存在相等关系；” 小诺：“通过二倍角关系，可以构造与相似的三角形得到相关线段比例关系；” 小雪：“哦！明白了，可以继续通过证明三角形全等，得到与线段相等的线段，进而得到线段、的数量关系．” ．．．．．． 请回答： （1）直接写出与相等的角 ； （2）探究线段、的数量关系，并证明； （3）参考上述思考问题的方法或用其它的方法，解答下列问题：如图2：中，，点、分别在、上，且，求的值（用含、的式子表示）． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质； （1）根据题意得出； （2）作与的延长线交于点，证明，得出，，证明，得出，代入比例式，即可求解； （3）连接延长至，使，连接，则，证明，即可求解． 【小问1详解】 解：通过观察和度量，发现． 故答案为：． 【小问2详解】 ，证明如下， 如图所示，作与的延长线交于点， 设， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，， 又∵ ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵， ． ． 【小问3详解】 连接延长至，使，连接， 则， 又∵， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，． ∴． 在与中 ． ∴ ． ∴． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，直线与轴相交于点，与的平分线相交于点，直线的解析式为，． （1）直接写出点坐标； （2）若点在此抛物线上，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，把抛物线的图象绕点旋转，得到相关抛物线图象，图象的对称轴与x轴交点坐标为，当时，函数最大值为，最小值为，且，求的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的性质与判定，旋转的性质； （1）对于直线，令，得出，即可得出点的坐标； （2）先证明，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明得出的坐标，进而利用待定系数法求解析式，即可求解； （3）根据（2）的解析式，可得的顶点坐标为：，当时，随的增大而增大，进而根据题意得出，对称轴为直线，根据时，函数最大值为，最小值为，得出，，根据，解方程得出，进而求得的顶点坐标为：，代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线：与轴相交于点， 当时，，解得， ∴； 小问2详解】 解;∵直线与轴相交于点，与的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 将点，代入得 ， 解得：， ∴ 【小问3详解】 解：∵ ∴的顶点坐标为：，当时，随的增大而增大， ∵把抛物线的图象绕点旋转，得到相关抛物线图象， ∴的顶点坐标为：， ∴，对称轴为直线， ∵图象对称轴与x轴交点坐标为， ∴，则的顶点坐标为：， 当时，函数最大值为，最小值为， ∴，，， ∵ ∴ 解得：（舍去）或 ∴的顶点坐标为： ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $