22.3 实际问题与二次函数 教学设计2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦实际问题与二次函数的面积最值，通过复习二次函数在全体实数范围内的最值求法，衔接旧知，为分析实际问题中自变量取值范围及最值奠定基础，构建知识支架。 以变式训练与数形结合为特色，从矩形篱笆到广告牌设计实例，引导学生抽象函数模型（数学眼光），结合图像分析自变量范围与最值关系（数学思维），解决实际问题（数学语言），提升建模与应用能力，助力教师突破重难点，提高教学效率。

课题名称 22.3实际问题与二次函数-面积问题 课时 1 课标分析 课标要求：会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的取值范围，能解决相应的实际问题。 课表分解： 学什么：借助二次函数图像研究二次函数的最小、最大值问题，利用顶点处取得最值或应用函数的增减性解决图形面积的实际问题。 学到什么程度：（1）会求二次函数的最小或最大值。 （2）能从实际问题中抽象出二次函数，并运用二次函数及性质解决最大或最小值的实际问题。 3.怎样学：通过具体问题的探究，引导学生用适当的函数分析问题和解决问题，在解决问题的过程中，将数字模型的思想逐步细化，体会用函数的观点解决面积问题的作用，并体验建立函数模型的过程和方法。 内容与学情分析 内容分析 “二次函数”这一章是初中阶段函数知识的重点内容之一，是正比例函数、一次函数、反比例函数的深化和提高，又是今后学习其它函数的基础，这部分内容有着承上启下的作用。本节课位于22.3实际问题与二次函数，主要内容为运用二次函数解决图形面积最值问题以及简单的生活问题。让学生学会用建模的思想去解决和函数有关的应用问题。在最值问题中，分析自变量的取值范围，准确求得符合实际问题的最值是难点，这节课通过结合图像，根据函数的增减性，数形结合突破此难点。 学习重点 从实际问题中抽象出二次函数，并运用二次函数的性质解决面积问题。 学习难点 结合具体问题分析出自变量的取值范围，准确求出符合实际问题的最值。 学情分析 学生已经学习了二次函数的定义、图像和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础。但运用二次函数的知识解决实际问题，要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对于学生来说，要完成这一过程难度较大。 单 元 学习 目标 1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2. 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式。化为顶点式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，能说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单的实际问题。 学习 策略 合作学习、探究式。 学习 环节 学习任务、活动 设计意图 落实素养 活动一： 复习 巩固 教师提出问题： 在全体实数范围内如何求出二次函数 y = a + bx + c 的最小（大）值？ 学生思考后用不同的方法解答。教师总结后，引入新课。 复习旧知，为本节课做准备。 活动二 探究 新知 例1. 用总长为60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？最大面积是多少？ l 教师分析：矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，说明S是l的函数。 学生活动：尝试列出解析式 教师分析：引导学生分析并求得自变量的取值范围，质疑：在0< l<30内，S是否依然在顶点处取得最值？通过结合抛物线草图，分析对称轴与取值范围的关系确定在顶点处取得最值。 师生活动：共同完成板书，强调数形结合确定最值得的重要方法。 答案解析： 解：∵矩形场地的周长是60m,一边长为 l m ∴另一边长为 ( 30- l ) m. ∴ S= l (30-l)=-l2+30l(0< l<30) ∵对称轴为直线l=15 且a<0 ∴ 当 l =15时,S取得最大值， S大=15 x（30-15）=225 即:当 l是15m时，场地的面积S最大， 最大面积为225㎡. 变式： 用总长为60m的篱笆围成一个矩形 场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而 变化.根据实际需要，l至少为另一边的 2倍，那么当l是多少米时，场地的面积S 最大？最大面积是多少？ 教师总结，课件展示：二次函数的最值，不 一定都取图象顶点处。要根据自变量的取值范围确定。 训练学生自主完成解析式的建立，分析实际问题中自变量的限制条件，初步认识画最简略抛物线草图解决最值问题的方法，为下面变式打下基础，同时也埋下伏笔。 引导学生准确求出自变量的取值范围，发现对称轴不在自变量取值范围内，最值在图像端点取得，再次感受自变量取值范围在实际问题中的作用和数形结合方法的重要性。 活动三 解决问题 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S()。 (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用。 师生活动：学生自主完成，一名成绩较好的同学分析：怎样能获取最多的设计费 通过最值问题解决生活中的实际问题，提高学生分析问题，解决问题的能力。 问题拓展：(3)如果要求x不超过2.5米，设计费最多为多少呢？ 学生自主完成，教师纠错 答案解析： (3) 由（1）知： S=x(6-x) =-+6x ∵x不超过2.5米 ∴ 0< x ≤2.5 ∵对称轴为直线x =− = 3 且a<0,抛物线开口向下 ∴当 0 <x ≤2.5时，S随x的增大而增大 ∴当x =2.5 时,S取得最大值，S大=2.5x3.5=8.75 此时设计费最多，为：8.75x1000=8750元 通过最值问题解决生活中的实际问题，提高学生分析问题，解决问题的能力。 改变自变量的限制条件，锻炼学生准确求出符合实际问题的最值。 作 业 内 容 质 量 评 价 设计意图 落实素养 教学反思及提升措施 教学过程中，应强调学生自主探索和合作交流，提高计算能力和基本画图能力。数形结合是学好函数的重要法宝，在本节的面积最值问题和后面的利润问题中有很重要的应用，而自变量的取值范围对二次函数最值得取得起着关键的作用，实际做题过程中，学生容易忽略，教师要引导学生分析题目隐含的限制条件。本节主要通过例题和生活问题的原题和变式进行对比学习和训练，提高学生分析问题的能力，让学生同中求异，异中求同，掌握正确的方法求得正确的最值。 板书设计 22.3实际问题与二次函数 学科网（北京）股份有限公司 $