精品解析：河北省衡水市阜城县阜城实验中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

高三数学九月月考试卷 一、单选题 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对集合和化为统一的形式，再进行比较. 【详解】解： 对于集合：， 对于集合：， 是奇数，是整数， 故选： 【点睛】本题考查集合之间的关系，属于基础题. 2. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】. 当且仅当，即时取等号. 故选：B 3. 关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（ ） A. B C. 关于的一元二次不等式的解集为 D. 关于的一元二次不等式的解集为或 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得的解为或，，然后由韦达定理可得关系，可判断各选项正误. 【详解】因的解集为，则，故A正确； 对于B，由题可得的解为或，由韦达定理：，，则，故B正确； 对于C，关于的一元二次不等式可化为：，故C正确； 对于D，关于的一元二次不等式可化为： 或，故D错误. 故选：D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断. 【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD； 当时，，排除C，故A正确. 故选：A 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则求导后判断. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 6. 将函数的图象向左平移（）个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过平移法则得新函数解析式为，根据对称中心列方程得，由即可求解. 【详解】函数的图象平移后得到，其图象关于点对称， 那么，所以，又，所以m的最小值为. 故选：C 7. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为 C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质判断A、B；再由图象平移写出，结合奇函数性质及整体法求区间单调性判断C、D. 【详解】由题意得， 则的最小正周期，最大值为2，故A，B错误； 将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象， 所以，定义域为R，但，故C错误； 令，得， 因为，所以函数在区间上单调递增，故D正确， 故选：D 8. 若函数满足且时，；函数，则，零点的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用周期作出的函数图象，根据与的图象交点个数得出的零点个数． 【详解】函数满足， 故函数是周期等于2的周期函数． 令，所以， 作出与的函数图象如图所示： 由图象可得和在，上有8个交点， 在，上有8个零点． 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的零点的个数的判断，考查数形结合的数学思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、多选题 9. 下列命题为真命题的是（　　） A. 当时， B. C. “”的充要条件是“” D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】A举反例；B化简得即可判断；C分、、结合不等式的性质可得；D举例即可. 【详解】当时，，， 显然当时，，故A错误； 化简方程得，故当时方程成立，故B正确； 当时，由不等式的性质可知其充要条件为； 当时，，其充要条件为，即， 即； 若，其充要条件为，故C正确； 当时，满足，但不满足； 若，则必有，故D正确 故选：BCD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 函数是对数函数 B. 函数在上单调递增 C. 若，则 D. 函数且的图象必过定点（） 【答案】BCD 【解析】 【分析】由对数函数的定义判断A；直接根据对数函数的单调性判断B；先根据对数函数的单调性可得，再结合幂函数的性质判断C；根据指数函数的定点求解判断D. 【详解】由对数函数的定义知，故A错误； 当时，因为，所以在上单调递增，故B正确； 因为在上单调递增，所以当时，有， 又在上单调递增，所以，故C正确； 因为指数函数（且）的图象恒过点， 令，得，此时， 所以原函数的图象必过定点，故D正确． 故选：BCD. 11. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 关于中心对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，令得或，令得，结合求得；对B，令，结合利用偶函数定义判断；对C，令得，即可判断；对D，由B、C的解析可得函数的周期为4，从而可判断D. 【详解】对于A，令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故，故A正确； 对于B，令，得，即， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故B错误； 对于C，由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数关于中心对称，故C正确； 对于D，因为为偶函数，所以， 又由C选项得，即，得， 所以，故函数的周期为4， 因为， 所以一个周期的和为， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意有方程只有一个解或方程化为一元一次方程，分类讨论即可. 【详解】由有， 当方程只有一个解时，， 当方程化为一元一次方程，由，所以或， 所以. 故答案为：. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为； 由，得得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得． 故答案为：2． 14. 已知函数且满足则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】函数有意义，由，解得， 即的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 且， 函数和都是上的增函数，所以为上的增函数， 由，得， 则有，解得， 同时有，解得， 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数（为常数，）． （1）当取何值时，函数为奇函数； （2）当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义直接构造方程求解即可； （2）根据指数函数和对勾函数单调性可求得，令，将问题转化方程在上有根，结合单调性可求得结果. 【小问1详解】 若为奇函数，则， 即， ，，，解得：. 【小问2详解】 当时，，， ， 当时，，又在上单调递增， 当时，， 令，则方程在上有实根， 在上有实根，又在上单调递增， ，. 16. 已知关于的不等式. （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围. （2）在（1）的条件下，解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，按或分类讨论，列式求出的取值范围. （2）根据（1）中的取值范围可得到不等式对应方程的根的大小，进而求出不等式的解集. 【小问1详解】 关于不等式恒成立， 则当时，原不等式为恒成立； 当时，，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 不等式化为， 由（1）知，，则，解得， 所以原不等式的解集为. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，求导得，根据导数的几何意义，得到切线方程的斜率，再结合切线方程过定点得到切线方程. （2）根据函数得到函数的定义域为，对求导，讨论a的范围，结合导数判断函数的单调性，确定函数是否存在极小值，结合题给条件得到关于a的不等式，构造关于a的新函数，求导判断函数单调性，解不等式求解. 【小问1详解】 因为，所以， 求导得 所以， 又因为， 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 由函数可知，. 求导得：， 当时，因为，所以， 此时为单调递增函数，没有极小值，与题意不符； 当时，， 因为，所以当时，，当时，， 所以函数有极小值为． 又，所以，即， 因，所以． 设，则， 所以在上单调递增， 又，所以的解集为，即的取值范围是． 18. 设函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）递减区间为，递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，进而得到函数的单调区间； （2）先求得，利用导数求得函数单调性，得到函数的极小值（最小值），也是最小值，结合恒成立，得出不等式，，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，函数，其定义域为， 则， 令，解得， 当时，，所以在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 解：由函数，可得的定义域为， 则， 因为， 则当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为，也是最小值， 要使得恒成立，则，解得， 所以的取值范围为. 19. 已知函数. （1）证明：. （2）若在上只有一个零点，求的取值范围. （3）设是的两个零点，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造函数，通过求导分析的单调性，进而求得的最大值，若最大值小于，即可证明. （2）将函数零点问题转化为方程的解的问题，将变形，构造函数，通过求导分析在上的单调性，极值以及极限情况，结合与直线的交点个数来确定的取值范围. （3）根据题意，，将这两个等式相加进行变形，结合基本不等式构造函数，分析与之间的关系，即可证明不等式. 【小问1详解】 证明：. 设，则， 当时，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以， 故，. 【小问2详解】 解：由，得， 设，则， 当或时，单调递增，当时，单调递减， 所以在处取得极大值，且极大值为，在处取得极小值，且极小值为， ，当时，， 故的取值范围是. 【小问3详解】 证明：因为是的两个零点，所以， 则， 则， 因为，所以， 所以. 设，，则， 当时，，当时，， 所以， 所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学九月月考试卷 一、单选题 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 3. 关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（ ） A. B. C. 关于的一元二次不等式的解集为 D. 关于的一元二次不等式的解集为或 4. 函数的图象大致为（ ） A B. C. D. 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移（）个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. 函数的最大值为 C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上单调递增 8. 若函数满足且时，；函数，则，零点的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题 9. 下列命题为真命题的是（　　） A. 当时， B. C. “”的充要条件是“” D. “”是“”的必要不充分条件 10. 下列结论正确的是（ ） A. 函数是对数函数 B. 函数在上单调递增 C 若，则 D. 函数且的图象必过定点（） 11. 已知定义域为函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 关于中心对称 D. 三、填空题 12. 已知集合关于的方程有唯一解，用列举法表示___________． 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 已知函数且满足则实数a的取值范围为______． 四、解答题 15. 已知函数（为常数，）． （1）当取何值时，函数为奇函数； （2）当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式. （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围. （2）在（1）的条件下，解关于的不等式. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且，求取值范围． 18. 设函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）证明：. （2）若在上只有一个零点，求的取值范围. （3）设是的两个零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $