3.3一元一次方程的应用讲义　　2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）六年级数学上册

3.3 一元一次方程的应用 学习目标 1. 能够准确理解题意，找出实际问题中的等量关系。 2. 能够设适当的未知数，根据等量关系列出一元一次方程。 3. 能够运用一元一次方程解决配套问题、工程问题、盈亏问题、方案选择问题、电费水费问题、行程问题及和差倍问题等实际应用问题。 4. 培养分析问题和解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系。 知识点讲解 运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 1. 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确题目中的已知量和未知量。 2. 设元：选择一个适当的未知量设为未知数，通常用x表示。设元时要写明单位。 3. 列方程：找出题目中的等量关系，根据等量关系列出一元一次方程。这是解决问题的关键步骤。 4. 解方程：求出所列方程的解。 5. 检验：检验方程的解是否符合题意（包括是否为方程的解和是否符合实际意义）。 6. 作答：写出答案，注意单位。 核心思想：用字母表示未知数，将实际问题中的等量关系转化为数学方程。 例题解析 一、配套问题 例题1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 二、工程问题 例题2：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。如果甲先单独做3天，然后甲、乙两人合作完成剩下的工程，问还需要合作多少天才能完成这项工程？ 三、盈亏问题 例题3：某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%。卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 四、方案选择问题 例题4：某通讯公司推出两种手机流量套餐： 套餐A：月租费50元，含1GB流量，超出部分按0.3元/MB计费。 套餐B：月租费80元，含3GB流量，超出部分按0.2元/MB计费。 （1GB = 1024MB） 假设每月流量使用量为xMB（x > 3072，即超过3GB），请问当每月流量使用量为多少MB时，两种套餐的费用相等？若小明每月使用流量约5GB，他选择哪种套餐更合算？ 五、行程问题 例题5：A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲车速度为80千米/小时，乙车速度为70千米/小时。经过多少小时两车相遇？相遇时甲车距离B地还有多少千米？ 六、和差倍问题 例题6：学校图书馆买来故事书和科技书共200本，故事书的本数是科技书的3倍。故事书和科技书各买了多少本？ 巩固练习 一、配套问题 1. 某车间有工人85人，平均每人每天可以加工大齿轮16个或小齿轮10个，又知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套。问应如何安排工人使生产的产品刚好配套？ 二、工程问题 2. 一项工作，甲单独做需6小时完成，乙单独做需9小时完成。甲先做1小时后，甲、乙合作完成剩下的工作，合作几小时可以完成？ 三、盈亏问题 3. 某商店购进一批运动鞋，每双进价为100元，售价为130元，每双可获利多少元？若商店卖出这种运动鞋200双，一共可获利多少元？ 四、方案选择问题 4. 某校准备组织学生去某景点春游，旅行社提供了两种收费方案： 方案一：成人每人120元，学生每人80元。 方案二：团体6人以上（含6人）每人100元。 现有5名教师和若干名学生参加（学生人数超过1人）。 （1）当学生人数为多少时，两种方案费用一样？ （2）若学生人数为10人，选择哪种方案更优惠？ 五、电费水费问题 5. 某地的电费收费标准是：每月用电量不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；超过100千瓦时的部分，按每千瓦时0.6元收费。小明家8月份付电费64.6元，小明家8月份用电多少千瓦时？ 六、行程问题 6. 甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度是17.5千米/小时，乙的速度是15千米/小时。经过几小时两人相遇？ 七、和差倍问题 7. 甲数比乙数大10，甲数是乙数的3倍。甲、乙两数各是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 一元一次方程的应用 学习目标 1. 能够准确理解题意，找出实际问题中的等量关系。 2. 能够设适当的未知数，根据等量关系列出一元一次方程。 3. 能够运用一元一次方程解决配套问题、工程问题、盈亏问题、方案选择问题、电费水费问题、行程问题及和差倍问题等实际应用问题。 4. 培养分析问题和解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系。 知识点讲解 运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 1. 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确题目中的已知量和未知量。 2. 设元：选择一个适当的未知量设为未知数，通常用x表示。设元时要写明单位。 3. 列方程：找出题目中的等量关系，根据等量关系列出一元一次方程。这是解决问题的关键步骤。 4. 解方程：求出所列方程的解。 5. 检验：检验方程的解是否符合题意（包括是否为方程的解和是否符合实际意义）。 6. 作答：写出答案，注意单位。 核心思想：用字母表示未知数，将实际问题中的等量关系转化为数学方程。 例题解析 一、配套问题 例题1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 分析： · 设安排生产螺钉的工人为x名，则生产螺母的工人为(22 - x)名。 · 每天生产的螺钉数量为1200x个，每天生产的螺母数量为2000(22 - x)个。 · 等量关系：螺母数量 = 2 × 螺钉数量。 解答： 设应安排x名工人生产螺钉，则安排(22 - x)名工人生产螺母。 根据题意，得 2000(22 - x) = 2 × 1200x 解方程： 2000(22 - x) = 2400x 44000 - 2000x = 2400x 44000 = 2400x + 2000x 44000 = 4400x x = 44000 ÷ 4400 x = 10 则生产螺母的工人为：22 - x = 22 - 10 = 12（名） 答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。 二、工程问题 例题2：一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。如果甲先单独做3天，然后甲、乙两人合作完成剩下的工程，问还需要合作多少天才能完成这项工程？ 分析： · 将这项工程的工作量看作单位“1”。 · 甲的工作效率为每天完成，乙的工作效率为每天完成。 · 甲先做3天，完成的工作量为。 · 设甲、乙合作还需要x天完成，合作完成的工作量为。 · 等量关系：甲先做的工作量 + 甲乙合作的工作量 = 总工作量“1”。 解答： 设甲、乙两人合作还需要x天才能完成这项工程。 根据题意，得 解方程： x = ×6 x = 4.2 答：还需要合作4.2天才能完成这项工程。 三、盈亏问题 例题3：某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%。卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 分析： · 两件衣服售价都是60元，一件盈利25%，一件亏损25%。 · 设盈利25%的那件衣服的进价为x元，亏损25%的那件衣服的进价为y元。 · 盈利的衣服：售价 = 进价 + 利润 = 进价 × (1 + 利润率)，即60 = x(1 + 25%)。 · 亏损的衣服：售价 = 进价 - 亏损额 = 进价 × (1 - 亏损率)，即60 = y(1 - 25%)。 · 总利润 = 总售价 - 总进价。若总利润 > 0，则盈利；若总利润 < 0，则亏损；若总利润 = 0，则不盈不亏。 解答： 设盈利25%的那件衣服的进价为x元，亏损25%的那件衣服的进价为y元。 对于盈利的衣服： 60 = x(1 + 25%) 60 = 1.25x x = 60 ÷ 1.25 x = 48 对于亏损的衣服： 60 = y(1 - 25%) 60 = 0.75y y = 60 ÷ 0.75 y = 80 总进价为：x + y = 48 + 80 = 128（元） 总售价为：60 + 60 = 120（元） 总利润为：120 - 128 = -8（元） 因为总利润为-8元，所以是亏损。 答：卖这两件衣服总的是亏损了8元。 四、方案选择问题 例题4：某通讯公司推出两种手机流量套餐： 套餐A：月租费50元，含1GB流量，超出部分按0.3元/MB计费。 套餐B：月租费80元，含3GB流量，超出部分按0.2元/MB计费。 （1GB = 1024MB） 假设每月流量使用量为xMB（x > 3072，即超过3GB），请问当每月流量使用量为多少MB时，两种套餐的费用相等？若小明每月使用流量约5GB，他选择哪种套餐更合算？ 分析： · 首先统一单位，1GB = 1024MB，所以1GB = 1024MB，3GB = 3072MB。 · 当x > 3072时， 套餐A费用：月租50元 + 超出1GB（1024MB）的流量费用，即50 + 0.3(x - 1024)。 套餐B费用：月租80元 + 超出3GB（3072MB）的流量费用，即80 + 0.2(x - 3072)。 · 等量关系：套餐A费用 = 套餐B费用。 · 求出费用相等的流量x后，比较5GB（5120MB）时两种套餐的费用。 解答： （1）设当每月流量使用量为xMB（x > 3072）时，两种套餐的费用相等。 根据题意，得 50 + 0.3(x - 1024) = 80 + 0.2(x - 3072) 解方程： 50 + 0.3x - 307.2 = 80 + 0.2x - 614.4 0.3x + = 0.2x + 0.3x - 257.2 = 0.2x - 534.4 0.3x - 0.2x = -534.4 + 257.2 0.1x = -277.2 x = -277.2 ÷ 0.1 x = 2772 这里计算出x = 2772MB，但我们假设的是x > 3072，而2772 < 3072，说明在x > 3072的范围内，两种套餐费用不会相等。因此，我们需要重新考虑，可能在1024 < x ≤ 3072时费用相等？ 重新假设1024 < x ≤ 3072时，套餐B费用为80元（未超出）。 则方程为：50 + 0.3(x - 1024) = 80 0.3(x - 1024) = 30 x - 1024 = 100 x = 1124MB。1124 MB 在1024 < x ≤ 3072范围内。 但题目要求x > 3072时的情况，所以在x > 3072时，我们直接比较费用。 （2）小明每月使用流量约5GB = 5 × 1024 = 5120 MB。 套餐A费用： 50 + 0.3 × (5120 - 1024) = 50 + 0.3 × 4096 = 50 + 1228.8 = 1278.8（元） 套餐B费用： 80 + 0.2 × (5120 - 3072) = 80 + 0.2 × 2048 = 80 + 409.6 = 489.6（元） 因为1278.8 > 489.6，所以选择套餐B更合算。 答：当每月流量使用量为1124MB时（在1GB到3GB之间）两种套餐费用相等。小明每月使用5GB流量，选择套餐B更合算。 五、行程问题 例题5：A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲车速度为80千米/小时，乙车速度为70千米/小时。经过多少小时两车相遇？相遇时甲车距离B地还有多少千米？ 分析： · 设经过t小时两车相遇。 · 相遇时，甲车行驶的路程为80t千米，乙车行驶的路程为70t千米。 · 等量关系：甲车路程 + 乙车路程 = A、B两地距离。 · 相遇时甲车距离B地的距离 = 乙车行驶的路程。 解答： 设经过t小时两车相遇。 根据题意，得 80t + 70t = 450 解方程： 150t = 450 t = 450 ÷ 150 t = 3 相遇时甲车距离B地的距离 = 乙车行驶的路程 =70t = 70 × 3 = 210（千米） 答：经过3小时两车相遇，相遇时甲车距离B地还有210千米。 六、和差倍问题 例题6：学校图书馆买来故事书和科技书共200本，故事书的本数是科技书的3倍。故事书和科技书各买了多少本？ 分析： · 设科技书的本数为x本，则故事书的本数为3x本。 · 等量关系：故事书本数 + 科技书本数 = 总本数。 解答： 设科技书买了x本，则故事书买了3x本。 根据题意，得 x + 3x = 200 解方程： 4x = 200 x = 200 ÷ 4 x = 50 故事书的本数为：3x = 3 × 50 = 150（本） 答：科技书买了50本，故事书买了150本。 巩固练习 一、配套问题 1. 某车间有工人85人，平均每人每天可以加工大齿轮16个或小齿轮10个，又知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套。问应如何安排工人使生产的产品刚好配套？ 答案与解析： 设安排x名工人加工大齿轮，则安排(85 - x)名工人加工小齿轮。 根据题意，大齿轮数量的3倍应等于小齿轮数量的2倍（以保证配套）： 3 × 16x = 2 × 10(85 - x) 解方程： 48x = 20(85 - x) 48x = 1700 - 20x 48x + 20x = 1700 68x = 1700 x = 1700 ÷ 68 x = 25 加工小齿轮的工人：85 - 25 = 60（名） 答：应安排25名工人加工大齿轮，60名工人加工小齿轮。 二、工程问题 2. 一项工作，甲单独做需6小时完成，乙单独做需9小时完成。甲先做1小时后，甲、乙合作完成剩下的工作，合作几小时可以完成？ 答案与解析： 设甲、乙合作还需要x小时完成。 将工作总量看作单位“1”，甲效率，乙效率。 根据题意，得 解方程： x = × x = 3 答：甲、乙合作还需要3小时可以完成。 三、盈亏问题 3. 某商店购进一批运动鞋，每双进价为100元，售价为130元，每双可获利多少元？若商店卖出这种运动鞋200双，一共可获利多少元？ 答案与解析： 每双利润 = 售价 - 进价 =130 - 100 = 30（元） 总利润 = 每双利润 × 数量 =30 × 200 = 6000（元） 答：每双可获利30元，卖出200双一共可获利6000元。 四、方案选择问题 4. 某校准备组织学生去某景点春游，旅行社提供了两种收费方案： 方案一：成人每人120元，学生每人80元。 方案二：团体6人以上（含6人）每人100元。 现有5名教师和若干名学生参加（学生人数超过1人）。 （1）当学生人数为多少时，两种方案费用一样？ （2）若学生人数为10人，选择哪种方案更优惠？ 答案与解析： （1）设学生人数为x人时，两种方案费用一样。 方案一费用：5 × 120 + 80x = 600 + 80x 方案二费用：(5 + x) × 100 = 500 + 100x 令两者相等： 600 + 80x = 500 + 100x 600 - 500 = 100x - 80x 100 = 20x x = 5 （2）学生人数为10人时： 方案一费用：600 + 80 × 10 = 600 + 800 = 1400（元） 方案二费用：(5 + 10) × 100 = 15 × 100 = 1500（元） 因为1400 < 1500，所以选择方案一更优惠。 答：（1）当学生人数为5人时，两种方案费用一样。（2）学生人数为10人时，选择方案一更优惠。 五、电费水费问题 5. 某地的电费收费标准是：每月用电量不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；超过100千瓦时的部分，按每千瓦时0.6元收费。小明家8月份付电费64.6元，小明家8月份用电多少千瓦时？ 答案与解析： 100千瓦时的电费为：100 × 0.52 = 52（元） 因为64.6 > 52，所以用电量超过100千瓦时。 设小明家8月份用电x千瓦时。 根据题意，得 52 + 0.6(x - 100) = 64.6 解方程： 0.6(x - 100) = 64.6 - 52 0.6(x - 100) = 12.6 x - 100 = 12.6 ÷ 0.6 x - 100 = 21 x = 121 答：小明家8月份用电121千瓦时。 六、行程问题 6. 甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度是17.5千米/小时，乙的速度是15千米/小时。经过几小时两人相遇？ 答案与解析： 设经过t小时两人相遇。 根据题意，得 17.5t + 15t = 65 解方程： 32.5t = 65 t = 65 ÷ 32.5 t = 2 答：经过2小时两人相遇。 七、和差倍问题 7. 甲数比乙数大10，甲数是乙数的3倍。甲、乙两数各是多少？ 答案与解析： 设乙数是x，则甲数是3x。 根据题意，得 3x - x = 10 解方程： 2x = 10 x = 10 ÷ 2 x = 5 甲数是：3x = 3 × 5 = 15 答：甲数是15，乙数是5。 学科网（北京）股份有限公司 $