22.3实际问题与二次函数--销售问题典型题型归纳专项练（一）-2025-2026学年 人教版九年级数学上册

22.3实际问题与二次函数 一、已知解析式求最大利润 1． 若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 2． 某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 二、根据实际销售列函数关系式 1. “十一”黄金周，某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元），满足关系：m =140－x．写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件的售价x之间的函数关系式是 ． 2. 某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），则y与x的函数关系式是 ． 三、文字叙述类销售问题 1. 某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 2. 某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 3. “利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？ 4. 商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． （1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 5. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式； (2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 四、表格类销售问题 1. 普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示， 销售单价x（元/千克） 56 65 75 销售量y（千克） 128 110 90 解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值； （3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围． 2. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式．某公司在一销售平台上进行直播销售某种产品．已知这种产品的成本价为6元/千克，每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/千克．设该公司销售这种产品的日获利为（元）． （元/千克） 7 8 9 （千克） 4300 4200 4100 (1)直接写出日销售量与销售单价之间的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)当销售单价定为多少时，该公司销售这种产品日获利最大？最大利润为多少元？ (3)请直接写出当销售单价在什么范围内时，该公司日获利不低于43500元？ 3. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 70 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 100 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其它因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由； (3)求公司销售这种绿茶最大周利润，此时周销售单价是多少？ 五、与一次函数图形结合的销售问题 1. 某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元／件），与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)市场物价监管部门规定，销售该种商品获利不得超过，求每天的利润与销售单价之间的函数关系式；并求售价定为多少，来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 2. 张老板经营一家水产品店，在销售河蟹期间，他发现将售价定为80元/千克时，每天可销售20千克．后来为了扩大销售量，他适当降低了售价，每天的销售量y（千克）与降价x（元）的关系如图所示．已知河蟹的进价为50元/千克． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若要使每天销售这种河蟹的平均利润w最大，则每千克河蟹应降价多少元？最大利润为多少元？ 3. 某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，假设每千克售价不能低于元，且不高于元． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)若每天的总利润为元，求出关于的函数关系式，并求出当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 答案 一、已知解析式求最大利润 1． B 本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键． 解： ， 当时， （万元）； 故选：B． 2． B 本题主要考查了二次函数的实际应用，根据二次函数解析式可知二次函数开口向下，则在对称轴处取得最大值，即60，据此可得答案． 解：∵某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，， ∴当时，y有最大值，最大值为60， ∴这种商品每天的最大利润为60元， 故选B． 二、根据实际销售列函数关系式 1．（21-22九年级上·北京房山·期中）“十一”黄金周，某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元），满足关系：m =140－x．写出商场卖这种商品每天的销售利润 y与每件的售价x之间的函数关系式是 ． 根据题意，销售一件商品的利润为：元，销售量为m件，依据销售利润与单件商品利润和数量的关系，即可列出函数关系式． 解：根据题意，销售一件商品的利润为：元，销售量为m件， ∴， 故答案为：． 题目主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练运用等量关系是解题关键． 2. 本题考查二次函数的应用，理解题意，根据利润等于单件利润乘以销售量列函数关系式即可． 解：设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元）， 则y与x的函数关系式是：，即， 故答案为：． 三、文字叙述类销售问题 1.售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 解：根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 2.(1)18元 (2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元 （1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果； （2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值． （1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； （2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 3.每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元． 分类讨论，当售价（元）时，计算出最高日收入；当售价（元）时，列出二次函数，并判断二次函数的最大值，由此即可求解． 解：当售价（元）时，该店日纯收入为，当时，日纯收入为元； 当售价（元）时，该店日纯收入为， ∴二次函数的图像在平面直角坐标系中，开口向下，有最大值， ∴， 售价（元）取整数， 则售价或元时，日销售量最大， 要吸引顾客，销售量较大， ∴售价为元时，最大利润为元， ∴每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元． 4.（1）20元；（2）降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利2500元． （1）先设未知数：设每件衬衫应降价x元，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，根据“利润＝销售的数量每件的盈利”，列方程可求得； （2）设利润为w元，列出w的表达式，再利用二次函数的性质求解即可. （1）设每件衬衫应降价x元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元； （2）设每件衬衫应降价x元时，平均每天利润为w元，则 由题意得： 由二次函数的性质可知：当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小 则当时，w有最大值为2500元 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利2500元. 本题考查了二次函数与一元二次方程的实际应用、二次函数的性质，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键. 5.(1)y与x之间的函数表达式为，w与x之间的函数表达式为 (2)10000元 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）根据用600减去减少的销售量可得y与x之间的函数表达式；根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出w与x函数关系式； （2）由题意列出不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． （1）解∶ y与x之间的函数表达式为， w与x之间的函数表达式为； （2）解∶根据题意得：， 解得：； ∵，且， ∴当时，w取得最大值，最大值为10000， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 四、表格类销售问题 1.（1）；（2）2450元；（3） （1）根据每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况． （3）求得W=2000时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥2000时x的取值范围，继而根据“单价不得高于90元/千克”，得出答案． 解：（1）设y与x的函数关系式为，把和分别代入得： 解得：． ∴y与x的关系式为； （2）由题意知：， ∴W与x的关系式为：， ∴， ∴当时，在内，W的值最大为2450元 （3）若公司想获得不低于2000元周利润，则， 解得，所以当时，， 又∵物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克， ∴销售单价范围为：． 2.(1) (2)28元；48400元 (3)当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元 本题主要考查一次函数，二次函数，不等式的运用，理解数量关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）设一次函数解析式为，当时，，当时，，代入计算即可； （2）销售单价为元/千克，成本价为6元/千克，则每件利润为元，且销售量为，由此列式得，根据二次函数求最值的方法即可求解； （3）结合（2）的解析式，当时，解得，，由此即可求解． （1）解：每日销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，设一次函数解析式为， 当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴日销售量与销售单价之间的函数关系式为：； （2）解：销售单价为元/千克，成本价为6元/千克， ∴每件利润为元，且销售量为， ∴， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，利润最大，最大利润为元； （3）解：∵，日获利不低于43500元， ∴当时，， 整理得，， ∴， 解得，， ∵销售单价不低于成本价且不高于30元/千克， ∴当销售单价在时，该公司日获利不低于43500元． 3.(1) (2)周销售单价定为80元，理由见解析 (3)当周销售单价为90元时．这种绿茶最大周利润为1800元 本题主要考查一次函数和二次函数在实际销售问题中的应用，解题的关键是根据给定数据求出函数关系式，并运用函数性质解决利润相关问题． （1）对于求与的函数关系式，利用给定的两组销售单价和销售量数据，代入一次函数，通过解方程组求出和的值． （2）计算期望利润为1600元时的销售单价，先根据利润公式列出方程，求解方程得到销售单价的值，再结合销售量不低于50千克的条件进行筛选． （3）求最大周利润及对应的销售单价，根据利润公式列出二次函数表达式，通过分析二次函数的性质得出结果． （1）设与的函数关系式为，把代入可得： ， 解得，， ； （2）， （由－，舍去）， ， 即周销售单价定为80元； （3）周销售利润， ， 当周销售单价为90元时．这种绿茶最大周利润为1800元． 五、与一次函数图形结合的销售问题 1.(1) (2)售价定为140元／件时，每天最大利润元 本题考查一次函数和二次函数的实际应用： （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法可求出其解析式； （2）根据利润=（售价－单价）×销售量，由题意可求出x的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案． （1）设与之间的函数关系式为， 由函数图象得， 解得：， 故与的函数关系式为； （2），所以 ， ， 当时，， 售价定为140元／件时，每天最大利润元． 2.(1) (2)应降价10元，最大利润为800元 此题考查了二次函数和一次函数的应用， （1）根据函数图像得到图像中的两个点，利用待定系数法确定一次函数的解析式即可； （2）根据题意列出二次函数，求得函数的最值即可求解答案． （1）设， 依题意，得，解得 所以与之间的函数关系式是． （2）依题意，得， ∵， ∴当时，． 答：若要使每天销售这种河蟹的平均利润最大，则每千克河蟹应降价10元，最大利润为800元． 3.(1) (2)，销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元 本题考查了一次函数与二次函数综合； （1）设与之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意可得，进而根据二次函数的性质，即可求解． （1）解：设与之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得： ， ， 该函数图象开口向下，且其对称轴为， 又， 在此范围内，随的增大而增大， 当时，取最大值，此时， 即销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $