2024-2025学年人教版九年级上册数学期末专题复习与二次函数应用有关的喷泉问题部分重难点专项练习

人教版2024-2025学年度九年级上学期数学期末专题复习 与二次函数应用有关的喷泉问题部分重难点专项练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m，则水管OA的高是（    ）    A．2m B． C． D． 2．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　　）    A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（　　） A．4.5米 B．5米 C．6.25米 D．7米 4．（21-22九年级上·河南南阳·期末）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（    ） A．20米 B．18米 C．10米 D．8米 5．（22-23九年级上·浙江温州·期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24九年级上·山东泰安·期末）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离OC为处达到最高，高度CD为，水柱落地处离池中心的水平距离OA为，那么水管的设计高度OB应为 ． 7．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在斜坡底部点处设置一个可移动的自动喷水装置，喷水装置的高度为1.4米，喷水装置从点喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点为原点，喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．斜坡上距离水平距离为8米处有一棵高度为2米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为2.1米．如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，则自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左平移） 米． 8．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，灌溉系统从点处喷出水来给右侧矩形花坛浇水，水流的形状为抛物线，某一时刻抛物线经过点，分别交，于点，.测量得，，，，则 .过一段时间，灌溉系统由点处升高至点处，水流的方向和水量均没有发生变化，此时抛物线经过点，则 . 9．（22-23九年级上·广东东莞·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示．现以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应的函数解析式是，则水管长为 ． 10．（22-23九年级上·河北邯郸·期末）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）抛物线的表达式为 ； （2）水柱能达到的最远水平距离是 ； （3）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头水平距离．身高的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 ． 三、解答题 11．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为多少米． 12．（23-24八年级下·福建福州·期末）小明和小亮玩打水仗，两人相距米，两人身高都是米．以水平线为轴，小明所站立线为轴建立如图所示直角坐标系，点是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线，且其过点． (1)请通过计算说明小明能否喷到小亮； (2)如果是抛物线的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明． 13．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发现，以地面为轴，以喷枪所在直线为轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为，水流的最高点与喷枪的水平距离为，且满足．    请解答下列问题： (1)该喷枪的出水口到地面的距离为______m； (2)当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，求水流的最高点到地面的距离； (3)在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到，参考数据）． 14．（22-23九年级上·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为，水柱的最大高度为． (1)当射水鱼在原点处时，求水柱的解析式； (2)如图2，昆虫在处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发． ①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ ②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以的速度水平向右逃离，同时射水鱼以的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？ 15．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口H离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度，竖直高度．洒水车到绿化带的距离为d(单位：m)，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)若距喷水口水平距离为米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水?并写出你的判断过程； (2)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则洒水车离绿化带的距离d的范围是多少? 16．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）根据以下素材， 探索完成任务． 喷泉中的数学问题 素材 1 某游乐场的圆形喷水池中心 有一喷水管 ， 米，从 点向四周喷水，喷出的水柱为 抛物线且形状相同． 如图，以水平方向为 轴， 点 为原点建立平面直角坐标系，点 在 轴 上，已知在与池中心 点水平距离为 2 米时， 水柱达到最高，此时高度为 1.5 米． 素材 2 现重新改建喷泉， 升高喷水管， 使落水点与喷水 管距离 5 米， 已知喷水管升高后， 喷水管喷出的 水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点 2 米处达到最高． 问题解决 任务 1 确定水柱形状 根据素材 1 ，求水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式． 任务 2 探究喷水高度 改建前， 身高为 1.67 米的小明站在距离喷水管3米处， 他会被喷到吗？ 任务 3 确定设计方案 根据素材 2，喷水管 要升高多少？ 参考答案： 1．B 【分析】设抛物线的表达式为：，将点代入上式求出a，进而求解． 【详解】解：设抛物线的表达式为：， 将点代入上式并解得：， 故抛物线的表达式为：， 令，则，即 故选B 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键． 2．A 【分析】根据点A到点O的距离为4，得到,代入求得，再将解析式化为顶点式即可得解； 【详解】点A到点O的距离为4， , 把代入得 ， ， ， 水流喷出的最大高度为， 故选择：Ａ 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确的求出函数解析式是解题的关键． 3．C 【分析】将抛物线解析式配方为顶点式，得到顶点坐标解题即可． 【详解】解：， 所以抛物线的顶点坐标为， 即水喷出的最大高度是， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的配方是解题的关键． 4．A 【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为 令，解得（负值舍去） 即， 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 5．D 【分析】根据题意得出各点坐标，设抛物线解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解． 【详解】解：如图： 根据题意，得， 设抛物线解析式为， 把点代入得：， 解得：， 所以抛物线解析式为， 当时，即， 解得： 或（舍去）， 又， 所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算． 6．0.44/ 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意．求出抛物线解析式．根据题意求出抛物线顶点坐标为，把代入可得解析式，再令求出值即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为； 设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， ， 令得：， 水管的高度应为． 故答案为：0.44． 7．1 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式和二次函数的平移，根据题意设抛物线解析式为，将喷水装置的坐标代入得，设抛物线向左平移m各单位，并将点代入即可求得答案． 【详解】解：根据喷射出的水流与喷水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米，设抛物线解析式为， ∵喷水装置的高度为1.4米， ∴将点代入得，解得， 则抛物线解析式为：， 设抛物线向左平移m各单位，得， 根据题意得点，代入得，解得，（舍去）， 则抛物线向左平移1各单位． 故答案为：1． 8． 10 // 【分析】本题考查了二次函数的实际应用、二次函数的平移、矩形的性质，以为坐标原点，建立直角坐标系，则，，，设抛物线的解析式为：，待定系数法求出解析式为，令，则，求出点的坐标，得出，再求出的长，即可得解；求出点的坐标，设灌溉系统由点处升高至点处，升高了，则抛物线的解析式变为，将点的坐标代入进行计算，求出的值即可，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 如图，以为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， ，， ，， 设抛物线的解析式为：， 将，，代入解析式得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：或， ， ， ， ， ， ， ，灌溉系统由点处升高至点处，水流的方向和水量均没有发生变化， 设灌溉系统由点处升高至点处，升高了，则抛物线的解析式变为， 灌溉系统由点处升高至点处，水流的方向和水量均没有发生变化，此时抛物线经过点， ， 解得：, ， 故答案为：10，． 9． 【分析】由题意令，得到的值即为水管的长． 【详解】解：在中， 令，得， 水管的长为 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的运用，解题的关键是理解水管的长即是时的值． 10． 1或5 【分析】（1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）直接求抛物线与x轴交点即可； （3）当时，，解得或，即得她与爸爸的水平距离为1或9． 【详解】（1）由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， 答：抛物线的表达式为； （2）当时， ， （负值舍去）， 故答案为； （3）当时，， 解得或， ∴她与爸爸的水平距离为（）或（）， 故答案为1或5． 【点睛】本题考查二次函数的应用，读懂题意，把实际问题转化为数学问题是解题的关键． 11．6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意、正确求出抛物线的解析式是解题的关键．以直线作为y轴，以地面为x轴，由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为，将代入求出完整解析式，再表示出将喷头再调高4米后的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】解：以直线作为y轴，以地面为x轴， 由题意可得，抛物线的顶点为，经过点， ∴设抛物线解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变， ∴调高后的抛物线解析式为，即， 将代入得， 整理得：， ， 解得：，（舍去）， ∴将喷头再调高4米后，喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 答：此时喷射的水柱落地点与O的距离为6米． 12．(1)小明能喷到小亮，理由见解析； (2)小亮能喷到小明，理由见解析． 【分析】（）根据抛物线过点，代入求出，得出抛物线解析式，在将代入解析式求出即可判断； （）根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，再根据抛物线过点，即可求出抛物线解析式，再算出时，的值，即可判断； 本题考查了二次函数的实际应用，熟悉掌握二次函数图象上点的坐标特征及性质是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线， ∵当时，， ∵且小于， ∴小明能喷到小亮； （2）∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线 ∵抛物线过点， ∴ ， 解得：， ∴抛物线为， 又∵当时，， ∵且小于， ∴小亮能喷到小明． 13．(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用： （1）将代入即可求解； （2）将代入即可求解； （3）根据（2）中结论设出抛物线的顶点式为，将代入求出a的值，再令，求出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 即该喷枪的出水口到地面的距离为， 故答案为：； （2）解：将代入，得， 即水流的最高点到地面的距离为； （3）解：由（2）知，水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为， 此时抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得， ， 当时，， 解得，（负值舍去）， 水流的射程约为． 14．(1) (2)①射水鱼需要向右游动才能击中昆虫；②经过射水鱼恰好能击中昆虫 【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题： （1）运用待定系数法求解即可； （2）①令，求出x的值，再进行判断即可；②根据“时间=路程÷速度”求解即可 【详解】（1）解：水柱的最大高度为， ， 射水鱼在原点处， 将代入8，得， 解得或（舍去）， 水柱的解析式为 （2）解：①令，得， 解得或， ， ， 射水鱼需要向右游动才能击中昆虫． ②由题意得，， 经过射水鱼恰好能击中昆虫． 15．(1)行人会被洒水车淋到水，见解析 (2) 【分析】 本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与轴的交点，二次函数的平移； （1）设上边缘抛物线为，根据题意求出该抛物线，当时，求出其与轴的交点，将该距离与米进行比较，若大于米则会被淋湿，若小于米则不会被淋湿． （2）根据上边缘抛物线，设下边缘抛物线为，利用点H求出抛物线解析式，根据绿化带的高度和宽度，求出距离d的最大值和最小值，即可解题． 【详解】（1） 解：设上边缘抛物线为， 由题意可得，，， ， ， ， ． 当时，，（舍去）， ， 行人会被洒水车淋到水． （2） 解：设下边缘抛物线为 ， ， ，（舍去）， ， 当时，，（舍去）， ， 当时，，（舍去）， ， ． 16．任务 1∶ ； 任务2∶小明会被喷到，任务三：米 【分析】本题考查二次函数实际应用及求抛物线解析式，理解题意，利用数形结合思想解题是关键． 任务 1∶根据图像设抛物线解析式为，根据题意将点代入即可得到答案； 任务2∶计算当时y的值，与比较即可得到答案； 任务3∶根据题意中形状不变得到a不变，设喷水管升高后水柱所在抛物线解析式为 及过点代入顶点式即可得到，再把代入得出的值，进一步即可得出答案． 【详解】解∶任务 1∶ 米， 在与池中心点水平距离为2米时，水柱达到最高，此时高度为1.5米 设水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 把 代入上式，解得 水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 任务2∶当时， 小明会被喷到 任务3：根据题意，落水点坐标为 设喷水管升高后水柱所在抛物线解析式为 ， 代入得 ， 解得： 令，则 即升高后点坐标为 喷水管要升高： (米) 学科网（北京）股份有限公司 $$