2.1等式与不等式的性质课件(含2课时) -2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质 第 一课时 一 二 三 学习目标 初步理解不等式的概念，会用不等式（组）表示实例中的不等关系 理解不等式最基本的性质；会用作差法比较两实数的大小 掌握一个重要不等式及证明 问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题的不等关系吗？ (1)某路段限速40km/h. (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少于2.5％，蛋白质的含量p应不少于2.3％. (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边. (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 跟踪训练1 (3)如图，在一个面积小于350 m2的矩形场地中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍. 实际问题蕴含的不等关系 列不等式 解不等式 抽象 不等式的性质 关于实数大小的基本事实： 比较实数大小 作差 与0比较 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 5 题型一 作差法比较大小 例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. (2)已知x≤1，比较3x3与3x2-x+1的大小. [补充1]已知a，b是正实数，比较 +2与的大小 例2　(1)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小. x∈R 小结：作差法比较大小的一般步骤 (1)作差； (2)变形； (3)定号； (4)定论。 目的： 便于判定差的符号 常用的方法： 因式分解、配方、通分、分子有理化等 当差的符号不确定时，一般需要分类讨论 根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论 题型二 作差法证明不等式 例3(2)已知x，y∈R，求证：x2+2y2≥2xy+2y-1. 跟踪训练3 已知a>0，求证：a+≥2. 问题3 如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来源于中国古代数学家赵爽的弦图，颜色的明暗使得它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客. 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明。 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 我们把赵爽的弦图抽象成如图所示的图形。在正方形中有4个全等的直角三角形. 弦图中的不等关系 A B C D E F G H 若设直角三角形的两直角边分别为a,b，则 (1)正方形ABCD的边长为________； 正方形ABCD的面积S=________； 四个直角三角形的面积和S' = ; (2) S与S' 有什么样的不等关系，如何表示？ (3) S与S' 会出现相等的情况吗，什么时候相等？ A B C D E(FGH) 当a=b时 问题4 对于任意的实数a,b，a2+b2≥2ab成立吗？试证明。 1. 重要不等式： 一般地，∀ a，b∈R，有 a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成立. (课本43页) 2. 真分数性质： 2.1 等式性质与 不等式性质 第二课时 一 二 三 学习目标 掌握等式的性质与不等式的性质 利用不等式的性质证明式子的不等关系 运用不等式的基本性质解决有关问题 复习回顾 上节课你学会了哪些主要内容？ 1．不等关系是普遍存在的 2．用不等式（组）来表示不等关系 3．实数大小关系的基本事实 a - b > 0 ⇔ a > b a - b = 0 ⇔ a = b a - b < 0 ⇔ a < b 4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号，定论 5．重要的不等式 问题1:等式性质1 如果a=b，那么b=a；你能猜想出不等式的性质吗？ 性质1 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b 对称性 问题2:等式性质2 如果a=b，b=c那么a=c；你能猜想出不等式的性质吗？ 性质2 如果a>b，b>c，那么a>c 传递性 问题3:等式性质3 如果a=b那么a±c=b±c；你能猜想出不等式的性质吗？ 性质3 如果a>b，那么a±c>b±c 可加性 问题4:等式性质4 如果a=b，那么ac=bc； 等式性质5 如果a=b，c≠0，那么=. 猜想出不等式的性质:如果a>b，那么ac>bc.同学们觉得正确吗？ 性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc； 如果a>b，c<0，那么ac<bc； 可乘性 问题5:如果a=b，c=d，那么a+c=b+d吗？你能类比得到不等式的性质吗？ 性质5 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d 同向可加性 问题6:如果a=b，c=d，那么ac=bd 吗？你能类比得到不等式的性质吗？ 性质6 如果a>b>0，c>d >0，那么ac>bd 同向同正可乘性 问题7:如果a=b，那么an=bn 吗？你能类比得到不等式的性质吗？ 性质7 如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2) 可乘方性 等式性质 不等式性质 a=b⇔b=a a=b，b=c⇔a=c a=b⇔a±c=b±c a=b⇔ac=bc a=b，c≠0⇔ 对称性 传递性 可加性 可乘性 可除性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 a>b⇔b<a a>b，b>c⇒a>c a>b⇔a+c>b+c a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc a>b，c>d⇒a+c>b+d a>b>0，c>d>0⇒ac>bd a>b>0⇒an>bn 例1 下列正确的是 1.若a<b，则ac2<bc2 2.若a>b>0，则 3.若a<b<0，则 4.若a>b则a>0，b<0 6.若a>b>0，c<d<0，则ac>bd 7.若a<b<0，则a2<ab<b2 8.若a>b>0，则a2>ab>b2 9.若a>b，c>d，则a-d>b-c 10.若a<|b|，则a2>b2 5.若a>b，c>d，则ac>bd ab>0 关键：减化加 关键：除化乘 关键：负化正 题型一 利用不等式的性质证明不等式 例2 已知c>a>b>0，求证： 跟踪训练 2 (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：. 题型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围 例3 已知-6<a<8，2<b<3， 求2a+b，a-b，，b-|a|的取值范围. 延伸探究 已知1≤a+b≤4，-1≤a-2b≤2， 求2a-b，3a+2b的取值范围. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1．不等关系是普遍存在的 2．用不等式（组）来表示不等关系 3．实数大小关系的基本事实 a - b > 0 ⇔ a > b a - b = 0 ⇔ a = b a - b < 0 ⇔ a < b 4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号，定论 5．重要的不等式、真分数性质 $