1.3 勾股定理的应用-【一本】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步训练（北师大版2024）

参考答案 4CD-号.AD-9 (2)△ABC为直角三角形.理由略 同步训练 5.该材料符合设计要求.理由略 6.C7.5,12,13;8,15,17(答案不唯一) 第一章勾股定理 8.D9.C10.C11.1912.720元 1探索勾股定理 13.解：(1)n2-12nn2+1 第1课时探索勾股定理 (2)猜想：以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 1.D2.c3.504.85.5 理由：因为a=n2-1,b=2n,c=n2十1，所以a2十b2=(n2 6.(1)337(2)8(3)a=20,b=15 1)2十(2n)2=n4十2n2十1=(n2+1)2=c2,所以以a,b,c为边 7.A【变式1】10【变式2】55【变式3】86 的三角形是直角三角形， 8.84cm29.28或10010.A11.A【变式】A12.C (3)观察可知第五个式子为11+602=612. 13.解：(1)4cm 3勾股定理的应用 (2)由题意，知BP=2tcm. 1.B2.53.A4.x2+32=(10-x)2 ①当∠APB=90°时，如图1，点P与，点C重合，BP=BC= 4 3 4cm,所以t=4÷2=2. 5.3.756.3cm7.28.(1)5m(2)2.8m 9.解：由题意可知，∠BEC=90°，AB=12海里，BC=16海里， AC=20海里. 因为AB2十BC2=122+162=202=AC2, 所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90° CP) 图1 图2 因为MN⊥AC,所以快艇C进入甲海域的最短距离是CE. ②当∠BAP=90°时，如图2，CP=BP-BC=(2t-4)cm. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(2t-4)2, 因为S=AB·BC=吉AC·BE, 在Rt△BAP中，AP2=BP8-AB2=(2t)2-52, 所以BE-ABLC_X16智（海里， AC 20 所以3+(2：-4=(2r-5,解得1。 在Rt△BCE中，BE2十CE2=BC2, 综上所速，当△ABP为直角三角形时：的值为2或5 即cE=BC2-BE=16-()=(g）), 5 (3)①当AB=BP时，如图3,21=5，解得t= 所以CE= 海卫，所以4÷8=（时）=96（分， 64 所以9时30分+96分=11时6分. 答：快艇C最早会在11时6分进入甲海域. B 10.c13或号 12.101 图3 图4 图5 ②当AB=AP时，如图4，在Rt△ACP中，AC2+CP2=AP, 即32十CP2=52,所以CP=4cm,所以BP=8cm,所以2t= 13.(1)是理由略(2)新路CH比原路CA少号kn 8,解得t=4. 14.解：如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D. ③当BP=AP时，如图5，CP=(4-2t)cm. 设BD=x,则CD=14一x. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(4-2t)2, 在Rt△ABD中，AB=15,BD=x, 由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-x2; B 所以(2)2=32+(4-2t)2,解得t=6, 在Rt△ACD中，AC=13,CD=14-x, 鲸上所述，当△ABP为等腰三角形时，L的值为号或4点器 25 由勾股定理，得AD2=AC2一CD2=132-(14-x)2, 所以152-x2=132一(14-x)2,解得x=9, 第2课时勾股定理的验证及简单应用 所以AD=12所以SAc2BC·AD=2X14X12=8 1.D 2.解：(1)(a-b)2+2abc2 ☆问题解决策略：反思 (2)因为方法1和方法2表示的均是大正方形的面积，所以 1.C【变式1】10【变式2】13【变式3】c (a-b)2+2ab=c2,即a2+b2=c2. 2.B【变式1】c【变式2】5cm【变式3】5 (3)1 3.1304.205.266.57.130 3.C4.B5.B6.17m 8.解：如图，将圆柱展开，EG为上底面圆周长 D 7.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AC2-AB2= 的一半，作点A关于EG的对称点A',连接 E G 502-302=402,所以BC=40m,所以v=40÷2=20(m/s). A'B交EG于点F,则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的 因为20m/s=72km/h,72>70,所以这辆小汽车超速了. 最短路程为AF+BF的长，即AF+BF= 8.D9.C10.(1)9.5米(2)应该再放出8米线 A'B=20cm,过点A'作A'D⊥BG,交BG的 11.(1)c2-(a-x)22ax(2)a2+b2<c2.理由略(3)9 延长线于点D. 2一定是直角三角形吗 因为AE=A'E=DG=4cm,所以BD=16cm. 1.D2.A【变式】543.90° 在Rt△A'DB中，由勾股定理，得A'D=12cm, 所以该圆柱的底面周长为24cm. 数学8年级上 章末复习 5.B6.D7.B 1A2A3.B4号 -88五Z099995 9.B10.B 8.(1)无理数集合： -0.1212121…(相邻两个1之间 50 11.D12.(1)△BCD为直角三角形.理由略 (2)3cm 2的个数逐次加1)，…； 13.A14.30cm215.2.25 (2)整数集合：{-2,0，-32，-(-1)，…}； 16.解：(1)如图，过，点A作AD⊥BC于点D. 因为AB⊥AC,所以∠BAC=90° 3)分数集合：{- 3 ，-3.14,0.37,31,…}； 因为AC=300km,AB=400km, (4)正实数集合： 所以BC2=AC2+AB2=3002+4002=5002,所以BC=500km. 是引0.，-（-103 因为AD1BC,所以SaMc=专BC·AD=AB·AC, 1 0.1212212221…(相邻两个1之间2的个数逐次加1)，… 所以AD= AB·AC400×300 BC 500 =240(km). 9.D10.131.c12.c13.-2(答案不唯-) B 因为AD<260km,所以农场A会受到台风的 14.解：(1)如图1，Rt△ABC即为所求 影响 (2)如图，取BC上两点E,F,使得AE=AF 260km. 易得台风在线段EF上移动时，会对农场A造 图1 图2 图3 成影响. (2)如图2，Rt△DEF即为所求. 因为AD=240km,AE=AF=260km,AD⊥BC,所以DE= (3)如图3，正方形PQRS即为所求。 DF-√260-240=100(km), 15.解：假设直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边长为 所以CD√3002-2402=180(km), n,n是一个有理数.由勾股定理，得n2=5. 所以CE=CD+DE=280km, 所以同时影响农场A和B市的距离为260一(500一280)=40(km). 因为m是一个有里数，所以设刀=号口与6是互质的两个整 因为台风的速度是25km/h, 所以受台风影响的时间为40÷25=1.6(h). 数，里60，剥=（后）广，即5=（合）广，所以a=56. 17.25或16 18.25或7 因为b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数. 中考新趋势 再设a=5m(m是整数，且m≠0)，所以(5m)2=5b2,所以b2= 5m2,所以b也为5的倍数，与a,b是互质的正整数矛盾. 故假设不成立，即直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边 2.解：(1)△ABC是直角三角形.理由略 长是一个无理数. (2)因为AD=13dm,AE=5dm,AE⊥DE, 2平方根与立方根 所以在Rt△ADE中，由勾股定理，得 DE=√/AD-AE=√132-5=12(dm). 第1课时算术平方根 如图，过点A作AG⊥BC于点G. 1A2.A3.c415.113(2)号(3)0.12(48 由(1)，得△ABC是直角三角形，所以S△AC= 6.B7.18.(1)a≥0(2)a≤0(3)a≥0(4)a≤3 号AB·AC=号BC·AG,所以AG 9.B10.D【变式】√1011.B12√/713.D AB·AC_6X8 14.D【变式】215.(1)14.14(2)10000m BC 10 =4.8(dm),所以购物车上篮子的左边缘D到 第2课时平方根 地面的距离为DE+AG+r=12+4.8+1=17.8(dm) 1.C2.C3.C4.B5.-2024【变式1】-5【变式2】16 3.60 4.解：(1)是.理由略 6.士而2±号(3)±专 (4)士0.15 (2)设NB=x,则MN=24-AM-NB=18-x. (5)±5(6)±10-3 ①当MN为最长线段时，依题意，得MN2=AM+NB, 7.7778.② 即(18-x)2=36十x2,解得x=8; ②当NB为最长线段时，依题意，得NB2=AM2十MN2, 9.168-号8日 (40.01(5)8(6±号 即x2=36+(18-x)2,解得x=10. 10.±3【变式】1611.D12.(1)π-3.14(2)-a 综上所述，NB=8或NB=10. 11 11 第二章实数 13.(10x1=2x2=- 2 (2)x1=4,x2=-8 1认识实数 (3)x1=√27-3，x2=-√27-3 1.D2.D3.C 14.±515.(1)±3(2)a=3,m=256或a=-5,m=576 4.解：(1)a不是有理数.理由如下： 16.(1)10cm(2)不能.理由略 由题意，得ra2=50π，解得a2=50. 第3课时 立方根 因为a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数 1.A2.C3.D4.0或-1或1【变式】B5.-2 (2)因为72=49,82=64， 所以a介于7和8之间，它的整数部分是7，小数部分是a一7 60.5②76（或写作-而）80片④- 册(BS版)⑦3 勾股 A知识分点练 夯基础 知识点1应用勾股定理解决问题 1.(2025·沈阳皇姑区月考)我国是最早了解“勾股定 理”的国家之一.“勾股定理”描述了直角三角形 三条边长之间的关系：直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方.请运用“勾股定理”解 决以下问题：一个底面半径为8cm、高为15cm 的圆柱形饮料罐如图所示，将一根笔直的吸管 从上底面中心的小圆孔插入饮料罐.若罐壁厚 度和上底面的圆孔直径均忽略不计，则吸管在 饮料罐内部的最大长度是 () A.16 cm B.17 cm C.20 cm D.25 cm 8cm 15cm 第1题图 第2题图 2.(教材P22复习题T9变式)如图，滑杆在机械槽内 运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB的长为 25m,顶端A在AC上运动，量得滑杆底端B 与点C的距离为15m,当底端B向右移动5m 到达点D,顶端A到达点E时，滑杆顶端A下 滑了 m. 3.(教材P15习题T3变式)如图，某隧道的横截面由 半圆和长方形构成，其中长方形的长为4m,宽 为2.5m.一辆装满货物、宽为2.4m的卡车欲 通过此隧道，则卡车的高必须低于 () -4m A.4.1m B.4.0m C.3.9m D.3.8m 10 一本·初中数学8年级上册BS版 理的应用 知识点2勾股定理中“方程思想”的应用 4.【新情境·数学文化】《九章算术》是我国古代最 重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一 道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地， 去本三尺，问：折者高几何？”翻译成数学问题 是：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC十 AB=10,BC=3,求AC的长.设AC=x,则可 列方程为 Am 5.【新情境·跨学科】(2024·吉林改编)图1中有一 首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所 在位置的湖水深度，其示意图如图2所示，其中 AB=AB′，AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺，B'C= 2尺（尺为古代长度单位），则AC= 尺 B R 诗文：波平如镜一湖面，半尺 高处生红莲亭亭多姿湖中立 突遭狂风吹一边离开原处二尺 远，花贴湖面像睡莲。 图1 图2 6.(2025·卓新实验中学期中改编)如图，有一块直角 三角形纸片ABC,∠C=90°，AC=4cm,BC= 3cm,将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC 的延长线上的点E处，折痕为AD,则CD的长 为 第6题图 第7题图 7.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落 在对角线AC上，折痕为CE,且点D落在对角 线上的点D'处.若AB=3,AD=4,则ED的 长为 8【新情境·生活情境】(2025·沈阳浑南区期中)勾 股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用 代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数 形结合的纽带之一.如图，有一架秋千，当它静 止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE 为0.8m,将秋千AD往前推送3m(即BC= 3m,且BC⊥AD),到达AB的位置，此时，秋 千的踏板离地的垂直高度BF为1.8m,秋千 的绳索始终保持拉直的状态 (1)求秋千AD的长度； (2)如果将秋千AD往前推送4m,求此时踏板 离地的垂直高度， 知识点3应用直角三角形的判定条件解决问题 9.如图，南北向的MN为两海域的分界线，即 MN以西为甲海域，以东为乙海域.上午9时 30分，巡逻艇A发现正东方向有一快艇C以 8海里/时的速度向甲海域驶来，便立即通知 MN线上的巡逻艇B密切注意.A,C两艇的距 离是20海里，A,B两艇的距离是12海里，B, C两艇的距离是16海里，E为分界线MN与 AC的交点.若快艇C的速度不变，最早会在什 么时候进人甲海域？ E B能力综合练 练思维 10.(2025·锦州八中期中)如图，E是长方形ABCD 的边AB上一点，将长方形沿CE折叠，使点 B恰好落在ED上的点F处.若BE=1,BC= 3,则CD的长为 12 A.2 B.4 C.5 R- 第10题图 第11题图 11.(2025·沈阳虹桥中学期中)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4,BC=6,D是BC的中 点，E是AC上一动点，将△CDE沿DE折叠 得到△C'DE,连接AC',当△AEC是直角三 角形时，CE的长为 第一章勾股定理11 12.【新情境·数学文化】在我国古代数学著作《九 章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃 (kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何？”大意是： 如图，推开两扇门(AD和BC),门边缘D,C 两点到门槛AB的距离为1尺（尺、寸为古代 长度单位，1尺=10寸)，两扇门间的缝隙CD 为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度的和）AB 为 寸. B 门槛 13.(2025·锦州凌海月考)如图，在一条东西走向的 河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点 A,B,其中AB=AC,由于某种原因，由C到 A的路现在不能通行，该村为方便村民取水， 决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在 同一条直线上)，并新修一条路CH,测得 CB=10 km,CH=8 km,HB=6 km. (1)CH是不是从村庄C到河边的最近的路？ 请通过计算加以说明， (2)求新路CH比原路CA少多少千米. 北 H 12一本·初中数学8年级上册BS版 14.在△ABC中（如图1），已知AB=15,BC= 14,AC=13,求△ABC的面积. 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解 题思路（如图2），请你按照他们的解题思路完 成解答过程. 图1 作AD⊥BC 根据勾股定 利用勾股定 于点D,设 理，将AD作 理求出AD BD=x,用含 →为“桥梁”，建 →的长，再计算 x的代数式表 立方程模型 三角形的面 示CD的长. 求出x的值， 积 图2