2.1.1 倾斜角与斜率（一）导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“直线的倾斜角与斜率”，核心涵盖倾斜角概念及取值范围、斜率定义与公式、两者对应关系，以及确定直线的几何要素，通过概念辨析到公式应用的梯度设计，为后续直线方程学习搭建支架。 资料以“理解概念—掌握方法—应用拓展”为主线，典型例题覆盖概念辨析、斜率计算、范围求解及三点共线证明，结合表格对比倾斜角与斜率关系，注重数形结合，培养学生用数学眼光抽象几何要素、用数学思维推理运算、用数学语言表达关系的核心素养，提升学习效率与应用能力。

第二章 直线与圆的方程 第二章 直线与圆的方程 §2.1.1 倾斜角与斜率（一）【导学】 导学目标： 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.【难点】 2.掌握求直线斜率的两种方法.【重点】 3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素． 【知识要点】 直线的倾斜角 ①x轴正向； ②直线向上的方向； ③小于180°的非负角． 直线的倾斜角α的取值范围 {α| 0°≤α＜180°} 规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°． 斜率的概念 及斜率公式 倾斜角α(α≠90°)的正切值． 记法：k＝tanα．(α≠90°) 斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率 (范围) 0 k>0 不存在 k<0 k的增 减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大 对应情况如下表所示． 斜率k 0 1 不存在 － －1 － 倾斜角α 斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝ ． 注意：当x1＝x2时，斜率不存在． 三点共线的判断方法 若A、B、C三点共线 kAB=kAC 【典型例题】 题型一　直线的倾斜角 【例1-1】下列命题正确的是(　　) A．两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行 B．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α C．若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α的度数可以大于60° D．若α是直线l的倾斜角，且tan α＝，则α＝45° 【例1-2】已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________. 【例1-3】(衔接教材P54L1)已知A(3，2)、B(-4，1)、C(0，1),求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 题型二　直线斜率的运算 【例2-1】若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为 . 【例2-2】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. ①A(2,3)，B(4,5)； ②C(－2,3)，D(2，－1)； ③P(－3,1)，Q(－3,10). 题型三　 利用数形结合求倾斜角或斜率范围 【例3-1】若直线的倾斜角满足，求的取值范围. 【例3-2】已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 【例3-2】如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（    ） A．k1<k3<k2. B．k3<k1<k2. C．k1<k2<k3. D．k1>k2>k3 题型四　直线的斜率的应用 【例3-1】已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3， 求: 的最大值和最小值． 【例3-2】已知三点A(0,1)，B(1,3)，C(2,5)， 求证：A，B，C三点共线. 【例3-3】如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(3,－5)在同一条直线上，求实数m的值. 【例3-4】若三点M（2，2），N（a，0），Q（0，b），（）共线，求的值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $