2.1相等关系与不等关系第1课时课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦相等关系与不等关系，核心内容包括从情境抽象不等关系、实数大小比较的基本事实及基本不等式的探索证明。课堂导入通过回顾初中等式“现实背景→相等关系→性质→应用”的学习路径，类比引出本章不等关系研究，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如用限速、酸奶质量等实例引导学生经历“提取变量→符号翻译”的抽象过程培养数学抽象，借助赵爽弦图数形结合探究基本不等式发展几何直观与逻辑推理。小结通过问题链梳理研究路径与方法，助力学生构建知识体系，也为教师提供结构化的探究式教学方案。

2.1.1 相等关系与不等关系 教学目标 （1）能从情境中抽象出不等关系，并能写出相应的不等式（组），发展数学抽象素养. （2）理解两个实数大小关系的基本事实，体会其蕴含的数学思想方法，并能用基本事实作力理论支撑去比较两个代数式的大小. （3）经历重要不等式+的探索过程，并能证明，积累基本活动经验，提升数学运算、逻辑推理素养. 教学重难点 教学重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和运用. 教学难点：从不等关系中抽象出不等式. 环节一 创设情景，提出问题 问题1 现实生活中最简单的数量关系就是相等关系和不等关系，回顾初中等式、不等式的学习过程，你能否说一说我们研究了哪些内容，是按照怎样的路径去研究的？ 问题2 阅读教材第36页章引言，本章的研究对象是什么？用什么方法研究？ 研究方法：梳理、类比等. 路径：以前的等式的研究按照“现实或数学背景→相等关系与等式→等式的性质→方程及其解法→应用”的学习过程。 环节二 抽象概念，内涵辨析 问题3 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，你能举出几个具有相等或不等关系的例子吗？ 追问1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1） 某路段限速 40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 追问2:你能归纳一下上述分析、抽象不等式的基本过程吗？    提示： 先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系，几何问题不妨先画图，数形结合更能有效简洁地描述题意. 总结：阅读实际问题→提取变量→获取量之间 的关系→用符号语言翻译→写出不等式（组） 问题4： 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 追问1: 如何解这个不等式？ 追问2: 解不等式与解方程类似.解方程的依据是什么？ 类似地，你认为解不等式的依据是什么？ 追问3: 你知道不等式的哪些性质，这些性质是正确的吗？ 问题中的不等关系用不等式表示为，求出这个不等式的解集，就能知道如何定价. 解方程的依据为等式的性质，类比得出 解不等式的依据就是不等式的性质. 初中所讲的不等式性质： (1)如果a>b, 那么a+c>b+c,a-c>b-c (2)如果a>b,c>0，那么ac>bc,a÷c>b÷c (3)如果a>b,c<0，那么ac<bc,a÷c<b÷c 问题5 研究不等式性质，要从比较两个实数大小关系的基本事实出发.如何比较两个实数的大小关系呢？ 追问: 上面这个结论(2)就是两个实数大小关系的基本事实.想想用基本事实作为理论工具去比较两个数的大小有什么优点. (1)数轴上两个数的位置关系确定其大小关系. (2)a>b⇔a-b>0, a<b⇔a-b<0, a=b⇔a-b=0 看似简单的移项变形，却可将比较两个数的大小转化成它们的差与0的大小关系，这样可以通过减法运算和代数变形,实现问题的解决。 例1： 比较（x+2）（x+3）和（x＋1）（x+4）的大小. 解：因为 (x+2)(x+3)-(x＋1)(x+4) =（x2+5x+6)-(x2+5x+4) =2>0 所以 (x+2)(x+3)>(x＋1)(x+4) (1)通过两个实数大小关系的基本事实，将两个多项式的大小关系转化成它们的差与0的大小关系. (2)0是正数与负数的分界点，它为实数的比较大小提供了“标杆”. 环节三 例题练习，巩固理解 问题6 图2.1-1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是想据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 追问1： 若用a,b表示直角三角形的两条直角边，你能表示出图中四个直角三角形和大正方形的面积吗？   追问2： 四个直角三角形的面积与大正方形面积之间存在的相等和不等关系，你能表示出来吗？ 追问3： 从发现关系的过程来a、b为正数，如果a，b∈R，上述不等式成立吗？为什么？ 图形的构成：由4个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间部分是一个小正方形。 4个直角三角形的面积为 大正方形的面积 +。 +,等号成立的条件为a=b 证明过程学生完成 环节四 小结提升，形成结构 问题7：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）我们是如何发现和提出本节课所要研究的问题的？ （2）我们从实际问题所蕴含的不等关系抽象出不等式，经历了怎样的过程？用了哪些方法？ （3）两个实数大小关系的基本事实是什么？所蕴含的数学思想是什么？这个基本事实有什么作用？ 环节五 目标检测，检验效果 1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系： （1）某高速公路规定通过车辆的车货高度h从地面算起不超过4m； （2）a与b的和是非负实数； （3）如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个 仓库,仓库的四周建成绿地，仓库的长L大于宽W的4倍.    环节六 布置作业，应用迁移 作业1：教材第42页习题2.1第2、3、4题. 作业2：已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），糖水变甜啦.请将这一事实表示为一个不等式.请从我们生活中寻找这样有趣的不等关系实例并相互交流. $