1.2.4 利用数轴化简绝对值 专题导学案 2025-2026学年人教版七年级数学上册

绝对值的化简 一．自主学习，质疑交流。 1．（23-24七年级上·湖北宜昌·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，且．    用“＞”或“＜”填空：______0，______0，______0； 2.已知有理数在数轴上的位置， (1) _________0；_________0；_________0；（用“”填空） 3.若，，且异号，则的值为（ ） A．7或3 B．3或 C．3 D．7 二．合作探究，展示反馈。 合作探究一：（利用数轴化简绝对值） 在自主学习部分1题的基础上化简：． 在自主学习部分2题的基础上试化简 小试牛刀： 1.有理数a、b、c在数抽上的位置如图： （1）判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________0，_______0． （2）化简：． 合作探究二： 2.数轴上表示数a，b，c的点如图所示，．    (1)在数轴上点的上方，将数a，b，c分别标在恰当的位置上； (2)化简：． 小试牛刀： 1.已知有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图，O表示原点． (1)请在数轴上表示出数对应的点的位置； (2)请按从小到大的顺序排列的大小； (3)化简：． 2.如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且． (1)原点在第_________部分（填序号）； (2)化简式子：； (3)若，且，求点B表示的数． 3.有理数 a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图：    (1)在数轴上表示； (2)化简： ； (3)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0； 化简：． 合作探究3：（分类讨论化简绝对值） 3.阅读下列材料：，即当时，．应用这个结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数， ①当，时，则______； ②当，时，则______； ③当，时，则______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 小试牛刀： 1.若，则的值为（ ） A．0或1 B．或 C． D． 2．若，则的值可能是（ ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 3．已知非零有理数，，满足，则 ． 合作探究4：（几何意义化简绝对值） 阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离.一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)若，求的值； (3)若，写出整数的值； (4)若代数式的最小值是，请直接写出的值． 小试牛刀： 1.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数的点位于与5之间，则______． 2.用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______时，有最______值_____； (3)当_______时，有最______值_____； (4)当，求的值 (4)当______时，的值最小，最小值是____ __． 3.【知识呈现】： 我们都知道，表示与的差的绝对值，也可以理解为数轴上m，n对应的两个点之间的距离.如5与在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为，又如任意一个数与数3在数轴上对应的两点之间的距离可以表示为． 【学以致用】： （1）在数轴上8和对应的两个点之间的距离是_____； （2）借助数轴解答问题：若，则的值为_____． 【用以致学】： （3）借助数轴，求得的最小值为_____． （4）借助数轴，求得的最大值为_____． 【变式5-3】同学们都知道，表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上对应的两个点之间的距离．如4与在数轴上对应的两点之间的距离表示为，任意一个数x与数2在数轴上对应的两点之间的距离可表示为．试利用数轴探索： （1）______；若，x的值为_______； 建立模型： 表示数轴上有理数x所对应的点到3和所对应的两点距离之和，结合数轴： 模型应用： （2）若，则x的值为_______． （3）的最小值为_______． 延申拓展： （4）的最小值为_______． 三．归纳总结，训练检测。 利用数轴化简绝对值 处理方式：在利用数轴化简绝对值时，先依据数轴上点的位置判断绝对值内式子的正负，若为正，去掉绝对值符号后式子不变；若为负，去掉绝对值符号后变为其相反数；若为零，去掉绝对值符号后仍为零，最后再进行整式的化简合并。分类讨论化简绝对值 处理方式：先找出绝对值内式子等于0时未知数的取值，以此为分界点划分区间，再分别讨论各区间内绝对值内式子的正负性，正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数，零的绝对值为零，进而去掉绝对值符号进行化简，最后综合各区间结果得出答案 几何意义化简绝对值 绝对值的几何意义：的几何意义是到原点的距离；的几何意义是a到b的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $