第二章　有理数及其运算　单元培优A卷　　2025-2026学年北师大版（2024）七年级数学上册

2025-2026学年七年级上学期第二单元培优A卷 数学(北师大版2024) 姓名： 班级： 座号： （本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。考试时间：120分钟 满分120分 ） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．地球上的陆地面积约为平方公里，把用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 4．将式子改写成省略括号的形式为（    ） A． B． C． D． 5．在3，，0,1四个数中，最大的数是（    ） A．3 B． C．0 D．1 6．a、b是有理数，大小如数轴上所示，则a，b，|a|，b的大小关系是（　　） A．b＞|a|＞a＞b B．|a|＞a＞b＞b C．|a|＞b＞b＞a D．|a|＞b＞a＞b 7．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（　　） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 8．下列各数中，是负数是（        ）． A．2025 B．-2025 C．|-2025∣ D． 9．下列计算中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 10．定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 2、 填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．一袋大米的标准质量是10千克，如果比标准质量多千克记作千克，那么比标准质量少千克记作 千克． 12．如图是有理数a，b在数轴上的对应点的位置，则 0（选填“>”“<”“=”）．    13．定义，则 ． 14．在数轴上表示和10两点之间插入三个点，使这5个点每相邻两点之间的距离相等，则这三个点所表示的数分别是 ， ， ． 15．【乘法分配律】计算： ． 16．规定是一种新的运算法则，满足，例如：，则 ． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算： 18．计算： (1) (2) 19．把下列各数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“＜”号连接起来： ，0.5，0，-（-3.5），，． 20．把下列各数填在相应的集合里： ，2．5，，，0，49，，321，． 整数集合{　 　…} 负数集合{　 …} 21．请根据图示的对话，解答下列问题． 小永 我不小心把老师布置的作业弄丢了，只记得式子是． 小定 我告诉你，的相反数是2，的绝对值是5，在正半轴上，且距原点2个单位长度． (1)直接写出，的值：_____，_____； (2)求的值． 22．请根据图示的对话，解答下列问题． 小永 我不小心把老师布置的作业弄丢了，只记得式子是． 小定 我告诉你，的相反数是2，的绝对值是5，在正半轴上，且距原点2个单位长度． (1)直接写出，的值：_____，_____； (2)求的值． 23．出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，． (1)小李下午出发地记为，他将最后一名乘客送抵目的地时，在小李下午出车时的出发地的哪一边距离有多远？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ 24． 已知x，y为有理数，现规定一种新运算*，满足 (1)求的值； (2)对于任意两个有理数x，y，是否都有成立？如果成立，请证明，如果不成立，请举反例说明； (3)如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是．若线段以6个单位长度每秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度每秒的速度向左匀速运动．问运动多少秒时，（单位长度）？此时点B在数轴上表示的数是多少． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级上学期第二单元培优A卷 数学(北师大版2024) 姓名： 班级： 座号： （本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。考试时间：120分钟 满分120分 ） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．地球上的陆地面积约为平方公里，把用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：148000000用科学记数法表示为：， 故选C． 2．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，数形结合是解题的关键． 根据实数a，b在数轴上的位置可得,进而判断各式的符合即可． 【详解】解： A选项不正确， ，故D选项正确 故B选项不正确 故C选项不正确 故选D 3．下列四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握负数小于，正数大于；两个负数比较大小，绝对值越大其值越小．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴四个数中最小的数是， 故选：B． 4．将式子改写成省略括号的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握去括号法则及正确去括号是解题关键． 直接利用有理数的加减运算法则化简得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 5．在3，，0,1四个数中，最大的数是（    ） A．3 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的能力，运用有理数大小比较的知识进行求解，熟练掌握正数大于负数，0大于负数且小于正数的大小比较法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴最大的数是3， 故选：A． 6．a、b是有理数，大小如数轴上所示，则a，b，|a|，b的大小关系是（　　） A．b＞|a|＞a＞b B．|a|＞a＞b＞b C．|a|＞b＞b＞a D．|a|＞b＞a＞b 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与绝对值，相反数，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． 根据题意，在数轴上表示出|a|，b，根据数轴右边的数大于左边的数即可求解． 【详解】解：如图，在数轴上表示出|a|，b， ∴|a|＞b＞b＞a， 故选C． 7．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（　　） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律是解题的关键 先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解； 【详解】甲：原式 乙：原式 故选：A 8．下列各数中，是负数是（        ）． A．2025 B．-2025 C．|-2025∣ D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了去绝对值、负数的定义等知识点，掌握小于零的数为负数是解答本题的关键． 根据正数和负数的定义即可解答． 【详解】解：A.2025是正数，不是负数，故本选项不符合题意； B. -2025是负数，故本选项符合题意； C.|-2025∣=2025是正数，故本选项不符合题意； D. 是正数，故本选项不符合题意． 故选B． 9．下列计算中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的减法和去绝对值，熟记运算法则是解题的关键． 运用有理数的加减混合运算法则，逐一计算即可判断． 【详解】A．，故错误，此选项符合题意； B．，故正确，此选项不符合题意； C．，故正确，此选项不符合题意； D．，故正确，此选项不符合题意； 故选A． 10．定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（）是解题关键． 【详解】解∶原式 故选：D． 2、 填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。 11．一袋大米的标准质量是10千克，如果比标准质量多千克记作千克，那么比标准质量少千克记作 千克． 【答案】 【分析】本题主要考查相反意义的量， 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此求解即可． 【详解】解：如果比标准质量多千克记作千克，那么比标准质量少千克记作千克， 故答案为：． 12．如图是有理数a，b在数轴上的对应点的位置，则 0（选填“>”“<”“=”）．    【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较．根据数轴上，靠近右边数大于其左边的数，得出，根据有理数的乘法即可得出答案． 【详解】解：由图可得，， ∴， 故答案为：． 13．定义，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握新定义运算法则是解题的关键． 先利用定义新运算法则计算，再计算即可． 【详解】解：由题意得： ，， 故答案为：． 14．在数轴上表示和10两点之间插入三个点，使这5个点每相邻两点之间的距离相等，则这三个点所表示的数分别是 ， ， ． 【答案】 1 4 7 【分析】本题考查数轴与有理数，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键． 先求出与10之间的距离，再将距离4等分，求出每一份的距离，从而求出插入的点的位置即可． 【详解】解：∵与10之间的距离为， ∴每相邻两点之间的距离是， ∴插入的三个点表示的数分别是，，， 故答案为：1，4，7． 15．【乘法分配律】计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查有理数乘法运算律，利用乘法分配律进行简便计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：1． 16．规定是一种新的运算法则，满足，例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则． 按照新定义的运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ； 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原式先计算括号里面的和乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果． 【详解】解： 18．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据乘法分配律计算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．把下列各数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“＜”号连接起来： ，0.5，0，-（-3.5），，． 【答案】各数在数轴上表示见解析；＜＜0＜0.5＜-(-3.5)＜． 【分析】此题考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握． 首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据数轴上的点表示的数，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来即可． 【详解】解：如图所示： ＜＜0＜0.5＜-(-3.5)＜ 20．把下列各数填在相应的集合里： ，2．5，，，0，49，，321，． 整数集合{　 　…} 负数集合{　 …} 【答案】，，0，49，321；，，， 【分析】本题考查有理数的两种不同的分类标准．填入时对各数据按照从左到右的顺序判断后依次填入，避免重填或漏填． 根据有理数的分类：从整数分数情况，有理数包括整数和分数；从正负情况，有理数包括正数、负数和0，对各数据判断后填入即可． 【详解】解：整数集合{，，0，49，321…}； 负数集合{，，，…}． 21．请根据图示的对话，解答下列问题． 小永 我不小心把老师布置的作业弄丢了，只记得式子是． 小定 我告诉你，的相反数是2，的绝对值是5，在正半轴上，且距原点2个单位长度． (1)直接写出，的值：_____，_____； (2)求的值． 【答案】(1) ；5 (2)0或10 【分析】本题考查有理数的加减法，掌握相反数“的相反数是”与绝对值的定义是正确解决本题的关键． （1）根据相反数及绝对值的定义解答出与的值即可； （2）根据（1）求出的值和在正半轴上，且距原点2个单位长度，求出代入求值即可． 【详解】（1）解：的相反数是2，的绝对值是5， 故答案为： ；5； （2）解：由题意，得． 当时，原式， 当时，原式， 综上所述，原式或10． 22．请根据图示的对话，解答下列问题． 小永 我不小心把老师布置的作业弄丢了，只记得式子是． 小定 我告诉你，的相反数是2，的绝对值是5，在正半轴上，且距原点2个单位长度． (1)直接写出，的值：_____，_____； (2)求的值． 【答案】(1) ；5 (2)0或10 【分析】本题考查有理数的加减法，掌握相反数“的相反数是”与绝对值的定义是正确解决本题的关键． （1）根据相反数及绝对值的定义解答出与的值即可； （2）根据（1）求出的值和在正半轴上，且距原点2个单位长度，求出代入求值即可． 【详解】（1）解：的相反数是2，的绝对值是5， 故答案为： ；5； （2）解：由题意，得． 当时，原式， 当时，原式， 综上所述，原式或10． 23．出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，． (1)小李下午出发地记为，他将最后一名乘客送抵目的地时，在小李下午出车时的出发地的哪一边距离有多远？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ 【答案】(1)在出发地东边千米处 (2)升 【分析】（）把各数相加，根据结果及正负数的意义即可求解； （）根据绝对值的意义求出总路程，再乘以油耗即可求解； 本题考查了有理数加法的实际应用，正负数的实数应用，有理数混合运算的实数应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：小李将最后一名乘客送抵目的地时，在出发地东边千米处； （2）解：（升）， 答：这天下午小李共耗油升． 24． 已知x，y为有理数，现规定一种新运算*，满足 (1)求的值； (2)对于任意两个有理数x，y，是否都有成立？如果成立，请证明，如果不成立，请举反例说明； (3)如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是．若线段以6个单位长度每秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度每秒的速度向左匀速运动．问运动多少秒时，（单位长度）？此时点B在数轴上表示的数是多少． 【答案】(1)1 (2)不成立，见解析 (3)或，4或16 【分析】本题考查了新定义运算，数轴上的两点间的距离，分类思想，熟练掌握定义，灵活运用数轴上两点间的距离公式是解题的关键． (1)根据新定义运算法则计算即可． (2)根据新定义运算法则计算，举反例说明即可． (3)根据新定义运算法则计算，确定A，C表示的数，结合线段的长度，确定B，D表示的数，再根据运动的规律分类计算即可． 【详解】（1）∵， ∴． （2）不成立．理由如下： ∵，， ∴不成立． （3）∵点A在数轴上表示的数是， ∵， ∴点B在数轴上表示的数是：， ∵点C在数轴上表示的数是， 设运动t秒时，（单位长度），此时点B表示的数为，点C表示的数为， ①当点B在点C的左侧时，由题意得：， 解得， 故点B表示的数为； ②当点B在点C的右侧时， 由题意得：， 解得， 故点B表示的数为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $