14.3.2 角平分线的判定 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线的判定定理，通过学习导入中判断几何语言正误的方式，回顾角平分线性质定理需“垂直距离”和“角平分线”条件，引导学生从性质定理的题设与结论互逆出发，搭建从性质到判定的学习支架。 其亮点在于以互逆思想为主线，通过命题改写、交换题设结论引导思考，培养抽象能力与推理意识。结合规范证明过程和几何语言表述，辅以内心性质、构造全等三角形等典例，发展学生逻辑推理与几何直观。学生能深化对判定定理的理解，教师可借助分层例题提升教学效率。

第十四章 全等三角形 14.3.2角平分线的判定 学习目标 1.探索并证明角的平分线的判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，并会进行应用； 2.区别角的平分线的性质定理和判定定理,并灵活运用，感受互逆的数学思想,发展学生的推理能力和解题能力． 3.培养积极探求客观真理的科学态度，渗透数学中普遍存在的相互联系、相互转化、相互制约的关系 重点：角的平分线的判定定理 难点：区别角的平分线的性质定理和判定定理 复习导入 判断以下几何语言是否正确？ (1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)， 所以 ＝ . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD B A D C 缺少“垂直距离”这一条件 DC⊥AC，DB⊥AB (2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)， B A D C 所以 = . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD 缺少“角平分线”这一条件： AD 平分∠BAC (已知) 感悟新知 知识点1 角平分线的判定 将以下命题改写成“如果……那么……” 的形式． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 如果有一个点在角的平分线上， 那么这点到角的两边的距离相等. 思考：交换角平分线性质中的题设和结论，你能得到什么结论？正确吗？ 如果有一个点到角的两边的距离相等， 那么这个点在角的平分线上 C D ∟ E ∟ A O B P G ∟ F ∟ P′ 感悟新知 知识点1 角平分线的判定 在一个角的内部，如果有一个点到角的两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上 已知：如图，点P是∠AOB内部任意一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为Ｄ、Ｅ， PD=PE 求证:　点P在∠AOB的平分线上． D ∟ E ∟ A O B P ∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO (HL) ∴∠AOC=∠BOC ∴点P在∠AOB的平分线上。 C 证明：经过点Ｐ作射线OC. ∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中 OP=OP, PD=PE, ∵ 感悟新知 知识点1 角平分线的判定 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 文字语言： 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. B A D O P E C 定理的作用： 判断点是否在角平分线上.（判定角平分线） 几何语言： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 典例解析 题型1 运用角平分线的判定 例1.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：(1)点P到三角形三边的距离均相等。 (2) △ABC的三条角平分线交于一点。 Ａ Ｃ Ｐ Ｄ Ｆ Ｅ Ｍ Ｎ B 证明：(1) 过点Ｐ作ＰＤ⊥ＡＢ，ＰＥ⊥CＢ，ＰＦ⊥ＡC，垂足分别为Ｄ，Ｅ，Ｆ。 ∵ＢＭ是△ＡＢＣ的角平分线， 点Ｐ在ＢＭ上． ∴ＰＤ＝ＰE 同理ＰＥ＝ＰＦ ∴ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ 即点Ｐ到三边的距离相等。 (2)由(1)得，点Ｐ到三边的距离相等， ∴点Ｐ在∠A的平分线上， ∴ △ABC的三条角平分线交于一点 这个点称为内心——内心的性质 针对训练 1.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 针对训练 2.如图,BD=CD,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E. 求证:点D在∠BAC的平分线上. 证明:∵BF⊥AC,CE⊥AB, ∴∠BED=∠CFD=90°. 在△BDE和△CDF中, ∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF, ∴点D在∠BAC的平分线上. 针对训练 3.如图,在△ABC中,P为BC上一点,PM⊥AB,垂足为M,PN⊥AC,垂足为N,∠CAP=∠APQ,PM=PN,下面的结论: ①AN=AM; ②QP∥AM; ③△BMP≌△CNP. 其中正确的是(　 　) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ A 典例解析 题型2 利用角平分线构造全等 例2：如图，已知，. 求证：A B A D O C E F ∟ ∟ 证明： 过点作于点，于点 ， 在和中 ∴ ∵ ∴ ∴点在的角平分线上. 即 A 证明:过点A作AM⊥BD,AN⊥CE,垂足分别为M,N. ∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中, ∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE,S△BAD=S△CAE, ∴BD·AM=CE·AN,∴AM=AN. 又∵AM⊥BD,AN⊥CE,∴OA平分∠BOE. 针对训练 4.如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD,CE交于点O,连接OA.求证:OA平分∠BOE. 针对训练 5.如图,CA=CB,点E在BC上,且CE=CD,∠ACB=∠DCB=90°,AE的延长线交BD于点F,连接CF.求证: (1)AE=BD; (2)FC平分∠AFD. 证明:(1)在△ACE与△BCD中, ∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD. (2)如图,过点C作CG⊥AF,CH⊥BD,垂足分别为G,H. 由(1)知,△ACE≌△BCD, ∴AE=BD,S△ACE=S△BCD, 即AE·CG=BD·CH,∴CG=CH. 又∵CG⊥AF,CH⊥DF,∴FC平分∠AFD. 针对训练 6.如图，∠B =∠C = 90°，E 是 BC 的中点，AE 平分∠DAB. 求证：DE 平分∠ADC.（提示：过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F.） F ∟ 证明：如图，过点 E 作 EF⊥AD，垂足为 F. ∵AE 平分∠DAB，EF⊥AD，∠B=90°， ∴EF = BE. ∵E 是 BC 的中点， ∴CE = BE， ∴EF = CE. 又 EF⊥AD，∠B = 90°， ∴DE 平分∠ADC. 针对训练 7. 如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离. ∟ N M ∟ 解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC， MN的长即为AD与BC之间的距离. ∵ AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6. 即AD与BC之间的距离为6. 归纳小结 角的平分线的常见应用模型 ∟ ∟ 作业布置 课堂作业:P52习题14.3的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $