专题01二次函数（期中专项训练）（15种常考题型）九年级数学上学期人教版五四制

专题02 二次函数（15种常考题型） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的图象在解题中的应用 · 二次函数图象的平移在解题中的应用 · 二次函数的性质在解题中的应用 · 二次函数图象上的三角形在解题中的应用 · 二次函数图象上的四边形在解题中的应用 · 二次函数图象上的平行线在解题中的应用 · 利用待定系数法求二次函数解析式 · 利用平移求二次函数解析式 · 利用对称求二次函数解析式 · 线段最值问题 · 面积最值问题 · 全等三角形问题 · 特殊三角形存在性问题 · 平行四边形存在性问题 · 角度问题 1． 二次函数的图象在解题中的应用（共4小题） 1．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于x的方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 3.（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图函数图象是由函数的图像轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ． ； 将图像向上平移个单位后与直线有个交点．    4.（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标． 2． 二次函数图象的平移在解题中的应用（共4小题） 5.（22-23九年级上·广西贺州·期中）抛物线向上平移4个单位后的解析式为（    ） A． B． C． D． 6.（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）抛物线是由抛物线先向左平移3个单位再向上平移4个单位而得，则 ． 7.（23-24九年级上·广东广州·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)把抛物线沿轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在轴上，求的值． 8．（22-23九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标； (2)沿水平方向平移该二次函数的图象，使其平移后的抛物线的顶点到y轴的距离为4，请直接写出平移的方向和距离． 3． 二次函数的性质在解题中的应用（共4小题） 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知三点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 10．（23-24九年级上·河南周口·期中）已知，，是抛物线上的点，比较，，的大小 ． 11．（23-24九年级上·广东云浮·期中）抛物线经过，两点． (1)求b，c的值； (2)若点，都在该抛物线上，试比较与的大小． 12．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，在抛物线上，其中． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，比较的大小； (3)若，且，求的取值范围． 4． 二次函数图象上的三角形在解题中的应用（共4小题） 13.（21-22九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BC⊥y轴交此抛物线于点D，且CD＝BC，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．12 C．6 D．3 14.（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴正半轴于点C，交y轴于点A，轴交抛物线于点B，则的面积是 ． 15．（23-24九年级上·贵州六盘水·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若四边形的周长为a，则的周长为 （用含a的代数式表示）．    16．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，得到矩形．设直线与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线的图象经过点C、M、N． (1)点B的坐标为 ，点B'的坐标为 ； (2)求抛物线的解析式； (3)求的面积． 5． 二次函数图象上的四边形在解题中的应用（共4小题） 17.（22-23九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，已知抛物线与坐标轴交点分别为A、B、C三点，点D为此抛物线顶点，则四边形的面积为 ． 18.（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象与轴分别交于、两点，且A点坐标为，顶点关于轴的对称点是． (1)求二次函数的关系式； (2)求四边形的面积． 19．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求的坐标； (2)求四边形的面积． 20.（20-21九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D． （1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积； （3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由． 6． 二次函数图象上的平行线在解题中的应用（共4小题） 21．（21-22九年级上·福建莆田·期中）如图，点是轴正半轴上一点，直线平行于轴，分别交抛物线与于两点，过点作轴的平行线交的图像于点，直线，交的图像于点，则 ． 22．（22-23九年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点B，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)平行于x轴的直线与抛物线分别交于点D，E，求线段的长． 23．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，已知抛物线经过二点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标，并求出此时的周长； (3)平行于的直线交抛物线于M，N两点，点M在点N的上方，连接，交于点P，在图二中根据题意补全图形并求点P的横坐标． 24．（22-23九年级上·湖北襄阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点A作平行于x轴，抛物线于点C，点F为抛物线上一动点（点F在上方），作平行于y轴交于点D．问当点F在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积． (3)当时，函数的最大值为4，求t的值． 7． 用待定系数法求二次函数解析式（共4小题） 25.（22-23九年级上·云南昭通·期中）如图，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·吉林·期中）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 ． 27.（23-24九年级上·吉林·期中）已知抛物线的顶点坐标是，且经过点．求该抛物线的解析式． 28. （23-24九年级上·北京房山·期中）二次函数的图象经过点和点，求此二次函数解析式． 8． 利用平移求二次函数（共4小题） 29.（22-23九年级上·山东济宁·期中）把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 30.（23-24九年级上·广西柳州·期中）将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是 . 31.（23-24九年级上·吉林松原·期中）若二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，与轴的另一个交点为，与y轴交于点B．    (1)点C的坐标为 ； (2)将二次函数的图象向下平移5个单位长度，求平移后的二次函数的解析式． 32．（22-23九年级上·陕西安康·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：经过点和． (1)求抛物线C的解析式； (2)将抛物线C先向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标． 9． 利用对称求二次函数（共4小题） 33．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式表示为（   ） A． B． C． D． 34．（21-22九年级上·甘肃武威·期中）抛物线y=2(x+1)2+7关于x轴对称的抛物线的解析式为 ． 35．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，两点在一次函数与二次函数的图象上． (1)求的值和二次函数的解析式； (2)请直接写出使时，自变量的取值范围为______； (3)直接写出所求的抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为______． 36．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于点和点，交y轴于点C，且点C、D是二次函数图象上关于对称轴对称的一对点，一次函数的图象经过点B、D． (1)求二次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为________． 10． 线段最值问题（共3小题） 37.（22-23九年级上·山东东营·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与轴相交于A，两点（点在A点右侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式和A，两点的坐标； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线交直线于点，求的最大值以及此时点的坐标． (3)在（2）的条件下，在对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． 38．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 39．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C；点P是第四象限抛物线上一点，过点P作轴，交x轴与点D，交BC与点E． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作交于点F，求的最大值及此时点E的坐标； (3)如图②，点Q是线段OC上一点，且，连接QB，OF，点P在运动过程中，是否存在的值最小，若存在．请直接写出的最小值． 11． 面积最值问题（共3小题） 40.（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．    (1)求这个二次函数的解析式的一般式； (2)若点为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点运动过程中，四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 41．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），连结，，以，为边作，点的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当有两个顶点在轴上时，则点的坐标为____________； (3)当是菱形时，求的值． (4)当为何值时，的面积有最大值？ 42．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点H，连接，，求面积的最大值及此时点P坐标． 12． 全等三角形问题（共2小题） 43.（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上一点，过点作的垂线，垂足为，是上的点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点和点的坐标． 44．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，抛物线经过点和，与轴交于两点，与轴交于点，它的对称轴为直线，顶点为 (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 13． 特殊三角形存在性问题（共2小题） 45.（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由； (3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 46.（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图1所示，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及点C的坐标； (2)如图2所示，点P是抛物线上第一象限的一点，交y轴于点Q，且，求点P的坐标； (3)若点N是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点M，使得是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14． 特殊四边形存在性问题（共2小题） 47.（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线经过，，三点． (1)求这条抛物线的解析式： (2)P为抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点为顶点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 48.（23-24九年级上·天津·期中）已知如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点，且以为一边的平行四边形呢？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 十五．角度问题（共2小题） 49.（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，是该抛物线的顶点．    (1)求的值． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在抛物线对称轴上是否存在点，使？若存在，请求出符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 50.（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． $专题01 二次函数（15种常考题型） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的图象在解题中的应用 · 二次函数图象的平移在解题中的应用 · 二次函数的性质在解题中的应用 · 二次函数图象上的三角形在解题中的应用 · 二次函数图象上的四边形在解题中的应用 · 二次函数图象上的平行线在解题中的应用 · 利用待定系数法求二次函数解析式 · 利用平移求二次函数解析式 · 利用对称求二次函数解析式 · 线段最值问题 · 面积最值问题 · 全等三角形问题 · 特殊三角形存在性问题 · 平行四边形存在性问题 · 角度问题 1． 二次函数的图象在解题中的应用（共4小题） 1．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握抛物线开口、对称轴、与x轴y轴交点等与a、b、c的关系是解题的关键． 由抛物线开口方向，对称轴位置可判断A、B，由时可判断C，由抛物线与x轴交点以及b的范围可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，故A正确，不符合题意； 由函数图象得抛物线的对称轴为直线 ∴ ∴，故选项B错误，符合题意； 由图象可得时， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于x的方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、一次函数及二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程因式分解法，熟练掌握这四个知识点的综合应用，其中一元二次方程解法的选择是解题关键． 把代入，求出，把，代入，求出、，再把、、代入，解一元二次方程即可． 【详解】解：把代入， 得， 把，代入， 得， 解得：， 关于的方程化为， ， ，， 故选：C． 3.（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图函数图象是由函数的图像轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ． ； 将图像向上平移个单位后与直线有个交点．    【答案】①③④ 【分析】根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与y轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有3个交点，故④正确． 【详解】图象经过，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即， 故正确； ， 抛物线与轴交点在轴下方， 故错误； ， ， ， 故正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：    综上：正确的有①③④， 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式、系数与图象的关系、待定系数法求二次函数的表达式等是解答本题的关键 4.（23-24九年级上·新疆伊犁·期中）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质；熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值； （2）设点E的坐标为，则点F的坐标为，则可得到EF与x的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标． 【详解】（1）解： 点，， ，， ， ， 把和代入二次函数中得： ，解得：， 二次函数的解析式为：； （2）如图，直线AB经过点，， 设直线AB的解析式为， ，解得：， 直线AB的解析式为：， 二次函数， 设点，则， ， 当时，EF的最大值为， 点E的坐标为． 2． 二次函数图象的平移在解题中的应用（共4小题） 5.（22-23九年级上·广西贺州·期中）抛物线向上平移4个单位后的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据左加右减，上加下减的规律，可得答案． 【详解】解：抛物线向上平移4个单位后的解析式为，即． 故选：A． 6.（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）抛物线是由抛物线先向左平移3个单位再向上平移4个单位而得，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则求出平移后的解析式，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∴， ∴； 故答案为：6． 7.（23-24九年级上·广东广州·期中）已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)把抛物线沿轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在轴上，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称轴： （1）根据对称轴，代入计算，即可作答． （2）把进行分类讨论，当和，进行列式作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）当时，开口向上，则 ∵沿轴向下平移个单位，得到抛物线，且新抛物线顶点落在轴上， ∴ 解得：； 当时，开口向下，则 ∵沿轴向下平移个单位，得到抛物线，且新抛物线顶点落在轴上， ∴ 解得：， 综上，或 8．（22-23九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标； (2)沿水平方向平移该二次函数的图象，使其平移后的抛物线的顶点到y轴的距离为4，请直接写出平移的方向和距离． 【答案】(1)二次函数的解析式为，顶点坐标为． (2)二次函数图象向右平移了5个单位或二次函数图象向左平移了3个单位． 【分析】（1）本题主要考查了用待定系数法二次函数解析式，将点和点代入解析式，求解即可． （2）本题考查二次函数的平移规律，根据顶点坐标的平移情况，即可解题． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点， ，解得， 二次函数的解析式为， 将其化为顶点式有， 二次函数的顶点坐标为． （2）解：平移后的抛物线的顶点到y轴的距离为4， 二次函数的顶点坐标可以为或， 当二次函数的顶点坐标由平移到，则二次函数图象向右平移了5个单位， 当二次函数的顶点坐标由平移到，则二次函数图象向左平移了3个单位． 3． 二次函数的性质在解题中的应用（共4小题） 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知三点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．将点，，代入中，求出，，，最后比较得到，，的大小关系． 【详解】解：抛物线为，点，，都在该抛物线上， ， ， ， ， 故选：A． 10．（23-24九年级上·河南周口·期中）已知，，是抛物线上的点，比较，，的大小 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减少，当时，函数有最大值， ∵关于对称点为，， ∴． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·广东云浮·期中）抛物线经过，两点． (1)求b，c的值； (2)若点，都在该抛物线上，试比较与的大小． 【答案】(1)b的值为，c的值为3 (2) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数关系式，二次函数的性质． （1）把，两点代入得方程组，求解方程组即可； （2）由抛物线解析式可得图象的开口方向和对称轴，进而求解． 【详解】（1）把，两点代入，得： 解得 所以b的值为，c的值为3． （2）由（1）知抛物线的解析式为， 所以抛物线开口向上，对称轴为． 所以点都在对称轴的右侧． 而当时，y的值随x增大而增大， 因为，所以． 12．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，在抛物线上，其中． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，比较的大小； (3)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式，代入进行计算即可得到答案； （2）由（1）可得，抛物线对称轴为直线，由可知抛物线的开口向上，由横坐标越接近对称轴，值越小，计算即可得到答案； （3）先由二次函数的性质得到，，，再表示出，再结合得出，从而得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 该抛物线的对称轴为直线； （2）解：由（1）可得，抛物线对称轴为直线， ， 抛物线的开口向上， 横坐标越接近对称轴，值越小， ，，， ； （3）解：在抛物线上， ，，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 4． 二次函数图象上的三角形在解题中的应用（共4小题） 13.（21-22九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BC⊥y轴交此抛物线于点D，且CD＝BC，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】由可得点坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点坐标，再通过求出长度，通过三角形面积底高求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 点为， 点坐标为， ． ， ， ． ． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 14.（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴正半轴于点C，交y轴于点A，轴交抛物线于点B，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先求出点A的坐标，抛物线的对称轴，然后根据对称轴求出点B的坐标，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， 抛物线的对称轴为， 又轴交抛物线于点B， ∴， ∴的面积是． 故答案为：2． 15．（23-24九年级上·贵州六盘水·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若四边形的周长为a，则的周长为 （用含a的代数式表示）．    【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的性质．此题利用了抛物线的对称性，解题的技巧性在于把求四边形的周长转化为求（的周长）的值，从而可得答案． 【详解】解：∵对称轴为直线，抛物线经过原点、与轴负半轴交于点， ∴， ∵由抛物线的对称性知， ∴四边形的周长为的周长． ∴的周长为； 故答案为： 16．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，得到矩形．设直线与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线的图象经过点C、M、N． (1)点B的坐标为 ，点B'的坐标为 ； (2)求抛物线的解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)；； (2)抛物线的解析式为； (3)的面积为 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，矩形的性质等知识，关键是对二次函数性质的掌握和运用．（1）根据矩形的性质和直角坐标系中点的坐标特征得出结论；（2）用待定系数法求出直线BB′的解析式，再求出M，N坐标，再用待定系数法求抛物线解析式；（3）根据（1）、（2）中点M，N，C坐标，由三角形面积公式求面积即可． 【详解】解：（1）∵矩形的顶点， ∴，， ∴点； 由旋转可得：，， ∴点． 故答案为：，； （2）设直线BB′的解析式为， 则有， 解得：， ∴直线BB′的解析式为； ∵直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N， ∴点M的坐标为，； ∵抛物线的图象经过点，； ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）∵，，， ∴，， ∴； ∴的面积为． 5． 二次函数图象上的四边形在解题中的应用（共4小题） 17.（22-23九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，已知抛物线与坐标轴交点分别为A、B、C三点，点D为此抛物线顶点，则四边形的面积为 ． 【答案】9 【分析】根据题意，分别求出A、B、C、D的坐标，连接，计算，，，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵与坐标轴交点分别为A、B、C三点，点D为此抛物线顶点， ∴当时， 当时， 解得：或， ∵， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积． 故答案为：9． 【点睛】本题考查二次函数顶点，与x轴y轴交点及围成图形面积问题，解题关键是作辅助线将四边形分成底边在x轴或y轴上的三角形 18.（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象与轴分别交于、两点，且A点坐标为，顶点关于轴的对称点是． (1)求二次函数的关系式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)二次函数的关系式为 (2) 【分析】本题考查求二次函数的解析式以及二次函数图象与坐标轴交点的问题， （1）把点的坐标代入二次函数解析式，计算求出的值，即可得解； （2）把二次函数解析式整理成顶点式解析式，根据二次函数的对称性求出点的坐标，从而求出的长，再根据顶点坐标求出点到轴的距离，然后求出的面积，根据对称性可得，计算即可得解． 【详解】（1）在二次函数的图象上， ， 解得， 二次函数的关系式为； （2）， 顶点的坐标为， ，对称轴为， 点的坐标为， ， ， 顶点关于轴的对称点是， ．    19．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）把代入，求出x的值，即可得出A和B的坐标，把代入求出y的值，即可得出D的坐标，将化为顶点式，即可得出C的坐标； （2）过点C作轴于点E，则，进而得出，再根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作轴于点E， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴交点，用割补法求面积，解题的关键是掌握求二次函数与坐标轴交点坐标的方法，求顶点坐标的方法，以及用割补法求面积的方法 20.（20-21九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D． （1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积； （3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，D（﹣1，4）；（2）9；（3）存在， Q（﹣，0）． 【分析】（1）由待定系数法求出抛物线的表达式，进而求出顶点D的坐标． （2）根据勾股定理证明是直角三角形，四边形ABCD的面积＝×BC×CD+×AB×OC，计算求解． （3）作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE，计算得出直线DE的解析式，DE交x轴于点Q，代入计算求出点Q的坐标． 【详解】解：（1）∵设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c， 将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：， 解得 ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3， ∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4， ∴点D的坐标为（﹣1，4）； （2）∵由点B、C、D的坐标可知，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD为直角三角形， ∴四边形ABCD的面积＝＝． （3）存在，Q（﹣，0），如图 作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点， ∵设直线ED的表达式为y＝kx+b，将D、E两点坐标代入可得， ， 解得， ∴直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3， 令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣， ∴点Q的坐标为（﹣，0）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆用，求多边形面积及两点间线段最短，运用数形结合的方法是解题关键 6． 二次函数图象上的平行线在解题中的应用（共4小题） 21．（21-22九年级上·福建莆田·期中）如图，点是轴正半轴上一点，直线平行于轴，分别交抛物线与于两点，过点作轴的平行线交的图像于点，直线，交的图像于点，则 ． 【答案】/ 【分析】设再分别求解 从而可得答案. 【详解】解：设 轴， ， 则 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形，熟练的应用函数图象上点的坐标满足函数的解析式建立方程是解本题的关键. 22．（22-23九年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点B，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)平行于x轴的直线与抛物线分别交于点D，E，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解得：，则抛物线的表达式为：，将点A的坐标代入上式并解得：，即可求解； （2）由直线与抛物线解析式可求出D和E的坐标，则可得出答案． 【详解】（1）解：将代入得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得，， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：∵平行于x轴的直线与抛物线分别交于点D、E， ∴， 解得或， ∴，， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，已知抛物线经过二点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标，并求出此时的周长； (3)平行于的直线交抛物线于M，N两点，点M在点N的上方，连接，交于点P，在图二中根据题意补全图形并求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法将代入求解即可确定函数解析式； （2）根据（1）中结果得出对称轴为直线，设点P为，根据题意得出的周长为：，确定当B，P和C三点共线时，存在最小值，然后利用勾股定理求解即可； （3）设，同（2）中方法一致确定直线：，直线：，得出，再由直线与抛物线的交点即为方程的根确定，代入即可得出结果． 【详解】（1）解：根据图象得：， 将代入抛物线解析式中， 得，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）的对称轴为直线， 设点P为， ∵对称轴垂直平分， ∴． ∴的周长为：， 其中， 当B，P和C三点共线时（如图所示）， 则存在最小值，的最小值为， ∴周长的最小值为 设直线的解析式为，将点带入得：， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴点P的坐标为； （3）如图所示： 由得， 由（2）得直线： 设， 同理得直线：，直线： ∴ 解得： ① ∵， ∴设直线： 则， ∴m,n为方程的两个根， ∴即② ②代入①得， ∴点P的横坐标为． 【点睛】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，周长问题及与一次函数交点问题，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 24．（22-23九年级上·湖北襄阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点A作平行于x轴，抛物线于点C，点F为抛物线上一动点（点F在上方），作平行于y轴交于点D．问当点F在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积． (3)当时，函数的最大值为4，求t的值． 【答案】(1) (2)，面积最大为 (3) 【分析】（1）先利用一次函数求出A、B的坐标，然后把A、B坐标代入抛物线解析式中求解即可； （2）先求出点C坐标为，设点F的坐标为，点D的坐标为．证明，则，据此求解即可； （3）先求出时，y的值最大，最大值为4，再结合已知条件建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：直线中，当时，，当时，， ∴． 将代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵轴，且点C在抛物线上， ∴点C的坐标为． 设点F的坐标为，点D的坐标为． ∵轴 ∴， ∴ ∵． ∴当时，有最大值． 当时， ． ∴此时． （3）∵， ∵， ∴时，y的值最大，最大值为4， ∵时，函数的最大值为4， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 7． 用待定系数法求二次函数解析式（共4小题） 25.（22-23九年级上·云南昭通·期中）如图，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象可知函数与坐标轴的交点坐标，设，代入整理即可． 【详解】解：由图象可得函数与x轴的交点坐标为和， 可设， ∵函数与y轴的交点坐标为， ∴， 解得：， ∴，整理可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键 26．（23-24九年级上·吉林·期中）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，先设顶点式，然后根据二次函数的性质确定a的值即可，根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式是解决此题的关键． 【详解】∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式可设为， ∵抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同， ∴， ∴所求抛物线的解析式为． 故答案为：． 27.（23-24九年级上·吉林·期中）已知抛物线的顶点坐标是，且经过点．求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，把二次函数解析式设为顶点式，再代入A点坐标进行求解即可． 【详解】解：设该抛物线解析式为， 把代入中得， 解得， ∴抛物线解析式为． 28.（23-24九年级上·北京房山·期中）二次函数的图象经过点和点，求此二次函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法及方程组的解法，将点和点代入解析式中，求出b，c即可． 【详解】解：将，代入得， ， 解得 ， ∴此二次函数解析式为． 8． 利用平移求二次函数（共4小题） 29.（22-23九年级上·山东济宁·期中）把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移．根据二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”．即可求解． 【详解】解：把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 30.（23-24九年级上·广西柳州·期中）将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是 . 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是， 故答案为：． 31.（23-24九年级上·吉林松原·期中）若二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，与轴的另一个交点为，与y轴交于点B．    (1)点C的坐标为 ； (2)将二次函数的图象向下平移5个单位长度，求平移后的二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求得点C的坐标； （2）运用待定系数法求出抛物线解析式，然后利用二次函数图象的平移规律求得平移后的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：∵点C与点关于直线对称， ∴， 故答案为：； （2）把，代入得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为， ∴将二次函数的图象向下平移5个单位长度得到的二次函数的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法和“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 32．（22-23九年级上·陕西安康·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：经过点和． (1)求抛物线C的解析式； (2)将抛物线C先向左平移5个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线C的解析式： （2）根据平移规律写出抛物线的解析式，继而求得顶点坐标． 【详解】（1）解：把点和分别代入，得 ． 解得． 故该抛物线C的解析式为：； （2）由（1）知，抛物线C为． 将抛物线C先向左平移5个单位，再向下平移1个单位， 得到抛物线的解析式为：，即， 故抛物线的顶点坐标是． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图像与几何变换以及二次函数的性质，解题的过程中注意配方法的应用 9． 利用对称求二次函数（共4小题） 33．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线线上的点沿x轴对称得到的新抛物线的顶点横坐标与原抛物线的顶点横坐标相同，新抛物线的顶点纵坐标与原抛物线的顶点纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ∵关于x轴对称点的坐标为 ∴对称后抛物线解析式为 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的轴对称变换，熟练掌握轴对称变化的规律是解答本题的关键． 34．（21-22九年级上·甘肃武威·期中）抛物线y=2(x+1)2+7关于x轴对称的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】先求出关于轴对称的抛物线的顶点坐标为，再根据关于轴对称的抛物线的二次项的系数与原抛物线的二次项的系数互为相反数，由此利用顶点式即可得出答案． 【详解】解：抛物线的二次项的系数为2，顶点坐标为， 此抛物线关于轴对称的抛物线的二次项的系数为，顶点坐标为， 所求的抛物线的解析式为，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象关于轴对称的变化规律是解题关键． 35．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，两点在一次函数与二次函数的图象上． (1)求的值和二次函数的解析式； (2)请直接写出使时，自变量的取值范围为______； (3)直接写出所求的抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，坐标与图形变化—轴对称等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点B坐标代入一次函数解析式求出m的值，再把点A坐标代入一次函数解析式求出点A的坐标，最后把A、B坐标代入二次函数解析式中求出二次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方自变量的取值范围即可得到答案； （3）设是抛物线关于轴对称的抛物线图象上的一点，则点在抛物线的图象上，把代入中求出m、n的关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为， 把代入中得：， ∴， ∴； 把，代入中得：， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）得一次函数解析式为， 由函数图象可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，， ∴当时，自变量的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设是抛物线关于轴对称的抛物线图象上的一点， ∴点在抛物线的图象上， ∴， ∴， ∴抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为， 故答案为：． 36．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于点和点，交y轴于点C，且点C、D是二次函数图象上关于对称轴对称的一对点，一次函数的图象经过点B、D． (1)求二次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为________． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，设抛物线解析式为，解答即可； （2）根据题意，，，对称轴为，确定，确定直线与抛物线的交点坐标，然后利用数形结合思想，结合不等式，确定解集即可． 本题考查了待定系数法求抛物线解析式，数形结合思想求解析式构成的不等式的解集， 熟练掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线解析式为， 故抛物线解析式为． （2）解：根据题意，，，对称轴为， ∴， ∴直线与抛物线的交点坐标分别为和， ∵， ∴或． 10． 线段最值问题（共3小题） 37.（22-23九年级上·山东东营·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与轴相交于A，两点（点在A点右侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式和A，两点的坐标； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线交直线于点，求的最大值以及此时点的坐标． (3)在（2）的条件下，在对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)有最大值为4，此时； (3)． 【分析】本题考查二次函数和一次函数的综合，解题的关键是掌握待定系数求函数解析式，掌握二次函数的基本性质，掌握轴对称的性质． （1）利用对称轴求出a的值，再令，求出，，因为点在A点右侧，所以，； （2）求出，再求出直线的解析式为：，表示出，，得到，所以当时，有最大值为：4，此时； （3）由（2）可知：，证明与对称轴的交点即为点Q，且此时的值最小，求出直线的解析式为：，令，得，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式， 令，解得：，， ∵点在A点右侧， ∴，， （2）解：令，将其代入得：， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入可得：， 解得：， ∴． 过点作轴的垂线交直线于点， ∵点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合）， 故设，则， ∴ ∴当时，有最大值为4， 此时． （3）解：由（2）可知： ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴连接，与对称轴的交点即为点Q，此时的值最小， 设直线的解析式为：， 将，代入可得：， 解得： ∴， 令，得， ∴． 38．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，此时点 【分析】（1）利用待定系数法，设直线的解析式为，进而代入坐标求解即可； （2）利用待定系数法，设抛物线的解析式为，然后代入坐标求解即可； （3）先证得，进而得到，利用锐角三角函数得到，设点，则，由，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线l与x轴交于点A（6．0），与y轴交于点B（0，－6）， ，解得：， 直线的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线经过点， ∴解得：， 抛物线的解析式为； （3）解：∵、， ∴，在中，， ∴， ∵轴，，∴， 在中，∵，， ∴，∴， 在中，，， ，则， ， ， 设点，则， ， ， 当时，有最大值是，此时最大， 的最大值为， 当时，， 的最大值为，此时点． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、锐角三角函数、二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 39．（23-24九年级上·辽宁营口·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C；点P是第四象限抛物线上一点，过点P作轴，交x轴与点D，交BC与点E． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作交于点F，求的最大值及此时点E的坐标； (3)如图②，点Q是线段OC上一点，且，连接QB，OF，点P在运动过程中，是否存在的值最小，若存在．请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，． (3)的最小值为． 【分析】（1）根据抛物线过，，直接利用交点式写抛物线的解析式即可； （2）先求解直线为，证明，设，则，可得，再利用二次函数的性质可得答案； （3）如图，过作轴于，则为等腰直角三角形，求解，，可得，可得，如图，设，，，则，作关于轴的对称点，连接，则的最小值为的长，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线为：， 即抛物线为：； （2）把代入可得， ∴， 设直线为，把代入可得：， ∴直线为， ∵，， ∴，， ∵，则轴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴． （3）如图，过作轴于，则为等腰直角三角形， ∴， ∵，而， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 如图，设，，，    则， 作关于轴的对称点，连接， ∴的最小值为的长， ∴最小值为： ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与线段周长问题，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，二次根式的化简，熟练的利用轴对称的性质求解线段和的最小值是解本题的关键． 11． 面积最值问题（共3小题） 40.（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．    (1)求这个二次函数的解析式的一般式； (2)若点为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点运动过程中，四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4． 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合． （1）运用待定系数法解二次函数解析式即可求解； （2）如图，连接，作轴交于点，可求出直线的解析式，设点的坐标为，的坐标为，用含的式子表示四边形的面积，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，，交轴于点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接，作轴交于点，    设直线的解析式为，将点和点的坐标代入， ∴，解得， ∴， ∴设点的坐标为，的坐标为， ∴， ∴ ， ∴当时，四边形的面积取得最大值，此时， ∴， ∴当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为4． 41．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，作直线，点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合），连结，，以，为边作，点的横坐标为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当有两个顶点在轴上时，则点的坐标为____________； (3)当是菱形时，求的值． (4)当为何值时，的面积有最大值？ 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，平行四边形的面积有最大值 【分析】（1）根据抛物线与轴交于点得抛物线的解析式为，即可得； （2）抛物线的解析式为，令，则，则，根据有两个顶点在轴上时得点D在x轴上，根据四边形是平行四边形得，可得点P和点C为抛物线上的对称点，根据抛物线的对称轴为，，即可得； （3）设点P的坐标为，根据，，得，，根据是菱形得，可得，计算得，根据得，计算得，，根据点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合）得，即可得； （4）过点P作轴交直线于点E，设直线的解析式为，将，代入得，解得，，可得直线的解析式为，设，则，可得，根据三角形面积计算公式得，根据和二次函数的性质即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 即， （2）解：∵抛物线的解析式为，令，则， ∴， ∵有两个顶点在轴上时， ∴点D在x轴上， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点P和点C为抛物线上的对称点， ∵抛物线的对称轴为，， ∴， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵是菱形， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ， 即，， ∵点是抛物线在第四象限上一个动点（点不与点重合）， ∴， ∴； （4）解：如图所示，过点P作轴交直线于点E， 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵ ， ∴当时，平行四边形的面积有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是掌握二次函数的性质，菱形的性质，平行四边形的性质． 42．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点H，连接，，求面积的最大值及此时点P坐标． 【答案】(1) (2)当时，二次函数的最大值为4，最小值为 (3)面积的最大值为，此时点P坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的增减性求出当时，二次函数的最大值和最小值即可； （3）求出直线的解析式为，设点，则，求出，得出，求出二次函数的最大值即可得出答案． 【详解】（1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数取最大值， ∵， ∴当时，函数取最小值， ∴当时，二次函数的最大值为4，最小值为． （3）解：把代入得：， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大，且最大值为，此时点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析，求二次函数的最值，求一次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的图象和性质． 12． 全等三角形问题（共2小题） 43.（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上一点，过点作的垂线，垂足为，是上的点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点和点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，对应点的坐标为或；点的坐标为对应点E的坐标为或 【分析】（1）根据题意把顶点代入到解析式的顶点式中，即可求解； （2）设求出的值，当 时，点位于直线的右侧，此时， ，求出点的坐标为，即可求解; 当 时，点位于直线的左侧，同理可解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 故设抛物线的表达式为：； （2）在（1）中，当 时，， 即， 当时，即， 解得：， ， ， 设， 则， ， 或． ①当 时，点位于直线的右侧， 此时，， ∴点的坐标为， 对应点的坐标为或． ②当 时，点位于直线的左侧， 此时，， ∴点的坐标为， 对应点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数综合题，涉及到绝对值的运用，分类求解是解题本题的关键． 44．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，抛物线经过点和，与轴交于两点，与轴交于点，它的对称轴为直线，顶点为 (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)点的坐标为或，点的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是 （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据条件求出三点坐标，根据即可求解； （3）根据题意可知时，以为顶点的三角形与全等，设点，分两种情况：当点P在抛物线对称轴右侧时；当点P在抛物线对称轴左侧时分别求解． 【详解】（1）解：把和代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴，把代入得：， ∴， 令，解得：，∴， 令，则，解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与对称轴相交于点M，如图， 把代入直线的解析式为得：， ∴， ∴； （3）解： 由（2）得：，，，对称轴， ∴， 由题意得：， 则当时，以为顶点的三角形与全等， 设点， 当点P在抛物线对称轴右侧时，，解得， ∴， ∴点， ∴点或； 当点P在抛物线对称轴左侧时，由抛物线对称性可得，， 此时点或； 综上：点的坐标为或，点的坐标为或； 13． 特殊三角形存在性问题（共2小题） 45.（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由； (3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)存在，，，，； (3)存在点M使最小， 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入函数解析式，求出解析式，即可求出点A，C的坐标； （2）设，根据勾股定理分情况进行讨论，列出方程求解即可； （3）作点关于的对称点，连接交于点，连接，求出直线的解析式，直线的解析式，联立方程即可． 【详解】（1）解：将代入， 即， 解得， ， 令，， 令，， 解得， ； （2）解：存在点P，使是直角三角形， ，对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ①当时，， ， 解得； ②当，， ， 解得； ③当，， ， 解得或， 综上所述，或或或； （3）解：存在 作点关于的对称点，连接交于点，连接， 由对称性可知，， ， 当三点共线时，有最小值， ， ， ， 由对称性可知，， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设直线解析式为， ， 解得， 故直线解析式为， 联立方程组， 解得． 故． 46.（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图1所示，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及点C的坐标； (2)如图2所示，点P是抛物线上第一象限的一点，交y轴于点Q，且，求点P的坐标； (3)若点N是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点M，使得是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及正确画出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）把，代入，求出b和c的值，即可得出抛物线的解析式为，再求出当时，的函数值，即可得出点C的坐标； （2）易得，根据，求出，则，设直线的函数解析式为，把，代入，求出k和h的值，得出直线的函数解析式为，与抛物线解析式联立求解，即可得出点P的坐标； （3）过点M作直线的垂线，垂足为点F，过点M作y轴的垂线，垂足为点E，通过证明，得出，设，则，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立， 解得：，， ∴； （3）解：过点M作直线的垂线，垂足为点F，过点M作y轴的垂线，垂足为点E， ∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 则或， ①当时， 解得∶(舍去)， ∴； ②当时， 解得：， ∴，， ∵点M在x轴上方， ∴不符合题意，舍去， 综上：或． 14． 特殊四边形存在性问题（共2小题） 47.（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线经过，，三点． (1)求这条抛物线的解析式： (2)P为抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点为顶点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)这条抛物线的解析式为 (2) (3)存在，M点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，两点之间，直线最短，平行四边形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据两点之间，直线最短，找出点点P的位置，求出直线的解析式即可得到答案； （3）设，，根据平行四边形的性质，分①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，，三点， 解得 这条抛物线的解析式为． （2）解：连接交抛物线的对称轴于点P，此时的值最小． ， 抛物线的对称轴为直线． 设的直线解析式为， ， 解得 ． 当时，． ； （3）解：答：存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形． 解：设，， ①当为平行四边形的对角线时，． 解得或（舍去） ． ②当为平行四边形的对角线时，点M，N的横坐标差是1． 解得或 或． ③当为平行四边形的对角线时，． 解得或（舍去） ． 综上所述：M点坐标为或或或． 48.（23-24九年级上·天津·期中）已知如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点的左侧，点的坐标为，点的坐标    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点，且以为一边的平行四边形呢？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出直线的函数解析式为，过点作轴，交于点，交轴于点，设，则，可得，得到当时，有最大值，又得，可知当时，四边形面积的最大，代入计算即可求解； （）分点在轴上方和下方两种情况，画出图性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的几何问题，待定系数法求二次函数的解析式，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由得，，， ∴， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， ∴， ∴直线的函数解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴当时，四边形面积的最大， 此时，；    （3）解：存在． ①如图，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，则四边形为平行四边形， ∵， 把代入得，， 解得，， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点， 当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴，； 综上，点的坐标为或或． 十五．角度问题（共2小题） 49.（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，是该抛物线的顶点．    (1)求的值． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在抛物线对称轴上是否存在点，使？若存在，请求出符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)存在， 【分析】（1）把代入即可求解； （2）先根据条件求出，，，进而求出，利用勾股定理逆定理即可验证； （3）设，求出，利用勾股定理逆定理即可求解； 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得：抛物线解析式为：， ∴，， ∴， 令，即，解得：， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形； （3）解：存在； 由（2）得：，，， 设， ∴，， ∵， 若，则，即，解得：， ∴， ∴在抛物线对称轴上存在点，使； 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理以及其逆定理，灵活运用所学知识是关键． 50.（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接．当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)，，，． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）分点在左侧和点在由此两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图像及性质，进而求解． 【详解】（1）解：把代入中，得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：过点作轴平行线交轴于，交于点，作于点，    把代入中，得：， ∴点坐标是， 设直线， 把，，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴ 由得：， ∴ 整理得： 解得： ∵， ∴的值为或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； （3）解：存在． 由，，，得， ∴， ①当点在左侧时． 在轴上取点，，延长交抛物线于点． 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴设直线的解析式为， 由得：或， ∴； ②当点在右侧时， 作关于的对称，交二次函数于点，则，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 令中，，则， 解得或， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴ ∴在点抛物线上，即点满足条件． 故存在满足条件的点有两个，分别是，，，．    【点睛】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等，正方形的判定及性质，轴对称给的性质，掌握这些知识是解题关键 $