2.1.2两条直线平行和垂直的判定课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 学习目标 1. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 2.理解直线平行或垂直的判定条件。 3.会运用两条直线平行或垂直来解决问题。 4.核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、复习导入 直线 坐标点 倾斜角 方向向量 直线位置的几何要素 、形 斜率 数形结合 化归转化 几何问题 代数问题 倾斜角和斜率 二、新课讲授 1、两条直线平行 问题1：平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行.当两条直线， 平行时，它们的斜率， 满足什么关系？ 注：若没有特别说明，说“两条直线， ”时，指两条不重合的直线. y x O 即⟹ ， 形 数 反之，亦成立 故 （两条直线都有斜率） 追问1：上述关系，还有其他的证明方法吗？ y x O 设两条直线， 的斜率分别为， ，则直线， 的方向向量分别为=(1， )， =(1， )，于是： 1× 1× =0 于是，对于斜率分别为， 的两条直线， ，有： 追问2：当两条直线斜率不存在时，这两条直线是什么关系？ y x O 显然，当=90°时，直线， 的斜率不存在，此时 追问3：当两条直线重合时，它们的斜率有什么关系？ 斜率证明三点共线时，常常用到这个结论. y x O • A B • • C 共线 前提：斜率存在 如果直线l1,l2的斜率为k1,k2. 那么: *若两直线倾斜角都为90°，则两直线互相平行. l1∥l2或l1与l2重合 k1=k2或l1与l2的斜率均不存在 综上得: 2.两直线的斜率都不存在时： 1.两直线不重合且斜率都存在时： l1∥l2  k1=k2 总结、两直线平行的判定 (用斜率证明三点共线时，常用这个结论) 小结: 平面内两条直线 平行 相交 斜率相等 斜率不等 垂直 追问4：当两条直线垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还存在其它的特殊数量关系？ 特殊情况 2、两条直线垂直 问题2：当两条直线垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还存在其它的特殊数量关系？ y x O 追问1：上述关系，还有其他的证明方法吗？ （法一）若 ，则 ，下面讨论 情形，其他亦然。 所以 ,即 . 设两条直线， 的斜率分别为， ，则直线， 的方向向量分别为=(1， )， =(1， )，于是： 追问1：上述关系，还有其他的证明方法吗？ =0 = 1 即 = 1 追问2：当直线或 倾斜角为90°时，若则另一条直线的倾斜角为多少？ 显然，当=90°时， =0°.反之亦然. 法二 2.特殊情况下的两直线垂直: 若一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0，则两条直线互相垂直 综上得， 如果直线l1，l2的斜率为k1，k2 ，那么 1.两直线斜率都存在时： 总结、两直线垂直的判定 三、巩固新知 例1 已知A(2,3)，B(4,0)，P (3,1)， P (1,2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论. 分析： 1、画出两条直线 2、判断两条直线的位置关系 3、判断两条直线的斜率是否存在 4、判断斜率是否相等 解：如图，直线BA的斜率== 直线PQ的斜率== 因为 ，所以直线AB PQ. y x O • A P • • B Q • 例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2,–1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明. y x O A B C D 解：如图，由已知可得 AB边所在直线的斜率==- CD边所在直线的斜率==- BC边所在直线的斜率== DA边所在直线的斜率== 因为， = ，所以直线AB CD, BC DA. 因此,四边形ABCD是平行四边形. 例3 已知A(6,0)，B()，P ()， Q (6, )，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论. 解：直线AB的斜率== 直线PQ的斜率==- 因为 = ×(-)= 1，所以直线AB PQ. 例4 已知A(5, )，B()，C()三点，试判断△ABC的形状. A B C y x O 解：如图，由已知可得 AB边所在直线的斜率==- BC边所在直线的斜率== 因为=-×2= 1，所以直线AB BC，即∠ABC=90°. 所以，△ABC是直角三角形. 变式1 已知A(5, )，C()三点，点B在x轴上，且∠ABC为直角，求点B的坐标. 分析： 1、设B(x,0) 2、计算， 3、根据 1，构造方程 解：设B(x，0） 则== ， == 当x≠5且x≠2时， = × = 1 当x=5或x=2时，∠ABC均不为直角. 整理，得x² 7x+7=0 解得 x或x 20 变式4 －3 【巩固训练1】若A(3, 2), B(6, 1), C(a, 4)三点共线, 则a的值等于多少? 【巩固训练3】点M(1, 2)在直线l上的射影是H(-1, 4), 求直线l的倾斜角? 【巩固训练4】在平行四边形ABCD中, 已知A(3, -2), B(5, 2), C(-1,4), 求D的坐标? 45° (－3, 0) 【巩固训练2】已知A(-1, -1), B(1, 3), C(2, 5), 证明A, B, C三点共线. 练习 解1： 设 D(x，y)， 则由已知 A x y O B C D 得 即 即 又 由B,D,C三点共线， 得 即 即 ① ② 联立 ① ②解得： 【巩固训练5】已知△ABC, A(2, -1), B(3, 2), C(-3, -1), BC边上的高为AD,求D点及向量 的坐标. 解2： 设 D(x，y)， 则由已知得 即 即 ① ② 联立 ① ②解得： A x y O B C D 【巩固训练5】已知△ABC, A(2, -1), B(3, 2), C(-3, -1), BC边上的高为AD,求D点及向量 的坐标. 小结 结论1：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别 为k1、k2，有 l1∥l2 k1＝k2 结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分别为k1、 k2，则有 l1⊥l2 k1k2=-1 条件：不重合、都有斜率 条件：都有斜率 变式2.已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值. 解：若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(1＋1,1－5)＝－1， 解得m＝－7； 若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即eq \f(1＋1,1－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1， 解得m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1， 解得m＝±2. 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2. 变式3 已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B， C，D四点，试判定图形ABCD的形状． 解：A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图： 由斜率公式可得kAB＝eq \f(5－3,2－（－4）)＝eq \f(1,3)，kCD＝eq \f(0－3,－3－6)＝eq \f(1,3)， kAD＝eq \f(0－3,－3－（－4）)＝－3，kBC＝eq \f(3－5,6－2)＝－eq \f(1,2)， ∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD. 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行． 又kAB·kAD＝eq \f(1,3)×(－3)＝－1，∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形． 在直角梯形ABCD中，已知A(－5，－10)，B(15,0)，C(5,10)，AD是腰且垂直两底， 求顶点D的坐标． 解：设D(x，y)，因为DC∥AB，所以， ＝ 又因为DA⊥AB，所以＝－1． · 由以上方程组解得：x＝－11，y＝2．所以D(－11,2)． $