2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式 学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点). 2.会根据方程判断直线是否过定点，并会求定点坐标. 3.掌握两点间的距离公式并会应用(重点). 4.会用坐标法证明简单的平面几何问题(难点). 刘雨萌 导语 在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等. 刘雨萌 新知探究 问题1 已知两条直线l1：x+y-5=0，l2：x-y-3=0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示　直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x+y-5=0，也满足直线l2的方程x-y-3=0. 问题2（教材70页思考） 已知两条直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0相交，它们的交点坐标与直线l1，l2的方程有什么关系？你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗？ 一、求相交直线的交点坐标 刘雨萌 知识梳理 已知两条直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，设这两条 直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组 的解. 刘雨萌 典例分析 例1 (课本例1)　求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：l1：3x+4y-2=0，l2：2x+y+2=0. 解方程组得 所以，l1与l2的交点是M(-2，2)(如图). (课本例2)　判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0； (2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0； (3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0. l1与l2相交，交点是M. 所以l1与l2无公共点，l1∥l2. l1与l2重合. 刘雨萌 新知探究 问题3（教材71页思考） 你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？ 斜率判断： 如果两条直线的斜率相等，则它们平行；如果斜率的乘积为-1，则它们垂直。这是一种快速判断两条直线关系的方法。 优点：简单快捷，直观易懂，避免复杂计算。缺点：局限性大，不适用于一般式斜率不存在的情况，无法处理重合的情况。 解方程组： 将两条直线的方程联立成方程组，通过求解来判断。如果有唯一解，则两条直线相交；如果无解，则平行；如果有无穷多的解，则重合。 优点：通用性强，精准全面，同时得到交点。缺点：计算量大，不够直观，容易出错。 刘雨萌 典例分析 例1 (学习笔记50页例1) 设直线l1：x-2y+4=0与l2：x+y-2=0相交于点P， (1)求点P的坐标； 由题意得则P(0，2). (2)求过点P与Q(1，4)的直线方程； 方法一　由(1)得P(0，2)， 又∵直线也过Q(1，4)， ∴所求直线斜率为=2，故所求直线方程为y=2x+2，即2x-y+2=0. 二、交点直线系 刘雨萌 设直线l1：x-2y+4=0与l2：x+y-2=0相交于点P， (2)求过点P与Q(1，4)的直线方程； 典例分析 方法二　设所求直线方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0， 即(λ+1)x+(λ-2)y+4-2λ=0， ∵Q(1，4)在此直线上， ∴λ+1+4(λ-2)+4-2λ=0， 解得λ=1， 代入①式并整理可得所求直线方程为2x-y+2=0. 刘雨萌 设直线l1：x-2y+4=0与l2：x+y-2=0相交于点P， (3)求过点P且与直线l3：3x-4y+5=0平行的直线； 典例分析 方法一　∵所求直线与直线l3： 3x-4y+5=0平行， ∴所求直线的斜率为， 又直线过点P(0，2)， 故所求直线方程为y-2=(x-0)， 即3x-4y+8=0. 方法二　设所求直线的方程为 (x-2y+4)+λ(x+y-2)=0， 即(λ+1)x+(λ-2)y+4-2λ=0，① ∵所求直线与直线l3：3x-4y+5=0平行， ∴-=，解得λ=， 代入①式并整理可得， 所求直线方程为3x-4y+8=0. 刘雨萌 设直线l1：x-2y+4=0与l2：x+y-2=0相交于点P， (4)求过点P且与直线l3：3x-4y+5=0垂直的直线. 典例分析 方法一　设所求直线为l， ∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为， ∴直线l的斜率为-. 又直线过点P(0，2)， ∴直线l的方程为y-2=-(x-0)， 即4x+3y-6=0. 方法二　设所求直线l的方程为 (x-2y+4)+λ(x+y-2)=0， 即(λ+1)x+(λ-2)y+4-2λ=0， ∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为， ∴-×=-1，解得λ=11. ∴直线l的方程为x-2y+4+11(x+y-2)=0， 即4x+3y-6=0. 刘雨萌 反思与感悟 求过两条直线交点的直线方程的两种方法 (1)先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)利用过两条直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解. 刘雨萌 新知探究 问题4（学习笔记51页） 观察下面的图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过M点的直线方程？ 提示　当斜率存在时，y-1=k(x-4)(k∈R)；当斜率不存在时，x=4. 刘雨萌 例2（学习笔记51页例2） 无论m为何值，直线l：(m+1)x-y-7m-4=0恒过一定点P，求点P的坐标. 典例分析 方法一　∵(m+1)x-y-7m-4=0， ∴m(x-7)+(x-y-4)=0， 令∴点P的坐标为(7，3). 例2（学习笔记51页例2）若本例的条件不变，求证：无论m为何值，直线l总经过第一象限. 由例2的解答过程可知直线l恒过第一象限内的定点(7，3)， 所以无论m为何值，直线l总经过第一象限. 刘雨萌 反思感悟 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点然后验证该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解. (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+ λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必 过定点，其定点可由方程组解得. 刘雨萌 新知探究 我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的.因此，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式. 问题5（学习笔记51页） 在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示　|AB|=|xA-xB|. 问题6 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|P1P2|？ 提示　(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|=|x2-x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|=|y2-y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图， 刘雨萌 知识梳理 1.点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为______________________________. 2.原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|=. |P1P2|= 注：(1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)已知斜率为k(k≠0)的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|== ·|x2-x1|，或|P1P2|=|y2-y1|. 刘雨萌 典例分析 例3 (课本73例3)　已知点A(-1，2)，B(2)，在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值. 设所求点为P(x，0)， 则|PA|== |PB|==. 由|PA|=|PB|，得x2+2x+5=x2-4x+11. 解得x=1.所以，所求点为P(1，0)，且|PA|==2. 刘雨萌 典例分析 例3 (学习笔记51例3） 已知△ABC的三个顶点A(-3，1)，B(3，-3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 方法一　∵|AB|===2， |AC|===2， 又|BC|===2， ∴|AB|2+|AC|2=|BC|2， 且|AB|=|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形. 刘雨萌 典例分析 例3 (学习笔记51例3） 已知△ABC的三个顶点A(-3，1)，B(3，-3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 方法二　∵kAC==，kAB==-， ∴kAC·kAB=-1， ∴AC⊥AB. 又|AC|===2， |AB|===2， ∴|AC|=|AB|， ∴△ABC是等腰直角三角形. 刘雨萌 反思与感悟 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， |P1P2|=. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2-y1|或|x2-x1|求解. 跟踪训练1 　已知A(a，2)，B(-2，-3)，C(1，6)三点，且|AB|=|AC|，则实数a的值为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 刘雨萌 新知探究 问题7 你能利用P1(x1，y1)和P2(x2，y2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？ 例4 (课本73页例4)　用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 由两点间的距离公式，得|AC|2=(a+b)2+c2，|BD|2=(b-a)2+c2， |AB|2=a2，|AD|2=b2+c2. 所以|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2)， |AB|2+|AD|2=a2+b2+c2. 所以|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2)， 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 刘雨萌 如图，四边形ABCD是平行四边形.以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 在▱ABCD中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a+b，c). 由两点间的距离公式，得|AC|2=(a+b)2+c2，|BD|2=(b-a)2+c2， |AB|2=a2，|AD|2=b2+c2. 所以|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2)， |AB|2+|AD|2=a2+b2+c2. 所以|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2)， 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 典例分析 刘雨萌 典例分析 例4（学习笔记52页例4） 　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点. 设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)， 则|AB|=|c|. 由中点坐标公式，得D，E， ∴|DE|==，∴|DE|=|AB|， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 刘雨萌 反思与感悟 (1)用坐标法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 刘雨萌 跟踪训练2 　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|=|BD|. 如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a-b，c). ∴|AC|==， |BD|==. 故|AC|=|BD|. 跟踪训练 刘雨萌 课堂小结 刘雨萌 随堂演练 1.两条直线l1：2x-y-1=0与l2：x+3y-11=0的交点坐标为 A.(3，2) B.(2，3) C.(-2，-3) D.(-3，-2) √ 2.不论m为何实数，直线l：(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点 A.(-3，-1) B.(-2，-1) C.(-3，1) D.(-2，1) √ 3.已知M(2，1)，N(-1，5)，则|MN|等于 A.5 B. C. D.4 √ 4.已知△ABC的顶点坐标为A(-1，5)，B(-2，-1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为　　　　.  刘雨萌 课后作业 步步高练透155页 作业19 1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写） 刘雨萌 本节内容结束 $