精品解析：广西壮族自治区2025-2026学年高二上学期9月入学摸底大联考数学试题

广西2025年9月高二入学摸底大联考 数学 2025.9 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册（第一章）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法解集合，结合交集的概念与运算即可求解. 【详解】且， 或. . 故选：A 2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的概念判断可得出合适的选项. 【详解】，则， 故的虚部为. 故选：D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明即可证明充分性和必要性， 【详解】若，满足，但在实数范围内无意义，故充分性不满足； 因为等价于，所以， 当同时为0时，不能得到，故必要性不满足， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求三角函数值，再根据两角和的正弦公式化简求值. 【详解】点是角终边上一点， ， . 故选：D. 5. 在中，角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求出，再由数量积的定义计算可得. 【详解】因为， 由余弦定理得，又 所以. 故选：C 6. 如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】连接， 由题意，得． 故选：D 7. 已知函数，若定义域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为在上恒成立，求参数的取值范围. 【详解】由题意，在上恒成立， 所以①若，则在不能恒成立； ②若，则. 综上：. 故选：A 8. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面BB1C1C的法向量和直线MN的方向向量，利用两向量垂直，得到线面平行. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知平面BB1C1C的法向量. ∵A1M=AN=，∴M，N， ∴.∵， ∴MN∥平面BB1C1C， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利于空间向量判断线面平行，属于简单题目. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ） A. 设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B. 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D. 利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确． 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误. 【详解】对于A: 从中任取100件，可能有10件，A错误； 对于B: 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，B错误； 对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C错误； 对于D:10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D正确. 故选: ABC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若函数过定点，则函数经过定点 C. 函数在上单调递减 D. 图象关于原点成中心对称 【答案】AB 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的计算即可判断A；根据函数图象的平移变换即可判断BD；根据幂函数的图象与性质即可判断D. 【详解】对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，故A正确； 对于B，函数向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到 函数图象，由于过定点， 故函数经过定点，故B正确； 对于C，函数在上单调递减， 定义域为为偶函数， 故幂函数在上单调递增，故C错误； 对于D，， 其图象由向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 且图象关于原点对称，故图象关于点成中心对称，故D错误. 故选：AB. 11. 在长方体中，已知，，M、N分别为、的中点，则（ ） A. B. 异面直线BN与AC所成角的余弦值为 C. 若点T为长方形ABCD内一点（包括边界），且平面，则长的最小值为 D. 过点D，M，N的平面截长方体所得的截面周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用勾股定理计算即得；对于B，通过平移到，借助于，利用余弦定理即可求得；对于C，分别取的中点，连接，证明平面平面，可得点在线段上，当且仅当时，长最短，利用等面积求出长的最小值即可求得的最小值；对于D，先作出过点D，M，N的长方体的截面五边形，计算各边长，即得其周长. 【详解】对于A，因， M、N分别为、的中点， 故在中，，故A正确； 对于B，如上图取的中点，连接，则易得， 故四边形是平行四边形，则， 为异面直线BN与AC所成的角， 在中，，， ，由余弦定理，，故B错误； 对于C，如上图，分别取的中点，连接， 则易得，因平面，平面，则平面； 又，故四边形为平行四边形，则， 因，则四边形为平行四边形，故，则， 因平面，平面，则平面， 又平面，故平面平面， 因点为长方形ABCD内一点，且平面，又平面平面，则点在线段上， 因，要使最短，只需使最短，由图知，当且仅当时，长最短， 而长的最小值为，故长的最小值为，故C正确； 对于D，如上图，设直线分别与的延长线交于点， 连接，交于点，连接，交于点，连接， 则过点D，M，N的平面截长方体所得的截面为五边形， 因，而与相似，且相似比为，故， ，， 同理，，则，， 故五边形的周长为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的弧长与面积公式计算即可求解. 【详解】弧长为的弧所对的圆心角为，所以， 所以扇形面积为. 故答案为： 13. 某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为______.（，其中，r分别是上、下底面圆的半径，l是母线长.） 【答案】 【解析】 【分析】结合斜二测法可得圆台上、下底面半径及母线长度，结合圆台性质与圆锥的侧面积公式计算即可得该圆台的侧面积. 【详解】根据斜二测画法，还原平面图形，如图： 由题可得，，，， 则所得圆台上底面为以为半径的圆，下底面为以为半径的圆，高为， 其母线为， 故其侧面积. 故答案为： 14. 若一组数据，，，…，的方差为4，则，，，…，的标准差为________． 【答案】6 【解析】 【分析】求出新数据的均值后再利用方差的公式可求新数据的方差. 【详解】因为，，，…，的方差为4，平均数为， 所以， 新数据的平均数为， 所以新数据的方差 ． 所以，，，…，的标准差为6. 故答案为：6 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知空间内三点，，. （1）求的余弦值； （2）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）得到、向量后借助空间向量夹角公式计算即可得； （2）得到、向量后借助空间向量夹角公式计算可得，即可得，再借助面积公式计算即可得. 【小问1详解】 、， 则， 即的余弦值为； 【小问2详解】 ，， 则， 则， 则. 16. 的内角的对边分别为， （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知求出，再利用余弦定理得解； （2）求出，，即得解. 【小问1详解】 解：由已知可得，因为，所以. 在中，由余弦定理得， 即， 解得（舍去），. 【小问2详解】 解：由题设可得，所以. 故.又， 所以. 17. 某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位）的样本数据统计如下： （1）求样本数据的70%分位数；（精确到0.01） （2）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． ①若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品； ②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率． 【答案】（1） （2）①一等品；② 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图的中位数计算方法即可求解； （2）①利用频率直方图先计算出样本均值，即可做出判断； ②利用古典概型计算方法，先列举出总的基本事件，再选出事件所包含的基本事件，即可求出事件发生的概率. 【小问1详解】 由于前2组的频率和为0.3，前3组的频率和为0.75， 所以可知70%分位数一定位于第三组内， 设70%分位数为x，则，解得 【小问2详解】 ①根据频率直方图计算样本平均数： 因为样本标准差，，所以，又， 则可知该产品属于一等品． ②记三件一等品为，两件二等品为， 摸出两件产品总基本事件共10个，分别为： ，，，，，，，，，， 设摸出两件产品中至少有一个一等品记为事件，则包含的基本事件共9个，分别是： ，，，，，，，，， 所以. 则摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为. 18. 已知函数. （1）当时，求的取值范围； （2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解； （2）利用转化的思想可知在上有两个不同的实数根，根据正弦函数的图象与性质求出的取值范围，建立不等式组，解之即可求解. 【小问1详解】 ， .又， ，故的取值范围为. 【小问2详解】 . 当时，. 有两个不同的实数根， 又在上单调递增，在上单调递减，且当时， 作出函数的图象如图所示， 由正弦函数图象可知，解得， 故实数的取值范围是. 19. 已知均为等腰直角三角形，且，平面平面．平面四边形中，平面，点为的中点，连接． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：均为等腰直角三角形， 且， 为二面角的平面角． 又平面平面． 又平面平面， 平面． 平面，平面平面，平面， ，即， 又， 四边形是平行四边形，． 平面，又平面， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面，再由线面垂直性质可得结论； （2）建立空间直角坐标系利用空间向量得出两平面的法向量，即可求得二面角的正弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知两两垂直， 故以为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 不妨设，则， ． 设平面的法向量为， 则，令，则． 设平面的法向量， 则，不妨令，则， 所以平面的法向量为． 所以， 故所求二面角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西2025年9月高二入学摸底大联考 数学 2025.9 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册（第一章）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若定义域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ） A. 设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B. 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D. 利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 若函数过定点，则函数经过定点 C. 函数在上单调递减 D. 图象关于原点成中心对称 11. 在长方体中，已知，，M、N分别为、的中点，则（ ） A. B. 异面直线BN与AC所成角的余弦值为 C. 若点T为长方形ABCD内一点（包括边界），且平面，则长的最小值为 D. 过点D，M，N的平面截长方体所得的截面周长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为__________. 13. 某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形（如图所示），已知，，，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为______.（，其中，r分别是上、下底面圆的半径，l是母线长.） 14. 若一组数据，，，…，的方差为4，则，，，…，的标准差为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知空间内三点，，. （1）求的余弦值； （2）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S. 16. 的内角的对边分别为， （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积. 17. 某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位）的样本数据统计如下： （1）求样本数据的70%分位数；（精确到0.01） （2）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． ①若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品； ②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率． 18. 已知函数. （1）当时，求的取值范围； （2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 19. 已知均为等腰直角三角形，且，平面平面．平面四边形中，平面，点为的中点，连接． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $