专题03 函数性质的灵活运用八类必考问题（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题03 函数性质的灵活运用八类必考问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 函数的单调性的综合应用】 3 【类型2 函数的最值问题】 4 【类型3 函数的奇偶性的综合应用】 5 【类型4 对称性与周期性的综合应用】 6 【类型5 函数图象的判断及应用】 7 【类型6 抽象函数的性质及其应用】 9 【类型7 函数性质的综合应用】 10 【类型8 函数新定义】 11 知识点1 函数的单调性与最值问题的解题策略 1．函数单调性的判断 (1)定义法； (2)图象法； (3)简单函数单调性； (4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减； (5)复合函数：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 2．函数单调性的应用 函数单调性的主要应用有以下几个方面： (1)利用函数的单调性求参数； (2)利用函数的单调性比较大小； (3)利用函数的单调性解不等式. 3．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 知识点2 函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 (1)判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； ②判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. (3)运算函数的奇偶性规律：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． (4)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇． 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b)； 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且． 知识点4 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 知识点5 抽象函数的解题策略 1．抽象函数及其求解方法 我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决. 【类型1 函数的单调性的综合应用】 1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 6．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【类型2 函数的最值问题】 7．（24-25高一上·北京·期末）若，则（    ） A．最大值为6 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为2 8．（24-25高一上·福建泉州·期中）当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数满足，若在区间内的最大值为5，则最小值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．6 10．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数满足，则在上的最小值是 ． 11．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 12．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 【类型3 函数的奇偶性的综合应用】 13．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 14．（25-26高一上·天津·期中）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（ ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 17．（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 18．（2025高三·全国·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 【类型4 对称性与周期性的综合应用】 19．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域均为，的图象关于点中心对称，，，，则（    ） A． B．2 C． D．1003 20．（2025·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 21．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 22．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则 . 23．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，且函数图像关于直线对称. (1)当时，，求时函数的解析式； (2)若，，，求的值. 24．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称. (1)证明：是周期函数. (2)若当时，，求当时，的解析式. 【类型5 函数图象的判断及应用】 25．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 28．（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知函数，记，若与的图象恰有两个不同的交点则实数的取值范围是 . 29．（24-25高一上·天津·期中）定义在上的函数为奇函数，且当时，. (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）. 30．（24-25高一上·海南海口·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补充完整函数的图象，并根据图象写出函数的单调递增区间及使的的取值集合； (2)求出函数在上的解析式. 【类型6 抽象函数的性质及其应用】 31．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 32．（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 33．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④ 34．（24-25高一上·山东济宁·期中）若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足，则不等式的解集为 ． 35．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 36．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【类型7 函数性质的综合应用】 37．（24-25高一下·海南海口·期末）已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在区间上单调递减 C．的周期为3 D． 38．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 39．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对于，当时，，则（    ） A． B．是奇函数 C．是周期为4的周期函数 D． 40．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于点中心对称，若，则的解集为 ． 41．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 42．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对 ，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【类型8 函数新定义】 43．（24-25高一上·广东汕头·期中）的定义域为，若对于任意的，，当时，都有，则称在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·山东青岛·期中）用表示，中的最大者，用表示，中的最小者，若函数在上有最大值，则（   ） A．是奇函数 B．在上最大值是2 C．的值域是 D．的取值范围是 45．（24-25高一下·云南玉溪·期中）对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数的值域为 C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为 46．（24-25高一上·湖南娄底·期末）若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域上的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④.能被称为“理想函数”的有 （填相应的序号）. 47．（24-25高一上·陕西商洛·期末）设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 48．（24-25高一上·上海·期中）设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围； (3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数性质的灵活运用八类必考问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 函数的单调性的综合应用】 3 【类型2 函数的最值问题】 7 【类型3 函数的奇偶性的综合应用】 10 【类型4 对称性与周期性的综合应用】 13 【类型5 函数图象的判断及应用】 16 【类型6 抽象函数的性质及其应用】 21 【类型7 函数性质的综合应用】 26 【类型8 函数新定义】 31 知识点1 函数的单调性与最值问题的解题策略 1．函数单调性的判断 (1)定义法； (2)图象法； (3)简单函数单调性； (4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减； (5)复合函数：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 2．函数单调性的应用 函数单调性的主要应用有以下几个方面： (1)利用函数的单调性求参数； (2)利用函数的单调性比较大小； (3)利用函数的单调性解不等式. 3．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 知识点2 函数的奇偶性及其应用 1．函数奇偶性的判断 (1)判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； ②判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. (3)运算函数的奇偶性规律：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． (4)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇． 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b)； 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且． 知识点4 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 知识点5 抽象函数的解题策略 1．抽象函数及其求解方法 我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决. 【类型1 函数的单调性的综合应用】 1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【解答过程】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【解答过程】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案. 【解答过程】不妨设，， 故， 令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以， ， 所以，解得. 故选：C. 4．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据题意，结合分段函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】因为函数是上的严格增函数， 则满足 ，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【解题思路】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【解答过程】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 6．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)增区间是，单调递减区间是和 【解题思路】（1）代入，即可求解； （2）根据函数单调性的定义，作差，即可证明； （3）根据（2）的过程和结果，再分区间讨论. 【解答过程】（1）由条件可知，，得； （2）， 设， ， ， 因为，所以，，且，则， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）可知， ， 当时，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 当，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 综上可知，函数的增区间是，单调递减区间是和. 【类型2 函数的最值问题】 7．（24-25高一上·北京·期末）若，则（    ） A．最大值为6 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为2 【答案】C 【解题思路】利用函数的单调性求解. 【解答过程】任取， 则 ， 因为，所以，，故， 所以即， 所以在单调递增；同理可证在单调递减， 所以. 故选：C. 8．（24-25高一上·福建泉州·期中）当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式可得选项A、B错误；利用函数的单调性可得选项C正确、选项D错误. 【解答过程】A．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； B．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； C．根据对勾函数的单调性可知：在上单调递增， 所以函数最小值为：，故符合题意； D．因为在为单调增函数，所以函数的最小值为，故不符合题意. 故选：C． 9．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数满足，若在区间内的最大值为5，则最小值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．6 【答案】A 【解题思路】先求得，然后利用函数的单调性、最值来列方程，求得，进而求得最小值. 【解答过程】令，则，则， 故．则在区间内单调递增， 则，解得，则， 则． 故选：A. 10．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数满足，则在上的最小值是 ． 【答案】 【解题思路】先求出函数的解析式，利用函数的单调性求出最小值即可. 【解答过程】由题得，联立，解得． 设，所以， 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以． 故答案为：. 11．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【解题思路】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【解答过程】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 12．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）且，利用作差法证明即可； （2）由（1）求出函数的最值，再根据题意即可得解. 【解答过程】（1）且， 则， 因为，所以， 又因为，所以， 因此， 所以在是减函数； （2）由（1）可知，是减函数， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 因为最大值与最小值之差为1， 所以，解得. 【类型3 函数的奇偶性的综合应用】 13．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 【答案】A 【解题思路】由奇函数的定义知，可知，再根据时的解析式，即可求得，从而求解即可. 【解答过程】因为时，，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以. 故选：A. 14．（25-26高一上·天津·期中）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据偶函数的定义，得到，再结合在上的单调性，即可得到答案. 【解答过程】因为是定义域为的偶函数，可得， 又因为在上单调递减，且，所以， 所以. 故选：D. 15．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式. 【解答过程】对于且， 不等式恒成立， 得在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 且，则在上单调递增且， 解不等式，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 16．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【解题思路】由奇函数定义及性质求解. 【解答过程】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 17．（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【解答过程】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 18．（2025高三·全国·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【解题思路】（1）先利用赋值法求得，再赋值得，利用奇函数的定义证明即可； （2）先判断为单调增函数，然后利用奇函数性质将不等式变为，最后利用单调性解不等式即可． 【解答过程】（1）函数的定义域为， 由，令，得，即． 令，得， 即，所以为奇函数． （2）由为单调函数，知为单调增函数． 由得． 因为为奇函数，所以． 因为为单调增函数，所以， 即，解得或. 【类型4 对称性与周期性的综合应用】 19．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域均为，的图象关于点中心对称，，，，则（    ） A． B．2 C． D．1003 【答案】C 【解题思路】根据题意，可得，即是上的偶函数和以4为周期的周期函数，从而也是以4为周期的周期函数，可得解. 【解答过程】因为的图象关于点中心对称，所以①． 因为，所以②． 因为③，所以④． ③④得，，所以是上的偶函数， 所以①可变形为，则， 故，所以是以4为周期的周期函数． 由④可得，则也是以4为周期的周期函数． 因为，又， 所以，所以． 故选：C． 20．（2025·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据奇函数性质、对称性求得、、，进而有，再确定的周期，利用周期性求函数值的和. 【解答过程】由为奇函数，知的图象关于点对称，则， 由，得． 由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 所以，， 综上，， 由上，，得， 所以，则4为的一个周期， 所以. 故选：C. 21．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的、，，有，则下列结论错误的是（    ） A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】D 【解题思路】推导出是周期函数，是它的一个周期，并计算出，结合周期性可判断B选项；利用题中等式进行推导，结合函数的对称性可判断BC选项；分析函数在上的单调性，结合函数的周期性可判断D选项. 【解答过程】因为函数为奇函数，则， 所以，，可得， 因为函数为偶函数，则， 所以，， 所以，，所以是周期函数，是它的一个周期. 对于A选项，，A对； 对于B选项，， 所以，，B对； 对于C选项，因为，即， 所以，函数的图象关于点对称，C对； 对于D选项，对任意的、，且，有， 不妨设，则，所以，函数在为增函数， 因为，， 因为，则，所以，，D错. 故选：D. 22．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则 . 【答案】1 【解题思路】根据判断函数周期性，再结合的图象关于点对称，判断出函数为偶函数，即图象关于轴对称，再求出，，的值结合函数周期性即可得解. 【解答过程】因为，则， 所以，即是以3为周期的函数. ，. 因为的图象关于点对称，所以 又因为，所以 ， 则 则为偶函数，图象关于轴对称. 所以，则. . 故答案为：1. 23．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，且函数图像关于直线对称. (1)当时，，求时函数的解析式； (2)若，，，求的值. 【答案】(1) (2)0 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性和对称性可得，从而求得的解析式； （2）由奇函数得，由对称性及已知函数值求得，并知道，从而求得的值. 【解答过程】（1）由题得，， 则， ， 又当时，，即， 则. （2）由题得 ， 则， 则. 24．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称. (1)证明：是周期函数. (2)若当时，，求当时，的解析式. 【答案】(1)证明见解析； (2)， 【解题思路】（1）因的图像关于直线对称，可得，再由函数为偶函数及联立两个式子即可得到结论. （2）由时，函数为，而当的函数只需取代入上式即得结果. 【解答过程】（1）由函数的图象关于直线对称， 所以，即有， 又函数是定义在R上的偶函数，有， 所以， 即是周期为4的周期函数； （2）当时，，又是周期为4的周期函数， 当，则， 所以， 所以. 【类型5 函数图象的判断及应用】 25．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断函数的奇偶性即可排除BD，再结合函数值正负判断即可. 【解答过程】由，， 则， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故BD错误； 而， 则时，；时，，故A满足题意，C错误. 故选：A. 26．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【解答过程】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D. 27．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 【答案】C 【解题思路】利用为定义域在的奇函数，结合图象逐项进行判断即可. 【解答过程】对于A，由为定义域在的奇函数，则图象关于点对称，, 由图知，则，故A正确； 对于B，，为奇函数，则，故B正确； 对于C，由图知在的最大值为，则在的最小值为， 因此可得在定义域上存在最小值为，故C错误； 对于D，由在的最大值为，最小值为，则最大值与最小值之和为，故D正确. 故选：C. 28．（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知函数，记，若与的图象恰有两个不同的交点则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据给定条件，求出函数，作出函数的图象，结合图象求出的范围. 【解答过程】由，即，则或， 解得或，由，解得或， 令 ，则， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    观察图象知，当或时，直线与函数的图象有2个交点， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：. 29．（24-25高一上·天津·期中）定义在上的函数为奇函数，且当时，. (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）. 【答案】(1)，； (2)； (3)作图见解析，答案见解析. 【解题思路】（1）根据解析式及奇函数性质，将自变量代入求值即可； （2）利用奇函数的性质求解析式即可； （3）根据解析式画出图象，数形结合确定单调区间和值域. 【解答过程】（1）由题设，； （2）若，则，故， 由在上的函数为奇函数，则，且时，， 所以； （3） 由图知，的单调增区间为，单调减区间为，且值域为R. 30．（24-25高一上·海南海口·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示. (1)请补充完整函数的图象，并根据图象写出函数的单调递增区间及使的的取值集合； (2)求出函数在上的解析式. 【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为，的的取值集合为. (2) 【解题思路】（1）根据奇函数的对称性画出y轴右侧图象，再利用所得函数图象确定增区间、值域及不等式的解集即可. （2）根据奇函数求上的函数解析式即可. 【解答过程】（1）由题图及是定义在R上的奇函数，可得右侧侧图象如下： 所得函数图象知：单调递增区间为， 使的x的取值集合为. （2）∵函数是定义域为R的奇函数， ∴. 当时，，则. 综上，. 【类型6 抽象函数的性质及其应用】 31．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【解题思路】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【解答过程】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C. 32．（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【解题思路】利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值. 【解答过程】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A. 33．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④ 【答案】A 【解题思路】利用抽象函数的关系式，令判断①的正误；令，判断②的正误；令，可得当时，，再令，结合单调性的定义判断③的正误；令判断④的正误； 【解答过程】因为， 故令，可得， 即，解得，故①正确； 令，，可得， 又， 即，解得， 再令，可得， 即，故②正确； 令，可得， 即 因为，则，可得，所以， 令，不妨设， 可得，即， 因为，则，则， 可得，即， 所以为上增函数，故③错误； 令，可得， 即，整理得， 所以为奇函数，故④正确； 故选：A． 34．（24-25高一上·山东济宁·期中）若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】先用赋值法得到，判断出函数为偶函数，然后利用判断单调性，最后分类讨论计算的解集即可． 【解答过程】因为对任意的，都有：， 令，可知， 令，可知， 令，得， 故函数为偶函数， 令， 要使， 则， 显然函数为偶函数； 因为当时，， 所以当时函数单调递减， 此时也单调递减， ， 因为需要， 故， 因为为偶函数， 所以当时，的解为， 故不等式的解集为， 故答案为：. 35．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）取计算出，再取即可； （2）取，再取计算出即可； （3）利用定义法证明函数在上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在上的单调性. 【解答过程】（1）取代入，得， 取代入， 得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减. 36．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【解答过程】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 【类型7 函数性质的综合应用】 37．（24-25高一下·海南海口·期末）已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在区间上单调递减 C．的周期为3 D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法逐项分析判断. 【解答过程】对于A，令，得，则， 令，得，函数是偶函数，A错误； 对于B，令，得，而，则函数在上不是单调递减函数，B错误； 对于C，令，得，则， 令，，得，则，，C错误； 对于D，由为偶函数，得，D正确. 故选：D. 38．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 【答案】D 【解题思路】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D． 【解答过程】A选项，因为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增， 所以在当单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确； D选项，由B选项，，令，可得，故D错误． 故选：D． 39．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对于，当时，，则（    ） A． B．是奇函数 C．是周期为4的周期函数 D． 【答案】D 【解题思路】由已知条件可判断函数的奇偶性，周期性以及单调性，由此一一判断各选项，即可得答案. 【解答过程】由的图象关于直线对称，知的图象关于y轴对称， 所以是偶函数，所以B错误. 在中，令得， 又，所以，所以，知是周期为6的周期函数，所以C错误. 对于，当时，， 故在上单调递减，所以，所以A错误. 对于D，，， 由在上单调递减，得即，D正确， 故选：D. 40．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于点中心对称，若，则的解集为 ． 【答案】 【解题思路】变形后，令 ，则在上单调递增，又为奇函数，则为偶函数，故在上单调递减．又，则，分和两种情况，根据函数单调性，得到不等式的解集． 【解答过程】因为，所以， 令 ，则在上单调递增． 函数的图象关于点中心对称，则的图象关于原点对称， 即为奇函数，则为偶函数，故在上单调递减． ，则． 当时，，即，即，则； 当时，，即，即，则． 综上所述，． 故答案为：. 41．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【解答过程】（1）令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数； （2）设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； （3）因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 42．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对 ，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解. 【解答过程】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为 ， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 【类型8 函数新定义】 43．（24-25高一上·广东汕头·期中）的定义域为，若对于任意的，，当时，都有，则称在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题目条件得到，，当时，都有，，故，求出. 【解答过程】函数在上为非减函数，①；由③得， ，令，得， ， 又③，令，有， 令，有， ，，， ，， 又， ，， ，，， 当时，都有，， ， . 故选：C. 44．（24-25高一上·山东青岛·期中）用表示，中的最大者，用表示，中的最小者，若函数在上有最大值，则（   ） A．是奇函数 B．在上最大值是2 C．的值域是 D．的取值范围是 【答案】D 【解题思路】在同一坐标系中作出函数的图象，进而得到函数的图象，利用图象分别判断四个选项即可. 【解答过程】定义域， 在同一坐标系中分别作出函数的图象，取与的图象中较高的曲线段，再与的图象对比取较低的曲线段，得到函数的图象，如图所示， 因为图象不关于坐标原点对称，所以不是奇函数，故A错误； 因为在上有最大值，所以，故D正确，且在上最大值是1，故B错误；由图象知的值域是，故C错误； 故选：D. 45．（24-25高一下·云南玉溪·期中）对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数的值域为 C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为 【答案】C 【解题思路】对于A，通过举反例排除；对于B，由取整函数的定义得，即可求得函数值域；对于C，利用函数的周期性定义推得为整数，再利用验证得即可；对于D，利用取整函数的定义求出解集即可. 【解答过程】对于A，因为当时，，当时，， 即，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，由取整函数的定义可知，，则， 即函数的值域为，故B错误； 对于C，不妨设函数最小正周期为，则，且， 取，即得，即，则为整数， 又因，， 故函数的最小正周期为1，故C正确； 对于D，由可得：，解得， 而是整数，则得，故，即不等式的解集为，故D错误. 故选：C. 46．（24-25高一上·湖南娄底·期末）若函数同时满足：（ⅰ）对于定义域上的任意，恒有；（ⅱ）对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④.能被称为“理想函数”的有 （填相应的序号）. 【答案】① 【解题思路】利用“理想函数”的定义，逐一判断即可. 【解答过程】由对于定义域上的任意，当时，恒有，得在其定义域上单调递减， 对于①，定义域为R，，函数是R上的减函数，①是； 对于②，的定义域为R，不恒为0，②不是； 对于③，的定义域为R，不恒为0，③不是； 对于④，函数在其定义域上不单调，④不是. 故答案为：①. 47．（24-25高一上·陕西商洛·期末）设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）根据题设描述的性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域； （2）根据凹函数的定义，应用作差法比较大小证明结论； （3）根据题设求出的值域，将问题化为的值域为的值域的子集，求参数值. 【解答过程】（1）由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. （3）， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 48．（24-25高一上·上海·期中）设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间． (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围； (3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是，峰点为 (2) (3) 【解题思路】（1）以一元二次函数的单调性进行判断即可解决； （2）先满足单调性要求，再满足值域的要求，逐步递进即可解决； （3）在按参数t分类讨论时要注意不重不漏的原则，逐步求得t的取值范围. 【解答过程】（1）函数的图像是开口向下，对称轴为的抛物线， 则在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数， 故是上的“含峰函数”，峰点为. （2）记函数，，， 则在区间[m，2]上是严格增函数，在区间上是严格减函数，则， 且有，得到， 则， 当时，的最小值为，则， 又，故， 当时，的最小值为，解得， 综上，实数的取值范围是. （3）记，设任意，且， 则 当时，由，且， 可知，， 则，即， 则为上严格减函数，不符合题目要求； 当时，由，且， 可知，， 则，即 则为上严格增函数，不符合题目要求； 当时， 设任意，且，此时，， 则，即，为上严格增函数； 设任意，且，此时， 则，即，为上严格减函数； 故是上峰点为的“含峰函数”. 综上，t的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $