2.3二次函数与一元二次方程、不等式专题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 知识点概要 0 考点1 不含参一元二次不等式的解 3 考点2 含参一元二次不等式的解 6 考点3 简单分式不等式和高次不等式 10 考点4 三个二次的关系 12 考点5 一元二次不等式图像辨析 16 考点6 一元二次不等式恒成立 20 考点7 一元二次不等式的实际应用 24 知识点概要 1． 一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 2． 一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①求出相应的一元二次方程的根（根据判别式判断方程没有实根，用因式分解或求根公式求根）； ②根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若可以因式分解，则能求出两根来； ③若不能因式分解，先讨论判别式，再讨论有根的情况． ④求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论 3． 三个“二次”的关系 二次函数 （） 二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 二次不等式 二次不等式 4． 简单分式不等式和高次不等式的解法 (1) 分式不等式--化成乘法 ； ； (2)高次不等式--穿针引线法（零点分段法） ①先因式分解，求解对应的方程的根，在数轴上表示出来。 ②从数轴右上方穿线，根据“奇穿偶不穿”的原则，画出对应的图像 ③根据线在数轴上方下方，写出对应的的范围 5． 一元二次不等式恒成立 （1）在R上恒成立（讨论） ①在上恒成立恒成立 ②在上恒成立 （2）在区间上恒成立（参变分离或讨论） ①若能参变分离，推荐参变分类 ②若在参变分离时要谈论参数，就不用参变分离，直接在区间内讨论 ：开口，对称轴，区间端点的值 考点1 不含参一元二次不等式的解 1．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）解下列二次不等式（答案用集合或者区间表示） (1) (2) (3) 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东梅州·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）设，且是成立的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点2 含参一元二次不等式的解 1．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 2．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为A，则下列结论错误的是（    ） A．A中可能只有一个元素 B．若，则A中的元素为负数 C．若，则 D．A可能为空集 6．（25-26高一上·浙江·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 考点3 简单分式不等式和高次不等式 1．（25-26高三上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 2．（25-26高二上·安徽六安·开学考试）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集为 ． 4．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 考点4 三个二次的关系 1.（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为. （1）的取值范围为 ； （2）用表示，为 ； （3）不等式的解集为 ； （4） 0；（填“”或“”） （5）不等式的解集为 . 2.（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 3．（25-26高一上·广东·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 4．（24-25高一上·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 5．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（   ） A． B． C．关于的一元二次不等式的解集为 D．关于的一元二次不等式的解集为或 6．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 考点5 一元二次不等式图像辨析 1．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 3．（25-26高一上·广西·开学考试）函数与在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④方程的两根是， 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高一上·福建厦门·开学考试）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，则（    ） A． B． C．若实数，则 D．若，则 6．（24-25高一上·广东广州·期末）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 考点6 一元二次不等式恒成立 1．（2025高一上·全国·专题练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 2．（25-26高一上·湖北孝感·开学考试）设函数（） (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 3．（2025高三·上海·专题练习）若关于x的不等式的解集为R，求实数的取值范围． 4．（25-26高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 5．（25-26高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知“，”为假命题，则的最大值为 . 6．（25-26高三上·上海·阶段练习）任意都是不等式的解，求实数的取值范围 . 考点7 一元二次不等式的实际应用 1．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 2．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 3．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 知识点概要 0 考点1 不含参一元二次不等式的解 3 考点2 含参一元二次不等式的解 6 考点3 简单分式不等式和高次不等式 10 考点4 三个二次的关系 12 考点5 一元二次不等式图像辨析 16 考点6 一元二次不等式恒成立 20 考点7 一元二次不等式的实际应用 24 知识点概要 1． 一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 2． 一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①求出相应的一元二次方程的根（根据判别式判断方程没有实根，用因式分解或求根公式求根）； ②根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若可以因式分解，则能求出两根来； ③若不能因式分解，先讨论判别式，再讨论有根的情况． ④求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论 3． 三个“二次”的关系 二次函数 （） 二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 二次不等式 二次不等式 4． 简单分式不等式和高次不等式的解法 (1) 分式不等式--化成乘法 ； ； (2)高次不等式--穿针引线法（零点分段法） ①先因式分解，求解对应的方程的根，在数轴上表示出来。 ②从数轴右上方穿线，根据“奇穿偶不穿”的原则，画出对应的图像 ③根据线在数轴上方下方，写出对应的的范围 5． 一元二次不等式恒成立 （1）在R上恒成立（讨论） ①在上恒成立恒成立 ②在上恒成立 （2）在区间上恒成立（参变分离或讨论） ①若能参变分离，推荐参变分类 ②若在参变分离时要谈论参数，就不用参变分离，直接在区间内讨论 ：开口，对称轴，区间端点的值 考点1 不含参一元二次不等式的解 1．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）解下列二次不等式（答案用集合或者区间表示） (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解； （3）利用一元二次不等式的解法求解； 【详解】（1）由， 得， 解得， 所以原不等式的解集为； （2）由， 得， 解得或， 所以原不等式的解集为：； （3）由， 得，即， 解得， 所以原不等式的解集为. 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解二次不等式和分式不等式，明确集合，再根据交集的概念进行计算. 【详解】由，即，解得，所以. 由，移项得，即，等价于，解得，所以. 则. 故选：A 3．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意解一元二次不等式，求出集合的元素，根据交集的概念求出结果即可. 【详解】由题意得，解得，即， 则； 故选：C. 4．（25-26高三上·上海·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式可求得的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果. 【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：C. 5．（2025·广东梅州·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解集合B，再求两集合的交集可得. 【详解】由，得，在数轴上表示集合A，B如图，      ，所以. 故选：A. 6．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）设，且是成立的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设满足条件p，q的集合分别为集合，，由p是q成立的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，根据集合的包含关系可得答案. 【详解】由得或，设. 设满足的集合为，则， 由p是q成立的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以，所以的取值范围是. 故选：B 考点2 含参一元二次不等式的解 1．（25-26高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】三个不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． （3）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 2．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 【答案】答案见解析 【分析】先因式分解，再分，，，四种情况讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况． 【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确． 当时，为一元二次不等式， 且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况． 当时，． 当，即时，不等式的解集为，故C正确． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 当时，，此时显然， 不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD 4．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】分、及，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为A，则下列结论错误的是（    ） A．A中可能只有一个元素 B．若，则A中的元素为负数 C．若，则 D．A可能为空集 【答案】D 【分析】A选项，因式分解得到，当时，，A正确；B选项，时，，A中元素均为负数，B正确；C选项，在AB基础上，得到时，，结合得到不等式，求出C正确；D选项，由根的判别式得到A不可能为空集. 【详解】A选项，由，得， 当，即时，，得，则，A正确； B选项，当，即时，， 此时与均为负值，所以A中元素均为负数，B正确； C选项，由AB知，时，不满足， 当，即时，， 因为，所以，得，C正确； D选项，由题意得，则A不可能为空集，D错误． 故选：D 6．（25-26高一上·浙江·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 考点3 简单分式不等式和高次不等式 1．（25-26高三上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将分式不等式转化成一元二次不等式组求解即得. 【详解】由，得且，解得或； 故答案为：. 2．（25-26高二上·安徽六安·开学考试）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后通分，将其转化为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 3．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】移项，通分，由分类讨论解分式不等式. 【详解】不等式，移项可得，通分得到， 对分子因式分解，得， 其等价于或，解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 4．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按的正负分类讨论，利用一元二次不等式的解法再结合集合的运算法则可得答案. 【详解】按的正负分类可得： 或， 得：或或， 解得：或或. 故选：A 5．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果； （2）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，且，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. （3）根据条件得到，利用，将问题转化成，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. 【详解】（1）因为等价于，得到或， 所以的解集为或. （2）由，得到，即， 等价于，且，解得或， 所以的解集为或. （3）由，得到， 又恒成立， 所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为 考点4 三个二次的关系 1.（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为. （1）的取值范围为 ； （2）用表示，为 ； （3）不等式的解集为 ； （4） 0；（填“”或“”） （5）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据解集判断；再结合韦达定理得出关系；求解一次不等式；根据解集判断不等关系；消参解一元二次不等式即可. 【详解】（1）关于的不等式的解集为，因为解集在两根之外，所以. （2）由题可知-3，4是的两根， 由根与系数的关系可得所以 （3）由（2）得，即，所以，即的解集为. （4）由于关于的不等式的解集为，故时，.即. （5）由以上分析可知不等式即. 因为，故，所以或.故不等式的解集为. 故答案为： 2.（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果. 【详解】由题设且， 所以，所以不等式的解集为. 故选：B 3．（25-26高一上·广东·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 4．（24-25高一上·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集，确定的关系及符号，可判断AC的真假；解不等式可判断BD的真假. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以和是一元二次方程的两个实数根，且该一元二次函数的开口向下. 所以且，解得.A正确； ，解得，故的解集为，B错误； ，C正确；， 解得. 所以的解集为，D正确. 故选：ACD 5．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（   ） A． B． C．关于的一元二次不等式的解集为 D．关于的一元二次不等式的解集为或 【答案】D 【分析】由题可得的解为或，，然后由韦达定理可得关系，可判断各选项正误. 【详解】因的解集为，则，故A正确； 对于B，由题可得的解为或，由韦达定理：，，则，故B正确； 对于C，关于的一元二次不等式可化为：，故C正确； 对于D，关于的一元二次不等式可化为： 或，故D错误. 故选：D. 6．（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对A，B，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求解判断；对C，利用基本不等式求最值，对D，利用二次函数图象与性质，进行分析可得结果. 【详解】对于A，由题意可知： 是关于x的方程 的两个根，且 ，故A错误； 对于B，由题意可知： ，可得 ，. 不等式 化为： ， 由 可得 ，解得 ， 所以不等式 的解集为 ，故B正确； 对于C，因为， ， 可得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值是，故C正确； 对于D，当 时， ， 则 ， 当 时， 取到最大值 ， 由 得， 或 ， 的值域是 ， 因 在 上的最小值为 ，最大值为1， 从而得 或 ， 因此 ，故D正确. 故选：BCD. 考点5 一元二次不等式图像辨析 1．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题易得，，，据此可判断①；又函数过，可得，结合，，可得的范围判断②；又，结合，可得即可判断③；由题知即可判断④. 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以， 又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确； 二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确； 由，所以，又，所以，故③正确； ，故④正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·湖北十堰·开学考试）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若点是抛物线上的两点，若，则 【答案】AB 【分析】根据二次函数的图象性质对每个选项进行判断即可. 【详解】因为二次函数的图象与轴的一个交点为， 则. 由图象可以看出，. 因为二次函数的对称轴为，所以，即. 所以，所以A正确； 将代入中，得，所以C错误； 因为，，所以. 所以，即，所以B正确； 对于选项D，当均在对称轴左侧，由于在对称轴左侧抛物线是单调递减的， 所以如果，则，所以D错误. 故选：AB. 3．（25-26高一上·广西·开学考试）函数与在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由直线与抛物线有公共点，再结合；，；；三种情况讨论即可. 【详解】令，得.令，得或，则函数与在轴上有公共点，排除B. 当时，，抛物线开口向上，直线过一二三象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致， A选项可能. 当，时，，抛物线开口向下，直线过一二四象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致，C选项可能. 当时，，抛物线开口向下，直线过二三四象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致，D选项可能. 故选：ACD 4．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④方程的两根是， 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据图象结合一元二次方程的性质和函数的平移变换逐项判断即可. 【详解】由二次函数图象可知， 开口向下，则，对称轴解得，当时，， 所以，①说法错误； 由函数图象可知当时，，即，②说法错误； 将的函数图象向下平移4个单位得到的图象， 所以有两个相等的实数根，③说法正确； 由函数的对称性可知的两个根为，， 将的函数图象向右平移1个单位得到的图象， 所以方程的两根是，，④说法正确； 综上③④正确， 故选：B 6．（24-25高一上·福建厦门·开学考试）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，则（    ） A． B． C．若实数，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由图可分析符号即可判断A；根据对称性可知函数与x轴交于另一点，代入可得，然后可确定B；由及，结合二次函数即可判断C；根据题意可得代入即可计算. 【详解】由图可知，，时，，所以，故A错误； 因为与x轴交于点，对称轴为，所以与x轴交于另一点， 则，又，所以，故B正确； 因为，，所以，故C正确； 因为是函数的零点，所以， 则，即， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 6．（24-25高一上·广东广州·期末）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】根据二次函数的图象的开口、对称轴、零点，知，可判断A，B，由对称性知函数有两个零点，得，，代入不等式，结合求解，即可判断C，D. 【详解】对于A，由图象开口向下，得，故A不正确； 对于B，对称轴为，故对， 即，故B正确； 对于C，图像过点，由对称性得有两个零点， 所以，故，由， ，得，故的解集为，故C正确； 对于D，∵，，由，得 又，，解得， ∴的解集为，故D正确. 故选：BCD. 考点6 一元二次不等式恒成立 1．（2025高一上·全国·专题练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】将命题“，使得”是假命题，转化为命题“，使得”是真命题，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】命题“，使得”是假命题， 等价于“命题"，使得”是真命题. 当时，可化为，解得， 不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则，即，解得. 综上，所以实数的取值集合是. 故答案为： 2．（25-26高一上·湖北孝感·开学考试）设函数（） (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将问题转化为，恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可； （2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）恒成立等价于，恒成立. 当时，不等式可化为，满足题意. 当时，有，即，解得， 综上，a的取值范围是. （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为或 ； 综上，当时，原不等式的解集为或 ； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 3．（2025高三·上海·专题练习）若关于x的不等式的解集为R，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题意可知，求解不等式即得参数范围. 【详解】因为不等式的解集为R， 则， 即，解得， 故实数的取值范围为. 4．（25-26高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，， 等号成立当且仅当，所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知“，”为假命题，则的最大值为 . 【答案】 【分析】问题化为，恒成立，求右侧最小值即可得范围. 【详解】由题设知，为真命题，即，恒成立， 故只需，得，即. 故答案为：1 6．（25-26高三上·上海·阶段练习）任意都是不等式的解，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】由题可转化为在上恒成立，令，整理得，再利用对勾函数函数得到最小值即可. 【详解】由题知，即不等式在上恒成立， 则，又，所以令， 即，所以， 又，当，即时取等号， 所以在上单调递减， 所以. 故答案为：. 考点7 一元二次不等式的实际应用 1．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值； （2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论. 【详解】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 2．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】(1)， (2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【分析】（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而得出收益关于实际电价的函数解析式； （2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论. 【详解】（1）设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. （2）依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 3．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 【答案】(1)，； (2)20 (3)每次购买量在吨范围内. 【分析】（1）由题意得到，； （2）表达出一年的总运费与总存储费用之和为，利用基本不等式求出最值，得到答案； （3）由题意得到不等式，求出答案. 【详解】（1），； （2）设一年的总运费与总存储费用之和为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故每次购买20吨； （3）由题意得，解得， 故每次购买量在吨范围内. 学科网（北京）股份有限公司 $