15.3《等腰三角形》课后巩固题 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第15章 轴对称 15.3等腰三角形 课后巩固题 考试时间:40分钟 满分100分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．一个三角形的三个内角分别是90°、45°、45°，这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 2．已知△ABC的周长是24，且AB＝AC，又AD⊥BC，D为垂足，若△ABD的周长是20，则AD的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，则下列说法错误的是（　　） A．△BDF是等腰三角形 B．DF＝EF C．若∠A＝50°，则∠BFC＝115° D．DE＝BD+CE 4．等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　） A．50° B．65° C．80° D．100° 5．若△ABC三边长a，b，c，满足，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，若BE＝6cm，则AC的长是（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 7．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　） A． B． C．或2 D．或 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，直线l是线段AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，则∠CAD的度数是（　　） A．26° B．32° C．36° D．58° 9．如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A在BC边上的点D位置．且ED⊥BC．则∠EFD＝（　　） A．45° B．50° C．40° D．55° 10．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　） A．32 B．64 C．128 D．256 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．已知等腰三角形的一条腰长为5，底边长为x，则x的取值范围为　 　 ． 12．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B的度数为　 　 °． 13．等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为　 　 ． 14．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为　 　 ． 15．如图，点P是等边三角形ABC边BC上一点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，若BM＝1，CN＝2，则AN＝　 　 ． 三、解答题（本大题共5小题，总分50分） 16．已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，其中b＝2，c＝5，若此三角形的周长为偶数，则这个三角形是等腰三角形吗？请说明理由． 17．如图（1），△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝BC． （1）求∠A的度数； （2）若点E为线段AB的中点，连接DE，如图（2），判断直线DE与AB的位置关系，并说明理由． 18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为中线，延长DC至点E，使DE＝AD，连结AE，过点B作AC的垂线，垂足为G，交AE于点F． （1）若∠BAC＝52°，求∠FBC的度数； （2）试说明BF＝AC的理由． 19．如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 20．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN． 求证：（1）△APM是等腰三角形； （2）PC＝AN． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C C D D A A C 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．0＜x＜10． 12．70． 13．14． 14．45°或72°． 15．4． 三、解答题（本大题共5小题，总分50分） 16．∵三角形的三边长分别为a、b、c，其中b＝2，c＝5， 若三角形是等腰三角形， 当a＝b＝2时，2+2＜5，不构成三角形， 当a＝c＝5时，5+5＞2，符合题意， 三角形的周长为12为偶数． 17．解：（1）设∠ABD＝x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝x， ∴∠ABC＝∠C＝2x， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C＝2x， 由三角形内角和定理可得，2x+2x+x＝180°， 解得：x＝36°， ∴∠A＝∠BDC﹣∠ABD＝2x﹣x＝x＝36°； （2）DE⊥AB， 理由：根据（1）可得∠A＝∠ABD， ∴AD＝BD， ∵点E为线段AB的中点， ∴DE⊥AB． 18．解：（1）∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝52°， ∴， ∵过点B作AC的垂线，垂足为G， ∴∠FBC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣64°＝26°； （2）在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为中线， ∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC， ∵∠GBC+∠GCB＝90°，∠DAC+∠DCA＝90°， ∴∠GBC＝∠DAC＝∠DAB， 又∵DE＝DA， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠DEA＝45°， ∴∠AFB＝∠CBG+∠DEA＝∠CBG+45°， ∵∠BAF＝∠DAB+∠DAE＝∠DAB+45°， ∴∠BAF＝∠BFA， ∴BF＝AB， ∴BF＝AC． 19．（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：AD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°， ∴∠CDE＝30°＝∠E， ∴CD＝CE， ∵点D是AC边的中点， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE． 20．证明：（1）∵BA⊥AM，MN⊥AC， ∴∠BAM＝∠ANM＝90°， ∴∠PAQ+∠MAN＝∠MAN+∠AMN＝90°， ∴∠PAQ＝∠AMN， ∵PQ⊥AB MN⊥AC， ∴∠PQA＝∠ANM＝90°， ∴在△PQA与△ANM中，， ∴△PQA≌△ANM（ASA）， ∴AP＝AM， ∴△APM是等腰三角形； （2）由（1）知，△PQA≌△ANM， ∴AN＝PQ AM＝AP， ∴∠AMB＝∠APM， ∵∠APM＝∠BPC，∠BPC+∠PBC＝90°，∠AMB+∠ABM＝90°， ∴∠ABM＝∠PBC， ∵PQ⊥AB，PC⊥BC， ∴PQ＝PC（角平分线的性质）， ∴PC＝AN． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $