学易金卷：高一数学上学期期中模拟卷（人教B版必修第一册）

2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由集合，所以的子集个数为个； 故选：D 2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，函数有意义，等价于， 解得，即函数的定义域为. 故选：B 3．关于，的方程组，则下列说法错误的是（    ）． A．一定有解 B．可能有唯一解 C．可能有无穷多解 D．可能无解 【答案】D 【详解】关于，的方程组 由，可得 (3) 当时，为恒等式，有无穷多解； 当时，，有唯一解 故选：D 4．下列两个函数是相同函数的有（ ） A．与 B． 与 C．与 D． 与 【答案】B 【详解】对于选项A，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，故不是相同函数，故A错误； 对于选项B，，函数的定义域、对应法则均相同， 所以两函数是相同函数，故B正确. 对于选项C，与定义域不同， 故不是相同函数，故C错误； 对于选项D，， 两函数定义域不相同，故不是相同函数，故D错误； 故选：B 5．若是定义在上的偶函数，，有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以， 又因为时，有， 所以函数在上为单调递减函数，可得， 所以. 故选：D. 6．已知x，y为正数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由x，y均为正数，则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故选：D. 7．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】由题意可知：，m是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 8．已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为偶函数，且当时，， 所以的大致图象如题所示， 令，则方程化为， 结合图象可知当时，有4个不同的实根， 所以原问题转化为关于的方程在上有两个不相等的实根， 令，则，解得， 即实数的取值范围为， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为全集，若是两个不相等的非空集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，所以，A正确，B错误； 因为，且是两个不相等的非空集合，所以，所以， 又因为，所以，C正确； 因为，所以，D错误； 故选：AC. 10．下列说法正确的有（    ） A．是的必要不充分条件 B．“”是‘’成立的充分条件 C．命题，则 D．为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件 【答案】BD 【详解】对于A，若，则，但由不能推出， 所以是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，时，一定成立， 所以是成立的充分条件，故B正确； 对于C，命题，则，故C错误； 对于D，当时，， 当时，为无理数， 所以为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：BD. 11．已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【详解】令，则，故A正确， 令可得， 由于故， 令可得， 令可得，故，B正确， 由于，且，，所以，所以为偶函数，C错误， 令可得，故，由于不恒为0，所以， 又，故， 由于， 所以，故D正确， 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数.若在区间上单调，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数的对称轴为，且开口向上， 函数在区间上单调，则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．已知方程（且），且，则的解为 ． 【答案】 【详解】∵（且）………①， 易知①中的x与取值范围相同， 于是将①中的x代得， 整理得： （且）………②， 再将①中的x代替得 , 整理得（且）………③ 可消去项得到： 则（且）， 由此，解得. 故答案为：． 14．在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【详解】由题意可知当最大且最小时，最小， 因为，所以最大为，此时， 且此时最小为，此时， 若，则且，此时， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知全集，集合，. (1)若时，存在集合使得，求出这样的集合； (2)是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【详解】（1）当时，， ， 4分 又因为， 所以这样的集合共有如下6个：. 6分 （2）由可得，结合， 当，即，时，，满足题意， 8分 当时， ①若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意， 10分 ②若有两个不相等的实数根，又， 结合韦达定理可得两根，故，此时， 综上，实数的取值范围为. 13分 16．（15分）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【详解】（1）因为， 所以，． 3分 （2）当时，，解得； 当时，，解得； 5分 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． 8分 （3）作出函数的图象如图所示：    11分 当时，恒成立； 当时，恒成立； 13分 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 15分 17．（15分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 【详解】（1）根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为， 可得， 3分 由宽小于长可得，解得； 因此 5分 （2）若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可； 设圆的半径为，则圆的面积为 7分 ； 10分 当且仅当，即时，等号成立； 13分 此时圆形纸片面积的最小值为（平方分米）. 15分 18．（17分）已知，，.：关于x的方程的解集中最多有一个元素. (1)若，求实数c的取值范围； (2)若，和中有且仅有一个成立，求实数m的取值范围. 【详解】（1）由有意义，得，解得，此时， 2分 因此， ， 5分 由关于x的方程的解集中最多有一个元素，得， 解得， 7分 由，得，则，即， 所以实数c的取值范围是. 9分 （2）当时，，，， 当成立，不成立时，且，则， 12分 当不成立，成立时，且，则，因此， 15分 所以实数m的取值范围是. 17分 19．（17分）设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【详解】（1）由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以， 2分 又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. 5分 （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. 9分 （3）， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 12分 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 14分 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D B D D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．/0.5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）当时，， ， 4分 又因为， 所以这样的集合共有如下6个：. 6分 （2）由可得，结合， 当，即，时，，满足题意， 8分 当时， ①若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意， 10分 ②若有两个不相等的实数根，又， 结合韦达定理可得两根，故，此时， 综上，实数的取值范围为. 13分 16．【详解】（1）因为， 所以，． 3分 （2）当时，，解得； 当时，，解得； 5分 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． 8分 （3）作出函数的图象如图所示：    11分 当时，恒成立； 当时，恒成立； 13分 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 15分 17．【详解】（1）根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为， 可得， 3分 由宽小于长可得，解得； 因此 5分 （2）若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可； 设圆的半径为，则圆的面积为 7分 ； 10分 当且仅当，即时，等号成立； 13分 此时圆形纸片面积的最小值为（平方分米）. 15分 18．【详解】（1）由有意义，得，解得，此时， 2分 因此， ， 5分 由关于x的方程的解集中最多有一个元素，得， 解得， 7分 由，得，则，即， 所以实数c的取值范围是. 9分 （2）当时，，，， 当成立，不成立时，且，则， 12分 当不成立，成立时，且，则，因此， 15分 所以实数m的取值范围是. 17分 19．【详解】（1）由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以， 2分 又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. 5分 （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. 9分 （3）， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 12分 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 14分 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．关于，的方程组，则下列说法错误的是（    ）． A．一定有解 B．可能有唯一解 C．可能有无穷多解 D．可能无解 4．下列两个函数是相同函数的有（ ） A．与 B． 与 C．与 D． 与 5．若是定义在上的偶函数，，有，则（ ） A． B． C． D． 6．已知x，y为正数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 7．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 8．已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为全集，若是两个不相等的非空集合，且，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（    ） A．是的必要不充分条件 B．“”是‘’成立的充分条件 C．命题，则 D．为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件 11．已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数.若在区间上单调，则实数的取值范围是 . 13．已知方程（且），且，则的解为 ． 14．在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知全集，集合，. (1)若时，存在集合使得，求出这样的集合； (2)是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 16．（15分）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 17．（15分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米； (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 18．（17分）已知，，.：关于x的方程的解集中最多有一个元素. (1)若，求实数c的取值范围； (2)若，和中有且仅有一个成立，求实数m的取值范围. 19．（17分）设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 口 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 4[A]B][C]D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A]B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 4 -4-20 124 16 衣 4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．关于，的方程组，则下列说法错误的是（    ）． A．一定有解 B．可能有唯一解 C．可能有无穷多解 D．可能无解 4．下列两个函数是相同函数的有（ ） A．与 B． 与 C．与 D． 与 5．若是定义在上的偶函数，，有，则（ ） A． B． C． D． 6．已知x，y为正数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 7．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 8．已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为全集，若是两个不相等的非空集合，且，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的有（    ） A．是的必要不充分条件 B．“”是‘’成立的充分条件 C．命题，则 D．为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件 11．已知定义域为的函数满足，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数.若在区间上单调，则实数的取值范围是 . 13．已知方程（且），且，则的解为 ． 14．在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知全集，集合，. (1)若时，存在集合使得，求出这样的集合； (2)是否存在集合，满足?若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 16．（15分）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 17．（15分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米； (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 18．（17分）已知，，.：关于x的方程的解集中最多有一个元素. (1)若，求实数c的取值范围； (2)若，和中有且仅有一个成立，求实数m的取值范围. 19．（17分）设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $