学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷（人教B版选择性必修第一册）

2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（    ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 2．已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 4．已知三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B．2 C． D．2 5．已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示的多面体是由底面为的正方体被截面所截而得到的，其中，，，.则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．是等腰直角三角形 D．与平行的单位向量的坐标为或 10．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 11．已知P为圆O：上的动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．若点，则的最小值为 B．的最小面积是4 C．若，则Q点坐标为或 D．四边形周长的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与圆相交于、两点，则 . 13．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 14．已知为坐标原点，是椭圆：上异于顶点的动点，圆：与直线：交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，且，则面积的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，． (1)以为基表示； (2)若，，，，求的最小值． 16．（15分）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 17．（15分）已知四棱锥，，，，于点E，． (1)若点F在线段PE上，且∥平面，证明：F是中点． (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 19．（17分）已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，记的运动轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)设、是与轴的交点，是上异于、的一点，直线、的斜率分别为、.证明：为定值. (3)已知为坐标原点，点，、是上异于的两点，若直线与的斜率之和为，求的面积的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 口 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 4[A]B][C]D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A]B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A C A B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15． 【详解】（1） ． 5分 （2） ， 11分 故当时，取得最小值，所以． 13分 16． 【详解】（1）由题意得，，解得，点的坐标为． 3分 （2）设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； 6分 （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 8分 （3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； 10分 （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； 12分 （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 15分 17． 【详解】（1）过点作，交于,连接， 因为，所以，所以四点共面， 3分 因为平面，平面，平面∩平面， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 5分 所以，所以分别是的中点， 即是中点得证. 7分 （2）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 9分 连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 11分 以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系, 如图， 则， ，， 设是平面的法向量，则 ，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 13分 设直线与平面所成角为，则 ， 即直线与平面所成角的正弦值是. 15分 18．【详解】（1）由可得， 当时，解得， 故直线恒过定点， 2分 所以圆心到切线的距离， 即圆的半径为2, 4分 所以圆的方程为：， 故圆的一般方程为 6分 （2）点到圆心的距离，故点在圆外， 8分 如图， 过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为， 代入圆的方程可得， 10分 当时， 设，，则， 13分 所以 . 即为定值13. 17分 19．【详解】（1）设，由题可知， 整理得，即的方程为. 2分 （2）因为是与轴的交点，是上异于的一点， 由（1）可知，不妨设， 则. 又在上，所以， 4分 所以， 故为定值，定值为. 6分 （3）若直线的斜率不存在，设， 因为直线与的斜率之和为， 则， 解得，不符合题意. 8分 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，整理得， 则，. 10分 所以 ， 整理得. 12分 若，则直线经过点，不符合题意. 若，则，得. 又，点到的距离， 所以的面积 14分 . 由，得， 令，则，， 则当时，取得最大值， 所以， 故的面积的最大值为1. 17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（    ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 2．已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 4．已知三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B．2 C． D．2 5．已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示的多面体是由底面为的正方体被截面所截而得到的，其中，，，.则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．是等腰直角三角形 D．与平行的单位向量的坐标为或 10．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 11．已知P为圆O：上的动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．若点，则的最小值为 B．的最小面积是4 C．若，则Q点坐标为或 D．四边形周长的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与圆相交于、两点，则 . 13．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 14．已知为坐标原点，是椭圆：上异于顶点的动点，圆：与直线：交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，且，则面积的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，． (1)以为基表示； (2)若，，，，求的最小值． 16．（15分）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 17．（15分）已知四棱锥，，，，于点E，． (1)若点F在线段PE上，且∥平面，证明：F是中点． (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 19．（17分）已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，记的运动轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)设、是与轴的交点，是上异于、的一点，直线、的斜率分别为、.证明：为定值. (3)已知为坐标原点，点，、是上异于的两点，若直线与的斜率之和为，求的面积的最大值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（    ） A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1 【答案】C 【详解】由得，或． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，的值为3或． 故选：C. 2．已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，， 所以，，， 因为四点共面，所以与共面，即存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得． 故选：B 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】A 【详解】由及余弦定理，得， 整理得， 即，故该椭圆的长轴长为. 故选：A 4．已知三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】C 【详解】由于， 所以 ， 故选：C 5．已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 设椭圆：，双曲线：. 因为它们有相同的焦点，所以. 不妨设点在第一象限，且，， 因为点在椭圆上， 所以. 又， 所以. 又在双曲线上， 所以. 所以. 所以双曲线的离心率为：. 故选：A 6．如图所示的多面体是由底面为的正方体被截面所截而得到的，其中，，，.则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题可得以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，， 设，由共面可得存在实数使得： 所以，则，解得，所以 又平面，所以是平面的一个法向量 设平面的法向量为，又， 所以，令，则 所以，由图可知二面角为锐角 所以二面角的余弦值为. 故选：B. 7．若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，所以圆的圆心为，半径， 因为直径是最长的弦，所以点在圆内，过点的弦中，直径是最长的弦，长度为， 以下分析过点的最短的弦，    由垂径定理知弦，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大， 由图可知，，当弦时取到等号，所以当弦时，最大，弦长最短， 根据圆的对称性，这条长度为正整数的弦长度分别是， 要使得有两条长度为的弦，则最短弦长小于，要使得没有长度为的弦，则最短弦长大于， 因此，过点的最短的弦长，    因为弦长最短时弦，所以，，， 所以点落在以为圆心，半径分别为和的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为， 故选：B. 8．已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 故选：D．    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．是等腰直角三角形 D．与平行的单位向量的坐标为或 【答案】ABD 【详解】A：，则，对； B：，， 则，，所以，对； D：与平行的单位向量为，即或，对； C：根据A、B的分析过程，知三条边长各不相等，所以不是等腰直角三角形，错. 故选：ABD 10．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 【答案】ACD 【详解】选项A，因为有公共的焦点，得， 即，又，所以可得.故A正确； 选项B，因为有公共的焦点，可得，，， 得，即，故B错误； 选项C，因为有公共的焦点，可得，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得， ，，所以，，，， 所以，故是直角三角形，故C正确； 选项D，因为有公共的焦点，可得，，， 因此，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选）已知P为圆O：上的动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．若点，则的最小值为 B．的最小面积是4 C．若，则Q点坐标为或 D．四边形周长的最小值为 【答案】ACD 【详解】由题意得，，，因为点在圆内，点在圆外，所以可知的最小值， 即为当M，P，C三点共线时的值，，A正确； 由题意得，，圆O的圆心到直线l的距离， 所以点P到该直线距离的最小值为，所以，B错误； 当时，，，所以，所以． 设，则解得或所以点Q的坐标为或，C正确； 四边形的周长为，因为，所以四边形的周长为． 设，当时，取得最小值，此时也取得最小值， 则，则四边形的周长为， 则当t取最小值时，四边形的周长最小，最小值为，D正确． 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与圆相交于、两点，则 . 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以. 故答案为： 13．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【答案】 【详解】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ，， 则， 设，则， 因为‖，所以，得， 所以（），则， 设点到的距离为，则 ， 所以当时，取得最小值，此时的面积取得最小值， 所以， 所以 故答案为： 14．已知为坐标原点，是椭圆：上异于顶点的动点，圆：与直线：交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，且，则面积的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题可知与轴、轴分别交于，两点，，. 由，可得. 因为是上的点，所以，则. 又，所以. 设到的距离为，则，则. 由，可得，， 则，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，． (1)以为基表示； (2)若，，，，求的最小值． 【详解】（1） ． 5分 （2） ， 11分 故当时，取得最小值，所以． 13分 16．（15分）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得，，解得，点的坐标为． 3分 （2）设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； 6分 （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 8分 （3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； 10分 （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； 12分 （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 15分 17．（15分）已知四棱锥，，，，于点E，． (1)若点F在线段PE上，且∥平面，证明：F是中点． (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）过点作，交于,连接， 因为，所以，所以四点共面， 3分 因为平面，平面，平面∩平面， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 5分 所以，所以分别是的中点， 即是中点得证. 7分 （2）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 9分 连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 11分 以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系, 如图， 则， ，， 设是平面的法向量，则 ，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 13分 设直线与平面所成角为，则 ， 即直线与平面所成角的正弦值是. 15分 18．已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【详解】（1）由可得， 当时，解得， 故直线恒过定点， 2分 所以圆心到切线的距离， 即圆的半径为2, 4分 所以圆的方程为：， 故圆的一般方程为 6分 （2）点到圆心的距离，故点在圆外， 8分 如图， 过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为， 代入圆的方程可得， 10分 当时， 设，，则， 13分 所以 . 即为定值13. 17分 19．已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，记的运动轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)设、是与轴的交点，是上异于、的一点，直线、的斜率分别为、.证明：为定值. (3)已知为坐标原点，点，、是上异于的两点，若直线与的斜率之和为，求的面积的最大值. 【详解】（1）设，由题可知， 整理得，即的方程为. 2分 （2）因为是与轴的交点，是上异于的一点， 由（1）可知，不妨设， 则. 又在上，所以， 4分 所以， 故为定值，定值为. 6分 （3）若直线的斜率不存在，设， 因为直线与的斜率之和为， 则， 解得，不符合题意. 8分 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，整理得， 则，. 10分 所以 ， 整理得. 12分 若，则直线经过点，不符合题意. 若，则，得. 又，点到的距离， 所以的面积 14分 . 由，得， 令，则，， 则当时，取得最大值， 所以， 故的面积的最大值为1. 17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $