专题06 解答典型题专练（期中真题汇编，黑龙江专用）八年级数学上学期人教版2024

专题06 解答典型题专练 2大高频考点概览 考点01 与三角形有关的探究题 考点02 与平面直角坐标系有关的探究题 地 城 考点01 与三角形有关的探究题 一、解答题 1．(24-25八上·黑龙江省大庆市·期中)图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【详解】（1）解：是的平分线 理由如下：在和中，， ∴ ∴， ∴平分． （2）解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． 2．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市巴彦·期中)已知，．    (1)如图1，求证：； (2)延长交于点G，直接写出的内错角． 【答案】(1)见详解； (2)、、． 【分析】（1）利用，得，从而转换角可得，再利用三角形内角定理可得结论； （2）根据内错角的概念可得答案． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵在中，， 在中，， ∴ （2）根据内错角的概念可得：的内错角有：、、． 【点睛】本题考查平行线的判定及三角形内角和定理，关键在于寻找公共角进行等量代换． 3．(24-25八上·黑龙江省伊春市·期中)数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”，“”或“”）． (2)特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 理由如下：如图2，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程） (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）． 【答案】(1)= (2)=，过程见解析 (3)1或3 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据等边三角形的性质，得，因为，且，得，即可作答． （2）过E作交于F，由是等边三角形，得是等边三角形，从而通过证明，则； （3）要注意分类讨论，①如图1：过A作于M，过E作于N，先得证，则，即；②如图2，作于M，过E作于N，由等腰三角形的三线合一，得，列式，即可作答． 【详解】（1）解：∵三角形是等边三角形，点E为的中点 ∴ 则 ∵ ∴ 则 ∴ ∵ ∴； 故答案为：； （2）解：过E作交于F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 即， 故答案为：=． （3）解：或3， 理由是：分为两种情况： ①如图1：过A作于M，过E作于N， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴ ∴； ②如图2，作于M，过E作于N， 则， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 即或1． 4．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校·期中)已知在中，，且=．作，使得．    (1)如图1，若与互余，则=______（用含的代数式表示）； (2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； (3)若与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)与相等或互补 【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等得，根据与互余得 ，由即可求出的度数； （2）作根据AAS证明,则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证； （3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于,于,根据可得≌，则可得=；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得≌，则可得，由于与互补，因此与互补． 【详解】（1）解：中，，且=, ． （2）如图，过点作于E点，    中，，， ， 中， ， ， ,=，               ． 在和中，,,， ∴，     ∴，     ∴． （3）①如图，作于，于，    ∵与的面积相等， ∴， 又∵ , ∴ ∴ 即= ②如图，作于，作垂直于的延长线于．    则． ∵，， ∴， ∵与的面积相等， ∴． ∴． ∴． ， ∴， 综上，与相等或互补． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多所学校·期中)在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)且，理由见解析 (3)， 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 6．(24-25八上·黑龙江哈尔滨萧红中学校·期中)已知，和均为等腰直角三角形，连接，交于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点C，D，E在同一条直线上时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，F为上一点，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）证明得，然后根据三角形内角和可证，从而； （2）由等腰直角三角形的性质得，进而可求出的度数； （3）连接，延长交于点G，证明得，，进而可证，设，则，再求出，，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵,,， ∴， ∴； （2）解：∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点C，D，E在同一条直线上， ∴； （3）解：连接，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵，， ∴，． ∵，， ∴四边形是梯形． ∵， ∴， 解得， ∴． 7．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨第六十九中学校·期中)已知：等边，点E在边上，点F在的延长线上，连接，与相交于点D，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以EF为边作等边，EG交AF于K，连接AG，求证； (3)如图3，在（2）的条件下，，作于M，作于N，若，，用含有m、n的式子表示线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点F作，交的延长线于点G，根据“两直线平行内错角相等”得，进而得出，再根据“角角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）作，交的延长线于点H，可知，再根据“角边角”证明，可得，进而得出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出答案； （3）设，可表示，，，则，，作，先证明，可得，再根据直角三角形的性质得，即可得，然后证明，根据，可求出，再结合，可得答案． 【详解】（1）证明：过点F作，交的延长线于点G， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）如图所示． 作，交的延长线于点H， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， 即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）设，可表示，，，则，， 过点G作，交延长线于点K， 由（2）知， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，直角三角形的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 8．(24-25八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中)已知，在中，，点、点在边上，连接、，．    (1)如图，求证：； (2)如图，当时，过点作交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】（）由等边对等角可得，，即得，进而证明即可求证； （）由全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理可得，再分别求出各内角的度数即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，，， ∴满足条件的等腰三角形有：，，，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 9．(24-25八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中)已知，点为的边上一点，点在的延长线上，连接交边于点，，．         (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点，连接，，若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查三角形的内角与外角，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质； （1）由得到，再由结合外角得到，然后根据三角形内角和得到，代入求解即可； （2）先证明是等边三角形，再证明即可； （3）在上取一点，连接，，先证明得到，再由外角得到，即可得到的，进而得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； （2）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，连接，， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中)如图，在中，点D在边上，连接．      (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E在上，连接并延长至点F，使，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长相交于点G，连接，过点C作于点L，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据三角形内角和求得，根据等边对等角即可求解； （2）过B作交于，判定出， 得到，从而求解； （3）在延长线上取点Q，连，使DQ=DG，，证明，证明，从而求解； 【详解】（1）证明： 又 （2）证明：过B作交于P， 则 又， 又 又      （3）解：在延长线上取点Q，连，使DQ=DG， 则 又 又 又 又 过B作于H 又 11．(24-25八上·黑龙江哈尔滨道外区五校联盟·期中)已知：等腰，，点D为边上一点． (1)如图1，当时，过点D作交于点E．求证：是等边三角形． (2)如图2，F为延长线上一点，连接、，当时，过点D作交于点G．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点H，连接、，使，且，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质和判定等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，即可得到△是等边三角形； （2）证明，得到； （3）作，，证明，再通过角度计算得到． 【详解】（1）证明：，， 是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：作，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 12．(24-25八上·黑龙江省鸡西市虎林市卫星学校·期中)如图1所示，已知中，，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，求证：； （2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（），其余条件不变，猜想与，有什么数量关系？并证明你的猜想； （3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（）其余条件不变，问与，的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）先证得，，根据证，推出，即可； （2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出，，再根据即可得到； （3）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出，，再根据即可得到． 【详解】（1）证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，等量代换等知识点，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 13．(24-25八上·黑龙江省大庆市第三十六中学·期中)综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接． (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系： ， ； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)3或7 【分析】（1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况可求出的长． 【详解】（1）解：    在与中 故答案为： （2）成立． 理由如下： 因为， ． ．   在和中， ．   所以．    因为在中，， 所以． 所以，即． 所以． （3）当点在上时，如图， 由（1）可知 ； 当点在延长线上时，如图， 由（2）可知， 综上所述，3或7． 【点睛】本题考查三角形的全等的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 14．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)已知． (1)如图1，当点D在上时，求证：； (2)如图2，当点在同一直线上，且，，求的度数（用含α和β的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，掌握全等三角形的判定和性质以及四边形的内角和为是正确解答的前提． （1）证出即可； （2）由（1）的结论以及四边形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明：∵， 即， 在和中， （2）解：∵ ， 由（1）得， 15．(24-25八上·黑龙江省大庆市第三十六中学·期中)（1）如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，，试探究图1中线段、、之间的数量关系． （2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．    【答案】（1） （2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至G，使，由可直接证明，即得出，．结合题意又易证，得出，进而得出； （2）延长到点G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】（1）证明：延长至G，使，（如图）．    在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：结论仍然成立； 理由：如图，延长到点G，使，连接．    在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 16．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学·期中)问题背景：如图1，四边形 ，绕点旋转，它的两边分别交于．探究图中线段之间的数量关系．小白同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是； 探究延伸1：如图2，在四边形中， 绕点旋转．它的两边分别交于，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要求说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形中， 绕点旋转．它的两边分交于．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在中俄联合军演中，辽宁舰在指挥中心（处）北偏西的A处．瓦良格号舰在指挥中心南偏东的处，并且两舰到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，辽宁舰向正东方向以海里/小时的速度前进，同时瓦良格号沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到辽，瓦两舰分别到达处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】探究延伸1：上述结论仍然成立，理由见详解 探究延伸2：上述结论仍然成立，理由见详解 实际应用：两舰艇之间的距离为海里 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，方位角的计算，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 探究延伸1：延长到，使，连接，证明，可得，，再证，得到，由，即可求解； 探究延伸2：方法同上，延长到，使，连接，先证明，再证，即可求解； 实际应用：方法同上，如图所示，连接，延长到点，使得，连接，设与轴交于点，过点作轴于点，先证，再证，得到，由行程问题可得海里，海里，由此即可求解． 【详解】解：探究延伸1：上述结论仍然成立，理由如下， 如图所示，延长到，使，连接， ∵，延长到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 探究延伸2：上述结论仍然成立，理由如下， 如图所示，延长到，使，连接， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 实际应用：如图所示，连接，延长到点，使得，连接，设与轴交于点，过点作轴于点， 根据题意可得，，，，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵辽宁舰向正东方向以海里/小时的速度前进，瓦良格号以海里/小时的速度前进，行驶时间为小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， ∴两舰艇之间的距离为海里． 17．(24-25八上·黑龙江大庆·期中)（1）如图（a）所示，、分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别为、，连接，延长交的延长线于点，求证：D点为中点； （2）如图（a）所示，求证：； （3）如图（b）所示，、分别是的内角平分线，其他条件不变，与三边的数量关系为_____． （4）如图（c）所示，为的内角平分线，为的外角平分线，其他条件不变，与三边的数量关系为_____．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． （1）证明出，得到，即可证明D点为中点； （2）延长交的延长线于，由得到，，同理可证，，，进而求解即可； （3）分别延长、交于、，首先证明出，得到，，同理可证，，，进而求解即可； （4）分别延长、交或延长线于、，证明出，得到，，同理可证，，，得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵是的外角平分线 ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ， ， ∴为中点； （2）延长交的延长线于 由（1）得， ，， 同理可证，，， 为中点 ， 又， ； （3）． 证明：如图2，分别延长、交于、，    在和中， ， ， ，， 同理可证，，， ， 又， ； （4）图3的结论为． 证明：分别延长、交或延长线于、，    在和中， ， ， ，， 同理可证，，， ， 又． ． 18．(24-25八上·黑龙江省萝北县鹤北中学·期中)综合与实践． 积累经验 （1）我们在《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程： 类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 拓展提升 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为____________． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）由于点D，于点E可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，然后由全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作轴于点，于是可得，由，可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，于是可得，，由线段的和差关系可得，进而可得出点B的坐标； （3）过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，于是可得，，由，可得，，，进而可得点B的横坐标，点B的纵坐标，于是得解． 【详解】（1）证明：于点D，于点E， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点B的坐标为； （3）解：如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，，， 点B的横坐标， 点B的纵坐标， 点B的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，写出直角坐标系中点的坐标，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市·期中)直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 【答案】(1)不变，135° (2)不变，67.5° (3)60°或72° 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的意义求解； （2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB＝90°，进而得出∠OAB+∠OBA＝90°，故∠PAB+∠MBA＝270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F＝45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE＝112.5°，进而得出结论； （3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由两个角度数的比是3：2分四种情况进行分类讨论． 【详解】（1）∠AEB的大小不变， ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE= (∠OAB+∠ABO)＝45°， ∴∠AEB＝135°； （2）∠CED的大小不变． 如图，延长AD、BC交于点F． ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠PAB+∠MBA＝270°， ∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线， ∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM， ∴∠BAD+∠ABC= (∠PAB+∠ABM)＝135°， ∴∠F＝45°， ∴∠FDC+∠FCD＝135°， ∴∠CDA+∠DCB＝225°， ∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线， ∴∠CDE+∠DCE＝112.5°， ∴∠CED＝67.5°； （3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E， ∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ， ∴∠E＝∠EOQ−∠EAO= (∠BOQ−∠BAO)= ∠ABO， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， ∴∠EAF＝90°． 在△AEF中， ∵有两个角度数的比是3：2，故有： ∠EAF：∠E=3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）； ∠EAF：∠F=3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°； ∠F：∠E=3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°； ∠E：∠F=3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）． ∴∠ABO为60°或72°． 故答案为：60°或72°． 【点睛】本题考查三角形内角和与角平分线的综合应用，熟练掌握三角形内角和定理、平角的意义、角平分线的意义和比例的性质是解题关键． 20．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市·期中)射线、交于O点，平分，，    (1)如图1，、分别平分、时，直接写出__________； (2)如图2，、分别平分、时，求出的度数； (3)在（2）条件下，如图2中，求证． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，再利用三角形内角和定理进行计算即可； （2）由三角形内角和定理得，由平角的定义得，由角平分线的定义得，再利用三角形内角和定理进行计算即可； （3）由（2）可得，，代入化简即可. 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵、分别平分、， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用． 21．(24-25八上·黑龙江省大庆市龙凤区·期中)【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】 (1)在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值______； (2)在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数． 【答案】【定义】见解析；【应用】(1)103.5°或126°；(2)画图见解析；∠B＝42°或18°. 【定义】如图①，如图②所示，根据题意画出图形即可； 【应用】（1）①如图③当∠B=42°，AD为“好线”，②如图④当∠B=42°，AD为“好线”，③如图⑤当∠ABC=42°时，BD为“好线”，④如图⑥，当∠B=42°时，CD为“好线”，⑤如图⑦，当∠B=42°时，CD为“好线”，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）设∠B=x°，①当AD=DE时，如图1（a），②当AD=AE时，如图1（b），③当EA=DE时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论． 【详解】解：(定义)如图①，如图②所示， （应用） (1)①如图当∠B＝42°，AD为“好线”， 则AB＝AD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝103.5°； ②如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线”， 则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝126°， 综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是103.5°或126°， 故答案为103.5°或126°； (2)设∠B＝x°， ①当AD＝DE时，如图1(a)， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD＝27°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x° ∴∠AED＝∠DAE＝2x°， ∴27×2+2x+x＝180， ∴x＝42， ∴∠B＝42°； ②当AD＝AE时，如图1(b)， ∵AD＝CD， ∴∠C＝∠CAD＝27°， ∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝x° ∴∠AED＝∠ADE＝2x°， ∴2x+x＝27+27， ∴x＝18， ∴∠B＝18°． ③当EA＝DE时， ∵90﹣x+27+27+x＝180， ∴x不存在，应舍去． 综合上述：满足条件的x＝42°或18°． 【点睛】本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键，并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解． 22．(24-25八上·黑龙江哈尔滨虹桥中学·期中)四边形中，，点N在延长线上，连接并延长交延长线于点M，若．      (1)求证：平分； (2)若，则_______； (3)在（2）的条件下，若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）延长与交于点，根据和得到，再结合即可得到，最后由三线合一得到平分； （2）由得到，推出，即可得到； （3）过作交于，则，即可得到，，最后由求解即可． 【详解】（1）解：延长与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：过作交于，则， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 23．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)在中，，点为上一点，， (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点分别为上一点，，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，，，求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，设，则，由于在中，，从而得到，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）由已知得到，根据三角形的外角的性质可得，即可得出，根据等角对等边，即可得证； （3）在（2）的条件下，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据两个三角形全等的判定定理得到、，设，根据全等三角形的性质可得，，进而根据三角形的面积公式，得出，即可求解． 【详解】（1）解： ，设，则， ∵， ， ， （2）证明： ，， ， 是的一个外角， ， ， ； （3）解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴，则 在中， ∴ ∴， 又∵,， ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， 设 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 解得：（负值舍去） ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判断与性质、等腰三角形的判断与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及外角的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键． 24．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔第三十四中学·期中)【问题情景】数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图1，在四边形中，点C是边的中点，平分，，证明：． 【讨论思考】当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出各自的见解．大家集思广议，提出了一个截长法，如图2，在上截取，连接，先证明≌．再证明≌，既有，即． 【解决问题】小明同学根据大家的思路进行了如下的证明． 理由如下：如图2，在上取一点F，使，连接． ∵平分，∴， 在和中，， ∴， ∴，． （1）小明已经完成了大家讨论第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 【拓展探究】已知，如图3，在中，D、E分别为、上的点，且，相交于点F．若，为的角平分线． （2）如果，写出等于__________； （3）如图3，，为的角平分线，如果角，证明； （4）如图4．在中，延长的边到点G，平分交延长线于点D，若，，则__________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）根据题意再证明得出，进而即可得证； （2）根据角平分线的定义可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）在上截取，证明，，根据全等三角形的性质，即可得证； （4）在上截取，证明，结合已知可得，进而根据等边对等角可得，进而根据角平分线的定义，全等三角形的性质，三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：（1）补充证明如下：∵， ∴， 又∵ ∴ ∵点是边的中点， ∴， 又∵ ∴， 在和中， ∴ ∴， 又， ∴， 即； （2）∵， ∴， ∵为 的角平分线， ∴ ∴ ． （3）证明：如图所示，在上截取， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∴； （4）解：如图所示，在上截取， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形的外角的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 25．(24-25八上·黑龙江省龙东地区·期中)问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析； （3）线段，，之间的数量关系为． 【分析】（1）由折叠的性质可证三角形全等，可得对应边相等，对应角相等，结合已知，可得等腰直角三角形，等量代换，即可证得结论； （2）在上截取，综合全等三角形的判定和性质，可得，结合已知和三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可证得结论； （3）在射线上截取，结合角平分线，可证三角形全等，对应边相等，对应角相等，由已知结合三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，在上截取， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：， 证明：如图，在射线截取，连接， ∵是的外角的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 26．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区等5地·期中)已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，    （1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　 　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　 　；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=　 　； （2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=　 　（用含α的式子表示）； （3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明． 【答案】（1）120°，90°，60°；（2）180°﹣α；（3）∠AFB=180°﹣α,证明详见解析. 【分析】（1）如图1，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数即可；如图2，证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°；如图3，证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°；（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α；（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α． 【详解】解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°， 所以△ACD是等边三角形． ∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°， 所以△ECB是等边三角形． ∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE， 又∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACE=∠BCD． ∵AC=DC，CE=BC， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC． ∠AFB是△ADF的外角． ∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°． 如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠AEC=∠DBC， 又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°， ∴∠EFD=90°． ∴∠AFB=90°． 如图3，∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． 又∵CA=CD，CE=CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC． ∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°， ∴∠FAB+∠FBA=120°． ∴∠AFB=60°． 故填120°，90°，60°． （2）∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． ∴∠CAE=∠CDB． ∴∠DFA=∠ACD． ∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α． （3）∠AFB=180°﹣α； 证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB． 在△ACE和△DCB中  ， 则△ACE≌△DCB（SAS）． 则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α． ∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质及三角形的内角和定理，熟练运用三角形全等的判定方法证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题是解决这类题目的基本思路． 27．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期中)为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 地 城 考点02 与平面直角坐标系有关的探究题 一、解答题 1．(24-25八上·黑龙江克东县第三中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义；点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点． (1)已知，，，则它们关于轴和直线的二次反射点，，的坐标分别是_____； (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长； 【答案】(1)、、 (2)； 【分析】本题考查了轴对称性质，新定义二次反射点的理解和运用． （1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标， ∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标， ∵， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∵关于直线对称的点， ∴关于轴和直线的二次反射点的坐标， 故答案为：、、； （2）解：∵点的坐标是， ∴点关于轴对称点的坐标为， ∴关于直线对称的点， ∴． 2．(24-25八上·黑龙江省龙东地区·期中)综合与实践． 积累经验 我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决． (1)请写出证明过程； 类比应用 (2)如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标并写出求解过程； 拓展提升 (3)如图3，在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，直接写出点坐标 ___________． 【答案】(1)见解析 (2)，过程见解析 (3) 【分析】（1）只需要利用一线三垂直模型证明即可证明，； （2）过作轴于，如图2所示，仿照（1）证明，得到，，则，由此即可得到答案； （3）如图3，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，同理证明，得到，，再由A、C的坐标求出，，，进而求出点B的坐标即可． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ∴， ， 在和中， ， ， ，； （2）解：过作轴于，如图2所示： ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． （3）解：如图3，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， 同（1）（2）可证， ，， ，， ，， ， 点的纵坐标为，横坐标为， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，熟知一线三垂直模型是解题的关键． 3．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期中)综合与探究 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________． (2)当点P在线段上时（不含端点），如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）． (3)在（2）条件下，若，则t的值为__________． (4)若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形能与全等？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)4 (4)存在，或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）判断出，即可得出结论； （3）列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）∵点在线段上， ， ； 故答案为：4； （4）存在 理由如下： ，，点， ，； 当Q在正半轴时， ∴ ∴ 当Q在负半轴时， ∴ ∴ 综上所述：或． 4．(24-25八上·黑龙江省萝北县鹤北中学·期中)综合与实践． 积累经验 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程： 类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 拓展提升 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为____________． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）由于点D，于点E可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，然后由全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作轴于点，于是可得，由，可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，于是可得，，由线段的和差关系可得，进而可得出点B的坐标； （3）过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，于是可得，，由，可得，，，进而可得点B的横坐标，点B的纵坐标，于是得解． 【详解】（1）证明：于点D，于点E， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点B的坐标为； （3）解：如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，，， 点B的横坐标， 点B的纵坐标， 点B的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，写出直角坐标系中点的坐标，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市·期中)直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 【答案】(1)不变，135° (2)不变，67.5° (3)60°或72° 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的意义求解； （2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB＝90°，进而得出∠OAB+∠OBA＝90°，故∠PAB+∠MBA＝270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F＝45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE＝112.5°，进而得出结论； （3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由两个角度数的比是3：2分四种情况进行分类讨论． 【详解】（1）∠AEB的大小不变， ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE= (∠OAB+∠ABO)＝45°， ∴∠AEB＝135°； （2）∠CED的大小不变． 如图，延长AD、BC交于点F． ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠PAB+∠MBA＝270°， ∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线， ∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM， ∴∠BAD+∠ABC= (∠PAB+∠ABM)＝135°， ∴∠F＝45°， ∴∠FDC+∠FCD＝135°， ∴∠CDA+∠DCB＝225°， ∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线， ∴∠CDE+∠DCE＝112.5°， ∴∠CED＝67.5°； （3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E， ∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ， ∴∠E＝∠EOQ−∠EAO= (∠BOQ−∠BAO)= ∠ABO， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， ∴∠EAF＝90°． 在△AEF中， ∵有两个角度数的比是3：2，故有： ∠EAF：∠E=3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）； ∠EAF：∠F=3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°； ∠F：∠E=3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°； ∠E：∠F=3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）． ∴∠ABO为60°或72°． 故答案为：60°或72°． 【点睛】本题考查三角形内角和与角平分线的综合应用，熟练掌握三角形内角和定理、平角的意义、角平分线的意义和比例的性质是解题关键． 6．(24-25八上·黑龙江龙东部分学校·期中)综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)4或8 (4)存在，点P的坐标为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）先求得点C的坐标，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）分两种情况，列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：当点在线段上时， ， ； 当点在轴正半轴时，即， 如图2，由运动知，， ， 同（2）的方法得，， ， ， 即时，的值为4或8； 故答案为：4或8； （4）解：，，点， ，，， 当时，， ，点； 当时， 又， ， ， ，点， 综上所述：点P的坐标为或． 7．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨第六十九中学校·期中)已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点A在y轴的正半轴上，，点C的坐标为． (1)如图1，设，的面积为s，求s于m的关系式；（不要求写出m的取值范围） (2)如图2，过点C作交的延长线于点D，交y轴于点E，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在上，过点F作直线，交于点N，交x轴负半轴于点M，交于点G，连接，，，连接，，若的面积为18，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，可知，再结合点C的坐标可得答案； （2）由得，再根据，可知，即可解答； （3）根据平行线的性质可知，再根据，可知，得出，再证明，可知，然后根据三角形的面积公式求出m，可求，作，证明，可得，即可求出答案． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵点， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴， ∴． 作，交于点P， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，平行线的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 8．(24-25八上·黑龙江哈尔滨虹桥中学·期中)在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在x轴正半轴上，且，的面积． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，点、在第一象限直线上，连接，．若，且M在的垂直平分线上，，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点C、点D分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且，点E在线段上，F在线段上，连接，，点G在平分线上，连接并延长交于点H，过H作y轴平行线交直线于点P，连接，交x轴于点Q，若，坐标为，且G到x轴的距离为，，，求P点纵坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据的面积，计算即可求解； （2）设，得，结合题意可知，进而得，，可知，的，即可证明结论； （3）在截取，则垂直平分，由此先证明，过点作，，，过点作，过点作，则，，，证明，，得，，，再证，得，则，再证，得，可得，，求得，可知，即可求解． 【详解】（1）解：∵的面积，， ∴，则， ∴点的坐标为； （2）证明：设， ∵， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）∵， ∴，则， ∵坐标为， ∴， 在截取，则垂直平分， ∴，则，， ∵，则， ∴，则， 由三角形内角和可知，， ∴， 过点作，，，过点作，过点作， 则，，， ∵点G在平分线上， ∴，，则， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∵，则， ∴，而G到x轴的距离为， ∴， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 则， 则点的纵坐标为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，图形与坐标，角平分线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 9．(24-25八上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B的坐标为，点C在x轴正半轴，，过点C作交y轴正半轴于点A． (1)求出A点坐标； (2)动点D，E分别从A，C出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线运动，过点E作垂直于y轴于点Q，设运动时间为的长度为d，请用含t的式子表示d（不要求写出t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当D，E在线段上时，连接，以为边向右作等边，连接，当时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据点B的坐标为，得出，根据，得出，，根据，求出，得出，即可得出答案； （2）过点E作轴于点F，根据直角三角形性质求出，求出点Q的坐标为，D的坐标为；分两种情况：当点Q在点D下方时，当点Q在点D上方时，分别求出结果即可； （3）在上截取，连接，延长，，交于点G，过点H作于点M，证明，得出，，证明，先证明，得出，证明，得出，证明，得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点E作轴于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴点Q的坐标为， 根据题意得：点D的坐标为； 当点Q在点D下方时，； 当点Q在点D上方时，； 综上分析可知：或； （3）解：在上截取，连接，延长，，交于点G，过点H作于点M，如图所示： 根据题意得：， ∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， 连接， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本体主要考出来三角形全等的判定和性质，坐标与图形，直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线数形结合，数量掌握三角形全等的判定方法． 10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中)在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，过作轴于点，． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点在点右侧轴上，点在上，且，若，的面积为，求与之间的关系式； (3)如图，在（）的条件下，将射线沿翻折，交轴于点，交于点，连接，的周长为，的面积为，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据等腰三角形的判定与性质即可求解； （）过作轴于点，得，设，则，，通过角度和差得出，然后证明，根据全等三角形的性质得出，，再通过三角形面积公式即可求解； （）过作轴于点，过作轴于点，过作于点，由角平分线的性质得出，证明，，，则有，，，同（）理得，则，，设，由的周长为，的面积为，得，，求出的值即可； 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在第一象限的角平分线上，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标； （2）解：如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， 由（）得， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：如图，过作轴于点，过作轴于点，过作于点， ∵点在第一象限的角平分线上，平分， ∴，， ∴， ∴，，， ∴，，， 同（）理得：， ∴，， 设， ∵的周长为，的面积为， ∴，， 整理得：，即，， ∴，整理得：， 即， 解得：， ∴． 11．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学·期中)如图，点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上，A为第一象限内一点，，， (1)求：的度数； (2)当时，求：四边形的面积； (3)点D，点E分别在上，于点，交于点，连接，当，时，，求：的长． 【答案】(1) (2)四边形的面积为 (3) 【分析】（1）过点作轴于点，结合，则是等腰直角三角形，即可作答． （2）先得出四边形是正方形，再证明，则，四边形的面积为正方形的面积，则四边形的面积为； （3）延长到使，连接、，过作于点，证，得到，再利用面积即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：如图所示，过点作轴于点，作轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为正方形的面积， ∴， ∴四边形的面积为； （3）解：延长到使，连接、，设和交于点， ，， ，， 垂直平分线段， ，， 设，则，， ，， ，即， ，， ， ， 过作于点，则为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、垂直平分线的判定与性质，坐标图形性质等内容，熟练掌握相关知识和作出合适的辅助线是解题的关键． 12．(24-25八上·黑龙江哈尔滨道外区五校联盟·期中)如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，且位于原点两侧．当时，的面积为16． (1)求A、B点坐标． (2)如图2，在边上有一动点F，连接，与y轴交于点G．设点F的横坐标为t，用含t的式子来表示的面积S． (3)如图3，在（2）的条件下，过点A作交x轴于点D，垂足为E．连接，当时，求出点D的坐标． 【答案】(1)点，点 (2) (3) 【分析】（1）由三角形的面积公式可求，即可求解； （2）过点作于，可证△是等腰直角三角形，可得，由三角形的面积公式可求解； （3）由可证，可得，，由“ “可证，可得，由面积的关系可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， △的面积为16， ， ， 点，点； （2）解：如图2，过点作于， 点的横坐标为， ， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）解：如图3，过点作，交的延长线于，连接， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 13．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，连接，若． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点从原点出发沿线段向终点A运动，运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，连接，的面积为S，求S与之间的关系式；（不用写出的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，点为上一点，连接，过点E作，垂足为，交于点，若，时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据平方的非负性求得的值，进而求得的坐标，根据的坐标即可求得； （2）先求出，进而求出结论； （3）过点A作的延长线于点，延长交x轴于点F，作平分线交于点M，N，，证明 ，可得，进而证明，可得，即可求出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解：如下图， 由题意得：， ， ， ； （3）如图，过点A作的延长线于点，延长交x轴于点F，作平分线交于点M，N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形内角和定理，等角对等边，三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 14．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，点C在y轴上，，的坐标分别为，，的面积为． (1)求点A的坐标； (2)动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线向右运动，点P的运动时间为t，连接，的面积为，请用含t的式子表示的面积，并直接写出t的取值范围． (3)在（2）的条件下，过点A作于，交于E，连接，当的面积等于面积的时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由，两点的坐标可求得，的长，由三角形的面积公式及已知条件“的面积为”可得，于是可得，据此即可求出的长，进而可得出点的坐标； （2）分两种情况讨论：当时；当时；分别根据三角形的面积公式即可得出答案； （3）由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，进而可得，由（1）可得，利用可证得，于是可得，则，，，然后分两种情况讨论：当时；当时；分别用表示出，然后根据已知条件即可建立关于的一元一次方程，解方程即可求得t的值． 【详解】（1）解：，， ，， 的面积为， ， ， ， 点在轴上， ； （2）解：如图，分两种情况讨论： 当时， ，， ； 当时， ，， ； 综上所述，； （3）解：于， ， ， ，， ， 由（1）可得：， 在和中， ， ， ， ， ， ， 分两种情况讨论： 当时， ，， ， ， ， 解得：； 当时， ，， ， ， ， 解得：； 综上所述，当的面积等于面积的时，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，等式的性质，线段的和与差，列代数式，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质，解一元一次方程等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $专题06 解答典型题专练 2大高频考点概览 考点01 与三角形有关的探究题 考点02 与平面直角坐标系有关的探究题 地 城 考点01 与三角形有关的探究题 一、解答题 1．(24-25八上·黑龙江省大庆市·期中)图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 2．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市巴彦·期中)已知，．    (1)如图1，求证：； (2)延长交于点G，直接写出的内错角． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 3．(24-25八上·黑龙江省伊春市·期中)数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”，“”或“”）． (2)特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是： （填“”，“”或“”）． 理由如下：如图2，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程） (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）． 4．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校·期中)已知在中，，且=．作，使得．    (1)如图1，若与互余，则=______（用含的代数式表示）； (2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； (3)若与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论． 5．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多所学校·期中)在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 6．(24-25八上·黑龙江哈尔滨萧红中学校·期中)已知，和均为等腰直角三角形，连接，交于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点C，D，E在同一条直线上时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，F为上一点，连接，若，求的长． 7．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨第六十九中学校·期中)已知：等边，点E在边上，点F在的延长线上，连接，与相交于点D，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以EF为边作等边，EG交AF于K，连接AG，求证； (3)如图3，在（2）的条件下，，作于M，作于N，若，，用含有m、n的式子表示线段的长度． 8．(24-25八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中)已知，在中，，点、点在边上，连接、，．    (1)如图，求证：； (2)如图，当时，过点作交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于． 9．(24-25八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中)已知，点为的边上一点，点在的延长线上，连接交边于点，，．         (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点，连接，，若，，求线段的长． 10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中)如图，在中，点D在边上，连接．      (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E在上，连接并延长至点F，使，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长相交于点G，连接，过点C作于点L，若，求的长． 11．(24-25八上·黑龙江哈尔滨道外区五校联盟·期中)已知：等腰，，点D为边上一点． (1)如图1，当时，过点D作交于点E．求证：是等边三角形． (2)如图2，F为延长线上一点，连接、，当时，过点D作交于点G．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点H，连接、，使，且，当时，求的度数． 12．(24-25八上·黑龙江省鸡西市虎林市卫星学校·期中)如图1所示，已知中，，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，求证：； （2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（），其余条件不变，猜想与，有什么数量关系？并证明你的猜想； （3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（）其余条件不变，问与，的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 13．(24-25八上·黑龙江省大庆市第三十六中学·期中)综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接． (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系： ， ； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长． 14．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)已知． (1)如图1，当点D在上时，求证：； (2)如图2，当点在同一直线上，且，，求的度数（用含α和β的式子表示）． 15．(24-25八上·黑龙江省大庆市第三十六中学·期中)（1）如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，，试探究图1中线段、、之间的数量关系． （2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．    16．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学·期中)问题背景：如图1，四边形 ，绕点旋转，它的两边分别交于．探究图中线段之间的数量关系．小白同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是； 探究延伸1：如图2，在四边形中， 绕点旋转．它的两边分别交于，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要求说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形中， 绕点旋转．它的两边分交于．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在中俄联合军演中，辽宁舰在指挥中心（处）北偏西的A处．瓦良格号舰在指挥中心南偏东的处，并且两舰到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，辽宁舰向正东方向以海里/小时的速度前进，同时瓦良格号沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到辽，瓦两舰分别到达处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 17．(24-25八上·黑龙江大庆·期中)（1）如图（a）所示，、分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别为、，连接，延长交的延长线于点，求证：D点为中点； （2）如图（a）所示，求证：； （3）如图（b）所示，、分别是的内角平分线，其他条件不变，与三边的数量关系为_____． （4）如图（c）所示，为的内角平分线，为的外角平分线，其他条件不变，与三边的数量关系为_____．    18．(24-25八上·黑龙江省萝北县鹤北中学·期中)综合与实践． 积累经验 （1）我们在《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程： 类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 拓展提升 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为____________． 19．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市·期中)直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 20．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市·期中)射线、交于O点，平分，，    (1)如图1，、分别平分、时，直接写出__________； (2)如图2，、分别平分、时，求出的度数； (3)在（2）条件下，如图2中，求证． 21．(24-25八上·黑龙江省大庆市龙凤区·期中)【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”． 【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数． 如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数． 【应用】 (1)在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值______； (2)在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数． 22．(24-25八上·黑龙江哈尔滨虹桥中学·期中)四边形中，，点N在延长线上，连接并延长交延长线于点M，若．      (1)求证：平分； (2)若，则_______； (3)在（2）的条件下，若，求长． 23．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)在中，，点为上一点，， (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点分别为上一点，，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，，，求线段的长． 24．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔第三十四中学·期中)【问题情景】数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图1，在四边形中，点C是边的中点，平分，，证明：． 【讨论思考】当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出各自的见解．大家集思广议，提出了一个截长法，如图2，在上截取，连接，先证明≌．再证明≌，既有，即． 【解决问题】小明同学根据大家的思路进行了如下的证明． 理由如下：如图2，在上取一点F，使，连接． ∵平分，∴， 在和中，， ∴， ∴，． （1）小明已经完成了大家讨论第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 【拓展探究】已知，如图3，在中，D、E分别为、上的点，且，相交于点F．若，为的角平分线． （2）如果，写出等于__________； （3）如图3，，为的角平分线，如果角，证明； （4）如图4．在中，延长的边到点G，平分交延长线于点D，若，，则__________． 25．(24-25八上·黑龙江省龙东地区·期中)问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 26．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区等5地·期中)已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，    （1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　 　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　 　；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=　 　； （2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=　 　（用含α的式子表示）； （3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明． 27．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期中)为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 地 城 考点02 与平面直角坐标系有关的探究题 一、解答题 1．(24-25八上·黑龙江克东县第三中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义；点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点． (1)已知，，，则它们关于轴和直线的二次反射点，，的坐标分别是_____； (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长； 2．(24-25八上·黑龙江省龙东地区·期中)综合与实践． 积累经验 我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决． (1)请写出证明过程； 类比应用 (2)如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标并写出求解过程； 拓展提升 (3)如图3，在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，直接写出点坐标 ___________． 3．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期中)综合与探究 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________． (2)当点P在线段上时（不含端点），如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）． (3)在（2）条件下，若，则t的值为__________． (4)若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形能与全等？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 4．(24-25八上·黑龙江省萝北县鹤北中学·期中)综合与实践． 积累经验 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程： 类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 拓展提升 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为____________． 5．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市·期中)直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 6．(24-25八上·黑龙江龙东部分学校·期中)综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨第六十九中学校·期中)已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点A在y轴的正半轴上，，点C的坐标为． (1)如图1，设，的面积为s，求s于m的关系式；（不要求写出m的取值范围） (2)如图2，过点C作交的延长线于点D，交y轴于点E，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在上，过点F作直线，交于点N，交x轴负半轴于点M，交于点G，连接，，，连接，，若的面积为18，连接，求的面积． 8．(24-25八上·黑龙江哈尔滨虹桥中学·期中)在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在x轴正半轴上，且，的面积． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，点、在第一象限直线上，连接，．若，且M在的垂直平分线上，，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，点C、点D分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且，点E在线段上，F在线段上，连接，，点G在平分线上，连接并延长交于点H，过H作y轴平行线交直线于点P，连接，交x轴于点Q，若，坐标为，且G到x轴的距离为，，，求P点纵坐标． 9．(24-25八上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B的坐标为，点C在x轴正半轴，，过点C作交y轴正半轴于点A． (1)求出A点坐标； (2)动点D，E分别从A，C出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线运动，过点E作垂直于y轴于点Q，设运动时间为的长度为d，请用含t的式子表示d（不要求写出t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当D，E在线段上时，连接，以为边向右作等边，连接，当时，求t的值． 10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中)在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，过作轴于点，． (1)如图，求点的坐标； (2)如图，点在点右侧轴上，点在上，且，若，的面积为，求与之间的关系式； (3)如图，在（）的条件下，将射线沿翻折，交轴于点，交于点，连接，的周长为，的面积为，求的长． 11．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学·期中)如图，点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上，A为第一象限内一点，，， (1)求：的度数； (2)当时，求：四边形的面积； (3)点D，点E分别在上，于点，交于点，连接，当，时，，求：的长． 12．(24-25八上·黑龙江哈尔滨道外区五校联盟·期中)如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，且位于原点两侧．当时，的面积为16． (1)求A、B点坐标． (2)如图2，在边上有一动点F，连接，与y轴交于点G．设点F的横坐标为t，用含t的式子来表示的面积S． (3)如图3，在（2）的条件下，过点A作交x轴于点D，垂足为E．连接，当时，求出点D的坐标． 13．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，连接，若． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点从原点出发沿线段向终点A运动，运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为秒，连接，的面积为S，求S与之间的关系式；（不用写出的取值范围） (3)如图3，在（2）的条件下，点为上一点，连接，过点E作，垂足为，交于点，若，时，求线段的长． 14．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，点C在y轴上，，的坐标分别为，，的面积为． (1)求点A的坐标； (2)动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线向右运动，点P的运动时间为t，连接，的面积为，请用含t的式子表示的面积，并直接写出t的取值范围． (3)在（2）的条件下，过点A作于，交于E，连接，当的面积等于面积的时，求t的值． $