专题05 选择、填空典型题专练（期中真题汇编，黑龙江专用）八年级数学上学期人教版2024

专题05 选择、填空典型题专练 6大高频考点概览 考点01 条件补充开放题 考点02 几何多解问题 考点03 多结论判断题 考点04 折叠问题 考点05 规律探索问题 考点06 最值问题 地 城 考点01 条件补充开放题 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江鸡西虎林卫星学校·期中)如图，，只需补充一个条件 ，就可以得到． 2．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔第二十八中学·期中)如图，点D、E分别在、上，已知，添加一个条件，能说明≌，这个条件可以是 ． 3．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市第三中学第十中学联考·期中)如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为 ． 4．(24-25八上·黑龙江省龙东地区·期中)如图， ，请添加一个条件 ，可判定． 5．(24-25八上·黑龙江省绥化·期中)如图点D，E分别在线段上，相交于点O，，要根据“”证明，需要添加一个条件是 6．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期中)如图，，，三点在一条直线上，，，若使，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可） 7．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多所学校·期中)如图，与相交于点，，添加一个条件： ，使得．（写出一个即可） 8．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区等5地·期中)如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是 ． 9．(24-25八上·黑龙江省大庆市第三十六中学·期中)如图，已知，添加下列条件：．可以利用判断的是： ．    地 城 考点02 几何多解问题 一、填空题 1．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期中)腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角为 度． 2．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第三十四中学·期中)等腰三角形的一个角是50°，则它的顶角等于 °． 3．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市道外区五校联盟·期中)在中，，，点在直线上，，则的度数为 ． 4．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第二十八中学·期中)等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为 ． 5．(24-25八上·黑龙江省伊春市·期中)若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ． 6．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市·期中)若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为 ． 7．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)若等腰三角形的两边长分别为3和5，则等腰三角形的周长为 ． 8．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市萧红中学校·期中)已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为 ． 9．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校·期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ． 11．(24-25八上·黑龙江哈尔滨虹桥中学·期中)已知等腰中，，直线l经过点C，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若，，则 ． 12．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第三十四中学·期中)在平面直角坐标系中，点A的坐标为点B点坐标为，求一点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为 ． 13．(24-25八上·黑龙江大庆肇源县联盟学校·期中)在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，点在第四象限角平分线上，则的平方根为 ． 14．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第一一三中学·期中)在中，是边上的高线，且，，平分交于点，则的度数为 ． 15．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且为等腰三角形，则的度数为 ． 16．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市第三中学第十中学联考·期中)如图，直线m，n交于点B，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点c，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)用一条长16厘米的细绳围成一个等腰三角形，其中一边长为6厘米，则另外两边的长分别为 ． 18．(24-25八上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期中)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和，则这个三角形的底边长为 ． 19．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第四十七中学·期中)已知△ABC中，AB＝AC，且有一个内角等于30°，点B关于直线AC的对称点为E，连接BE和CE，则∠BEC＝ ． 20．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第十七中学校·期中)已知等腰三角形，，为边上一点，且和都是等腰三角形，则 ． 21．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市·期中)等腰中，，垂足为点，且，则等腰底角的度数为 ． 22．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市萧红中学校·期中)如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 ． 23．(24-25八上·黑龙江龙东·期中)已知等腰三角形中，于点D，且，则等腰三角形的底角的度数为 ． 24．(24-25八上·黑龙江鸡西虎林卫星学校·期中)等腰三角形中，一个角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 25．(24-25八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中)已知，在等腰三角形中，，，为直线上一点，，则的度数为 ． 26．(24-25八上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)在中，，D在边上，且是等腰三角形，则的度数为 ． 27．(24-25八上·黑龙江绥化海伦第三中学第十中学联考·期中)等腰三角形一腰的中线把三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为 ． 28．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市·期中)为的中线，为的高，的面积为14，则的长为 ． 29．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县益海学校·期中)等腰三角形腰上的高与腰的夹角为47°，则这个三角形的顶角为 度． 30．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多所学校·期中)在中，，点P是射线BA上的任意一点，当为等腰三角形时，的度数为 ． 31．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)在中，，，以为边作等边，连接，则的度数为 ． 32．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，已知，点在射线上运动，点在射线上运动．和的角平分线交于点，、分别为、上的点，和的角平分线交于点．若点A、B在运动过程中，存在中有一个角是另一个角的2倍，则的度数为 ． 地 城 考点03 多结论判断题 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)如图，均是等边三角形，A，C，B三点在同一条直线上，分别与交于点M，N，连接，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中结论正确的序号有（    ） A．③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 2．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨第六十九中学校·期中)下列说法正确的有：①如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③等腰三角形顶角的邻补角是底角的二倍；④等腰三角形两腰上的高线长相等．其中正确的共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第一一三中学·期中)如图，在中，，点D、F是射线BC上两点，且，若，；则下列结论中正确的有（　　）    ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．(24-25八上·黑龙江省鸡西市虎林市卫星学校·期中)如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（    ） ①△ACD≌△BCE； ②△CPQ是等边三角形； ③平分； ④△BPO≌△EDO． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县益海学校·期中)如图，，，在同一直线上，的平分线与的平分线交于点，，分别交于点，交于点，连接，．有以下结论：①；②是等腰三角形；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多所学校·期中)如图，在中，于R，于S，则三个结论①；②；③中（　　） A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确 7．(24-25八上·黑龙江大庆第三十六中学·期中)如图，已知线段上有一动点，分别以、为边在同方向作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（） A．①②⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 8．(24-25八上·黑龙江牡丹江·期中)如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确的结论个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区等5地·期中)如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点， 与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔第三十四中学·期中)如图，在中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③≌；④平分．其中正确的结论的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 11．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第二十八中学·期中)如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE交AE延长线于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，以下四个结论： ①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC＋CE=AB；④AC＋AB=2AM.其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ∴CD＝AN＝EN＝AE，∴②正确； 12．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市·期中)如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第一二四中学·期中)如图，在中，的平分线交于点D，过C点作于G，交于点E，过点D作于点F．下列结论： ①；②；③．其中一定正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期中)如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 15．(24-25八上·黑龙江哈尔滨虹桥中学·期中)如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中)如图，等边中，点D为外一点，连接、、，交于点F，，点E为上一点，连接，点G为上一点，平分，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，以下五个结论： ； ； ； 平分； ．正确的有（　　） A． B． C． D． 二、填空题 18．(24-25八上·黑龙江大庆第三十六中学·期中)如图，，，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤是的平分线．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）． 19．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠DBC的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠DBC，∠DAC，∠ECA的平分线的交点，上述结论中，正确的有 ．(填序号) 20．(24-25八上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期中)如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中成立的有 (填写正确的序号)． ①PA=PB；②AB垂直平分OP；③OA=OB；④PO平分∠APB． 21．(24-25八上·黑龙江绥化·期中)如图，点P是的平分线上一点，，，E，F分别为垂足，①，②，③，上述结论中正确的是 （只填序号）． 地 城 考点04 折叠问题 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市松南学校·期中)如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（  ） A．22cm B．20cm C．18cm D．15cm 2．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，将长方形沿折叠．如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 3．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县第二中学·期中)如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨第六十九中学校·期中)如图，在纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（   ） A． B． C． D．2 二、填空题 5．(24-25八上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期中)如图所示，一排数字是球衣数字在镜中的像，则原数是 ． 6．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)一个汽车牌在水中的倒影为  ，则该车牌照号码 ． 7．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)如图，三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在图中的B'处．∠1＝24°，∠2＝80°，则∠B＝ 度． 8．(24-25八上·黑龙江省克东县第三中学·期中)如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图③中，的度数为 ． 9．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市萧红中学校·期中)如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是 三角形． 10．(24-25八上·黑龙江龙东·期中)如图，将长方形纸片进行折叠，，为折痕，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，若，则的度数为 ． 11．(24-25八上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)如图，在中，，D在边上，E在上，把沿翻折得到，点F刚好落在边上，且，，则的度数为 ． 12．(24-25八上·黑龙江双鸭山集贤县·期中)如图，在中，，点D在边上，连结，将沿翻折得到，使，交于点F．若，则的大小是 （用含的代数式表示）． 地 城 考点05 规律探索问题 一、选择题 1．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第三十四中学·期中)已知：是三边都不相等的三角形，点是三个内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当、同时在不等边的内部时，那么和的数量关系是(    )    A． B． C． D． 2．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校·期中)如图，已知，，点、、…在射线上，点、、 在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 二、填空题 3．(24-25八上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期中)小华从点A出发向前走，向右转然后继续向前走，再向右转，他以样的方法继续走下去，当他走回到点A时共走 米． 4．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)如图，在中，与的平分线交于点与的平分线交于……依次类推，与角平分线交于点，则的度数为 5．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县第二中学·期中)如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点．若，，则 °．（用含m和n的式子表示） 6．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市道外区五校联盟·期中)如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，△、△、△均为等边三角形，若，则△的边长为 ． 7．(24-25八上·黑龙江省大庆市龙凤区·期中)如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图： 以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1； 再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2； 再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；… 这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．    8．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔龙江县多所学校·期中)如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为 ． 9．(24-25八上·黑龙江龙东·期中)如图，的面积为S，延长至点，使得，连接，得到第一个三角形；再延长至点，使得，连接，得到第二个三角形；延长至点，使得，连接，得到第三个三角形，延长至点，使得，连接，得到第四个三角形……重复这样的操作，则第2025个三角形的面积为 ． 10．(24-25八上·黑龙江省鸡西市虎林市卫星学校·期中)如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ． 11．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔第三十四中学·期中)如图，的面积为S，作的中线，取的中点，连接得到第一个；作的中线，取的中点，连接得到第一个…；重复这样的操作，则第2024个的面积为 ． 地 城 考点06 最值问题 一、填空题 1．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县第二中学·期中)已知∠AOB=30°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=8，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 ． 2．(24-25八上·黑龙江省萝北县鹤北中学·期中)如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，，，则的最小值为 ．    3．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，等腰三角形中，底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 ．    4．(24-25八上·黑龙江省鸡西市虎林市卫星学校·期中)如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 ． 5．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市道外区五校联盟·期中)如图，在中，，，，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则周长的最小值为 ． 6．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学·期中)如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为 ． 7．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期中)如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为 ． 8．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区等5地·期中)如图，在直角 中，，，点 为上一动点，连接．若，的面积为，则的最小值为 ． 9．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区等5地·期中)如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 10．(24-25八上·黑龙江省大庆市龙凤区·期中)如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是 ．    试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 选择、填空典型题专练 6大高频考点概览 考点01 条件补充开放题 考点02 几何多解问题 考点03 多结论判断题 考点04 折叠问题 考点05 规律探索问题 考点06 最值问题 地 城 考点01 条件补充开放题 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江鸡西虎林卫星学校·期中)如图，，只需补充一个条件 ，就可以得到． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得，，，据此结合全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：添加，证明如下： 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 2．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔第二十八中学·期中)如图，点D、E分别在、上，已知，添加一个条件，能说明≌，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在，中，有一个公共角，， ， 根据的判定条件，可添加或． 根据的判定条件，可添加． 根据的判定条件，可添加或． 故答案为：（答案不唯一）． 3．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市第三中学第十中学联考·期中)如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为 ． 【答案】AB=DC(答案不唯一) 【分析】本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可． 【详解】解：由题意可知：AC=DB，BC=CB， ∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC， 故答案为：AB=DC(答案不唯一)． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键． 4．(24-25八上·黑龙江省龙东地区·期中)如图， ，请添加一个条件 ，可判定． 【答案】（答案不唯一） 【分析】添加条件，可根据证明全等． 【详解】解：添加条件：， 则在和中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，添加一个条件使两个三角形全等，全等三角形的判定方法有：． 5．(24-25八上·黑龙江省绥化·期中)如图点D，E分别在线段上，相交于点O，，要根据“”证明，需要添加一个条件是 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先结合条件与图形得出，，因为根据“”证明，则添加条件是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴要根据“”证明，需要添加一个条件是 故答案为： 6．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期中)如图，，，三点在一条直线上，，，若使，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可） 【答案】（或或等） 【分析】根据已知的一个角及直角三角形的斜边对应相等，利用三角形全等的判定定理依次分析添加条件． 【详解】解：∵，， ∴当时，可根据证明，故答案为：； 当时，可根据证明，故答案为：； 当时，可根据证明，故答案为：； 当时，可根据证明，故答案为：． 故答案为：（或或等） 【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 7．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多所学校·期中)如图，与相交于点，，添加一个条件： ，使得．（写出一个即可） 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】此题考查了添加条件判定三角形全等，首先根据图形，可知，又由已知，可添加或或，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用． 【详解】解：∵，， ①添加， ∴； ②添加， ∴； ③添加， ∴，， 同①②理可得； 故答案为： 或或（答案不唯一）． 8．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区等5地·期中)如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用“”证明三角形全等的方法即可． 【详解】解∶∵，， ∴和均为直角三角形， ∵ 若用“”证明，则需要添加的条件是． 故答案为：． 9．(24-25八上·黑龙江省大庆市第三十六中学·期中)如图，已知，添加下列条件：．可以利用判断的是： ．    【答案】② 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据条件已知的一组边相等，一组角相等，需要用证明全等，则必须再添加一组边相等，而且必须是两边夹一角． 【详解】解：， 添加①，利用得出，故①选项不符合题意； 添加②，利用得出，故②选项符合题意； 添加③，不能证明， 故③选项不符合题意； 添加④， 利用得出， 故④选项不符合题意， 综上所述，满足条件的有②， 故答案为：②． 地 城 考点02 几何多解问题 一、填空题 1．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期中)腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角为 度． 【答案】或 【分析】根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可． 【详解】解：①如图1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，， 又∵BM是AC边上的高， ∴， ∴， ∴ ②如图2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，， ∵EN是DF边上的高 ∴， ∴， ∴ 故答案为或 【点睛】本题考查了等腰三角形的分类讨论问题，涉及了三角形内角和和外角和的性质，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案． 2．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第三十四中学·期中)等腰三角形的一个角是50°，则它的顶角等于 °． 【答案】50°或80° 【分析】等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况． 【详解】（1）当50°为顶角，顶角度数即为50°； （2）当50°为底角时，顶角=． 故答案为：50°或. 3．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市道外区五校联盟·期中)在中，，，点在直线上，，则的度数为 ． 【答案】15°或105° 【分析】首先根据题意画出图形，然后利用等腰三角形的性质求解即可求得答案，注意分为点D在CB或在BC的延长线上． 【详解】解：如图1，∵在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°， ∴∠B=∠ACB=50°， ∴∠ACD=130° ∵CD=AC， ∴∠CAD=∠CDA==25°， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=105°； 如图2，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°， ∴∠ABC=∠ACB=50°， ∵CD=AC， ∴∠CAD=∠ADC=（180°-∠ACB）=65°， ∴∠BAD=∠DAC-∠BAC=15°； 综上所述：∠BAD=15°或105°． 故答案为：15°或105°． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键． 4．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第二十八中学·期中)等腰三角形的周长为，一边长为，则底边长为 ． 【答案】6或8/8或6 【分析】分边长为的边为腰和底边两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：①当边长为的边是底边时，则腰长为， 此时三角形的三边分别为，能组成三角形，符合题意； ②当边长为的边是腰时，则底边长为 此时三角形的三边分别为，能组成三角形，符合题意； 综上所述，底边长为或． 故答案为：6或8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 5．(24-25八上·黑龙江省伊春市·期中)若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】分该三角形顶角为锐角和该三角形顶角为钝角两种情况，结合“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”的逆用以及等腰三角形的性质，即可获得答案． 【详解】解：（1）当该三角形顶角为锐角时，如下图，    由题意可知，，，且， ∴， ∴； （2）当该三角形顶角为钝角时，如下图，    由题意可知，，，且， ∴， ∴． 综上所述，这个等腰三角形的底角为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 6．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市·期中)若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；因此此题可分当为该等腰三角形的底角及顶角进行求解即可． 【详解】解：当是该等腰三角形的底角时，则它的顶角度数为；当是该等腰三角形的顶角时，它的顶角度数为； 故答案为或． 7．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)若等腰三角形的两边长分别为3和5，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】11或13 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分当腰长为3时，当腰长为5时，两种情况利用构成三角形的条件进行判断求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，则此时该等腰三角形的三边长为3，3，5， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时三角形的周长为； 当腰长为5时，则此时该等腰三角形的三边长为3，5，5， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为11或13， 故答案为：11或13． 8．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市萧红中学校·期中)已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为 ． 【答案】7或4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 分腰长为，底边长为两种情况，计算求解，然后根据三角形三边关系判断作答即可． 【详解】解：当腰长为时，底边长为 ， 4、4、7满足三角形三边关系； 当底边长为时，腰长为 ， 、、满足三角形三边关系； 综上所述，它的底边长为7或4， 故答案为：7或4． 9．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校·期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：如图，若等腰三角形为锐角三角形，且，，此时， ∵，， ∴， 即顶角的度数为；   如图，若等腰三角形为钝角三角形，且，，此时， ∵，， ∴ ∴， 即顶角的度数为； 故答案为∶或． 10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可以求得和的度数，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 点在边上，为等腰三角形， 如图，当时， ， ． 如图，当时， ， ． 故答案为：或． 11．(24-25八上·黑龙江哈尔滨虹桥中学·期中)已知等腰中，，直线l经过点C，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若，，则 ． 【答案】或/2或28 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，分两种情况讨论：点，在直线的同侧和点，在直线的异侧． 【详解】如图①，点，在直线的同侧． ∵，，， ∴． ∴，． ∴． 在和中 ∴． ∴，． ∴． 如图②，点，在直线的异侧． ∵，， ∴． ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 12．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第三十四中学·期中)在平面直角坐标系中，点A的坐标为点B点坐标为，求一点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质、坐标与图形，根据题意，做出图形，由条件可知为两三角形的公共边，且为直角三角形，当和全等时，则可知为直角三角形，且有可，可得出点的坐标．由条件得到或是解题的关键． 【详解】解：如图所示： 点，， ，，且为直角三角形， 当和全等时，可知为直角三角形，且有公共边， 或， 当时，则点坐标为或（与A重合，舍去）； 当时，则，且， 点坐标为或； 综上可知，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 13．(24-25八上·黑龙江大庆肇源县联盟学校·期中)在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，点在第四象限角平分线上，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据角平分线上的点到角的两边距离相等以及第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数求出m，第四象限内点的纵坐标是负数求出n，然后求和再求解平方根即可． 【详解】解：∵点在第一象限的角平分线上， ∴， ∵点在第四象限角平分线上， ∴， ∴， ∴的平方根为； 故答案为：． 14．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第一一三中学·期中)在中，是边上的高线，且，，平分交于点，则的度数为 ． 【答案】10°或50° 【分析】分三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示， ∵∠BAN=60°，∠CAN=40°， ∴∠BAC=100°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAM=50°， ∴∠MAN=∠BAN-∠BAM=10°； 如图所示： ∵∠BAN=60°，∠CAN=40°， ∴∠BAC=20°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠CAM=10°， ∴∠MAN=∠CAN+∠CAM=50°； 故答案为：10°或50°． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，截图的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 15．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】为等腰三角形，要分类讨论：情况一，当时， ，，，由此即可求解；情况二，当时，，，由此即可求解；情况三，当时，点与点重合，不符合题意． 【详解】解：情况一：当时， ∴， 在中，将沿折叠， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 情况二：当时， ∴， 同理可知， ∴； 情况三：当时，点与点重合，不符合题意． 综上所述，的度数是或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 16．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市第三中学第十中学联考·期中)如图，直线m，n交于点B，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点c，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】线段AB可为等腰三角 解：分两种情况： ①当AB为腰长时，存在3个等腰三角形，如图， 其中AB=AC时，有1个；AB=BC时，有2个； 形的底边，也可为腰长，所以应分情况进行讨论． ②当AB为底边时，有1个，如图． 所以△ABC是等腰三角形时，这样的C点有4个． 故选D． 17．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)用一条长16厘米的细绳围成一个等腰三角形，其中一边长为6厘米，则另外两边的长分别为 ． 【答案】4cm，6cm或5cm，5cm 【详解】6cm是腰长时，底边为16﹣6×2=4， ∵6+4=10>6， ∴4cm、6cm、6cm能组成三角形； 6cm是底边时，腰长为（16﹣6）=5cm， ∵5+5=10>6， ∴5cm、5cm、6cm能够组成三角形； 综上所述，另外两边的长分别为4cm，6cm或5cm，5cm， 故答案为：4cm，6cm或5cm，5cm. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 18．(24-25八上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期中)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和，则这个三角形的底边长为 ． 【答案】7或11 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，解题时根据等腰三角形腰上的中线把三角形分成两个三角线的周长的不同，关键是把上下两个三角形的周长，分类讨论，分别求出即可， 分两种情况：①；②，，分别求解即可 【详解】设这个等腰三角形为是腰，是底边，是上的中线，如图： 分两种情况： ① ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴可以构成三角形； ∴此时，底边长为 ②， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴可以构成三角形 ∴此时，底边长为 故答案为：11或7. 19．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第四十七中学·期中)已知△ABC中，AB＝AC，且有一个内角等于30°，点B关于直线AC的对称点为E，连接BE和CE，则∠BEC＝ ． 【答案】15°或60° 【分析】分两种情况利用等腰三角形的性质和轴对称的性质解答即可． 【详解】解：①当底角是30°时， ∵∠ACB=30°，B与E关于AC对称， ∴∠CBO=∠BEC，∠EOC=∠BOC=90°， ∴∠BEC=∠EBC=60° ②当顶角是30°时， ∵∠A=30°，B与E关于AC对称，AB=AC， ∴∠ACB=， ∴∠CBO=∠BEC，∠EOC=∠BOC=90°， ∴∠BEC=∠EBC=90°﹣75°=15°， 故答案为：15°或60°． 【点睛】此题考查轴对称的性质，关键是利用等腰三角形的性质和轴对称的性质解答． 20．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第十七中学校·期中)已知等腰三角形，，为边上一点，且和都是等腰三角形，则 ． 【答案】45°或36° 【分析】分两种情况：（1）当BD＝AD，AD＝CD时，画出图形，先根据SSS证明△ADB≌△ADC，然后根据全等三角形的性质和平角的定义可得∠ADB＝90°，进一步即可求出∠B；（2）当AB＝BD，AD＝CD，画出图形，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：分两种情况： （1）如图，当AD＝BD，DC＝AD时，则BD＝CD． 在△ADB与△ADC中， ∵BD=CD，AD=AD，AB=AC， ∴△ADB≌△ADC（SSS）， ∴∠ADB＝∠ADC， ∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B＝45°； （2）如图，当AB＝BD，CD＝AD时，则∠BAD＝∠BDA，∠C＝∠DAC． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C＝∠DAC，∠BAD＝∠BDA＝2∠C＝2∠B， ∵∠B+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°， ∴5∠B＝180°， ∴∠B＝36°． 故答案为：45°或36°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键． 21．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市·期中)等腰中，，垂足为点，且，则等腰底角的度数为 ． 【答案】或或 【分析】分点是顶角顶点、点是底角顶点、在外部和在内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算． 【详解】解：①如图1，当点是顶角顶点时，   ，， ， ， ， 在中，； ②如图2，当点是底角顶点，且在外部时，     ，， ， ， ； ③如图3，当点是底角顶点，且在内部时，   ，， ， ， ； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 22．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市萧红中学校·期中)如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】解：由题意知与均为等腰三角形， 对于可能有 ，此时， ∴， 此时只有， ∴， ，此时， ∴， 此时只有， ∴； ，此时，， ∴， 此时只有， ∴； 综上所述，度数可以为或或， 故答案为：或或． 23．(24-25八上·黑龙江龙东·期中)已知等腰三角形中，于点D，且，则等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论求解． 作出图形，分①点是顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得到，再利用等边对等角的性质可得，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可；②点是底角顶点，在外部时，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可得到底角是，③点是底角顶点，在内部时，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后再根据等腰三角形两底角相等求解即可． 【详解】解：①如图1，点是顶点时．   ∵， ∴， ∵， ∴． ∵在中，， ∴； ②如图2，点是底角顶点，且在外部时．   ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图3，点是底角顶点，且在内部时．   ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，底角的度数为或或． 24．(24-25八上·黑龙江鸡西虎林卫星学校·期中)等腰三角形中，一个角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数， 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， ∴它的底角的度数是或， 故答案为：或． 25．(24-25八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中)已知，在等腰三角形中，，，为直线上一点，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的画出图形是解题的关键．如图1，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，，由等腰三角形的性质得到，于是求得，如图2，同理求得，于是求得． 【详解】解：如图1，，， ， ， ， ， ， 如图2，，， ， ， ， ， ． 综上所述：的度数为或， 故答案为：或 26．(24-25八上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)在中，，D在边上，且是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，分类讨论：当时；当时；当时，分别根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，； 当时，， 则， ∴不符合题意，故舍去； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 27．(24-25八上·黑龙江绥化海伦第三中学第十中学联考·期中)等腰三角形一腰的中线把三角形的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质，解二元一次方程组．利用分类讨论的思想是解题关键．根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：． 可设， ∴． 由题意得：或， 解得：或． 当时，即此时等腰三角形的三边为，，符合三角形的三边关系， 当时，即此时等腰三角形的三边为，，符合三角形的三边关系， 综上可知这个等腰三角形的底边长是或． 故答案为：或． 28．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市·期中)为的中线，为的高，的面积为14，则的长为 ． 【答案】2或6 【分析】利用面积法求出BD，即可求得CD，再分AE在内部和外部，求出DE即可． 【详解】解：为的高，△ABD的面积为14，AE=7， ， ∴ ∵为的中线， ∴CD=BD=4， 当AE在内部时 ∵CE=2， ∴DE=CD-CE=2， 当AE在外部时 ∵CE=2， ∴DE=CD+CE=6， 故答案为：2或6 【点睛】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键． 29．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县益海学校·期中)等腰三角形腰上的高与腰的夹角为47°，则这个三角形的顶角为 度． 【答案】43或137 【分析】分等腰三角形为锐角等腰三角形和钝角三角形两种情况，分别按照三角形外角的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：①此等腰三角形为钝角三角形， ∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为47°， ∴此三角形的顶角＝90°+47°＝137°， ②此等腰三角形为锐角三角形， ∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为47°， ∴此三角形的顶角＝90°﹣47°＝43°． 故答案为：43或137． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质和分类讨论思想是解答本题的关键． 30．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多所学校·期中)在中，，点P是射线BA上的任意一点，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】108°或72°或36° 【分析】分三种情况讨论：当时，推出，推出；当时，推出；当时，推出． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 当时，． 综上，∠BPC的度数为108°或72°或36°． 故答案为：108°或72°或36°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的存在性，解决问题的关键是熟练掌握等边对等角的性质，三角形的三个角都有可能是顶角，分类讨论． 31．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)在中，，，以为边作等边，连接，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理等知识点，解题的关键是分情况讨论点与线段的位置关系。 因为以为边作等边，所以需要分两种情况讨论点的位置，分别计算的度数。 【详解】解：当点与点在同侧时， 在中，， 。 又 是等边三角形， ，。 ； 当点与点在两侧时： 在中，， ． 又 是等边三角形， ， ， ， ， ； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 32．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，已知，点在射线上运动，点在射线上运动．和的角平分线交于点，、分别为、上的点，和的角平分线交于点．若点A、B在运动过程中，存在中有一个角是另一个角的2倍，则的度数为 ． 【答案】或，， 【分析】根据三角形的外角与角平分线求出的度数，同理可得的度数，根据中有一个角是另一个角的2倍，分情况讨论． 【详解】，， ， 平分，平分， ， ， ， 同理可得． 中有一个角是另一个角的2倍，分情况讨论： ①若， 则的内角和为， 这与三角形的内角和定理矛盾，故． ②若，则 ， 又， ． ③若，则 ， 又， ． ④若， 则的内角和为， 这与三角形的内角和定理矛盾，故． ⑤若，则 ， ， 平分， ，此时点C与点E重合，符合题意， ∴． ⑥若，则 ， ， 平分， ，此时点D与点E重合，符合题意， ∴． 综上所述：或． 故答案为：或，， 【点睛】本题考查三角形的内角、外角，角平分线，分类讨论思想，其中分类讨论是解题的关键． 地 城 考点03 多结论判断题 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)如图，均是等边三角形，A，C，B三点在同一条直线上，分别与交于点M，N，连接，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中结论正确的序号有（    ） A．③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 可证明，得，可判定①；可证明，得可判定②；再由可证明为等边三角形，可判定③；根据现有条件无法证明，可判断④． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴ ∴．故①正确， ∵，三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形，故③正确． 根据现有条件无法证明，故④错误 ∴正确的有①②③， 故选：C． 2．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨第六十九中学校·期中)下列说法正确的有：①如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③等腰三角形顶角的邻补角是底角的二倍；④等腰三角形两腰上的高线长相等．其中正确的共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形，全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握它们的基本性质． 根据轴对称图形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质一一判断即可． 【详解】①对于两个三角形全等的情况，它们只是形状和大小完全相同，但并不意味着它们一定是关于某条直线成轴对称的图形．例如，可以将两个全等的等边三角形一个放在另一个的上方，它们就不是轴对称的．故原说法错误； ②等腰三角形底边的高、中线、角平分线互相重合，故原说法错误； ③对于等腰三角形，设底角为，则顶角为，顶角的邻补角，即，这正好是底角的二倍，因此该说法正确； ④如图等腰三角形的顶点为A，底边为，两腰分别为和，且．过点B作上的高，过点C作上的高． ， 在和中 ， ， ，即等腰三角形两腰上的高线长相等，故该说法正确． 综上所述正确的有③④，共2个； 故选：C． 3．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第一一三中学·期中)如图，在中，，点D、F是射线BC上两点，且，若，；则下列结论中正确的有（　　）    ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由AD⊥AF，∠BAD=∠CAF，得出∠BAC=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠B=∠ACB=45°，由SAS证得△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四边形ADCE，则∠ECB=90°，即EC⊥BF，易证∠ADF=60°，∠F=30°，由含30°直角三角形的性质得出EF=2CE=2BD，DF=2AD，则BD=EF，由BC-BD=DF-CF，得出BC-EF=2AD-CF，即可得出结果． 【详解】∵AD⊥AF，∠BAD=∠CAF， ∴∠BAC=90°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四边形ADCE， ∴∠ECB=90°， ∴EC⊥BF， ∵∠B=45°，∠BAD=15°， ∴∠ADF=60°， ∴∠F=30°， ∴EF=2CE=2BD，DF=2AD， ∴BD=EF， ∵BC-BD=DF-CF， ∴BC-EF=2AD-CF， ∴①、②、③、④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30°角直角三角形的性质、外角的定义等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键． 4．(24-25八上·黑龙江省鸡西市虎林市卫星学校·期中)如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（    ） ①△ACD≌△BCE； ②△CPQ是等边三角形； ③平分； ④△BPO≌△EDO． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质，三角形的全等，逐一判断即可． 【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°， ∴∠ACB+∠PCQ =∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°， ∴∠ACD =∠BCE， ∴△ACD≌△BCE， ∴①的说法是正确的； ∵△ACD≌△BCE， ∴∠PDC =∠QEC， ∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE， ∴△PCD≌△QCE， ∴PC=QC， ∴△CPQ是等边三角形； ∴②的说法是正确的； ∵△PCD≌△QCE， ∴PD=QE，， 过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H， ∴， ∴CG=CH， ∴平分， ∴③的说法是正确的； 无法证明△BPO≌△EDO． ∴④的说法是错误的； 故答案为①②③， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的全等与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活进行三角形全等的判定，活用角的平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 5．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县益海学校·期中)如图，，，在同一直线上，的平分线与的平分线交于点，，分别交于点，交于点，连接，．有以下结论：①；②是等腰三角形；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由角平分线的性质和平行线的性质可得∠BAE＝∠AEF，可得AF＝EF，故①正确；由“SAS”可证△BCE≌△BDE，可得CE＝DE，即△CDE是等腰三角形，故②正确；由角平分线的性质可得EN＝EH＝EM，可证∠ECN＝∠ECB，由平行线的性质可得∠CEF＝∠ECB，可得GC＝GE，故③正确；由CE不平行AB，可得∠CEF与∠EFD不相等，可得EF与ED不相等，即EC与EF不相等，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵AE平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵EF∥AC， ∴∠CAE＝∠AEF， ∴∠BAE＝∠AEF， ∴AF＝EF，故①正确； ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE＝∠DBE， 又∵BC＝BD，BE＝BE， ∴△BCE≌△BDE（SAS）， ∴CE＝DE， ∴△CDE是等腰三角形，故②正确； 如图，过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥AC，交AC的延长线于点N，EH⊥BC于点H， ∵AE平分∠CAB，BE平分∠CBD，EM⊥AD，EN⊥AC，EH⊥BC， ∴EN＝EH＝EM， 又∵EN⊥AC，EH⊥BC， ∴CE平分∠BCN， ∴∠ECN＝∠ECB， 又∵EF∥AC， ∴∠ECN＝∠CEF， ∴∠CEG＝∠ECG，故③正确； ∵CE与AF不平行， ∴∠CEF与∠EFD不相等， ∵△BCE≌△BDE， ∴∠EDB＝∠ECB＝∠CEG， ∴∠EDB与∠EFD不相等， ∴ED与EF不相等，即EC与EF不相等，故④错误， 故选C 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握常规辅助线的添加是解题的关键． 6．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多所学校·期中)如图，在中，于R，于S，则三个结论①；②；③中（　　） A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角．熟练掌握了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角是解题的关键． 证明，则，可判断①的正误；等边对等角，可得，则，进而可判断②的正误；题干条件无法判断，进而可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，∵，， ∴， ∴，①正确 ，故符合要求； ∵， ∴， ∴，②正确，故符合要求； 由题意无法判断，③错误，故不符合要求； 故选：B． 7．(24-25八上·黑龙江大庆第三十六中学·期中)如图，已知线段上有一动点，分别以、为边在同方向作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（） A．①②⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，平行线的判定，解本题的根据是判断出．由等边三角形的性质先判断出，，从而得出①②正确，再判断出得出③正确，再判断出，得出④错误，⑤正确． 【详解】解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中 ， ， ，，故①②正确， 在和中 ， ， ，，故③正确 ， 是等边三角形， ， ， ；故⑤正确 是等边三角形， ， ， ．故④错误， 即：正确的有①②③⑤； 故选：B． 8．(24-25八上·黑龙江牡丹江·期中)如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确的结论个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；证明，都是等边三角形，即可判断正确，根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出④正确；判断出和不全等，从而得到，判断出⑤错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ，，， ，故①正确． ， 由翻折的性质得，， 又， ， ，故②正确． ∵的对称图形和， ，， ，， ， ， 是等边三角形， 同法也是等边三角形， ；故③正确． ， ，， 边上的高与边上的高相等，即点A到两边的距离相等， 平分，故④正确． 在和中，，，，， ，故⑤错误； 综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 9．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区等5地·期中)如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点， 与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，先利用证明，8字型图，得到，证明，得到，进而证明是等边三角形即可． 【详解】解：∵与都是等边三角形，点、、在同一条直线上， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴是等边三角形，故④正确； 故选D． 10．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔第三十四中学·期中)如图，在中，，，于点R，于点S，则下列结论：①；②；③≌；④平分．其中正确的结论的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边对等角，角平分线的判定，平行线的判定．首先证明和全等，推出①④正确，再根据，推出相关角相等，通过等量代换即可得，即可推出②正确，根据与不一定相等，则和不一定全等，推出④错误． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故①正确； ∴平分，故④正确； ∵， ∴， ∴ ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴和不一定全等，故④错误； 故选：C． 11．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第二十八中学·期中)如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE交AE延长线于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，以下四个结论： ①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC＋CE=AB；④AC＋AB=2AM.其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①过E作EQ⊥AB于Q.根据角平分线定义和勾股定理及等腰直角三角形性质得AB＝AQ＋BQ＝AC＋CE.②作∠ACN＝∠BCD，交AD于N.证△ACN≌△BCD(ASA)，得CN＝CD.根据等腰直角三角形性质得AN＝CN，∠NCE＝∠AEC＝67.5°，CN＝NE，CD＝AN＝EN＝AE；③过D作DH⊥AB于H，根据等腰三角形性质和角平分线定义，△DCM≌△DBH(AAS)，BH＝CM.由勾股定理得AM＝AH，所以AC＋AB＝AC＋AH＋BH＝AC＋AM＋CM＝2AM. 【详解】过E作EQ⊥AB于Q. ∵∠ACB＝90°，AE平分∠CAB， ∴CE＝EQ. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°. ∵EQ⊥AB， ∴∠EQA＝∠EQB＝90°. 由勾股定理得AC＝AQ， ∴∠QEB＝45°＝∠CBA， ∴EQ＝BQ， ∴AB＝AQ＋BQ＝AC＋CE， ∴①③正确； 作∠ACN＝∠BCD，交AD于N. ∵∠CAD＝∠CAB＝22.5°＝∠BAD，∴∠DBA＝90°－22.5°＝67.5°， ∴∠DBC＝67.5°－45°＝22.5°， ∴∠DBC＝∠CAD.在△ACN和△BCD中， ∴△ACN≌△BCD(ASA)，CN＝CD. ∵∠ACN＋∠NCE＝90°， ∴∠NCB＋∠BCD＝90°， ∴∠CND＝∠CDN＝45°， ∴∠ACN＝45°－22.5°＝22.5°＝∠CAN， ∴AN＝CN， ∴∠NCE＝∠AEC＝67.5°， ∴CN＝NE， ∴CD＝AN＝EN＝AE，∴②正确； 过D作DH⊥AB于H， ∵∠MCD＝∠CAD＋∠CDA＝67.5°，∠DBA＝90°－∠DAB＝67.5°， ∴∠MCD＝∠DBA. ∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB， ∴DM＝DH.在△DCM和△DBH中， ∴△DCM≌△DBH(AAS)， ∴BH＝CM. 由勾股定理得AM＝AH， ∴AC＋AB＝AC＋AH＋BH＝AC＋AM＋CM＝2AM， ∴④正确． 故选D 【点睛】本题考核知识点：全等三角形，勾股定理，角平分线,等腰三角形. 解题关键点：熟记等腰三角形性质和全等三角形判定和性质. 12．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市·期中)如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质、全等三角形的判定与性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果． 【详解】解：平分，，， ， 又， ， ， ①平分正确； ，， ， ②正确； ， 若平分，则，现有条件无法证明， ③平分错误； ，，， ，， ，， ， ④错误； 综上，正确的有①②，共2个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等． 13．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第一二四中学·期中)如图，在中，的平分线交于点D，过C点作于G，交于点E，过点D作于点F．下列结论： ①；②；③．其中一定正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，可证明；根据角平分线的性质，过点作于，可计算出，，并证明；根据题目给定的条件，无法证明；根据结论①，角平分线的性质可证，由此即可求解． 【详解】解：结论①， ，，平分， ，， ， ， ，故结论①正确； 结论②，如图所示，过点作于， 平方，， ， ，， ，故结论②正确； 结论③， ，，平分， ，，， ， ， ，， ， ，且由结论①正确得，， 在中，，即， ， 条件不足，无法证明，故结论③错误； 综上所述，正确的有①②． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质的综合，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角的判定和性质是解题的关键． 14．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期中)如图，的平分线交于点P，，，则下列结论中正确的个数是（   ） ①平分；    ②； ③；    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质以及判定即可得到，则平分，即可判断①；可得，由，得到，同理可，即可判断②；由角平分线以及三角形外角性质得到，，即可判断③；由②可知，，则，，即可判断④． 【详解】解：①如答图，过点作于点， 平分平分，，，， ， ， 点在的平分线上，故①正确； ②， ， ． 在和中，， ∴， ， 同理可证得， ， ， ，②正确； ③平分平分， ，， ，③正确； ④由②可知，， ，， ，故④正确， 故选：D． 15．(24-25八上·黑龙江哈尔滨虹桥中学·期中)如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等角的余角相等对①进行判断；先利用角平分线的定义和三角形内角和得到，再加上，，则可对②进行判断；根据线段垂直平分线的性质得，所以，然后证明，则可对③进行判断；利用三角形外角性质对④进行判断． 【详解】解：，， ，， ， ，所以①正确； 是的角平分线， ， ， 而， ，所以②正确； 垂直平分， ， ， ， ， ，所以③正确； ， ，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义和三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 16．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第四十七中学·期中)如图，等边中，点D为外一点，连接、、，交于点F，，点E为上一点，连接，点G为上一点，平分，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，角平分线的性质等知识点，在上截取，可知是等边三角形，进而利用可证明，得，，即可证明①②，设边上的高为，点到，的距离分别为，，结合角平分线的性质及等面积法即可证明③正确，再利用证明，，当时，，进而证明，即可证明④正确． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴是等边三角形，则，， ∵是等边三角形， ∴，，则， ∴， ∴，， 则，故①正确； 则，故②正确； 设边上的高为，点到，的距离分别为，， ∵，即平分， ∴， 则， ∴，故③正确； ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 由上可知，，则， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 17．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，以下五个结论： ； ； ； 平分； ．正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定 ，根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，正确；先证明即可判断出即可得正确；根据，可得为等边三角形，证出得出，正确；没有条件证出，得出错误；作，，证明可判断；⑤ ，⑤正确，即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论正确； ∴， ∴，结论正确； 作，， ∵， ∴， ∴平分，故正确； ∵， ∴， ∴，结论正确； 综上正确， 故选：． 二、填空题 18．(24-25八上·黑龙江大庆第三十六中学·期中)如图，，，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤是的平分线．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③④⑤ 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键．利用证明，根据全等三角形的性质逐项判断即可得解． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，， 故①正确， 根据题意得不到，因此不成立， 故②错误， ， ， ， 即， 故③正确， ，，， ， 故④正确， ， ， ， ， 是的平分线， 故⑤正确， 故答案为：①③④⑤． 19．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠DBC的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠DBC，∠DAC，∠ECA的平分线的交点，上述结论中，正确的有 ．(填序号) 【答案】①②③④ 【详解】利用平分线性质的逆定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得． 由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确． 故答案是：①②③④. 【点睛】此题主要考查角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．做题时，可分别处理，逐个验证． 20．(24-25八上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期中)如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中成立的有 (填写正确的序号)． ①PA=PB；②AB垂直平分OP；③OA=OB；④PO平分∠APB． 【答案】①③④ 【分析】根据角平分线的意义及其性质可以对各项的正确性质作出判断． 【详解】解：由角平分线的定义可知PA=PB，∴OP垂直平分AB，①正确，②错误； 又在△OPA和△OPB中，∠AOP=∠BOP，∠OAP=∠OBP，OP=OP， ∴△AOP≌△BOP，∴OA=OB，PO平分∠APB，③、④正确； 故答案为①、③、④． 【点睛】本题考查三角形的应用，熟练掌握角平分线、中垂线的意义和性质以及全等三角形的判定和性质是解题关键． 21．(24-25八上·黑龙江绥化·期中)如图，点P是的平分线上一点，，，E，F分别为垂足，①，②，③，上述结论中正确的是 （只填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角平分线的性质，由P是的平分线上一点，可以证明，然后利用全等三角形的性质即可得到题目的三个结论． 【详解】解：∵点P是的平分线上一点， ∴， ∵，E、F分别为垂足， ∴， 而公共， ∴， ∴． 故①②③都正确． 故答案为：①②③． 地 城 考点04 折叠问题 一、单选题 1．(24-2 5八上·黑龙江省哈尔滨市松南学校·期中)如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（  ） A．22cm B．20cm C．18cm D．15cm 【答案】A 【详解】试题分析：根据翻折变换的性质可得AD=CD，AE=CE，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再代入数据计算即可得解． 试题解析：∵△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合， ∴AD=CD，AE=CE=4cm， ∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC， ∵△ABC的周长为30cm， ∴AB+BC+AC=30cm， ∴AB+BC=30-4×2=22cm， ∴△ABD的周长是22cm． 故选A． 考点：翻折变换（折叠问题）． 2．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，将长方形沿折叠．如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义，求出，利用折叠的性质，得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查折叠问题．熟练掌握折痕是角平分线，是解题的关键． 3．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县第二中学·期中)如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质以及翻折变换及其应用，连接，先根据线段垂直平分线的性质得到，则，利用等边对等角和三角形内角和定理以及角平分线的性质得到，，据此可得，证明，得到， 则，再由对称性得到，， 则， 有三角形内角和定理得到， 则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨第六十九中学校·期中)如图，在纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质； 根据折叠的性质得出，，，根据，求出，再根据，利用等角的补角相等及等角对等边，得出，即可得出结论； 【详解】解：由折叠的性质可得： ，，， ， ， ，，， ， ，， ， ， 故选：D． 二、填空题 5．(24-25八上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期中)如图所示，一排数字是球衣数字在镜中的像，则原数是 ． 【答案】251 【分析】本题考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 由题意可得所求的号码与看到的号码关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解 【详解】由题意得：， 故答案为251 6．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)一个汽车牌在水中的倒影为  ，则该车牌照号码 ． 【答案】 【分析】根据倒影与图形的轴对称性直接还原即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 倒影的对称图形是：， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握倒影与图形的轴对称性． 7．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)如图，三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在图中的B'处．∠1＝24°，∠2＝80°，则∠B＝ 度． 【答案】28 【分析】结合图形，由三角形的外角性质可得∠2＝∠DFB＋∠B，∠DFB＝＋∠1，由折叠可得，∠B＝，结合已知条件∠2＝80°，∠1＝24°，可得关于∠B的方程，求解即可． 【详解】解：如图，设BC与交于点F， ∵∠2＝∠DFB＋∠B，∠DFB＝＋∠1，由折叠可得，， ∴∠2＝∠B＋＋∠1＝2∠B＋∠1， 又∵∠2＝80°，∠1＝24°， ∴80°＝2∠B＋24°， ∴∠B＝28°． 故答案为：28． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质及三角形的内角和定理，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 8．(24-25八上·黑龙江省克东县第三中学·期中)如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个漂亮的图案，在图③中，的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】由折叠的性质可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 9．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市萧红中学校·期中)如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查等腰三角形的判定和平行线的性质，解题的关键是灵活运用平行的性质、翻折变换的性质来分析、解答．证明；运用平行的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：如图， 由题翻折得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即重合部分（阴影部分）是等腰三角形， 故答案为：等腰． 10．(24-25八上·黑龙江龙东·期中)如图，将长方形纸片进行折叠，，为折痕，点A与点，点B与点，点C与点是对应点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角的定义，根据折叠的性质可得，，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质可得： ，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 11．(24-25八上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)如图，在中，，D在边上，E在上，把沿翻折得到，点F刚好落在边上，且，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和翻折的性质是解题的关键． 设，则，先求得，再求，然后利用翻折的性质得，最后根据求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折得， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 12．(24-25八上·黑龙江双鸭山集贤县·期中)如图，在中，，点D在边上，连结，将沿翻折得到，使，交于点F．若，则的大小是 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换、平行线的性质及三角形的外角性质等知识点，由折叠的性质知，，由平行线的性质知，从而表示出、的度数，根据即可得答案，熟练掌握翻折变换的性质和平行线的性质是解题的关键． 【详解】由翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点05 规律探索问题 一、选择题 1．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第三十四中学·期中)已知：是三边都不相等的三角形，点是三个内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当、同时在不等边的内部时，那么和的数量关系是(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据角平分线的定义、三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，，，进而得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接，   平分，平分， ，， ，即， 点是这个三角形三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 2．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校·期中)如图，已知，，点、、…在射线上，点、、 在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：C． 二、填空题 3．(24-25八上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期中)小华从点A出发向前走，向右转然后继续向前走，再向右转，他以样的方法继续走下去，当他走回到点A时共走 米． 【答案】100 【分析】他要想回到A点需要走成正多边形，根据多边形的外角和定理与正多边形的外角求出正多边形的边数，从而求出路程． 【详解】根据题意可知，360°÷36°=10， 所以他需要转10次才会回到起点， 它需要经过10×10=100m才能回到原地． 故答案为100． 【点睛】本题考查了多边形的外角和定理的应用，熟练掌握任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键． 4．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)如图，在中，与的平分线交于点与的平分线交于……依次类推，与角平分线交于点，则的度数为 【答案】 【分析】根据题目信息，利用角平分线的性质得出，，以此类推 ，，的度数，依次类推即可求得的度数了．本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 【详解】解：，， ， 平分，平分， ，， 平分，平分， ，， 同理可得，， ，， ， 故答案为． 5．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县第二中学·期中)如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点．若，，则 °．（用含m和n的式子表示） 【答案】 【分析】此题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义．注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．利用三角形的外角性质可求出，结合角平分线的定义可求出，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解： ，， ， 是的外角的平分线， ， 又 ， ， 故答案为：． 6．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市道外区五校联盟·期中)如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，△、△、△均为等边三角形，若，则△的边长为 ． 【答案】64 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案． 【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°， ∴∠2=120°， ∵∠MON=30°， ∴∠1=180°-120°-30°=30°， 又∵∠3=60°， ∴∠5=180°-60°-30°=90°， ∵∠MON=∠1=30°， ∴OA1=A1B1=1， ∴A2B1=1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11=∠10=60°，∠13=60°， ∵∠4=∠12=60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°， ∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3， ∴A3B3=4B1A2=4， A4B4=8B1A2=8， A5B5=16B1A2=16， 以此类推：A7B7=26B1A2=26=64． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键． 7．(24-25八上·黑龙江省大庆市龙凤区·期中)如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图： 以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1； 再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2； 再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；… 这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．    【答案】9 【详解】试题分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解． 解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…， 则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…， ∵∠BOC=9°， ∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…， ∴9°n＜90°， 解得n＜10． 由于n为整数，故n=9． 考点：等腰三角形的性质． 8．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔龙江县多所学校·期中)如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．也考查了等边三角形的性质． 利用等边三角形的性质得到，则可计算出，所以，利用同样的方法得到，利用此规律得到，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， 时，， 故答案为：． 9．(24-25八上·黑龙江龙东·期中)如图，的面积为S，延长至点，使得，连接，得到第一个三角形；再延长至点，使得，连接，得到第二个三角形；延长至点，使得，连接，得到第三个三角形，延长至点，使得，连接，得到第四个三角形……重复这样的操作，则第2025个三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形，找出规律是解题的关键． 根据图形得规律为第个的面积为：，则第2025个三角形的面积即当时，代入即可求解． 【详解】解：由图形得： 其规律为：第一个的面积为：， 第二个的面积为：， 第三个的面积为：， 第四个的面积为：， 第个的面积为：， 则第2025个三角形的面积为：， 故答案为：． 10．(24-25八上·黑龙江省鸡西市虎林市卫星学校·期中)如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类，三角形的外角性质和角平分线定义等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出①，②，由②得，求出③，由①和③得出，求出，同理得出，，再根据求出的规律得出答案即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ①，②， 由②得：， ③， 由①和③得：， ， ， 同理， ， ， 故答案为：． 11．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔第三十四中学·期中)如图，的面积为S，作的中线，取的中点，连接得到第一个；作的中线，取的中点，连接得到第一个…；重复这样的操作，则第2024个的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，熟练掌握三角形中线平分三角形面积是关键．由三角形的中线平分三角形的面积得：的面积，同理中线得：的面积，重复这样的过程，可得结论． 【详解】解：∵的面积为，边中线， 的面积， 取的中点， 的面积， 同理得的面积， 则个三角形的面积为； 故答案为：． 地 城 考点06 最值问题 一、填空题 1．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县第二中学·期中)已知∠AOB=30°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=8，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是 ． 【答案】4 【分析】过M作⊥OB于，交OC于P，即的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，根据含30度角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过M作⊥OB于，交OC于P， ∵点P是∠AOB的平分线OC上的动点，PN⊥OA， ∴PN=， 则的长度等于PM+PN的最小值， 即的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值， ∵∠=90°，OM=8， ∴=OM=4， ∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为4． 故答案是：4． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，含30度角的直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 2．(24-25八上·黑龙江省萝北县鹤北中学·期中)如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质， 根据平分，得出关于的对称点在角平分线上，作点关于的对称点，根据点到直线的距离，垂线段最短，可得当时，最短，即最小，进而根据三角形面积公式即可求解，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，    ∴， ∴ ， 当三点共线，且时，最短，即最小， ∵，， ∴， 则的最小值为， 故答案为：． 3．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，等腰三角形中，底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 ．    【答案】// 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，根据题意得，再结合三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的最小值为． 【详解】解：连接AD，如下图：    ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的最小值为， 即最小值为， 故答案为：． 4．(24-25八上·黑龙江省鸡西市虎林市卫星学校·期中)如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 ． 【答案】5 【分析】找到点E关于AD的对称点E’,根据对称得BF+EF=BE’，利用等边三角形三线合一性质证明AD= B E’即可求出结果. 【详解】如下图,作点E关于AD的对称点E’, ∵△ABC是等边三角形,E为AB的中点, ∴E’是线段AC的中点, ∴AD垂直平分EE’,EF=E’F 即 BF+EF=BE’, 又∵D是BC中点, ∴AD=B E’=5（等边三角形三线相等）, 【点睛】本题考查了等边三角形三线合一性质,图形对称的实际应用,中等难度,证明BF+EF=AD是解题关键. 5．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市道外区五校联盟·期中)如图，在中，，，，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则周长的最小值为 ． 【答案】18 【分析】因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可． 【详解】解：如图， ∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点， ∴点C和点B关于直线DE对称， ∴当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值， ∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6， ∴AB=2AC=12， ∵AP+CP=AP+BP=AB=12， ∴△ACP的周长最小值=AC+AB=18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要． 6．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学·期中)如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为 ． 【答案】12 【分析】首先添加辅助线连接、，结合已知条件根据等要三角形的性质、三角形的面积公式求得的长，再根据垂直平分线的性质、最短路径问题推出结论的长为的最小值，由此可得出结论． 【详解】解：连接、，如图： ∵是等腰三角形，点为边的中点 ∴ ∴ ∴ ∵是线段的垂直平分线 ∴点关于直线的对称点为点， ∴ ∴的长为的最小值 ∴的周长的最小值为． 故答案是： 【点睛】本题考查了三角形的面积公式、等腰三角形的性质、轴对称以及最短路径问题等知识点，能利用相关知识点确定的长为的最小值是解决问题的关键． 7．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期中)如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键．作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，进而由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接， 是等边三角形， ，， ， 平分，， 点是的中点，垂直平分， 点是的中点， ，平分， ， 当点与点重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时为最小值，即为的长， ， 垂直平分， ， ， 即， 故答案为：． 8．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区等5地·期中)如图，在直角 中，，，点 为上一动点，连接．若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形与轴对称的性质的综合应用，能够巧妙的构造辅助线求线段最小值是本题的关键． 先利用轴对称的性质构造三角形，并根据‘垂线段最短’作出最短距离的线段，利用三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接BE． 过点作于点． ，即． 垂直平分． ． ． 在中， ． 的值最小值即为的值最小值． 当、、三点共线时，的值最小值． 故过点作于点， 即为的值最小值． ， 即， 解得：． ，． 是等边三角形． ． ． 故答案为：． 9．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区等5地·期中)如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 10．(24-25八上·黑龙江省大庆市龙凤区·期中)如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是 ．    【答案】(0，3) 【分析】由题意根据轴对称做最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标． 【详解】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，    此时△ABC的周长最小， ∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（-3，0），AE=4， 则B′E=4，即B′E=AE， ∵C′O∥AE， ∴B′O=C′O=3， ∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小． 故答案为：（0，3）． 【点睛】本题主要考查利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $