专题01 一元二次方程（期中复习讲义）九年级数学上学期苏科版

专题01 一元二次方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念与解法 掌握一元二次方程的定义，熟练运用各种解法求解方程 基础必考点，选择题和填空题中出现频率非常高 根的判别式 能利用判别式判断根的情况，解决含参问题 高频易错点，参数讨论题失分率极高 根与系数的关系 掌握根与系数的关系，并能应用于代数式求值和证明问题 综合题核心考点，常与函数、几何知识结合考查 一元二次方程的应用 能建立方程解决实际问题，培养数学建模能力 实际综合应用必考点 知识点01 一元二次方程的概念与解法 1.定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程 2.一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0） 3.解法体系： （1）直接开平方法：适用于(x+m)² = n (n≥0)形式 （2）配方法：通用方法，配方步骤是关键 （3）公式法：万能方法，x 1，2＝ （4）因式分解法：最简便，但需要方程可因式分解 ·示例：1.已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 2.（1）（x﹣4）2﹣9＝0； 解：（x﹣4）2＝9，x﹣4＝±3，∴x﹣4＝3或x﹣4＝﹣3，∴x1＝7，x2＝1． （2）x2﹣5x+1＝0． 解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21＞0， ∴，∴，． ·易错点：（1）配方时忘记等式两边同时加上一次项系数一半的平方（2）使用公式法时，忽略a≠0的前提条件（3）因式分解时符号处理错误，特别是交叉相乘时 知识点02 根的判别式 根的判别式：Δ = b²－4ac 根的情况判定： Δ > 0 ⇔ 有两个不相等的实数根 Δ = 0 ⇔ 有两个相等的实数根 Δ < 0 ⇔ 没有实数根 ·示例：若关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0有两个实数根x1，x2，且，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 解：根据题意得Δ＝（﹣5）2﹣4a≥0，解得a，x1+x2＝5，x1x2＝a， ∵15，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝15，∴25﹣2a＝15，∴a＝5． ·易错点：（1）忘记计算判别式直接判断根的情况（2）含参问题时，忽略参数取值范围对判别式的影响（3）将“有两个实数根”误认为“有两个不相等的实数根”这一种情况 知识点03 根与系数的关系 如果ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的两个根为x₁， x₂，则：x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝ 推广公式： （1）x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁·x₂＝－＝ （2）|x₁－x₂|＝ （3）＋＝＝－ ·示例：已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则αβ﹣2（α+β）+4的值是（　　） A． B． C．3 D． 解：由题意得，α、β是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根， 则根据根与系数的关系可知：， ∴原式． ·易错点：（1）符号错误，将x₁＋x₂＝－误写为；（2）使用根与系数关系计算时忽略方程必须有实数根的前提；（3）复杂变形时出现计算错误 知识点04 一元二次方程的应用 常见类型： （1）几何问题：面积、体积、勾股定理等 （2）经济问题：利润最大化、成本最小化 （3）运动问题：抛体运动、相遇问题 （4）增长率问题：复利增长、人口增长 建模步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验→作答 ·示例：综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少厘米？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2． ①该收纳盒的高是多少厘米？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． ·易错点：（1）忽略实际意义，未舍去不符合题意的根；（2）列方程时单位不统一；（3）最值问题中忘记检验取值是否在合理范围内. 题型一 含参一元二次方程的解法 解｜题｜技｜巧 1.先确定方程是否为一元二次方程（考虑二次项系数是否为0） 2.根据参数的不同取值分类讨论 3.对每种情况分别求解 易｜错｜点｜拨 容易忽略二次项系数为0时，方程退化为一次方程的情况 【典例1】解关于x的方程：(m－1)x²＋2mx＋m＋3＝0 【变式1】已知关于x的方程kx²－(3k－1)x＋2(k－1)＝0，求证：无论k为何实数，方程总有实数根. 【变式2】若方程(m－2)x²－2(m－1)x ＋m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围. 题型二 根与系数关系的综合应用 答｜题｜模｜板 1.写出x₁ + x₂和x₁x₂的表达式 2.将所求代数式用对称式表示 3.代入求值，注意取值范围 【典例1】已知α和β是方程x2+2024x﹣2＝0的两个解，则α2+2025α+β的值为（　　） A．﹣2023 B．2023 C．﹣2022 D．2022 【典例2】已知x₁, x₂是方程x²－(2k＋1)x＋k²＋1＝0的两个实数根，且x₁²＋x₂²＝11，求k的值. 【变式1】已知a，b是一元二次方程x2+2025x+1＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D．±2025 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1，x2满足x1x2＝6，求a的值． 题型三 一元二次方程的综合应用 答｜题｜模｜板 1.仔细审题，理解实际问题背景 2.合理设元，建立数学模型 3.解方程并检验解的合理性 4.回归实际问题，给出最终答案 易｜错｜点｜拨 实际问题中往往需要对方程的解进行取舍，要特别注意取值范围 【典例1】电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为45m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为384m2，试求出电动车车棚的长（BC）和宽（AB）； （2）若小区拟利用现有棚栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为450m2的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【典例2】如图，OA＝OB＝60cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一小虫M由点A以3cm/s的速度向B爬行，同时另一小虫N由点O以1cm/s的速度沿OC爬行，小虫爬行的时间为t s． （1）ON＝　 　 cm，OM＝ 　 　cm（用含有t的代数式表示）． （2）几秒时，两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于150cm2？ （3）若△OMN为等腰三角形，请直接写出t值． 【变式1】在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随着国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2023年新能源汽车全国销量为578万辆，2025年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． （1）求2023﹣2025年这两年新能源汽车销量的平均增长率； （2）若增长率保持不变，请估计到2026年全国新能源汽车的销量是多少？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.若关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+3x+a2﹣9＝0的一个根为0，则a的值为（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3 2.张林和李冬在解一道一元二次方程时，张林在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为﹣2和﹣5，则原来的方程是（　　） A．x2﹣6x﹣10＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣7x+10＝0 D．x2+6x+5＝0 3.对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有以下结论：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为4，－3，则方程ax2－（2a－b）x+a－b+c＝0的两根为3－4．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4.如图所示，现有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是480cm3，设矩形的宽为x，则可列方程为　 　 ． 5.已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根． 6.我国通过药品集中采购，大大减轻了百姓的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，平均每次降价的百分率是多少？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.对于代数式M、N，定义新运算M⊗N＝M2﹣MN﹣N2，则下列说法正确的个数为（　　） ①若（2x）⊗1＝1，则或1 ②若方程x2+5x+3＝0的解为a、b，则a⊗b的值为 ③若关于x的方程|2⊗（x﹣1）|＝x+b有两个不相等的实数解，则 A．0 B．1 C．2 D．3 2.欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于x的一元二次方程x2+mx＝36时，若构造后的图形满足AD＝2BD，则m的值为　 　 ． 3.若k为整数，关于x的一元二次方程（k－1）x2－2（k+1）x+k+5＝0有实数根，则整数k的最大值为_____． 4.已知关于x的一元二次方程kx2－4kx＋（4k－1）＝0（k≠0），试判断此一元二次方程根的情况，并说明理由． 5.用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣7x+10＝0； （2）3x2﹣6x+1＝0． 6.已知关于x的方程x2－（2k+1）x+4（k）＝0． （1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 7.随着科技的不断进步，人工智能（AI）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，AI的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是 　 　 元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 8.电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，该方程总有两个不等实根． （2）当Rt△ABC的斜边，且两直角边a、b恰好是这个方程的两个根，求k的值． 2.配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，把二次三项式x2﹣2x+3进行配方，可求其最值． 解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2 当x＝1时，x2﹣2x+3的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题：（1）若x2﹣6x+13可配方成（x﹣m）2+n2（m，n为正整数），则mn的值为 　 　 ； （2）已知实数x，y均满足x﹣y2＝1，求代数式x2+2y2﹣4x+2028的最小值． 3.请阅读下列材料： 已知方程x2+x－3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y－12＝0，故所求方程为y2+2y－12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　 　 ； （2）已知方程2x2－7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，－2，求一元二次方程ay2－（2a－b）y+a－b+c＝0的两根． 4.综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算． 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点，…，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是1+2+3+…+（n－2）+（n－1）+nn（n+1）．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是n（n+1）． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）若三角点阵中前n行的点数和是55，求出n的值． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、⋯、2n，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是120吗？如果能，求出n的值；如果不能，请说明道理． 5.苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题： “在一块长是32m、宽是24m的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？” 课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）． （1）请你计算出上述方案中绿地的宽； （2）九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开辟2个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃面积之和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示意图相应的方程．（列出方程即可，不用解答） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的概念与解法 掌握一元二次方程的定义，熟练运用各种解法求解方程 基础必考点，选择题和填空题中出现频率非常高 根的判别式 能利用判别式判断根的情况，解决含参问题 高频易错点，参数讨论题失分率极高 根与系数的关系 掌握根与系数的关系，并能应用于代数式求值和证明问题 综合题核心考点，常与函数、几何知识结合考查 一元二次方程的应用 能建立方程解决实际问题，培养数学建模能力 实际综合应用必考点 知识点01 一元二次方程的概念与解法 1.定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程 2.一般形式：ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0） 3.解法体系： （1）直接开平方法：适用于(x＋m)² ＝ n (n≥0)形式 （2）配方法：通用方法，配方步骤是关键 （3）公式法：万能方法，x 1，2＝ （4）因式分解法：最简便，但需要方程可因式分解 ·示例：1.已知关于x的一元二次方程（k－2）x2＋3x＋k2－4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．－2 B．2 C．2或－2 D．4或－2 【解答】根据题意可得：，解得k＝－2．故选：A． 2.（1）（x－4）2－9＝0； 【解答】解：（x－4）2＝9，x－4＝±3，∴x－4＝3或x－4＝－3，∴x1＝7，x2＝1． （2）x2－5x＋1＝0． 【解答】解：∵a＝1，b＝－5，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝（－5）2－4×1×1＝21＞0， ∴，∴，． ·易错点：（1）配方时忘记等式两边同时加上一次项系数一半的平方（2）使用公式法时，忽略a≠0的前提条件（3）因式分解时符号处理错误，特别是交叉相乘时 知识点02 根的判别式 根的判别式：Δ ＝ b²－4ac 根的情况判定： Δ > 0 ⇔ 有两个不相等的实数根 Δ ＝ 0 ⇔ 有两个相等的实数根 Δ < 0 ⇔ 没有实数根 ·示例：若关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0有两个实数根x1，x2，且，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【解答】解：根据题意得Δ＝（－5）2－4a≥0，解得a，x1＋x2＝5，x1x2＝a， ∵15，∴（x1＋x2）2－2x1x2＝15，∴25－2a＝15，∴a＝5． ·易错点：（1）忘记计算判别式直接判断根的情况（2）含参问题时，忽略参数取值范围对判别式的影响（3）将“有两个实数根”误认为“有两个不相等的实数根”这一种情况 知识点03 根与系数的关系 如果ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的两个根为x₁， x₂，则：x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝ 推广公式： （1）x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁·x₂＝－＝ （2）|x₁－x₂|＝ （3）＋＝＝－ ·示例：已知α、β是方程2x2－3x－1＝0的两个实数根，则αβ－2（α＋β）＋4的值是（　　） A． B． C．3 D． 【解答】解：由题意得，α、β是方程2x2－3x－1＝0的两个实数根， 则根据根与系数的关系可知：， ∴原式． ·易错点：（1）符号错误，将x₁＋x₂＝－误写为；（2）使用根与系数关系计算时忽略方程必须有实数根的前提；（3）复杂变形时出现计算错误 知识点04 一元二次方程的应用 常见类型： （1）几何问题：面积、体积、勾股定理等 （2）经济问题：利润最大化、成本最小化 （3）运动问题：抛体运动、相遇问题 （4）增长率问题：复利增长、人口增长 建模步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验→作答 ·示例：综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少厘米？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2． ①该收纳盒的高是多少厘米？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得，（100－2x）（40－2x）＝1600， 解得，x1＝10，x2＝60（不符合题意，舍去），答：剪去的小正方形的边长为10cm （2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，则收纳盒底面的长为（厘米），宽为（40－2a）厘米，∴（50－a）（40－2a）＝608， 解得，a＝12，a2＝58＞50（不符合题意，舍去），∴收纳盒的高为12厘米， ②∵12＜15，∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． ·易错点：（1）忽略实际意义，未舍去不符合题意的根；（2）列方程时单位不统一；（3）最值问题中忘记检验取值是否在合理范围内. 题型一 含参一元二次方程的解法 解｜题｜技｜巧 1.先确定方程是否为一元二次方程（考虑二次项系数是否为0） 2.根据参数的不同取值分类讨论 3.对每种情况分别求解 易｜错｜点｜拨 容易忽略二次项系数为0时，方程退化为一次方程的情况 【典例1】解关于x的方程：(m－1)x²＋2mx＋m＋3＝0 【解答】解：①当m＝1时，方程为2x＋4＝0，解得x＝－2 ②当m≠1时，Δ＝4m²－4(m－1)(m＋3)＝4(3－2m) 当Δ≥0即m≤1.5时，x＝ 当Δ＜0即m＞1.5时，无实数根 【变式1】已知关于x的方程kx²－(3k－1)x＋2(k－1)＝0，求证：无论k为何实数，方程总有实数根. 【解答】证明：当k＝0时，方程为x－2＝0，有实数根 当k≠0时，Δ＝(3k－1)²－8k(k－1)＝k²＋2k＋1＝(k＋1)²≥0 ∴方程总有实数根 【变式2】若方程(m－2)x²－2(m－1)x ＋m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围. 【解答】解：由题意得：m－2≠0且Δ＝4(m－1)²－4m(m－2)>0 解得，m>1且m≠2 题型二 根与系数关系的综合应用 答｜题｜模｜板 1.写出x₁ ＋ x₂和x₁x₂的表达式 2.将所求代数式用对称式表示 3.代入求值，注意取值范围 【典例1】已知α和β是方程x2＋2024x－2＝0的两个解，则α2＋2025α＋β的值为（　　） A．－2023 B．2023 C．－2022 D．2022 【解答】解：由条件可知α2＋2024α－2＝0，α＋β＝－2024， ∴α2＋2024α＝2，∴α2＋2025α＋β＝α2＋2024α＋α＋β＝2－2024＝－2022，故选：C． 【典例2】已知x₁, x₂是方程x²－(2k＋1)x＋k²＋1＝0的两个实数根，且x₁²＋x₂²＝11，求k的值. 【解答】解：x₁² ＋ x₂² ＝ (x₁＋x₂)² － 2x₁x₂＝ (2k＋1)² － 2(k²＋1)＝ 2k² ＋ 4k － 1 ＝ 11 解得k＝2或k＝－3检验：当k＝－3时，Δ<0，舍去 ∴k＝2 【变式1】已知a，b是一元二次方程x2＋2025x＋1＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．－2025 B．2025 C． D．±2025 【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2＋2025x＋1＝0的两个实数根，∴a＋b＝－2025，ab＝1， ∵ab＝1，∴a和b同号，∵a＋b＝－2025， ∴a＜0，b＜0， （）＝－12025， 故选：B． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2－（2a－1）x＋a2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1，x2满足x1x2＝6，求a的值． 【解答】解：（1）由条件可知Δ≥0，即[－（2a－1）]2－4a2≥0，∴； （2）由得，，∴（2a－1）2－3a2＝6， 解得a1＝－1，a2＝5，∵，∴a＝－1． 题型三 一元二次方程的综合应用 答｜题｜模｜板 1.仔细审题，理解实际问题背景 2.合理设元，建立数学模型 3.解方程并检验解的合理性 4.回归实际问题，给出最终答案 易｜错｜点｜拨 实际问题中往往需要对方程的解进行取舍，要特别注意取值范围 【典例1】电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为45m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为384m2，试求出电动车车棚的长（BC）和宽（AB）； （2）若小区拟利用现有棚栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为450m2的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设电动车车棚的宽AB为x m，则车棚的长BC＝70－2（x－1）－x＝（72－3x）（m）， 由题意得，x（72－3x）＝384，整理得，x2－24x＋128＝0，解得，x1＝16，x2＝8（不符合题意，舍去）， ∴72－3x＝72－3×16＝24，答：电动车车棚的长为24m，宽为16m； （2） 不能围成面积为450m2的电动车车棚 设电动车车棚的宽AB为x m，则车棚的长BC为（72－3y）m， 由题意得，y（72－3y）＝450，整理得，y2－24y＋150＝0，∵Δ＝（－24）2－4×1×150＝－24＜0， ∴原方程无解，∴不能围成面积为450m2的电动车车棚． 【典例2】如图，OA＝OB＝60cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一小虫M由点A以3cm/s的速度向B爬行，同时另一小虫N由点O以1cm/s的速度沿OC爬行，小虫爬行的时间为t s． （1）ON＝　 　 cm，OM＝ 　 　cm（用含有t的代数式表示）． （2）几秒时，两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于150cm2？ （3）若△OMN为等腰三角形，请直接写出t值． 【解答】解：（1）ON＝t cm，OM． 故答案为：t，． （2）由题意t（60－3t）＝150， 解得t＝10；或t（3t－60）＝150， 解得t＝10－10（舍去）或10＋10， 综上所述，t＝10或10＋10时，两小虫所在的位置与点O组成的三角形的面积等于150cm2． （3）由题意t＝60－3t或t＝3t－60， 解得t＝15或30．故当t＝15或30时，△OMN为等腰三角形． 【变式1】在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随着国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2023年新能源汽车全国销量为578万辆，2025年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． （1）求2023－2025年这两年新能源汽车销量的平均增长率； （2）若增长率保持不变，请估计到2026年全国新能源汽车的销量是多少？ 【解答】解：（1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，由题意得，578（1＋x）2＝832.32， 解得：x1＝0.2，x2＝－2.2（不合题意舍去）， 答：2023－2025年这两年新能源汽车销量的平均增长率为20%． （2）832.32×（1＋20%）＝998.784（万辆） 答：估计到2026年全国新能源汽车的销量998.784万辆． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.若关于x的一元二次方程（a－3）x2＋3x＋a2－9＝0的一个根为0，则a的值为（　　） A．0 B．3 C．－3 D．3或－3 【解答】解：将x＝0代入得：a2－9＝0，∴a＝±3，∵a－3≠0，∴a＝－3，故选C． 2.张林和李冬在解一道一元二次方程时，张林在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为－2和－5，则原来的方程是（　　） A．x2－6x－10＝0 B．x2＋3x＋2＝0 C．x2－7x＋10＝0 D．x2＋6x＋5＝0 【解答】解：设原来的方程为ax2＋bx＋c＝0（a≠0），由题意得， 6＋1＝7，（－2）×（－5）＝10， ∴b＝－7a，c＝10a，原来的方程为ax2－7ax＋10a＝0，则x2－7x＋10＝0． 故选：C． 3.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有以下结论：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；④若方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为4，－3，则方程ax2－（2a－b）x＋a－b＋c＝0的两根为3－4．其中正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若a＋b＋c＝0，则b＝－（a＋c）， ∴b2－4ac＝（a＋c）2－4ac＝（a－c）2≥0，所以①正确； ②∵方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，∴x20，∴a，c异号，∴b2－4ac＞0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；所以②正确； ③∵c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴ac2＋bc＋c＝0，当c≠0时，ac＋b＋1＝0，所以③不正确； ④若方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为4，－3，则4－3，4×（－3），∴b＝－a，c＝－12a， ∴方程ax2－（2a－b）x＋a－b＋c＝0化为ax2－3ax－10a＝0，∵a≠0，∴x2－3x－10＝0，即（x－5）（x＋2）＝0，解得x＝5或－2，所以④不正确．综上，说法正确的有①②．故选：B． 4.如图所示，现有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是480cm3，设矩形的宽为x，则可列方程为　 　 ． 【解答】根据题意：4（2x－8）（x－8）＝480 5.已知关于x的方程x2－（k＋2）x＋2k－1＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根． 【解答】（1）证明：由于x2－（k＋2）x＋2k－1＝0是一元二次方程，Δ＝b2－4ac＝[－（k＋2）]2－4×1×（2k－1）＝k2－4k＋8＝（k－2）2＋4，无论k取何实数，总有（k－2）2≥0，（k－2）2＋4＞0，所以方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把x＝3代入方程x2－（k＋2）x＋2k－1＝0，有32－3（k＋2）＋2k－1＝0， 整理，得 2－k＝0．解得 k＝2，此时方程可化为 x2－4x＋3＝0．解此方程，得 x1＝1，x2＝3． 所以方程的另一根为x＝1． 6.我国通过药品集中采购，大大减轻了百姓的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，平均每次降价的百分率是多少？ 【解答】解：设平均每次降价的百分率是x， 由题意得：200（1－x）2＝72， 解得：x1＝0.4＝40%，x2＝1.6（不符题意，舍去） 答：平均每次降价的百分率是40%． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.对于代数式M、N，定义新运算M⊗N＝M2－MN－N2，则下列说法正确的个数为（　　） ①若（2x）⊗1＝1，则或1 ②若方程x2＋5x＋3＝0的解为a、b，则a⊗b的值为 ③若关于x的方程|2⊗（x－1）|＝x＋b有两个不相等的实数解，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①由题意得，（2x）⊗1＝4x2－2x－1＝1，∴2x2－x－1＝0，∴（2x＋1）（x－1）＝0， ∴或x＝1，故①正确； ②a⊗b＝a2－ab－b2＝（a＋b）（a－b）－ab，∵方程x2＋5x＋3＝0的解为a、b，∴a＋b＝－5，ab＝3，∴a⊗b＝a2－ab－b2＝－5（a－b）－3，∴（a－b）2＝（a＋b）2－4ab＝13，则 当时，，当时，， ∴a⊗b的值为或，故②不正确； ③∵|2⊗（x－1）|＝|22－2（x－1）－（x－1）2|＝|－x2＋5|，方程|2⊗（x－1）|＝x＋b有两个不相等的实数解，∴x2－5＝±（x＋b），当x2－5＝x＋b时，∴x2－x－（5＋b）＝0，∴Δ＝1＋4（5＋b）＝21＋4b＞0， ∴．当x2－5＝－（x＋b）时，∴x2＋x－（5－b）＝0，∴Δ＝1＋4（5－b）＝21－4b＞0， ∴．∴，故③不正确； 综上，正确的有①，共1个．故选：B． 2.欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2＋ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于x的一元二次方程x2＋mx＝36时，若构造后的图形满足AD＝2BD，则m的值为　 　 ． 【解答】解：根据题意，构造图形如图所示： 则AC＝6，，∵AD＝2BD，∴AD＝m， 即m就是x2＋mx＝36的一个正根，∴m2＋m2＝36 解得 （舍负）． 3. 若k为整数，关于x的一元二次方程（k－1）x2－2（k＋1）x＋k＋5＝0有实数根，则整数k的最大值为_____． 【解答】解：∵方程有实数根，∴Δ＝4（k＋1）2－4（k－1）（k＋5）≥0，且k－1≠0， 解得：k≤3且k≠1，故整数k的最大值为3． 4.已知关于x的一元二次方程kx2－4kx＋（4k－1）＝0（k≠0），试判断此一元二次方程根的情况，并说明理由． 【解答】解：∵Δ＝（－4k）2－4k（4k－1）＝4k，∵k≠0， ①当k＞0时，4k＞0，即Δ＞0，∴此一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当k＜0时，4k＜0，即Δ＜0，∴此一元二次方程无实数根； 综上所述，当k＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当k＜0时，一元二次方程无实数根 5.用适当的方法解下列方程：（1）x2－7x＋10＝0； （2）3x2－6x＋1＝0． 【解答】解：（1）x2－7x＋10＝0，（x－2）（x－5）＝0，x－2＝0或x－5＝0， ∴x1＝2，x2＝5； （2）3x2－6x＋1＝0，，，，， ∴，． 6.已知关于x的方程x2－（2k＋1）x＋4（k）＝0． （1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【解答】（1）证明：Δ＝（2k＋1）2－4×4（k）＝4k2＋4k＋1－16k＋8＝4k2－12k＋9＝（2k－3）2， ∵（2k－3）2≥0，即△≥0， ∴无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）解：当b＝c时，Δ＝（2k－3）2＝0，解得k，方程化为x2－4x＋4＝0，解得b＝c＝2，而2＋2＝4，故舍去； 当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16－4（2k＋1）＋4（k）＝0，解得k，方程化为x2－6x＋8＝0，解得x1＝4，x2＝2，即a＝b＝4，c＝2或a＝c＝4，b＝2， ∴△ABC的周长＝4＋4＋2＝10． 7.随着科技的不断进步，人工智能（AI）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，AI的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是 　 　 元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【解答】解：（1）由题意得：240－（14－10）×5＝240－20＝220， 即若有14人参加旅游，人均费用是22元， 故答案为：220； （2）设参加活动的学生人数为x人， 由题意得：x[240－5（x－10）]＝3600， 整理得：x2－58x＋720＝0， 解得：x1＝18，x2＝40， 当x1＝18时，240－5×（18－10）＝200＞170，符合题意； 当x2＝40时，240－5×（40－10）＝90＜170，不符合题意，舍去； 答：参加活动的学生人数为18人． 8.电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【解答】解：（1）设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为x， 由题意得：200（1＋x）2＝338， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝－2.3（不符合题意，舍去）， 答：3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为30%； （2）设每个玩偶降价y元， 由题意得：（50－y－30）（320＋5y）＝5940， 整理得：y2＋44y－92＝0， 解得：y1＝2，y2＝－46（，不符合题意，舍去）， 答：每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，该方程总有两个不等实根． （2）当Rt△ABC的斜边，且两直角边a、b恰好是这个方程的两个根，求k的值． 【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程， ∴，＝k2－k2＋4＝4， ∴无论k为何值，Δ＞0，∴无论k为何值，该方程总有两个不等实根； （2）解：∵a和b恰好是方程的两个根，∴a＋b＝k，， ∵△ABC是直角三角形，斜边为，∴a2＋b2＝c2，∴（a＋b）2－2ab＝c2， ∴，化简得k2＝16，解得k＝4或k＝－4， 又∵k＝－4时，a＋b＝k＝－4＜0，不合题意舍去，∴k＝4． 2.配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，把二次三项式x2－2x＋3进行配方，可求其最值． 解：x2－2x＋3＝x2－2x＋1＋2＝（x2－2x＋1）＋2＝（x－1）2＋2 当x＝1时，x2－2x＋3的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题：（1）若x2－6x＋13可配方成（x－m）2＋n2（m，n为正整数），则mn的值为 　 　 ； （2）已知实数x，y均满足x－y2＝1，求代数式x2＋2y2－4x＋2028的最小值． 【解答】（1）解：由y＝x2－6x＋13＝（x－3）2＋4，∵y＝x2－6x＋13可配方成y＝（x－m）2＋n2， ∴y＝（x－3）2＋22＝（x－3）2＋22，∴m＝3，n＝2， ∴mn＝32＝9， （2）解：∵x－y2＝1，∴x－1＝y2≥0，∴x≥1， ∴x2＋2y2－4x＋2028 ＝x2＋2（x－1）－4x＋2028 ＝x2－2x＋2026 ＝x2－2x＋1＋2025 ＝（x－1）2＋2025≥2025， 当x＝1时，x2＋2y2－4x＋2028的最小值为2025． 3.请阅读下列材料： 已知方程x2＋x－3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2＋2y－12＝0，故所求方程为y2＋2y－12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　 　 ； （2）已知方程2x2－7x＋3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，－2，求一元二次方程ay2－（2a－b）y＋a－b＋c＝0的两根． 【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝－x，所以x＝－y， 把x＝－y代入x2＋x－2＝0，得y2－y－2＝0， 故答案为：y2－y－2＝0； （2）设所求方程的根是y，则y，∴x，把x代入方程2x2－7x＋3＝0，得 2（）2－7•3＝0，化简，得3y2－7y＋2＝0； （3）一元二次方程整理后可得：a（y－1）2＋b（y－1）＋c＝0， ∵令y－1＝x， ∴y＝x＋1， 则方程 a（y－1）2＋b（y－1）＋c＝0 的两根比 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根大1， ∴方程 a（y－1）2＋b（y－1）＋c＝0 的两根分别是4、－1． 4.综合与实践 【主题】三角点阵前n行的点数计算． 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点，…，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数和是1＋2＋3＋…＋（n－2）＋（n－1）＋nn（n＋1）．这就是说，三角点阵中前n行的点数和是n（n＋1）． 【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题： （1）若三角点阵中前n行的点数和是55，求出n的值． 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、⋯、2n，请探究出前n行的点数和满足的规律． （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是120吗？如果能，求出n的值；如果不能，请说明道理． 【解答】解：（1）由题意若三角点阵中前n行的点数和是55，得，即n2＋n－110＝0， ∴（n＋11）（n－10）＝0，∴n1＝－11（舍去），n2＝10， ∴n的值为10． （2）前n行所有点数的和为2＋4＋6＋⋯＋2（n－2）＋2（n－1）＋2n＝2[1＋2＋3＋⋯＋（n－2）＋（n－1）＋n] ＝n（n＋1）． （3）不能， 假设能为120，则n（n＋1）＝120，即n2＋n－120＝0， ∴． ∵n为正整数， ∴前n行的点数和不能为120． 5.苏科版数学课本九年级上册第1章的“数学活动”《矩形绿地中的花圃设计》中，有如下问题： “在一块长是32m、宽是24m的矩形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积是矩形面积的一半，你能给出设计方案吗？” 课本所给的方案是：在绿地中间开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，绿地面积与花圃面积相等（如图）． （1）请你计算出上述方案中绿地的宽； （2）九（1）班小明同学认为在绿地中设计2个花圃更美观，为此他设计的方案思路是：在绿地中间开辟2个形状和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2个花圃之间的绿地等宽，绿地面积与2个花圃面积之和相等．请你帮助小明画出他所给方案所有符合要求的示意图，并设绿地的宽为x，列出每种示意图相应的方程．（列出方程即可，不用解答） 【解答】解：（1）设绿地的宽为x米，则花圃的长为（32－2x）米，宽为（24－2x）米， 根据题意，列方程为：（24－2x）（32－2x）， 解方程得x1＝4，x2＝24（舍去）， 故绿地的宽为4米． （2）方案1如下，设绿地的宽为x米，则花圃的长为（32－3x）米，宽为（24－2x）米，则方程为． 方案2如下，设绿地的宽为x米，则花圃的长为（32－2x）米，宽为（24－3x）米，则方程为：． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $