6.3.3 余角和补角（教学课件）数学人教版2024七年级上册

该初中数学课件聚焦“余角和补角”核心内容，通过三角尺锐角和剪刀开合实例导入，从具体数量关系过渡到抽象概念，衔接角的度量与分类知识，搭建清晰学习支架。 其亮点在于以几何直观和推理意识为核心，导入实例贴近生活激发兴趣，性质推导通过“猜想-推理-结论”培养逻辑思维，归纳表格与符号语言强化抽象能力。典型例题中的双角平分线模型结构化总结，帮助学生深化概念理解和推理能力，教师可高效开展教学。

第六章 几何图形初步 6.3 角 6.3.3 余角和补角 人教版 七年级上册 1. 理解余角和补角的概念，能在图中找到一个角的余（补）角，能求一个角的余（补）角. 2. 掌握余角和补角的性质，能运用余角与补角的性质解决问题. 学习目标 2 一、新知引入 二、新知讲解 三、典型例题 四、当堂巩固 五、课堂总结 六、作业布置 CONTENTS 目录 新知引入 问题1：在一副三角尺中，每个三角尺都有一个角是直角，那么另外两个锐角的和有什么特点？ 45° 90° 45° 90° 60° 30° 45°＋45°＝90° 30°＋60°＝90° 另外两个锐角的和为90° 新知引入 2 1 问题2：观察剪刀从张开到合拢的过程， ∠1与∠2的和有什么特点？ ∠1与∠2的和为180° 新知讲解 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角. 符号语言： ∵∠1+∠2=90º， ∴∠1与∠2互为余角. 反之也成立： ∵∠1与∠2互为余角， ∴∠1+∠2=90º. 知识点1　余角和补角的概念 新知讲解 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 符号语言： ∵∠3+∠4=180º， ∴∠3与∠4互为补角. 反之也成立： ∵∠3与∠4互为补角， ∴∠3+∠4=180º. 归纳小结 1.判断两个角是否互余(补)，唯一标准是它们的度数和是否为 90°(180°)，与它们的位置无关. 因此，互余(补)是两个角的数量关系，而不是位置关系. 2.余角、补角是成对出现的，单独的一个角、三个或三个以上的角之间不能说互余或互补. 例如，当∠1＋∠2＋∠3＝90°时，不能说∠1，∠2，∠3 互余. 小试牛刀 图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 解：互为余角的角是 10°和 80°、30°和 60°，互为补角的角是10°和 170°、30°和 150°、60°和 120°、80°和 100°. 新知讲解 知识点2　余角和补角的性质 思考1：∠1与∠2，∠3都互为余角，∠2与∠3的大小有什么关系？ 2 1 3 新知讲解 知识点2　余角和补角的性质 思考1：∠1与∠2，∠3都互余，∠2与∠3的大小有什么关系？ 猜想： ∠2＝∠3 理由如下： ∵∠1与∠2, ∠3都互为余角， ∴∠2＝90º－∠1， ∠3＝90º－∠1， ∴∠2＝∠3. 同角的余角相等. 2 1 3 新知讲解 思考2：∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？ 2 1 4 3 新知讲解 思考2：∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1＝∠3，那么∠2和∠4 相等吗？为什么？ 猜想： ∠2＝∠4 理由如下： ∵∠1与∠2互余，∠3与∠4互余， ∴∠2＝90º－∠1，∠4＝90º－∠3， ∵∠1＝∠3 ∴∠2＝∠4. 等角的余角相等. 2 1 4 3 新知讲解 对于补角是否也有类似性质？ 新知讲解 思考3：如图，如果∠1与∠2，∠3都互补，那么∠2与∠3的大小有什么关系？ 解：∵∠1与∠2互为补角， ∴∠2＝ 180°－∠1， 又∠1与∠3互为补角， ∴∠3＝ 180°－∠1， ∴∠2=∠3. 同角的补角相等. 2 新知讲解 解：∵∠1与∠2互为补角， ∴∠2＝ 180°－∠1， 又∠3与∠4互为补角， ∴∠4＝ 180°－∠3， ∵∠1=∠3 ∴∠2=∠4. 思考4：已知：∠1与∠2互为补角，∠3与∠4互为补角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 等角的补角相等. 归纳小结 类型 性质 数学语言 余角 补角 同角（等角） 的余角相等 同角（等角） 的补角相等 ①如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， 那么∠2＝∠3. ②如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°， 且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4. ①如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， 那么∠2＝∠3. ②如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°， 且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4. 典型例题 例1　(1)若∠α＝26°，则∠α的余角是________，补角是________； (2)若∠1的补角是115°32′，则∠1的度数为________，∠1的余角为________； (3)若∠A的度数是37°24′，∠B的度数是52°36′，则∠A与∠B互为________． 64° 154° 64°28′ 25°32′ 余角 针对练习 (1)若∠A＝35°，则∠A的余角为________，补角为________，它的补角比余角大________； (2)若∠1的余角等于51°19′，则∠1等于________，∠1的补角等于_________； (3)若∠α的度数是125°48′，∠β的度数是54°12′，则∠α与∠β互为________． 55° 145° 90° 38°41′ 141°19′ 补角 典型例题 例2　一个角的余角与这个角的补角之和为130°，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x°. 根据题意，得90－x＋180－x＝130. 解得x＝70. 答：这个角的度数为70°. 【小结】解此类题，先明确余角（和为 90°）、补角（和为 180°）定义，设原角为 x°，用（90 － x）°、（180 －x）° 表示余角、补角，再依 “和为已知度数” 列一元一次方程求解；注意区分余角、补角，避免列方程出错. 针对练习 已知一个角的补角比这个角的余角的2倍大40°，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x. 依题意，得180°－x＝2（90°－x）＋40°. 解得x＝40°. 答：这个角的度数为40°. 典型例题 例3 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC 和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？ 分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角. 典型例题 解：因为点A，O，B在同一条直线上， 所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 所以∠COD +∠COE＝∠AOC+∠BOC ＝(∠AOC+∠BOC ) ＝90°. 所以， ∠COD 和∠COE互为余角， 同理， ∠AOD 和∠BOE，∠AOD和∠COE ，∠COD 和∠BOE也互为余角. 双角平分线模型 如图，O是直线MN上一点，OC平分∠AOM，且∠BOC＝90°，则OB是否平分∠AON？请说明理由． 解：OB平分∠AON.理由如下： 因为OC平分∠AOM，所以∠AOC＝∠COM. 因为O是直线MN上一点，所以∠MON＝180°. 所以∠COM＋∠BON＝∠MON－∠BOC＝180°－90°＝90°. 因为∠AOC＋∠AOB＝∠BOC＝90°，∠AOC＝∠COM， 所以∠AOB＝∠BON.所以OB平分∠AON. 针对练习 解： (2) ∠AOD与∠BOC互补．理由如下： 因为∠AOC和∠BOD都是直角， 所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC＝90°. 又∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD， 所以∠AOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠BOC＝180°. 所以∠AOD与∠BOC互补． 如图，∠AOC和∠BOD都是直角． (1)图中与∠BOC互余的角有________和________． (2)∠AOD与∠BOC互补吗？为什么？ ∠AOB ∠COD 针对练习 双直角模型 当堂巩固 1．若∠A＝50°，则∠A的补角为（　　） A．40° B．140° C．130° D．50° C 2．若一个角的余角是66°25′，则这个角的度数为（　　） A．23°35′ B．23°75′ C．113°35′ D．113°75′ A 当堂巩固 3．将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β一定互补的是（　　） C 4．如图，直线AB与直线DE相交于点O，∠AOC＝90°，则∠AOD的余角是_________，∠AOD的补角是_________________． ∠BOD，∠AOE ∠COD 当堂巩固 当堂巩固 5．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD. (1)请直接写出图中相等的角；(除直角和平角外) (2)请任选一对说明理由． 解：(1)∠AOC＝∠EOF＝∠BOD， ∠COE＝∠BOF，∠AOD＝∠COB， ∠AOF＝∠DOE. (2)选∠AOD＝∠COB.理由如下： 因为直线AB与CD相交于点O，所以∠AOC＋∠AOD＝180°，∠AOC＋∠COB＝180°.所以∠AOD＝∠COB. (答案不唯一) 1.如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余. 2.如果两个角的和等于180 °（平角），就说这两个角互为补角，简称互补. 余角和补角 概念 课堂总结 1.同角（等角）的余角相等. 2.同角（等角）的补角相等. 性质 作业布置 教材P177 练习 人教版 七年级上册 谢谢观看 一套在手，备课无忧！ $