1.3 几何证明举例 第2课时 推论（课件）2025-2026学年青岛版数学八年级上册

青岛版八年级数学上册 第1章 推理与证明 1.3 几何证明举例 第2课时 推论 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 内角三兄弟之争 在一个直角三角形里住着内角三兄弟.平时，它们非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“凭什么你度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷. 你们知道其中的道理吗？ 因为三角形的内角和等于180°，如果有两个直角，就不能围成三角形了. 导入新课 3 这里用到了“三角形的内角和等于180°”.怎样证明它呢？ 这节课就先来探究这个问题. 导入新课 4 活动一：探究证明三角形的内角和定理 问题：三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？ 在小学，通过测量、折叠、剪拼等方法对这个结论进行了验证.通过这些方法得出的结论一定正确吗？ 这只是通过实验得出的结论，我们不可能对所有的三角形进行验证，因此不能保证结论的正确性. 高效课堂 5 有没有一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法呢？ 请同学们小组合作探讨. 活动要求：请前后四人为一小组，将事先准备的三角形硬纸片的内角剪下拼接在一起，并进行观察. 思考与交流：有几种剪拼方法？ 如何从剪拼方法中发现数学证明方法？ 高效课堂 6 通过剪拼的方法能把任意一个三角形的三个角拼在共同的顶点上.类似地，也可以通过作平行线来实现.由此，你能根据上面的剪拼方法证明“三角形的内角和等于180°”吗？ 已知：如图，∠A，∠B，∠C 是△ABC 的三个内角. 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 高效课堂 7 证明： 方法一： 如图1，作BC 的延长线CD，过点C 作CE∥AB. 所以∠B＝∠ECD(两直线平行，同位角相等)， ∠A＝∠ACE(两直线平行，内错角相等). 因为∠ACB＋∠ACE＋∠ECD＝180°(平角的定义)， 所以∠ACB＋∠A＋∠B＝180°(等量代换). 高效课堂 8 方法二： 如图2，过点A 作DE∥BC. 所以∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD(两直线平行，内错角相等). 因为∠BAC＋∠BAD＋∠CAE＝180°(平角的定义)， 所以∠BAC＋∠B＋∠C＝180°(等量替换). 高效课堂 9 方法三： 如图3，过点A 作AD∥BC. 所以∠BAD＝∠B(两直线平行，内错角相等)， ∠CAD＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补). 又因为∠CAB＋∠BAD＝∠CAD(角的运算)， 所以∠CAB＋∠BAD＋∠C＝180°(等量代换). 因为∠BAD＝∠B(已证)， 所以∠CAB＋∠B＋∠C＝180°(等量代换). 高效课堂 10 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°. 高效课堂 11 活动二：探究三角形内角和定理的推论 观察下图，回答问题： (1)三角形外角的概念是什么？ 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 高效课堂 12 (2)三角形的一个外角∠ACD和与它不相邻的两个内角∠A，∠B 之间有怎样的数量关系？ 方法一： 由前面证明三角形的内角和定理的方法一可知， ∠ACD＝∠ACE＋∠ECD＝∠A＋∠B. 所以∠ACD>∠A，∠ACD>∠B. 高效课堂 13 方法二： 因为∠ACD＋∠ACB＝180°，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， 所以∠ACD＝180°－∠ACB，∠A＋∠B＝180°－∠ACB， 所以∠ACD＝∠A＋∠B. 所以∠ACD>∠A，∠ACD>∠B. 高效课堂 14 像这样，由基本事实或定理直接推出的真命题叫作推论.推论可以作为定理使用. 三角形内角和定理的推论： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角. 高效课堂 15 活动三：探究直角三角形的性质定理与判定定理 问题1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，两个锐角∠A 与∠B 有什么数量关系？ 为什么？ 在Rt△ABC中， 因为∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠A＋∠B＝180°－∠C. 因为∠C＝90°， 所以∠A＋∠B＝90° 高效课堂 16 直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余. 高效课堂 17 问题2：(1)直角三角形的性质定理的逆命题是什么？ 有两个角互余的三角形是直角三角形. (2)上述逆命题是真命题吗？ 请你尝试写出它的条件和结论，并说出你的证明过程. 高效课堂 18 已知：如图，在△ABC 中，∠A＋∠B＝90°. 求证：△ABC 是直角三角形. 证明：在△ABC 中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠C＝180°－(∠A＋∠B). 因为∠A＋∠B＝90°， 所以∠C＝180°－90°＝90°. 所以△ABC 是直角三角形. 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形. 高效课堂 19 活动四：例题讲解 高效课堂 20 高效课堂 21 1.(1)在△ABC 中，∠A＝35°，∠B＝40°，则∠C＝ _____； (2)在△ABC 中，∠A＝80°，∠A＝2∠B，则∠B＝ ___，∠C＝____. (1)在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－35°－40°＝105°. (2)因为∠A＝80°，∠A＝2∠B，所以∠B＝40°.在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－40°＝60°. 课堂评价 105° 40° 60° 22 课堂评价 2.若一个直角三角形的两个锐角之差是12°，则较大的锐角等于_____ . 设较大的锐角等于α，则较小的锐角等于α－12°.根据直角三角形的两个锐角互余，可得α＋α－12°＝90°，解得α＝51°. 51° 23 课堂评价 3.如图1，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_______ . 如图2，添加辅助线.由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠5＋∠6＝∠1＋∠2＋∠3.故∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝∠5＋∠6＋∠4＝360°. 360° 24 课堂评价 4.已知一个三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，求这三个内角的度数. 因为该三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，可设这三个内角分别等于α，3α，5α.根据三角形的内角和定理，可得α＋3α＋5α＝180°，解得α＝20°.故这三个内角分别等于20°，60°，100°. 25 课堂评价 5.如图，CE 是△ABC 的一个外角∠ACD 的平分线，CE 交BA 的延长线于点E. 求证：∠BAC>∠2. 因为CE 是△ABC 的一个外角∠ACD 的平分线(已知)， 所以∠1＝∠2(角平分线的定义). 因为∠BAC 是△ACE 的一个外角(已知)， 所以∠BAC>∠1(三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角). 所以∠BAC>∠2(等量代换). 26 通过本节课的学习，你学到了什么知识？ 你有什么收获？ 你还有哪些困惑呢？ 请谈一谈你的想法. 课堂总结 27 基础性作业：教材练习第1~3题. 提高性作业：教材习题1.3第4，7题. 拓展性作业：下图中的几个图形是五角星和它的变形. 作业设计 28 (1)如图1是一个五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. (2)当图1中的点A 向下移到线段BE 上时(如图2)，五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)有无变化？ 请证明你的结论. (3)把图2中的点C 向上移到线段BD 上时(如图3)，五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E)有无变化？ 请说明你的结论的正确性. 作业设计 29 谢谢观看 $