第一次月考试卷-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

2025-2026学年八年级上学期第一次月考试卷 数学 试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：八年级上第1-2章（北师大版2024版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ．下列四个数中，属于无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 2．9的平方根是（    ）． A． B．3 C． D． 3．在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（　　） A．4、7、9 B．5、12、13 C．6、8、10 D．7、24、25 4．下列等式成立的是（　　） A．3＋＝3 B．＝±2 C．＋＝ D．＋＝3 5．＋1的结果是介于下列哪两个数之间（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．已知，则（    ） A．1 B．5 C．25 D．4 7．如图，字母所代表的正方形的边长是（　　） A．194 B．144 C．13 D．12 8．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的平方根是2 D．9的立方根是3 9．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（    ） A．10米 B．12米 C．14米 D．16米 10．当1＜x＜4时，化简－结果是（　　） A．－3 B．3 C．2x－5 D．5 11．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（　　） A．5cm B．5cm C．4cm D．4cm 12．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点都在长方形KLMJ的边上，则长方形的面积为（    ） A．121 B．110 C．100 D．90 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13． ． 14．正方体的体积为，则它的棱长为 ． 15．已知一个正数的平方根是和，则 ． 16．如图，圆柱体中底面周长是，是底面直径，高，点是上一点且，一只从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路程是 ． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 18．（10分）已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 19．（10分）如图，在四边形中，已知，，，．    (1)求的长度； (2)求的度数； (3)作图，在数轴上找到长度对应的点，并标注为点P．（要求保留作图痕迹）    20．（10分）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 21．（10分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为海港，并且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求的度数； （2）海港受台风影响吗？为什么？ 22．（12分）（1）计算：_______________________________； （2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式： 图2：________________________________； 图3：________________________________； （3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系； 做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即． （4）如图5，在中，，是边上高，，求的长度． 23．（12分）（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑（点D不与点B，C重合），连接EC． ①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　； ②求证：BD2+CD2＝2AD2． （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝13，CD＝5，求AD2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期第一次月考试卷 数学 试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：八年级上第1-2章（北师大版2024版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ．下列四个数中，属于无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数就是无限不循环小数,理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项. 【详解】解：A.0是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B. 是分数，属于有理数，故本选项不合题意； C. 是无理数，故本选项符合题意； D. 是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 2．9的平方根是（    ）． A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平方根的意义进行求解即可． 【详解】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3． 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． 3．在以下列三个数为边长的三角形中，不能组成直角三角形的是（　　） A．4、7、9 B．5、12、13 C．6、8、10 D．7、24、25 【答案】A 【分析】根据勾股定理逆定理逐项分析即可. 【详解】解：A. ∵42+72≠92，∴4、7、9不能组成直角三角形；      B. ∵52+122=132，∴ 5、12、13能组成直角三角形；     C. ∵62+82=102，∴6、8、10能组成直角三角形；      D. ∵72+242=252，∴7、24、25能组成直角三角形； 故选A. 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 4．下列等式成立的是（　　） A．3＋＝3 B．＝±2 C．＋＝ D．＋＝3 【答案】D 【分析】根据二次根式的化简与二次根式的加法运算法则，即可求得答案，注意排除法的应用． 【详解】解：A、3＋ 3，故本选项错误； B、＝2，故本选项错误； C、＋ ，故本选项错误； D、＋＝3，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式的化简与二次根式的加法运算．此题比较简单，解题的关键是注意运算法则的准确应用． 5．＋1的结果是介于下列哪两个数之间（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】由题意根据算术平方根性质对无理数进行估算即可得出答案. 【详解】解：∵，即， ∴. 故选：B. 【点睛】本题考查实数的估算，熟练掌握算术平方根性质进行无理数估算是解题的关键. 6．已知，则（    ） A．1 B．5 C．25 D．4 【答案】A 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求得的值，再代入求解即可 【详解】 故选：A 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，掌握非负数的性质是解题的关键． 7．如图，字母所代表的正方形的边长是（　　） A．194 B．144 C．13 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，求一个数的算术平方根的运用，根据题意，的面积，可得正方形的面积，再求算术平方根即可． 【详解】解：根据题意可得，的面积， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：D ． 8．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．的平方根是2 D．9的立方根是3 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根，乘方运算，算术平方根，根据相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，9的平方根是，故该选项是符合题意的； B、，4的平方根是，故该选项是不符合题意的； C、没有平方根，故该选项是不符合题意的； D、9的立方根是，故该选项是不符合题意的； 故选：A． 9．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（    ） A．10米 B．12米 C．14米 D．16米 【答案】D 【分析】根据勾股定理求解即可，，进而可得即这棵大树在折断前的高度． 【详解】根据题意，米 米 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 10．当1＜x＜4时，化简－结果是（　　） A．－3 B．3 C．2x－5 D．5 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质进行化简，再利用绝对值的性质进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】解：当1＜x＜4时， - =|1-x|-|x-4| = x-1+（x-4） =x-1+x-4 =2x-5， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握=|a|． 11．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则折痕MN的长是（　　） A．5cm B．5cm C．4cm D．4cm 【答案】D 【分析】连接DE，因为点D是中点，所以CE等于4，根据勾股定理可以求出DE的长，过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知MG＝BC＝CD，证明△MNG≌△DEC，可以得到DE=MN，即可解决本题． 【详解】解：如图，连接DE． 由题意，在Rt△DCE中，CE＝4cm，CD＝8cm， 由勾股定理得：DE＝＝＝cm． 过点M作MG⊥CD于点G，则由题意可知MG＝BC＝CD． 连接DE，交MG于点I． 由折叠可知，DE⊥MN，∴∠NMG+MIE＝90°， ∵∠DIG+∠EDC＝90°，∠MIE＝∠DIG（对顶角相等）， ∴∠NMG＝∠EDC． 在△MNG与△DEC中， ∴△MNG≌△DEC（ASA）． ∴MN＝DE＝cm． 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠以及全等三角形，能够合理的作出辅助线并找出全等的条件是解决本题的关键． 12．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点都在长方形KLMJ的边上，则长方形的面积为（    ） A．121 B．110 C．100 D．90 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长与相交于点，延长与相交于点，首先利用勾股定理解得的值，再证明，易得，进一步求得的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，延长与相交于点，延长与相交于点， ∵，，， ∴， 根据题意，可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得， 则有， 又∵， ∴， ∴长方形的面积． 故选：B． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13． ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，属于基础题，比较简单．根据一个数的立方等于，这个数就是的立方根即可得解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 14．正方体的体积为，则它的棱长为 ． 【答案】3 【分析】根据正方体的体积等于棱长的立方，即求的立方根即可． 【详解】正方体的体积为 它的棱长为cm 故答案为： 【点睛】本题考查了立方根的应用，理解正方体的体积公式以及求一个数的立方根是解题的关键． 15．已知一个正数的平方根是和，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念是解题的关键．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．一个正数的平方根有两个且互为相反数，所以，求出a的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：5． 16．如图，圆柱体中底面周长是，是底面直径，高，点是上一点且，一只从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】先把图形展开，连接，求出、长，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图展开，连接，则线段的长是从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短距离， ∵， ∵圆柱的底面周长为， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了几何体的展开图的应用，以及线段的性质：两点之间线段最短，勾股定理，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算． （1）先将二次根式化为最简二次根式，并计算零指数幂，最后合并即可； （2）先计算根式的乘法，并将二次根式化为最简二次根式，最后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（10分）已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据平方根的定义列出方程进行解答便可; （2）根据算术平方根进行计算便可; 【详解】（1）解：由题意得， 所以， 因为的立方根为−2， 所以， ； （2）因为，， 所以． 【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程． 19．（10分）如图，在四边形中，已知，，，．    (1)求的长度； (2)求的度数； (3)作图，在数轴上找到长度对应的点，并标注为点P．（要求保留作图痕迹）    【答案】(1)； (2)； (3)图见解析． 【分析】（1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，，即可求解； （3）分别以1，3两个点为圆心，以适当长（大于1）为半径画弧，交于两点，连接，必过点2这个点，再以2这一点为圆心，以2长为半径画弧，交于一点，连接，以为圆心，以为半径画弧，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如下图：    在中， （2）∵，即 ∴为直角三角形， ∵， ∴ ∴ （3）如图，点即为所求    【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，无理数与数轴，以及尺规作图（作垂直平分线），解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 20．（10分）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 【答案】工程车再向教学楼方向行驶5米． 【分析】过点作交于点，在根据勾股定理求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求出x即可． 本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】过点作交于点， 由题意得， 在中， ， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， 工程车再向教学楼方向行驶5米，云梯刚好接触到的顶部点处． 21．（10分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为海港，并且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求的度数； （2）海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】（1）90°；（2）受台风影响，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数； （2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响． 【详解】解：（1）∵AC=300km，BC=400km，AB=500km， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°； （2）海港C受台风影响， 理由：过点C作CD⊥AB， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC=CD×AB， ∴300×400=500×CD， ∴CD=240（km）， ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 22．（12分）（1）计算：_______________________________； （2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式： 图2：________________________________； 图3：________________________________； （3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系； 做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即． （4）如图5，在中，，是边上高，，求的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）见解析；（4） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，勾股定理的证明以及应用． （1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （2）根据图形的两种面积计算方法即可得出答案； （3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和得出，然后化简即可求证； （4）先利用勾股定理求出，再根据等面积法即可求得． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）图二：； 图三：； 故答案为：，； （3）证明：在图4中， 大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即， 化简得：． （4）在中， ， ∴由勾股定理，得：， ， ， ， ． 23．（12分）（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑（点D不与点B，C重合），连接EC． ①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　； ②求证：BD2+CD2＝2AD2． （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝13，CD＝5，求AD2． 【答案】（1）①BC＝DC+EC；②见解析；（2）72 【分析】（1）①证明△BAD≌△CAE，得出BD=CE，可得BC=DC+BD=DC+EC；②根据全等三角形的性质可得∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可； （2）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）①解：BC＝DC+EC，理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝EC， ∴BC＝DC+BD＝DC+EC； 故答案为：BC＝DC+EC； ②证明：∵Rt△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， 由（1）得，△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∴CE2+CD2＝ED2， 在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2， 又AD＝AE， ∴BD2+CD2＝2AD2； （2）解：如图2，过A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE， ∴∠EDA=45°， ∵∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠BAC=∠DAE=90°， ∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE＝13， ∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°， ∴∠EDC＝90°， ∴DE＝＝＝12， ∵∠DAE＝90°， ∴AD2+AE2＝DE2， ∵AE＝AD， ∴AD2＝＝72． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识；本题难度适中，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $